% 表題   AGCM5 第2部 離散化 スペクトルの係数と格子点値との変換法
%
% 履歴
\Drireki{91/12/04 保坂征宏}


\section{スペクトルの係数と格子点値とのやり取り}

ここではスペクトルの係数と格子点値との変換法について述べる. 
実際の GCM 計算において必要になるのは
\begin{itemize}
  \item スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り
  \item 速度の格子点値の発散 $D$ ・渦度 $\zeta$ の
        スペクトルの係数への変換
  \item 速度ポテンシャル$\chi$, 流線関数 $\psi$（もとは 発散, 渦度） 
        のスペクトルの係数から速度の格子点値の作成
\end{itemize}
である. 

\subsection{スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り}

スカラー関数 $A(\lambda,\phi)$ の
格子点値とスペクトルの係数とのやり取りは
以下のとおりである. 
ただし, 
格子点値は $A_{ij} \; (i=1,2,\cdots,I, \; j=1,2,\cdots,J)$ , 
スペクトルの係数は $\tilde{A}_n^m \;
(m=-M,-M+1, \cdots,M, \; n=|m|,|m|+1,\cdots,N(m))$ 
とする.  

 \begin{eqnarray}
   A_{ij} 
   &\equiv& \sum_{m=-M}^{M} \sum_{n=|m|}^{N} 
         \tilde{A}_n^m 
        Y_n^m (\lambda_i,\phi_j)  \label{単純sg} \\
   \tilde{A}_n^m 
         & = &  \frac{1}{I}
                \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
                A_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i,\phi_j) w_j \label{単純gs}\\
    w_j &=& \frac{(2J-1)(1-\sin^2 \phi_j)}
                      {(J P_{J-1}(\sin \phi_j))^2 } 
 \end{eqnarray}

以後この文書では簡単のために, 
${\displaystyle \sum_{m=-M}^{M} \sum_{n=|m|}^{N} }$ を
${\displaystyle \sum_{m,n} }$ と, 
${\displaystyle \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} }$ を
${\displaystyle \sum_{i,j} }$ と表記する.  

\subsection{スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り〜東西微分編}

まず, 
\begin{eqnarray*}
    g&\equiv& \DP{f}{\lambda}
\end{eqnarray*}
を考える.  
\vspace{5mm}

東西微分（$\lambda$ 微分）は次式で評価する. 
\begin{eqnarray}
   g_{ij} 
   &\equiv&  
     \left[
        \DP{}{\lambda} \left(
        \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m Y_n^m (\lambda, \phi)
        \right)                           
        \right]_{ij}    \label{ラムダ微分定義}
\end{eqnarray}
すなわち, 
\begin{eqnarray}
   g_{ij} 
   &=&  \sum_{m,n} im \tilde{f}_n^m 
        Y_n^m (\lambda_i,\phi_j)  \label{ラムダsg}
\end{eqnarray}
である. 
変換公式 (\ref{単純gs})で $A$ を $g$ とみなしたものと 
(\ref{ラムダsg}) とを比較すれば明らかに\footnotemark , 
       \footnotetext{
             より正確には, 
             ${\displaystyle (g_{ij}=) 
                   \sum_{m,n} im \tilde{f}_n^m Y_n^m
                   = \sum_{m,n} \tilde{g}_n^m Y_n^m }$
             の両辺に左から
             ${\displaystyle \sum_{i,j} Y_n^{m*}(\lambda_i,\phi_j)w_j}$
             を演算すれば, $im' \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                              = \tilde{g}_{n'}^{m'} $ として
             得られる. }
             
\begin{eqnarray}
     \tilde{g}_n^m 
         & = & im \tilde{f}_n^m                    \label{fg}    \\
  ∴ \ \tilde{g}_n^m 
         & = &  \frac{1}{I}
                \sum_{i,j} im f_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i, \phi_j) w_j
                       \label{ラムダgs}
\end{eqnarray}
である. 
\vspace{5mm}

