% ɽ��   AGCM5 ��1�� ������ǥ� 
%
% ���� 
\Drireki{94/04/13 ��������}
\Drireki{97/04/15 ���ٹ���}
%

\section{�����������Ϥ�Ƴ��}

�������Ϥ� 6 �ܤ�ͽ���������� 1 �ܤο�������������ʤ�. ͽ����������, 
�����̤�Ϣ³�μ�, ������̤μ�, ��ư������(3 ��ʬ), Ǯ�ϳؤμ�����ʤ�. 
������, ���줾��, ��������¸§, ������̤���¸§, �����̤˴ؤ��뱿ư
����¸§, �����̤˴ؤ��������ͥ륮����¸§����Ƴ�Ф���. �����������ˤ�, 
���۵��Τξ������������Ѥ���.
\footnote{��������ȿ������, Ʊ��®�٤Ȳ��٤��Ĥ��Ȥ���ۤΤ����˲���
���Ƥ���. �������ä�, ������˴ؤ��뱿ư����¸§����������ͥ륮����¸
§����Ӿ������������θ����ɬ�פ��ʤ�. }

��������: ���� Appendix ��Ǥ�Ƴ�Ф��Թ��, ��������ε�������� $R^d$ 
�갵��Ǯ�� $c_p^d$ �Ȥ�, ���絤�ε�������� $R$ �Ȥ�����. ������, ��ʸ
��Ǥ�, ��������ε�������� $R$, �갵��Ǯ�� $c_p$ ��ɽ�����Ƥ���.

\subsection{����������}

�������, ������ξ����������Ϥ��줾��
    \begin{eqnarray}
       p^d & = & \rho^{d} R^d T, \\
       p^v & = & \rho^{v} R^v T,
    \end{eqnarray}
�Ǥ���. ������ $\bullet^d$, $\bullet^v$ �Ϥ��줾�촥���������ӿ�
�����˴ؤ����̤Ǥ��뤳�Ȥ򼨤�. �������ä�, ���� $p=p^d+p^v$ ��, 
    \begin{eqnarray}
      p & = &  (\rho^d R^d + \rho^v R^v) T \\
%%%        & = & \rho R^d \frac{1+r/\epsilon}{1+r} T
        & = & \rho R^d ( 1 + \epsilon_v q ) T,
    \end{eqnarray}
�Ȥʤ�. ������, $q=\rho_v/\rho$ ���漾, �Ǥ���, $\epsilon_v \equiv
1/\epsilon -1$, $\epsilon \equiv R^d/R^v(=0.622)$ �Ǥ���. �������ä�, 
���絤�ξ�����������,
    \begin{equation}
      p = \rho R T.
      \label{����������}
    \end{equation}
������, $R \equiv R^d ( 1+\epsilon_v q )$ �Ǥ���. ���뤤��, ������ 
$T_v \equiv T ( 1 + \epsilon_v q )$ ���Ѥ����, 
    \begin{equation}
      p = \rho R^d T_v.
      \label{������������}
    \end{equation}

\subsection{Ϣ³�μ�}

���絤�μ�����¸§��, ��������������Ǥ�̵�뤹���, 
\footnote{
���Ǽ����褦�˿�������Ǥ��������Ǥ�ޤ�Ƥ���. �������ä�, ���絤�μ�
����¸§��, ��������������Ǥ������Ƥ������̤���¸����褦��, �����絤
�̤��Ѳ����뤳�Ȥ��������Ƥ��뤳�Ȥˤʤ�. }
    \begin{equation}
        \DP{\rho}{t}
      + \DP{}{x_j}( \rho v_j )
      = 0.
      \label{���絤���̥ե�å���}
    \end{equation}
���뤤��, �饰��󥸥�����ǵ��Ҥ����, 
    \begin{equation}
        \DD{\rho}{t}
      + \rho \Ddiv \Dvect{v}
      = 0.
    \end{equation}

\subsection{������μ�}

�����̩�� $\rho^v$ ���Ф��������¸§��, ñ�̻���ñ�����Ѥ����������
�����̤� $S$ �Ȥ����, 
    \begin{equation}
     \DP{\rho^v}{t}
      + \DP{}{x_j} ( \rho^v v_j )
      = S.
      \label{��������̥ե�å���}
    \end{equation}
�漾 $q=\rho^v/\rho$ �˴ؤ��뼰��, ����Ū�ˤϼ�(\ref{���絤���̥ե��
����}) �ȼ�(\ref{��������̥ե�å���}) �������뤳�Ȥ��Ǥ���. ������, 
���ξ��, ��(\ref{���絤���̥ե�å���})�ǿ�������������Ǥ�̵�뤷���Τ�, 
�������������ʤ�. �������漾���������Ǥ˴ؤ��������� $S_q$ ����
������. 
    \begin{equation}
      \DD{q}{t} = S_q.
    \end{equation}

