% 表題   AGCM5 第1部 数理モデル 
%
% 履歴 
\Drireki{94/04/13 石渡正樹}
\Drireki{97/04/15 赤堀浩司}
%

\section{モデル支配方程式}

\subsection{渦度方程式と発散方程式}

渦度:
\begin{equation}
\zeta \equiv \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
         - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi).
\end{equation}
発散:
\begin{equation}
D \equiv \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
         + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi).
\end{equation}

\subsubsection{渦度方程式}

運動方程式の $u$ の式に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \cos
\varphi$ を 
作用し, $v$ の式に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}$ を
作用し差をとって変形すれば次の渦度方程式を得る.
\begin{eqnarray}
        \DP{\zeta}{t}
  & = & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} 
          ( \zeta v \cos  \varphi )
        -  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} 
          ( \zeta u )                \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
          \left[   \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
                 + \frac{R^d T_v}{a p_s} \DP{p_s}{\varphi}
                 - F_{\varphi} + f u \right]  \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
          \left[   - \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
                - \frac{R^d T_v}{a p_s} \DP{p_s}{\lambda}
                + F_{\lambda} \cos \varphi + f v \cos \varphi \right].
\end{eqnarray}

\subsubsection{発散方程式}

運動方程式の $u$ の式に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}$ を作
用し, $v$ の式に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \cos
\varphi$ を作用し和をとって変形すると次の発散方程式を得る.
\begin{eqnarray}
        \DP{D}{t}
  & = &  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} 
          ( \zeta v )
        -  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} 
          ( \zeta u \cos \varphi)                \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
          \left[   \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
                 + \frac{R^d T_v}{a \cos \varphi p_s} \DP{p_s}{\lambda}
                 - F_{\lambda} - f v \right]  \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
          \left[    \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
                 + \frac{R^d T_v}{a p_s} \DP{p_s}{\varphi} \cos \varphi
                 - F_{\varphi} \cos \varphi + f u \cos \varphi \right]
                                                \nonumber \\
  &   & - \nabla^2_{\sigma} ( \Phi + KE).
\end{eqnarray}
ここで, 
\begin{eqnarray}
           \nabla^2_{\sigma} 
  & = &    \frac{1}{a^2 \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
         + \frac{1}{a^2 \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( \cos
           \varphi \DP{}{\varphi} ),   \\
           KE 
  & = &  \frac{u^2 + v^2}{2}.
\end{eqnarray}