次に, 
\begin{eqnarray*}
 h  \equiv \frac{g}{r \cos^2 \phi}
    =      \frac{1}{r \cos^2 \phi} \DP{f}{\lambda}
           \ \     \left[ = 
                    \DP{}{x} \left( \frac{f}{\cos \phi} \right) 
                  \right]                                          
\end{eqnarray*}
とする. $f$ と $h$ とのやり取りを考える. 
(\ref{ラムダ微分定義}) より明らかに, 

\begin{eqnarray*}
      h_{ij} &=& \frac{1}{r \cos^2 \phi_i} g_{ij}  \\
  ∴\ h_{ij} &=&
            \frac{1}{r \cos^2 \phi_j}
            \sum_{m,n} im \tilde{f}_n^m Y_n^m (\lambda_i, \phi_j)
\end{eqnarray*}

一方, 
\begin{eqnarray}                                     
  \tilde{h}_n^m  
     &=& \widetilde{
         \left[ 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{f}{r \cos^2 \phi} \right)
         \right]_n^m 
         }
      = im \widetilde{ \left( \frac{f}{r \cos^2 \phi} \right)_n^m }
         \ \ \ \ \ \ \ （ (\ref{fg}) より ）     \nonumber        \\
     &=& \frac{1}{I} 
             \sum_{i,j} 
                im
                \left( \frac{f}{r \cos^2 \phi} \right)_{ij}
                Y_n^{m*} (\lambda_i, \phi_j) w_j   \nonumber    \\
     &=& \frac{1}{I} 
             \sum_{i,j} im f_{ij}
                Y_n^{m*} (\lambda_i \phi_j) 
                \frac{w_j}{r \cos^2 \phi_j}   \label{ラムダ微分1gs}
\end{eqnarray}


\subsection{スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り〜南北微分編}

まず, 
\begin{eqnarray*}
       p \equiv \DP{f}{\mu}
\end{eqnarray*}
を考える. 
\vspace{5mm}

南北微分（$\mu$微分）は次式で評価する. 
\begin{eqnarray}
  p_{ij} \equiv \left[ \DP{}{\mu} 
                       \left( \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m Y_n^m \right)
                \right]_{ij}   \label{ミュー微分定義}
\end{eqnarray}
すなわち, 
\begin{eqnarray}
  p_{ij} = \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m 
                   \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j 
                   \exp(im \lambda_i) 
               \label{ミュー微分fg}
\end{eqnarray}
である. 
\begin{eqnarray*}
  p_n^m &=& \frac{1}{I} \sum_{i,j} p_{ij} Y_n^{m*} w_j \\
        &=& \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
               \left( 
                     \sum_{m',n'} \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                     \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\mu} \right|_j
                     \exp(i m' \lambda_i)
               \right)
              P_n^m(\mu_j) \exp(-im \lambda_i) w_j       \\
        &=& - \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              \left( 
                     \sum_{m',n'} \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                     P_{n'}^{m'}(\mu_j)
                     \exp(i m' \lambda_i)
              \right)
             \left. \DD{P_n^m}{\mu}\right|_j 
             \exp(-im \lambda_i) w_j   \\
        &=& - \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              f_{ij} 
             \left. \DD{P_n^m}{\mu}\right|_j 
             \exp(-im \lambda_i) w_j                    \\
\end{eqnarray*}
ここで, 2行目から 3行目の等号では, 
  \begin{eqnarray}
       & & \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J
           f_{n'}^{m'}
           P_{n}^{m}(\mu_j)  \exp(im \lambda_i)
           \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\mu}\right|_j 
           \exp(-im' \lambda_i)
           w_j  \nonumber \\
      &=& - \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J
           f_{n'}^{m'}
           \left. \DD{P_{n}^{m}}{\mu}\right|_j 
           \exp(-im \lambda_i)
           P_{n'}^{m'}(\mu_j)  \exp(im' \lambda_i)
           w_j                            \label{公式あ}
\end{eqnarray}
を用いた\footnotemark . 
       \footnotetext{
             この証明は以下のとおりである. 
           \begin{eqnarray*}
                & & \sum_{i} \sum_{j}
                    f_{n'}^{m'}
                    P_{n}^{m}(\mu_j)  \exp(im \lambda_i)
                    \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\mu}\right|_j 
                    \exp(-im' \lambda_i)
                    w_j  \\
               &=& I \sum_{j} 
                  f_{n'}^{m'} 
                  P_{n}^{m}(\mu_j) 
                  \left.\DD{P_{n'}^{m'}}{\mu}\right|_j
                  w_j \delta_{m m'} 
                = I \sum_{j} 
                  f_{n'}^{m} 
                  P_{n}^{m}(\mu_j) 
                  \left.\DD{P_{n'}^{m}}{\mu}\right|_j 
                  w_j \delta_{m m'} \\
               &=& \frac{I}{2} 
                   \int_{-1}^{1} 
                   f_{n'}^{m}
                   P_{n}^{m}(\mu) 
                   \DD{P_{n'}^m}{\mu}  d \mu \delta_{m m'}        
                =  - \frac{I}{2} 
                   \int_{-1}^{1} 
                   f_{n'}^{m}
                   P_{n'}^{m}(\mu) 
                   \DD{P_n^m}{\mu}  d \mu \delta_{m m'}
                      \ \ \ （部分積分）\\
               &=& - I \sum_{j} 
                  f_{n'}^{m} 
                  P_{n'}^{m}(\mu_j) 
                  \left.\DD{P_{n}^{m}}{\mu}\right|_j 
                  w_j  \delta_{mm'} \\
               &=& - \sum_{i} \sum_{j}
                    f_{n'}^{m'}
                    P_{n'}^{m'}(\mu_j)  \exp(im' \lambda_i)
                    \left. \DD{P_{n}^{m}}{\mu}\right|_j 
                    \exp(-im \lambda_i)
                    w_j  
           \end{eqnarray*}
           }
\vspace{5mm}