\subsection{��ư������}

��ư����¸§��, ��������������ǤˤȤ�ʤ���ư���Ѳ���̵�뤹��м��Τ�
���˽񤱤�.
    \begin{equation}
        \DP{}{t}(\rho v_i)
      + \DP{}{x_j}( \rho v_i v_j )
      + \DP{p}{x_i} 
      - \DP{\sigma_{ij}}{x_j}
      + \rho \DP{\Phi^*}{x_i}
     = F'_i.
     \label{��ư�̥ե�å���}
    \end{equation}

������, $p$ �ϰ���, $\sigma_{ij}$ ��Ǵ�����ϥƥ󥽥�, $\Phi^*$ ���ϵ�
�ΰ��Ϥˤ��ݥƥ󥷥��
\footnote{����ϱ��Ϥ��θ���ʤ��ϵ�μ��̤ˤΤߵ���
�����ݥƥ󥷥��. } , $F'_i$ �Ϥ���¾�γ��Ϲ�Ǥ���. ���뤤��Ϣ³�μ�
���Ѥ��ƥ饰��󥸥�����ǵ��Ҥ����
    \begin{equation}
        \rho \DD{v_i}{t}
      + \DP{p}{x_i}
      - \DP{\tau_{ij}}{x_j}
      + \rho \DP{\Phi^*}{x_i}
     = F'_i,
    \end{equation}
�Ȥʤ�. ������, Ǵ����ȳ��Ϲ�� $F_i$ �Ȥ���, ����˥٥��ȥ�ɽ������
    \begin{equation}
        \rho \DD{\Dvect{v}}{t}
      + \Dgrad p
      + \rho \Dgrad \Phi^*
     = \Dvect{F}.
    \end{equation}

\subsection{Ǯ�ϳؤμ�}

ñ�̼��̤�����������ͥ륮����, ��ư���ͥ륮�� $\Dvect{v}/2$ ��������
�ͥ륮�� $\varepsilon$ ����ܥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮�� $\Phi^*$ ���¤�ɽ
�������. ���λ����Ѳ�Ψ�μ���, ��������������Ǥˤ��ƶ���̵�뤹���,
    \begin{equation}
            \DP{}{t} 
             \left[ \rho 
                   \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                 + \varepsilon + \Phi^* \right) \right]
         + \DP{}{x_j} \left[ 
             \rho 
               \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                    + \varepsilon + \Phi^* \right)v_j
                    + p v_j - \sigma_{ij}v_i  
            \right]
      =  \rho Q + F'_i v_i,
      \label{�����ͥ륮���ե�å���}
    \end{equation}
�Ǥ���. ������, $Q$ �ϳ�������β�ǮΨ�Ǥ���. ����, ��ư���ͥ륮���ȥ�
�ƥ󥷥�륨�ͥ륮�����¤���¸����, ��ư����¸�� (\ref{��ư�̥ե�å�
��}) �� $v_i$ �򤫤�Ϣ³�μ����Ѥ����ѷ����뤳�Ȥ�������. �ѷ��κݤ�
�� $\DP{\Phi^*}{t}=0$ �Ǥ���Ȥ��Ƥ���.
\footnote{
Ƴ�Фβ����򼨤�. ������1�����2��ϼ��Τ褦���ѷ������. 
\begin{eqnarray}
  v_i \DP{}{t} ( \rho v_i ) 
         + v_i \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i )
  & = &   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 ) 
         + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )
         - \rho \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  v_i^2 \right) 
         - \rho v_j \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \right)
          \nonumber \\
  & = &   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 )
         + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )  
         - \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  \rho v_i^2 \right)  
         - \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \rho v_j \right)
           \nonumber \\ 
  &   &      + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{\rho}{t}
         + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{}{x_j} ( \rho v_j )  \nonumber \\
  & = &   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)  
         + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 )
         + \frac{1}{2} v_i^2  
           \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} ( \rho v_j ) \right\}
          \nonumber  \\
  & = &   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)
         + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 ).  \nonumber 
\end{eqnarray}
�ޤ�, ������4��ϼ��Τ褦���ѷ������. 
\begin{eqnarray}
  v_i \rho \DP{\Phi^*}{x_i} 
   & = & \Phi^* \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_i}(\rho v_i) \right\} 
          + \rho \DP{\Phi^*}{t}
          + v_i \rho \DP{\Phi^*}{x_i} \nonumber \\
   & = & \DP{}{t} ( \rho \Phi^* )
          + \DP{}{x_i} ( \rho \Phi^* v_i ). \nonumber 
\end{eqnarray}
}
\begin{equation}
      \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 + \rho \Phi^* \right) 
    + \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} \rho v_j \Dvect{v}^2
                        + \rho \Phi^* v_j
                        + p v_j - \sigma_{ij} v_i \right)
 =  p \DP{v_j}{x_j} - \sigma_{ij} \DP{v_i}{x_j} + F'_i v_i,
   \label{��ư�ȥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���ե�å���}
\end{equation}
�Ȥʤ�. �� (\ref{�����ͥ륮���ե�å���}) ���鼰 (\ref{��ư�ȥݥƥ󥷥�
�륨�ͥ륮���ե�å���}) ���������, ���Τ褦���������ͥ륮���μ���
������.
\begin{equation}
   \DP{}{t} ( \rho \varepsilon )
     + \DP{}{x_j} ( \rho \varepsilon v_j )
   =  - p \DP{v_j}{x_j} + \sigma_{ij} \DP{v_i}{x_j}
     + \rho Q.
\end{equation}
Ϣ³�μ����Ѥ��ƥ饰��󥸥�����˽�ľ����
\begin{equation}
   \rho \DD{\varepsilon}{t} 
  =   \frac{p}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)
    + \rho Q.
\label{�������ͥ륮��}
\end{equation}
������, ��������β�Ǯ�ι��Ǵ���ˤ���Ǯ�ι��ޤȤ�� $Q^*$ �Ȥ���
��.

