% 表題   AGCM5 第2部 離散化 GCM で現れる球面調和函数の空間微分
%
% 履歴
\Drireki{91/12/04 保坂征宏}


\section{微分公式, ＧＣＭの変数の微分関係式}

\footnote{(2004/5/27 石渡) ここにあるのは変かも.}   

ここでは, 
スカラー量, ベクトルの微分を計算する. 
さらにそれらを元に, 
発散$D$, 渦度 $\zeta$, 速度ポテンシャル$\chi$, 流線関数$\psi$ と 
$(U,V)$ との関係を付ける. 


\subsection{スカラー量の微分}
   
   スカラー量 $f(\lambda,\phi)$ の $x$ 微分は
    ${\displaystyle \frac{1}{r \cos \phi} \DP{f}{\lambda} }$
   で与えられる. 
   \vspace{5mm}
   
   $f$ の $y$ 微分は
    ${\displaystyle \frac{1}{r} \DP{f}{\phi}
             \left( = \frac{\cos \phi}{r} \DP{f}{\mu} \right) }$
   で与えられる. 
   \vspace{5mm}
   
   $f$ の2次元ラプラシアンは
   \begin{eqnarray}
           \nabla^2_H f  
        &\equiv&
           \frac{1}{r^2}
           \left[ \frac{1}{\cos \phi} 
                  \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right)
                  + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right] f  \\
        &=&
         \frac{1}{r^2}
          \left[
            \DP{}{\mu} 
               \left\{ (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right\}
          + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda}
          \right] f 
   \end{eqnarray}
   で与えられる. 
   
\subsection{ベクトル量の微分}
   
   2次元ベクトル場 $\Dvect{v}=(v_1,v_2)$ の水平発散は 
   
   \begin{eqnarray}
     \mbox{div}_H \Dvect{v}
         &\equiv&    \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v_1}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi} (v_2 \cos \phi)     \\
     &=&    \frac{1}{r \sqrt{1-\mu^2} } \DP{v_1}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r} \DP{}{\mu}(  \sqrt{1-\mu^2} v_2 )    
   \end{eqnarray}
   で与えられる. 

\vspace{5mm}
   
   $\Dvect{v}$ の回転の $r$ 成分は, 
   \begin{eqnarray}
     (\mbox{rot} \Dvect{v})_r
      &\equiv&   \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v_2}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi}(v_1 \cos \phi)    \\
     &=&    \frac{1}{r \sqrt{1-\mu^2} } \DP{v_2}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r} \DP{}{\mu}(\sqrt{1-\mu^2}v_1)      
   \end{eqnarray}
   で与えられる. 
   
\vspace{10mm}

以上で得られた微分公式を元に, 
以下に実際にGCMで使用する便利な微分の公式を並べておく. 

\subsection{発散}

   水平分布する速度場
   \begin{eqnarray}
     (u,v) \equiv 
        \left( \frac{U}{\cos \phi}, \frac{V}{\cos \phi} \right) 
   \end{eqnarray}
   の水平発散 $D$ を, $U,V$ を用いて表す.  
   
   \begin{eqnarray}
     D  &=&    \frac{1}{r \cos \phi} \DP{u}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi} (v \cos \phi)        \\
     &=&    \frac{1}{r \cos^2 \phi} \DP{U}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{V}{\phi}                 \\
     &=&    \frac{1}{r (1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r} \DP{V}{\mu}          
   \end{eqnarray}
   
\subsection{渦度}
   
   水平分布する速度場
   \begin{eqnarray}
     (u,v) = \left( \frac{U}{\cos \phi}, \frac{V}{\cos \phi} \right) 
   \end{eqnarray}
   の渦度 $\zeta$ を, $U,V$ を用いて表す. 
   
   \begin{eqnarray}
     \zeta 
     &=&    \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi}(u \cos \phi)    \\
     &=&    \frac{1}{r \cos^2 \phi} \DP{V}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{U}{\phi}                \\
     &=&    \frac{1}{r (1-\mu^2)} \DP{V}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r} \DP{U}{\mu}
   \end{eqnarray}
   
\subsection{速度ポテンシャル, 流線関数と $(U,V)$}
   
   速度ポテンシャル $\chi$, 流線関数 $\psi$ は
   \begin{eqnarray}
     D     &\equiv& \nabla_H^2 \chi \\
     \zeta &\equiv& \nabla_H^2 \psi
   \end{eqnarray}
   で定義される. 
   $(U,V)$ を $\chi,\psi$ で表す. 
   
   \begin{eqnarray}
     U  &=& - \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\psi}{\mu}
            + \frac{1}{r}             \DP{\chi}{\lambda} \\
     V  &=&   \frac{1}{r}             \DP{\psi}{\lambda}
            + \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\chi}{\mu}
   \end{eqnarray}
   となる.