\subsection{変数変換}

支配方程式系における変数を, モデル内部で用いている変数に変換する. まず,
$\mu \equiv \sin \varphi$ を導入する. また速度場 $u, v$ は$U \equiv u
\cos \phi$, $V \equiv \cos \phi$ に変換する.
\footnote{$u, v$ のままでも渦度や発散にすれば極での特異性を回避できる
のではないか? } このとき, 水平風の渦度 $\zeta$ と発散 $D$ は次のように
変換され, この表現をあらためて $\zeta$ および $D$ と定義する.
\begin{eqnarray}
\zeta & = & \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
     - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi)
   \nonumber \\
   & = & \frac{1}{a \cos^2 \varphi} \DP{v \cos \phi}{\lambda}
       - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi)
   \nonumber \\
   & = & \frac{1}{a ( 1- \mu^2 )} \DP{V}{\lambda}
       - \frac{1}{a} \DP{U}{\mu},
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
D & = & \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
     + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)
   \nonumber \\
  & = & \frac{1}{a \cos^2 \varphi} \DP{u \cos \phi}{\lambda}
     + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)
   \nonumber \\
  & = & \frac{1}{a ( 1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda}
     + \frac{1}{a} \DP{V}{\mu}.
\end{eqnarray}
水平風による移流は次のように変換される. 
\begin{eqnarray}
    \frac{u}{a \cos\phi}\DP{\bullet}{\lambda}
    + \frac{v}{a} \DP{\bullet}{\phi}
   & = &
      \frac{1}{a \cos^2 \phi}
        \left\{ \DP{}{\lambda} (u \cos \phi \bullet)
             - \bullet \DP{}{\lambda} ( u \cos \phi ) \right\}
      \frac{1}{a \cos \phi}
        \left\{ \DP{}{\phi} (v \cos \phi \bullet)
             - \bullet \DP{}{\phi} ( v \cos \phi ) \right\}
      \nonumber \\
   & = &
      \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda} (U\bullet)
     -\frac{\bullet}{a (1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda}
     +\frac{1}{a \mu} \DP{}{\phi} (V\bullet)
     -\frac{\bullet}{a} \DP{V}{\mu}
      \nonumber \\
   & = &
      \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda} (U\bullet)
     +\frac{1}{a \mu} \DP{}{\phi} (V\bullet)
     +\bullet D.
\end{eqnarray}
水平風による移流のもうひとつの記述を連続の式の変換のために示す.
\begin{eqnarray}
     \frac{u}{a \cos\phi} \DP{\bullet}{\lambda}
    + \frac{v}{a} \DP{\bullet}{\phi}
   & = &
    + \frac{u \cos \phi }{a \cos^2 \phi}\DP{\bullet}{\lambda}
    + \frac{v \cos \phi }{a \cos \phi } \DP{\bullet}{\phi}
      \nonumber \\
   & = &
    + \frac{U}{a (1-\mu^2)} \DP{\bullet}{\lambda} 
    + \frac{V}{a} \DP{\bullet}{\mu}
      \nonumber \\
   & \equiv &
    \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \bullet.
\end{eqnarray}
これらを用いて, 方程式系を次のように変数変換する. 

連続の式
\footnote{発散はすべて $D$ を用いて表現すべきだろう. }
\begin{equation}
  \DP{\pi}{t} + \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \pi 
    = -\Dgrad_{\sigma} \cdot \Dvect{v}_H - \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}.
\end{equation}
渦度方程式
\begin{eqnarray}
  \DP{\zeta}{t}
  &=& -\frac{1}{a}\DP{}{\mu} ( \zeta V )
      -\frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda} ( \zeta U )
      \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[   \dot{\sigma} \DP{V}{\sigma} 
                 + \frac{R^d T_v}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu}
                 - F_{\varphi} \cos \varphi + f U \right]  \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[   - \dot{\sigma} \DP{U}{\sigma} 
                 - \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\lambda}
                 + F_{\lambda} \cos \varphi + fV \right].
\end{eqnarray}
発散方程式
\begin{eqnarray}
        \DP{D}{t}
  & = &  \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda} ( \zeta V )
        -  \frac{1}{a} \DP{}{\mu} 
          ( \zeta U )
         \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[   \dot{\sigma} \DP{U}{\sigma} 
                 + \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\lambda}
                 - F_{\lambda} \cos \varphi - f V \right]  \nonumber \\
  &   & - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ \dot{\sigma} \DP{V}{\sigma} 
                 + \frac{R^d T_v}{a} ( 1-\mu^2 ) \DP{\pi}{\mu} 
                 - F_{\varphi} \cos \varphi + f U \right]
                                                \nonumber \\
  &   & - \nabla^2_{\sigma} ( \Phi + KE).
\end{eqnarray}
熱力学の式
\begin{eqnarray}
  \DP{T}{t}
    & = & - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \DP{UT}{\lambda}
          - \frac{1}{a}
               \DP{VT}{\mu}
          + T D \nonumber \\
    &   & - \dot{\sigma} 
              \DP{T}{\sigma}
          + \kappa T \left( \DP{\pi}{t}
                            + \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi 
                            + \frac{ \dot{\sigma} }{ \sigma } 
                     \right)
          + \frac{Q^*}{C_{p}}.
\end{eqnarray}
水蒸気の式
\begin{eqnarray}
  \DP{q}{t}
    & = & - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} 
               \DP{Uq}{\lambda}
          - \frac{1}{a}
               \DP{Vq}{\mu}
          + q D \nonumber \\
    &   & - \dot{\sigma} \frac{\partial q }{\partial \sigma}
          + S_{q}.
\end{eqnarray}

仮温度 $T_v$ を次のように $\sigma$ のみに依存する場 
$\bar{T}_v(\sigma)$ と, そこからのずれ成分 $T'_v$ にわけて記述する.

