% 表題   AGCM5 第1部 数理モデル 支配方程式
%
% 履歴 
\Drireki{93/06/16  沼口敦・保坂征宏}
\Drireki{2005/04/04  石渡正樹}
%

\section{支配方程式}

ここでは支配方程式を順に示す. 
この方程式の詳細に関しては, Haltiner and Williams (1980) もしくは
\Dchapref{支配方程式系の導出} を参照せよ.


\subsection{連続の式}

\begin{equation}
  \label{質量}
  \frac{\partial \pi}{\partial t} 
    + \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi
     =  - \nabla_{\sigma} \cdot \Dvect{v}_{H} 
          - \frac{\partial \dot{\sigma}}{\partial \sigma}
\end{equation}

\subsection{静水圧の式}

\begin{equation}
\label{静水圧}
  \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} = - \frac{RT_v}{\sigma} 
\end{equation}

\subsection{運動方程式}

\begin{equation}
  \label{渦度}
  \frac{\partial \zeta}{\partial t} 
     =   \frac{1}{a(1-\mu^{2})}
            \frac{\partial \mbox{\sl VA}}{\partial \lambda}
          - \frac{1}{a} \frac{\partial \mbox{\sl UA}}{\partial \mu}
          + {\cal D}(\zeta) 
\end{equation}
\begin{equation}
  \label{発散}
  \frac{\partial D}{\partial t} 
     =    \frac{1}{a(1-\mu^{2})}
            \frac{\partial \mbox{\sl UA}}{\partial \lambda}
          + \frac{1}{a} \frac{\partial \mbox{\sl VA}}{\partial \mu}
          - \nabla^{2}_{\sigma}
           ( \Phi + R \bar{T} \pi + \mbox{\sl KE} ) 
          + {\cal D}(D) 
\end{equation}

\subsection{熱力学の式}

\begin{eqnarray}
\label{熱力}
  \frac{\partial T}{\partial t}
    & = & - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} 
               \frac{\partial UT^{\prime}}{\partial \lambda}
          - \frac{1}{a}
               \frac{\partial VT^{\prime}}{\partial \mu}
          + T^{\prime} D \nonumber \\
    &   & - \dot{\sigma} 
              \frac{\partial T }{\partial \sigma}
          + \kappa T \left( \frac{\partial \pi}{\partial t}
                            + \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi 
                            + \frac{ \dot{\sigma} }{ \sigma } 
                     \right)
          + \frac{Q}{C_{p}}
          + {\cal D}(T) 
          + {\cal D}^{\prime}(\Dvect{v}) 
\end{eqnarray}

\subsection{水蒸気の式}

\begin{eqnarray}
\label{水蒸気}
  \frac{\partial q}{\partial t}
    & = & - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} 
               \frac{\partial Uq}{\partial \lambda}
          - \frac{1}{a}
               \frac{\partial Vq}{\partial \mu}
          + q D \nonumber \\
    &   & - \dot{\sigma} \frac{\partial q }{\partial \sigma}
          + S_{q}
          + {\cal D}(q) 
\end{eqnarray}