次に, 
\begin{eqnarray*}
       q \equiv (1-\mu^2) \DP{f}{\mu} = (1-\mu^2) p
\end{eqnarray*}
とする. 
\vspace{5mm}

(\ref{ミュー微分定義}) より明らかに, 
\begin{eqnarray*}
  q_{ij} = (1-\mu_j^2) \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m 
                         \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j 
                         \exp(im \lambda_i)
\end{eqnarray*}
である. 
一方, 
\begin{eqnarray*}
  \tilde{q}_n^m &=& \frac{1}{I} \sum_{i,j} q_{ij} Y_n^{m*} w_j \\
        &=& \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              \left( 
                     (1-\mu_j^2)
                      \sum_{m',n'} \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                     \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\mu} \right|_j
                     \exp(i m' \lambda_i)
              \right)
              P_n^m(\mu_j) \exp(-im \lambda_i) w_j       \\
        &=& - \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              \left( 
                     \sum_{m',n'} \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                     P_{n'}^{m'}(\mu_j)
                     \exp(i m' \lambda_i)
              \right)                             \\
        & &  \hspace{1.5cm} \times
             \left. \DD{}{\mu} 
                        \left( (1-\mu^2) P_n^m \right) \right|_j 
             \exp(-im \lambda_i) w_j   \\
        &=& - \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              f_{ij} 
             \left. \DD{}{\mu} \left( (1-\mu^2)P_n^m \right) \right|_j
             \exp(-im \lambda_i) w_j   
\end{eqnarray*}
が成り立つ. ここで, ２行目から３行目において, 
 \begin{eqnarray*}
  & & \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J
      f_{n'}^{m'} (1-\mu_j^2)
      P_{n}^{m}(\mu_j)  \exp(im \lambda_i)
      \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\mu}\right|_j 
      \exp(-im' \lambda_i)
      w_j  \\
 &=& - \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J
      f_{n'}^{m'}
      \left. \DD{}{\mu} 
      \left((1-\mu^2)P_n^m \right) \right|_j 
      \exp(-im \lambda_i)
      P_{n'}^{m'}(\mu_j)  \exp(im' \lambda_i)
      w_j  
 \end{eqnarray*}
を用いた\footnotemark . 
       \footnotetext{
             この証明は (\ref{公式あ})の証明と同様である. }

\newpage

\subsection{速度の格子点値から発散・渦度のスペクトルの係数への変換}
              
   速度場を
   \begin{eqnarray}
     (u,v) = \left( \frac{U}{\cos \phi}, \frac{V}{\cos \phi} \right) 
   \end{eqnarray}
   とする. ここでは, $(U_{ij},V_{ij})$ から 
   $\tilde{D}_n^m, \;  \tilde{\zeta}_n^m$ を求める\footnotemark .
                 \footnotetext{
                         この項の計算については
                         後ろの補遺
                         「$\mu$ 微分についての補助計算」
                         を参照せよ.}
   