�������ͥ륮�����٤��Ѥ���ɽ������� $\varepsilon = c_v T$ �Ǥ�
��. ����˾��������� (\ref{����������}) ���Ѥ��Ƽ� (\ref{�������ͥ륮��}) 
���ѷ�����. $c_p = c_v + R$ �Ǥ��뤳�Ȥ����դ����
\begin{equation}
        \DD{c_p  T}{t} = \frac{1}{\rho} \DD{p}{t} + Q^*,
\end{equation}
�Ȥʤ�. ������, $c_p$ ����������갵��Ǯ $c_p^d$ (���) �Ƕ�������
\footnote{
���ζ���ˤϵ��䤬�Ĥ�. �����������ˤ����Ƥ�, ������� $R$ �� $R^d$ ��
��������(������ $T_v$ ��Ƴ�����뤳�Ȥ�)�Ԥʤ�ʤ��ä�. $c_p$ �ˤĤ�
�Ƥ����������Τ϶���Υ�٥�˰�������ʤ��褦�˻פ���. 
%%�ʲ��Ϥ��μ�ĥ. ������ $r=\rho^v/\rho^d$ ���Ѥ��Ƥ���. ���絤������
%%���ͥ륮���� 
%%\begin{eqnarray}
%%  \rho \varepsilon 
%% & = & \rho^d \varepsilon^d + \rho^v \varepsilon^v \nonumber \\
%% & = & \rho^d c_v^d T + \rho^v c_v^v T \nonumber \\
%% & = & \rho \left( \frac{ \rho^d c_v^d
%%     + \rho^v c_v^v}{\rho} \right) T \nonumber \\
%% & = & \rho \left( \frac{ c_v^d + r c_v^v }{ 1+r } \right) T, \nonumber 
%%\end{eqnarray}
%%�Ȥʤ�. �������ä�, 
%%\[
%%  c_v \equiv \frac{ c_v^d + r c_v^v }{ 1+r },
%%\]
%%�Ǥ���. �ޤ�, 
%%\[
%%  R \equiv \frac{R^d + r R^v}{1+r}
%%    \left( = R^d \frac{ 1 + r/\epsilon}{1+r} \right) ,
%%\]
%%�Ǥ��뤫��, 
%%\begin{eqnarray}
%% c_p & = & c_v + R \nonumber \\
%%     & = & \frac{ c_v^d  + r c_v^v + R^d + r R^v }{1+r} \nonumber \\
%%     & = & \frac{ c_p^d + r c_p^v}{1+r} \nonumber \\
%%     & = & c_p^d \frac{ 1+rc_p^v/c_p^d}{1+r} \nonumber \\
%%     & \sim & c_p^d \frac{ 1+ \frac{8 r}{7 \epsilon}}{1+r}, \nonumber
%%\end{eqnarray}
%%�Ȥʤ�. ������, $c_p^d = ( c_v^d+R^d ) \sim ( \frac{5}{2}R^d +R^d ) =
%%\frac{7}{2} R^d $,  ����� $c_p^v = ( c_v^v + R^v ) \sim ( 3R^v + R^v
%%) = 4 R^v$ ���Ѥ���. Ǯ�ϳؤμ��Ǥ�, ���ξ������Ф���, $c_p \sim
%%c_p^d$ �ȶ������. ������, ���ϳ�ʿ�դμ��Ǥ�, ���ä� $8/7$ �ΰ㤤�ʤ�
%%�� $R$ �� $R^d$ �˶������, �����٤�Ƴ�����Ƥ���ФäƤ���. 
}
����Ǯ�ϳؤμ�������. 
\begin{equation}
 \DD{T}{t}  =  \frac{1}{c_p^d \rho} \DD{p}{t} + \frac{Q^*}{c_p^d}.
\end{equation}
