% 表題   AGCM5 第1部 数理モデル 
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% 履歴 
\Drireki{94/04/13 石渡正樹}
\Drireki{97/04/15 赤堀浩司}
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\section{基礎方程式系の導出}

方程式系は 6 本の予報方程式と 1 本の診断方程式からなる. 予報方程式は, 
全質量の連続の式, 水蒸気量の式, 運動方程式(3 成分), 熱力学の式からなる. 
これらは, それぞれ, 全質量保存則, 水蒸気量の保存則, 全質量に関する運動
量保存則, 全質量に関する全エネルギー保存則から導出する. 診断方程式には, 
理想気体の状態方程式を用いる.
\footnote{乾燥空気と水蒸気は, 同じ速度と温度をもつことを暗黙のうちに仮定
している. したがって, 水蒸気に関する運動量保存則および全エネルギー保存
則および状態方程式を考慮する必要がない. }

！！注意: この Appendix 中では導出の都合上, 乾燥空気の気体定数を $R^d$ 
定圧比熱を $c_p^d$ とし, 全大気の気体定数を $R$ とおいた. しかし, 本文
中では, 乾燥空気の気体定数を $R$, 定圧比熱を $c_p$ と表記している.

\subsection{状態方程式}

乾燥空気, 水蒸気の状態方程式はそれぞれ
    \begin{eqnarray}
       p^d & = & \rho^{d} R^d T, \\
       p^v & = & \rho^{v} R^v T,
    \end{eqnarray}
である. ここで $\bullet^d$, $\bullet^v$ はそれぞれ乾燥空気および水
蒸気に関する量であることを示す. したがって, 全圧 $p=p^d+p^v$ は, 
    \begin{eqnarray}
      p & = &  (\rho^d R^d + \rho^v R^v) T \\
%%%        & = & \rho R^d \frac{1+r/\epsilon}{1+r} T
        & = & \rho R^d ( 1 + \epsilon_v q ) T,
    \end{eqnarray}
となる. ここで, $q=\rho_v/\rho$ は比湿, であり, $\epsilon_v \equiv
1/\epsilon -1$, $\epsilon \equiv R^d/R^v(=0.622)$ である. したがって, 
全大気の状態方程式は,
    \begin{equation}
      p = \rho R T.
      \label{状態方程式}
    \end{equation}
ただし, $R \equiv R^d ( 1+\epsilon_v q )$ である. あるいは, 仮温度 
$T_v \equiv T ( 1 + \epsilon_v q )$ を用いれば, 
    \begin{equation}
      p = \rho R^d T_v.
      \label{状態方程式仮}
    \end{equation}

\subsection{連続の式}

全大気の質量保存則は, 水蒸気の生成消滅を無視すれば, 
\footnote{
次で示すように水蒸気式では生成消滅を含めている. したがって, 全大気の質
量保存則は, 水蒸気の生成消滅が起きても全質量が保存するように, 乾燥大気
量が変化することを要請していることになる. }
    \begin{equation}
        \DP{\rho}{t}
      + \DP{}{x_j}( \rho v_j )
      = 0.
      \label{全大気質量フラックス}
    \end{equation}
あるいは, ラグランジュ形式で記述すれば, 
    \begin{equation}
        \DD{\rho}{t}
      + \rho \Ddiv \Dvect{v}
      = 0.
    \end{equation}

\subsection{水蒸気の式}

水蒸気密度 $\rho^v$ に対する質量保存則は, 単位時間単位体積あたりの生成
消滅量を $S$ とすれば, 
    \begin{equation}
     \DP{\rho^v}{t}
      + \DP{}{x_j} ( \rho^v v_j )
      = S.
      \label{水蒸気質量フラックス}
    \end{equation}
比湿 $q=\rho^v/\rho$ に関する式は, 原理的には式(\ref{全大気質量フラッ
クス}) と式(\ref{水蒸気質量フラックス}) から得ることができる. しかし, 
今の場合, 式(\ref{全大気質量フラックス})で水蒸気の生成消滅を無視したので, 
正しくは得られない. そこで比湿の生成消滅に関する項を改めて $S_q$ と定
義する. 
    \begin{equation}
      \DD{q}{t} = S_q.
    \end{equation}

