% ɽ��   DCPAM2 ��2�� Υ���� ����Ĵ��ȡ����Υ��Ūľ��ط�
%
% ���� AGCM5
\Drireki{91/11/12 �ݺ�����}
\Drireki{92/01/07 �ݺ�����}
% ���� DCPAM2
\Drireki{2005/04/04 ��������}

\section{����Ĵ��ȡ����Υ��Ūľ��ط�}

  �����Ǥ�
  ����ľ��ؿ���Υ��Ūľ��ط��Ǥ�������ľ�����򼨤�. 
  
  \begin{eqnarray}
      \sum_{j=1}^{J} 
      \sum_{i=1}^{I}
         P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j)
         \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_i) w_j
      = I \delta_{nn'} \delta_{mm'} 
  \end{eqnarray}
        
  ������, $ i,j,m,m',n,n',I,J,M,N(m)$ ��������,
  $1 \le i \le I , 1 \le j \le J, $
  $0 \le |m|,|m'| \le M, |m| \le n \le N, |m'| \le n' \le N$ 
  �Ǥ���,  
  ${\displaystyle M \le \left[ \frac{I}{2} \right] , 
                  N(m) \le J-1   }$ 
  ��������. 
  �ޤ�, $w_j$ �� Gauss �ٽ�, 
  ${\displaystyle \lambda_i=\frac{2\pi(i-1)}{I} }$, 
  $\mu_j$ �� $P_J(\mu)$ �������Ǥ���. 
  $[ \ ]$ �� �����ۤ��ʤ������������ɽ��. 
  �����, ͭ�¤�ľ��¿�༰�Ϥˤ���������Ω��
  ����ľ�����ȸƤФ�������Ǥ���\footnotemark . 
         \footnotetext{
               �̤�Υ��Ūľ��ط��ˤĤ��Ƥϸ�ǽҤ٤�. }
  \vspace{5mm}
  
  ���μ����������. 
  Legendreȡ������ȡ�����������Ϣ³�ϤǤΡ�ľ����, 
  Gauss ���������, 
  Legendreȡ�����������Ѥ���¿�༰����ʬɾ��
  ����ΤȤ����, 
  \begin{eqnarray}
      & &  
         \sum_{j=1}^{J} 
           \sum_{i=1}^{I} 
           P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j)
           \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_{i}) 
           w_j                                         \\
      &=& 
        I \sum_{j=1}^{J} 
            P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m'} (\mu_j) w_j \delta_{mm'} 
            \ \ \ \  ��\mbox{Gauss}�������������\\
      &=& 
        I \sum_{j=1}^{J} 
            P_n^m (\mu_j) P_{n'}^{m} (\mu_j) w_j 
            \\
      &=& 
        \frac{I}{2} \int_{-1}^1 
            P_n^m (\mu) P_{n'}^{m} (\mu) d\mu 
            \ \ \ \ ��\mbox{Gauss}-\mbox{Legendre}�θ������� \\
      &=& 
          I \delta_{nn'} \delta_{mm'}
            \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 
            ��Ϣ³�Ϥ�\mbox{Legendre}ȡ������ȡ����ľ��������
  \end{eqnarray}
  �Ȥʤ�. 
  �ʾ�ˤ��, Υ������������Ĵ�´ؿ�������ľ�����������줿. 

\vspace{15mm}
     
     ;�̤ǤϤ��뤬, 
     ľ��¿�༰�Ϥˤ����Ƥ�
     Υ��Ū��ľ��ط��Ȥ��Ƥ�����ľ�����Τۤ���
     ���Τ褦��ľ��ط����Τ��Ƥ���\footnotemark . 
            \footnotetext{
                  �ʲ��ˤĤ��Ƥ�, 
                  ��, 1984 �ֿ��Ͳ���ˡ�פ��ܤ���. }
     $ \{ f_k(\mu) \}(k=0,1,2,\cdots) $ ��
     $\  [ a ,b ] \ $ ��������줿
     �Ť� $w(\mu)$, ���ʲ���� $\lambda_k$ ��ľ��¿�༰
       ${\displaystyle  
          \left( \int_a^b f_k (\mu) f_{k'} (\mu) w(\mu) d \mu
               = \lambda_k \delta_{kk'} \right)   }$ 
     �Ȥ���. 
     $\mu_j, \mu_{j'}(1 \le j,j' \le J)$ �� $f_J(\mu)$ ������, 
     $w_j=w(\mu_j)$ �Ȥ����, 
     \begin{eqnarray}
           \sum_{j=0}^{J-1} 
              f_k (\mu_j) f_{k'} (\mu_{j}) w_j
                 = \lambda_k  \delta_{kk'}      \ \ \ ������ľ������
       \end{eqnarray}
     �Τۤ���, 
       \begin{eqnarray}
           \sum_{k=0}^{J-1} 
              \frac{f_k (\mu_j) f_k (\mu_{j'}) }{\lambda_k}
                 = \frac{1}{w_j}  \delta_{jj'}       
       \end{eqnarray}
     ������Ω��. 
     \vspace{5mm}
     
