% 表題   AGCM5 第2部 離散化 座標系
%
% 履歴
\Drireki{91/10/31 保坂征宏}
\Dchapterhead

\section{座標系}

ここでは水平格子点, 鉛直レベルのとり方を記す. 
さらに, 
力学過程の時間積分において使用する水平スペクトルを定義し, 
格子点値とスペクトルの係数との変換則を記す. 


\subsection{水平格子}
   
   水平方向の格子点の位置は, 
   Gauss 緯度（格子点数 $J$ 個\footnotemark ）, 
   等間隔の経度（同 $I$ 個）である. 
          \footnotetext{
                以下, $J$ は偶数とする.
                現在の東大版大気 GCM では,
                （Gauss 緯度としてとる場合には）
                $J$ は偶数でなければならない.} 

   \begin{itemize}

   \item Gauss 緯度
   
      Gauss 緯度を $J$次のLegendre函数$P_J(\sin \phi)$ の零点
      $\phi_j（j=1,2,3,\cdots,J）$ として定義する. 
      順番としては, 
      ${\displaystyle \frac{\pi}{2} > \phi_1 > \phi_2 > 
          \cdots > \phi_{J} > -\frac{\pi}{2} }$ 
      とする\footnotemark .
             \footnotetext{
                 $J$ 次の Legendre函数 $P_J (\mu)$ は
                 \begin{eqnarray}
                      \left[
                      \DD{}{\mu} 
                           \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} \right\}
                   +  J(J+1)  \right] P_J(\mu)  = 0
                 \end{eqnarray}
                 を満たす $J$ 次多項式であり, 
                 $P_J(\mu)$ の零点は全て $-1 < \mu < 1$ にある. 
                 その理由について
                 詳しくは「Legendre函数$P_n$の性質」参照.\\
                 なお, Gauss 緯度は近似的には
                 ${\displaystyle 
                   \sin^{-1} \left( \cos \frac{j-1/2}{J}\pi \right)
                 }$ で与えられる. 
                 }
      なお以後, $\sin \phi = \mu$ と書くことがある. 
   
   \item 経度方向の格子点
   
      経度方向の格子点の位置を
      \begin{eqnarray}
        \lambda_i = \frac{2 \pi （i-1)}{I} \ \ 
            （i=1,2,\cdots,I）
      \end{eqnarray}
      ととる. 
   
   \end{itemize}
   
\subsection{鉛直レベル}
   
   Arakawa and Suarez(1983) のスキームを用いる. 
   とり方は以下のとおりである\footnotemark. 
          \footnotetext{
                なぜこうするとよいのかについては未調査. 
                保存量と関連するらしい.}
\vspace{5mm}

   下の層から上へと層の番号をつける.
   整数レベルと半整数レベルを定義する\footnotemark . 
          \footnotetext{
            物理量により, 整数レベルで定義されるものと, 
            半整数レベルで定義されるものがある.
            }
   半整数レベルでの $\sigma$ の値 
   $\sigma_{k-1/2} (k=1,2,\cdots,K)$ を定義する.
   ただし, レベル $\frac{1}{2}$ は下端($\sigma=1$),
   レベル $K+\frac{1}{2}$ は上端($\sigma=0$)とする.
   整数レベルの $\sigma$ の値
   $\sigma_k (k=1,2,\ldots K)$
   は次の式から求める.
   
   \begin{eqnarray}
    \sigma_k = \left\{ \frac{1}{1+\kappa}
                       \left( \frac{  \sigma^{\kappa +1}_{k-1/2}
                                    - \sigma^{\kappa +1}_{k+1/2}      }
                                    { \sigma_{k-1/2} - \sigma_{k+1/2} }
                        \right)
                 \right\}^{1/\kappa}
   \label{しぐま定義}
   \end{eqnarray}

   ただし, ${\displaystyle \kappa=\frac{R}{C_p} }$ である. 
   ここで, $R$ は乾燥空気の気体定数, 
   $C_p$ は乾燥空気の等圧比熱である\footnotemark 
          \footnotetext{
                いずれも定数としている. }
   また, レベル加重 Δσは以下のように定義される. 
   \begin{eqnarray}
     \Delta \sigma_k &\equiv& \sigma_{k-1/2} - \sigma_{k+1/2}
   \label{しぐま厚さ} \ ( 1 \le k \le K )   \\
     \Delta \sigma_{1/2}   &\equiv& \sigma_{1/2} - \sigma_{1} 
                             = 1 -\sigma_{1} \\
     \Delta \sigma_{K+1/2} &\equiv& \sigma_{K} - \sigma_{K+1/2} 
                             = \sigma_{K}
   \end{eqnarray}

%鉛直格子のとり方の図
       \begin{center}
       \begin{picture}(300,150)(50,10)
         \put(50,20){\line(1,0){220}}
         \put(50,40){\line(1,0){220}}
         \put(50,60){\line(1,0){220}}
         \put(50,120){\line(1,0){220}}
         \put(50,140){\line(1,0){220}}
         \multiput(50,30)(20,0){11}{\line(1,0){10}}
         \multiput(50,50)(20,0){11}{\line(1,0){10}}
         \multiput(50,130)(20,0){11}{\line(1,0){10}}
         \multiput(160,70)(0,15){3} {\shortstack{・}}
         \multiput(50,15)(10,0){22}  {\line(2,1){10}}
         \put(40,16){\shortstack{$\frac{1}{2}$}}
         \put(30,26){\shortstack{1}}
         \put(40,36){\shortstack{$\frac{3}{2}$}}
         \put(30,46){\shortstack{2}}
         \put(40,56){\shortstack{$\frac{5}{2}$}}
         \put(12,116){\shortstack{{\footnotesize $K-\frac{1}{2}$}}}
         \put(30,126){\shortstack{{\footnotesize $K$}}}
         \put(12,136){\shortstack{{\footnotesize $K+\frac{1}{2}$}}}
         \put(280,16){\shortstack{$\sigma=1$}}
         \put(280,136){\shortstack{$\sigma=0$}}
       \end{picture}
       \end{center}