\subsection{運動方程式}

運動量保存則は, 水蒸気の生成消滅にともなう運動量変化を無視すれば次のよ
うに書ける.
    \begin{equation}
        \DP{}{t}(\rho v_i)
      + \DP{}{x_j}( \rho v_i v_j )
      + \DP{p}{x_i} 
      - \DP{\sigma_{ij}}{x_j}
      + \rho \DP{\Phi^*}{x_i}
     = F'_i.
     \label{運動量フラックス}
    \end{equation}

ここで, $p$ は圧力, $\sigma_{ij}$ は粘性応力テンソル, $\Phi^*$ は地球
の引力によるポテンシャル
\footnote{これは遠心力を考慮しない地球の質量にのみ起因
したポテンシャル. } , $F'_i$ はその他の外力項である. あるいは連続の式
を用いてラグランジュ形式で記述すると
    \begin{equation}
        \rho \DD{v_i}{t}
      + \DP{p}{x_i}
      - \DP{\tau_{ij}}{x_j}
      + \rho \DP{\Phi^*}{x_i}
     = F'_i,
    \end{equation}
となる. ここで, 粘性項と外力項を $F_i$ とおき, さらにベクトル表示する
    \begin{equation}
        \rho \DD{\Dvect{v}}{t}
      + \Dgrad p
      + \rho \Dgrad \Phi^*
     = \Dvect{F}.
    \end{equation}

\subsection{熱力学の式}

単位質量あたりの全エネルギーは, 運動エネルギー $\Dvect{v}/2$ と内部エ
ネルギー $\varepsilon$ およぼポテンシャルエネルギー $\Phi^*$ の和で表
現される. この時間変化率の式は, 水蒸気の生成消滅による影響を無視すれば,
    \begin{equation}
            \DP{}{t} 
             \left[ \rho 
                   \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                 + \varepsilon + \Phi^* \right) \right]
         + \DP{}{x_j} \left[ 
             \rho 
               \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                    + \varepsilon + \Phi^* \right)v_j
                    + p v_j - \sigma_{ij}v_i  
            \right]
      =  \rho Q + F'_i v_i,
      \label{全エネルギーフラックス}
    \end{equation}
である. ここで, $Q$ は外界からの加熱率である. 一方, 運動エネルギーとポ
テンシャルエネルギーの和の保存式は, 運動量保存式 (\ref{運動量フラック
ス}) に $v_i$ をかけ連続の式を用いて変形することで得られる. 変形の際に
は $\DP{\Phi^*}{t}=0$ であるとしている.
\footnote{
導出の過程を示す. 左辺第1項と第2項は次のように変形される. 
\begin{eqnarray}
  v_i \DP{}{t} ( \rho v_i ) 
         + v_i \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i )
  & = &   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 ) 
         + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )
         - \rho \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  v_i^2 \right) 
         - \rho v_j \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \right)
          \nonumber \\
  & = &   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 )
         + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )  
         - \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  \rho v_i^2 \right)  
         - \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \rho v_j \right)
           \nonumber \\ 
  &   &      + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{\rho}{t}
         + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{}{x_j} ( \rho v_j )  \nonumber \\
  & = &   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)  
         + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 )
         + \frac{1}{2} v_i^2  
           \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} ( \rho v_j ) \right\}
          \nonumber  \\
  & = &   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)
         + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 ).  \nonumber 
\end{eqnarray}
また, 左辺第4項は次のように変形される. 
\begin{eqnarray}
  v_i \rho \DP{\Phi^*}{x_i} 
   & = & \Phi^* \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_i}(\rho v_i) \right\} 
          + \rho \DP{\Phi^*}{t}
          + v_i \rho \DP{\Phi^*}{x_i} \nonumber \\
   & = & \DP{}{t} ( \rho \Phi^* )
          + \DP{}{x_i} ( \rho \Phi^* v_i ). \nonumber 
\end{eqnarray}
}
\begin{equation}
      \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 + \rho \Phi^* \right) 
    + \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} \rho v_j \Dvect{v}^2
                        + \rho \Phi^* v_j
                        + p v_j - \sigma_{ij} v_i \right)
 =  p \DP{v_j}{x_j} - \sigma_{ij} \DP{v_i}{x_j} + F'_i v_i,
   \label{運動とポテンシャルエネルギーフラックス}
\end{equation}
となる. 式 (\ref{全エネルギーフラックス}) から式 (\ref{運動とポテンシャ
ルエネルギーフラックス}) を引き去ると, 次のように内部エネルギーの式が
得られる.
\begin{equation}
   \DP{}{t} ( \rho \varepsilon )
     + \DP{}{x_j} ( \rho \varepsilon v_j )
   =  - p \DP{v_j}{x_j} + \sigma_{ij} \DP{v_i}{x_j}
     + \rho Q.
\end{equation}
連続の式を用いてラグランジュ形式に書き直せば
\begin{equation}
   \rho \DD{\varepsilon}{t} 
  =   \frac{p}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)
    + \rho Q.
\label{内部エネルギー}
\end{equation}
ここで, 外界からの加熱の項と粘性による加熱の項をまとめて $Q^*$ とおい
た.