     �º�, 
     Legendreȡ�� $\{ P_n \}(n=0,1,2,\cdots,J-1) $ �ˤĤ��Ƥ�
     ���δط�������Ω��. 
     ���ʤ��, 
     $w_j$ �� GCM ���Ѥ��Ƥ��� Gauss �ٽŤȤ���, 
       \begin{eqnarray}
             \sum_{n=0}^{J-1} P_n (\mu_j) P_n (\mu_{j'}) 
                 = \frac{1}{w_j}  \delta_{jj'}       
       \end{eqnarray}
     �Ǥ���. ������, 
     GCM �Ǥ� Legendreȡ�� $P_{J}$ �������ǤΤ�
     �ͤ�׻����뤳�Ȥ�, 
     �ȿ����Ǥδط��Ȥ���, 
     Legendre��ȡ�� $\{ P_n^m \} (n=|m|,|m|+1,|m|+2,\cdots,N)$ ��
     Υ��Ūľ��ط��ϰ�̣���ʤ�\footnotemark . 
            \footnotetext{
                  ���⤽��, �����ǽҤ٤Ƥ���ľ��ط���
                  $f_k��k=0,1,2,\cdots,K-1��$ �� 
                  $k$��¿�༰�Ǥ���褦��ľ��¿�༰�Ϥˤ�����
                  ����Ω�Ĥ�ΤǤ���.  
                  Legendre��ȡ����
                  $m$ ������ΤȤ���¿�༰�Ǥʤ���,
                  $m$ �������Ǥ��äƤ� 
                  $P_n^m$ �� $n$��¿�༰�Ǥ��ä�, 
                  $n-m$ ��¿�༰�ǤϤʤ�. 
                  ���ξ��ˤ�ľ��¿�༰�ε������ĥ����
                  �����ǽҤ٤Ƥ���ľ��ط���
                  �Ȥ���Τ�, �ˤĤ��Ƥ�̤Ĵ���Ǥ���. }
     Legendreȡ����ľ��ط��ˤĤ��Ƥ�, 
     �ȿ����Ǥˤ�� $P_n$ ��
     $n=0,1,2,\cdots,N < J-1$ ��������ʤ��Τ�\footnotemark
            \footnotetext{
                  T42 �ʤ��, $m=0$ �� $J=63, N=42$, 
                  R21 �ʤ��, $m=0$ �� $J=63, N=21$, 
                  �Ǥ���.} 
     �ºݤˤϰ�̣���ʤ�. 
     \vspace{5mm}
     
     ���Ѵؿ��ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤ�Υ��Ūľ��ط�������. 
     \begin{eqnarray}
     \sum_{i=0}^{I-1}
         \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m' \lambda_i) 
         = I \delta_{mm'}                    \ \ \ ������ľ������
     \end{eqnarray}
     �Τۤ���, 
     \begin{eqnarray}
     \sum_{m=-\frac{I}{2}+1}^{\frac{I}{2}}
         \exp(i m \lambda_i) \exp(-i m \lambda_{i'}) 
        = I \delta_{ii'} 
     \end{eqnarray}
     ������Ω��. 
     �ʤ�����, $I$ �϶����� $I=2M$. 
       $I$ ������ξ��ˤ�, $I=2M+1$ �Ȥ���, 
       $m$�ˤĤ��Ƥ��¤� 
       ${\displaystyle  -\frac{I-1}{2} \sim \frac{I-1}{2} }$ �ǤȤ�. ��
     ������ GCM �Ǥ�, 
     �ȿ����Ǥˤ�� 
     $|m|$ �κ����� $M$ ��
     ${\displaystyle \frac{I}{3} }$ �ʲ����ͤʤΤ�
     ��Ϥ��̣���ʤ�\footnotemark . 
            \footnotetext{
                  T42 �ʤ�� $I=128$ ���Ф��� $M=42$ , 
                  R21 �ʤ�� $I=64$ ���Ф���  $M=21$ �Ǥ���. }