   \vspace{5mm}
   
   まず, 
   \begin{eqnarray}
     D  =  \frac{1}{r(1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda}
         + \frac{1}{r}             \DP{V}{\mu}
   \end{eqnarray}
   より, 
   
   \begin{eqnarray}
     \tilde{D}_n^m 
      & = &   \frac{1}{I} 
              \sum_{ij}
              \left(
                  \frac{im}{r \cos^2 \phi_j} U_{ij} P_n^m
                - \frac{1}{r} V_{ij} \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j 
              \right) 
              \exp(- im \lambda_i) w_j          \nonumber       \\
      & = &   \frac{1}{I} 
              \sum_{ij}
              \left(
                  im U_{ij} P_n^m
                -  V_{ij} 
                     \cos^2 \phi_j  \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j 
              \right) 
              \exp(- im \lambda_i) 
              \frac{w_j}{r \cos^2 \phi_j}  
   \end{eqnarray}
   
   同様に, 
   \begin{eqnarray}
    \zeta  =  \frac{1}{r(1-\mu^2)} \DP{V}{\lambda}
         - \frac{1}{r}             \DP{U}{\mu}
   \end{eqnarray}
   より, 
   
   \begin{eqnarray}
     \tilde{\zeta}_n^m 
      & = &   \frac{1}{I} 
              \sum_{ij}
              \left(
                  \frac{im}{\cos^2 \phi}  V_{ij} P_n^m
                + \frac{1}{r} U_{ij} \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j
              \right) 
              \exp(- im \lambda_i) w_j  \nonumber \\
      & = &   \frac{1}{I} 
              \sum_{ij}
              \left(
                  im  V_{ij} P_n^m
                + U_{ij} 
                \cos^2 \phi_j \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j
              \right) 
              \exp(- im \lambda_i) 
              \frac{w_j}{r \cos^2 \phi_j}  
   \end{eqnarray}

   
\subsection{$\chi,\psi$ のスペクトルの係数から速度の格子点値への変換}

ここでは$\chi_n^m,\psi_n^m$ から $U_{ij},V_{ij}$を求める方法を記す. 
\vspace{5mm}

まず, 
   \begin{eqnarray}
     U  = - \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\psi}{\mu}
          + \frac{1}{r}             \DP{\chi}{\lambda}
   \end{eqnarray}
より, 
   \begin{eqnarray}
     U_{ij} 
       &=& \sum_{m,n}
            \left(
               - \frac{\cos^2 \phi_j}{r} \tilde{\psi}_n^m  
                        \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j
               + \frac{1}{r} im \tilde{\chi}_n^m P_n^m(\sin \phi_j)
            \right)
            \exp(im \lambda_i) \nonumber  \\
       &=& \sum_{m,n}
            \left(
               - \frac{1}{r} \tilde{\psi}_n^m  
                    \cos^2 \phi_j \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j
               + \frac{1}{r} im \tilde{\chi}_n^m P_n^m(\sin \phi_j)
            \right)
            \exp(im \lambda_i)
   \end{eqnarray}
である. 同様に, 
   \begin{eqnarray}
     V  =  \frac{1}{r}             \DP{\psi}{\lambda}
         + \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\chi}{\mu}
   \end{eqnarray}
より, 
   \begin{eqnarray}
     V_{ij} 
       &=&\sum_{m,n}
            \left(
                \frac{1}{r}  im \tilde{\psi}_n^m P_n^m (\sin \phi_j)
              + \frac{\cos^2 \phi_j}{r} \tilde{\chi}_n^m  
                 \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_{j}
            \right)
            \exp(im \lambda_i)    \nonumber  \\
       &=&\sum_{m,n}
            \left(
                \frac{1}{r}  im \tilde{\psi}_n^m P_n^m (\sin \phi_j)
              + \frac{1}{r} \tilde{\chi}_n^m  
                  \cos^2 \phi_j \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_{j}
            \right)
            \exp(im \lambda_i)
   \end{eqnarray}
である.