内部エネルギーを温度を用いて表現すると $\varepsilon = c_v T$ であ
る. さらに状態方程式 (\ref{状態方程式}) を用いて式 (\ref{内部エネルギー}) 
を変形する. $c_p = c_v + R$ であることに注意すれば
\begin{equation}
        \DD{c_p  T}{t} = \frac{1}{\rho} \DD{p}{t} + Q^*,
\end{equation}
となる. ここで, $c_p$ を乾燥空気の定圧比熱 $c_p^d$ (定数) で近似すると
\footnote{
この近似には疑問が残る. 状態方程式においては, 気体定数 $R$ を $R^d$ と
する近似は(仮温度 $T_v$ を導入することで)行なわなかった. $c_p$ につい
てだけ近似するのは近似のレベルに一貫性がないように思われる. 
%%以下はその主張. 混合比 $r=\rho^v/\rho^d$ を用いている. 全大気の内部
%%エネルギーは 
%%\begin{eqnarray}
%%  \rho \varepsilon 
%% & = & \rho^d \varepsilon^d + \rho^v \varepsilon^v \nonumber \\
%% & = & \rho^d c_v^d T + \rho^v c_v^v T \nonumber \\
%% & = & \rho \left( \frac{ \rho^d c_v^d
%%     + \rho^v c_v^v}{\rho} \right) T \nonumber \\
%% & = & \rho \left( \frac{ c_v^d + r c_v^v }{ 1+r } \right) T, \nonumber 
%%\end{eqnarray}
%%となる. したがって, 
%%\[
%%  c_v \equiv \frac{ c_v^d + r c_v^v }{ 1+r },
%%\]
%%である. また, 
%%\[
%%  R \equiv \frac{R^d + r R^v}{1+r}
%%    \left( = R^d \frac{ 1 + r/\epsilon}{1+r} \right) ,
%%\]
%%であるから, 
%%\begin{eqnarray}
%% c_p & = & c_v + R \nonumber \\
%%     & = & \frac{ c_v^d  + r c_v^v + R^d + r R^v }{1+r} \nonumber \\
%%     & = & \frac{ c_p^d + r c_p^v}{1+r} \nonumber \\
%%     & = & c_p^d \frac{ 1+rc_p^v/c_p^d}{1+r} \nonumber \\
%%     & \sim & c_p^d \frac{ 1+ \frac{8 r}{7 \epsilon}}{1+r}, \nonumber
%%\end{eqnarray}
%%となる. ここで, $c_p^d = ( c_v^d+R^d ) \sim ( \frac{5}{2}R^d +R^d ) =
%%\frac{7}{2} R^d $,  および $c_p^v = ( c_v^v + R^v ) \sim ( 3R^v + R^v
%%) = 4 R^v$ を用いた. 熱力学の式では, この状況に対して, $c_p \sim
%%c_p^d$ と近似した. しかし, 静力学平衡の式では, たった $8/7$ の違いなの
%%に $R$ を $R^d$ に近似せず, 仮温度を導入してがんばっている. 
}
次の熱力学の式を得る. 
\begin{equation}
 \DD{T}{t}  =  \frac{1}{c_p^d \rho} \DD{p}{t} + \frac{Q^*}{c_p^d}.
\end{equation}