ここで,
%
\begin{eqnarray}
\theta & \equiv & T  \left( p/p_{0} \right)^{- \kappa} \\
\kappa & \equiv & R/C_{p} \\
  \Phi & \equiv & gz \\
   \pi & \equiv & \ln p_{S} \\
%
 \dot{\sigma} & \equiv &  \frac{d \sigma}{d t} \\
   \mu & \equiv & \sin \varphi \\
%
     T_v & \equiv & T ( 1+\epsilon_v q ) \\
     U   & \equiv & u \cos \varphi \\
     V   & \equiv & v \cos \varphi \\
%
\label{渦度定義}
 \zeta & \equiv & \frac{1}{a ( 1-\mu^{2} ) }
                    \frac{\partial V}{\partial \lambda} 
             -    \frac{1}{a} \frac{\partial U}{\partial \mu} \\
%
\label{発散定義}
     D & \equiv & \frac{1}{a ( 1-\mu^{2} ) }
                    \frac{\partial U}{\partial \lambda} 
             +    \frac{1}{a} \frac{\partial V}{\partial \mu} \\
%
\label{B項}
 \mbox{\sl UA} & \equiv &  ( \zeta + f ) V 
             - \dot{\sigma} \frac{\partial U}{\partial \sigma} 
             - \frac{RT^{\prime}}{a} 
                  \frac{\partial \pi}{\partial \lambda} 
             + {\cal F}_{\lambda} \cos \varphi \\
%
\label{A項}
 \mbox{\sl VA} & \equiv & - ( \zeta + f ) U 
             - \dot{\sigma} \frac{\partial V}{\partial \sigma} 
             - \frac{RT^{\prime}}{a} ( 1 - \mu^{2} ) 
                  \frac{\partial \pi}{\partial \mu} 
             + {\cal F}_{\varphi} \cos \varphi \\
%
\label{E項}
\mbox{\sl KE} & \equiv &  \frac{U^{2}+V^{2}}{2(1-\mu^{2}) } \\
     T & \equiv &  \bar{T}(\sigma) + T^{\prime} \\
     \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla
       & \equiv & \frac{u}{a \cos \varphi} 
         \left( \frac{\partial }{\partial \lambda} \right)_{\sigma}
     + \frac{v}{a}
         \left( \frac{\partial }{\partial \varphi} \right)_{\sigma} 
           \nonumber \\
       & = & \frac{U}{a ( 1 -\mu^{2} )} 
         \left( \frac{\partial }{\partial \lambda} \right)_{\sigma}
     + \frac{V}{a}
         \left( \frac{\partial }{\partial \mu} \right)_{\sigma} \\
     \nabla^{2}_{\sigma}  
       & \equiv & 
               \frac{1}{a^{2}(1-\mu^{2})} 
                 \frac{\partial^{2} }{\partial \lambda^{2}} 
             + \frac{1}{a^{2}} 
                 \frac{\partial }{\partial \mu}
                  \left[ (1-\mu^{2})  
                       \frac{\partial }{\partial \mu} \right]  .
\end{eqnarray}

ただし, 
${\cal D}(\zeta), {\cal D}(D), {\cal D}(T), {\cal D}(q)$
は水平拡散項であり, \ref{水平拡散節} で説明される. 
${\cal F}_\lambda, {\cal F}_\varphi$
は小規模運動過程による力である. 
$Q$ は放射, 凝結, 小規模運動過程等による加熱・温度変化, 
$S_q$は凝結, 小規模運動過程等による水蒸気ソース項, 
${\cal D}' (\Dvect{v})$ は摩擦熱である. 


%   摩擦熱の説明. 物理過程に移される.
%\begin{equation}
%  {\cal D}^{\prime} (\Dvect{v}) 
% = - \frac{1}{C_{p}}
%     \Dvect{v} \cdot  ( \frac{\partial \Dvect{v}}{\partial t} )_{diff} .
%\end{equation}
%
%$( \frac{\partial \Dvect{v}}{\partial t} )_{diff} $ は,
%水平および鉛直の拡散による $u,v$ の時間変化項である.


\subsection{境界条件}

鉛直流に関する境界条件は
%
\begin{equation}
  \dot{\sigma} = 0  \ \ \ at \ \ \sigma = 0 , \ 1 .
\end{equation}
%
である. よって(\ref{質量}) から,
地表気圧の時間変化式と
$\sigma$系での鉛直速度$\dot{\sigma}$を求める診断式
%
\begin{equation}
   \label{気圧傾向}
   \frac{\partial \pi}{\partial t}
   = - \int_{0}^{1} \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma
     - \int_{0}^{1} D  d \sigma ,
\end{equation}
%
\begin{equation}
   \label{鉛直速度}
   \dot{\sigma} 
   = - \sigma 
     \frac{\partial \pi}{\partial t}
     - \int_{0}^{\sigma} D d \sigma
     - \int_{0}^{\sigma} 
         \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma ,
\end{equation}
%
が導かれる.
\vspace{1em}

ただし熱的境界条件については \ref{tihyoumen} 章において記述する.