渦度方程式で $T_v$ を含む項は次のように変形される。
\begin{eqnarray}
  & & - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ + \frac{R^d T_v}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} \right]
    - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ - \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
  \nonumber \\
  & = &
    - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ + \frac{R^d \bar{T}_v}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} \right]
    - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ + \frac{R^d T'_v}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} \right]
     \nonumber \\
  & &
    - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ - \frac{R^d \bar{T}_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
    - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ - \frac{R^d T'_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
     \nonumber \\
  & = &  
    - \frac{1}{a} \frac{R^d \bar{T}_v}{a}
        \frac{\partial^2 \pi}{\partial \lambda \partial \mu}
    - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ + \frac{R^d T'_v}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} \right]
     \nonumber \\
  & &
    + \frac{1}{a} \frac{R^d \bar{T}_v}{a}
        \frac{\partial^2 \pi}{\partial \mu \partial \lambda}
    - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ - \frac{R^d T'_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
     \nonumber \\
  & = &  
    - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ + \frac{R^d T'_v}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} \right]
    - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ - \frac{R^d T'_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right].
\end{eqnarray}
発散方程式で $T_v$ を含む項は次のように変形される.
\begin{eqnarray}
 & & - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
     - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ \frac{R^d T_v}{a} ( 1-\mu^2 ) \DP{\pi}{\mu} \right]
  \nonumber \\
 & = &
     - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ \frac{R^d \bar{T}_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
     - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ \frac{R^d T'_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
  \nonumber \\
 &  & 
     - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ \frac{R^d \bar{T}_v}{a} ( 1-\mu^2 ) \DP{\pi}{\mu} \right]
     - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ \frac{R^d T'_v}{a} ( 1-\mu^2 ) \DP{\pi}{\mu} \right]
  \nonumber \\
 & = &
     - \frac{1}{a^2 (1-\mu^2)} \DP[2]{}{\lambda}
          ( R^d \bar{T}_v \pi ) 
     - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ \frac{R^d T'_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
  \nonumber \\
 &  & 
     - \frac{1}{a^2} \DP{}{\mu}
          \left[ (1-\mu^2) \DP{}{\mu} ( R^d \bar{T}_v \pi ) \right]
     - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ \frac{R^d T'_v}{a} ( 1-\mu^2 ) \DP{\pi}{\mu} \right]
  \nonumber \\
 & = &
     - \Dgrad^2_{\sigma} ( R^d \bar{T}_v \pi )
     - \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda}
          \left[ \frac{R^d T'_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
     - \frac{1}{a} \DP{}{\mu}
          \left[ \frac{R^d T'_v}{a} ( 1-\mu^2 ) \DP{\pi}{\mu} \right].
\end{eqnarray}
熱力学の式の右辺第1--3項は次のように変形される.
\begin{eqnarray}
 & &
   - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \DP{UT}{\lambda}
   - \frac{1}{a} \DP{VT}{\mu}
   + T D
 \nonumber \\
 & = &
   - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \DP{U \bar{T}}{\lambda}
   - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \DP{UT'}{\lambda}
   - \frac{1}{a} \DP{V \bar{T}}{\mu}
   - \frac{1}{a} \DP{VT'}{\mu}
   + \bar{T} D
   + T' D
 \nonumber \\
 & = &
   - \frac{\bar{T}}{a(1-\mu^{2})} \DP{U}{\lambda}
   - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \DP{UT'}{\lambda}
   - \frac{\bar{T}}{a} \DP{V}{\mu}
   - \frac{1}{a} \DP{VT'}{\mu}
   + \bar{T} \left[ \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \DP{U}{\lambda}
                    + \frac{\bar{1}}{a} \DP{V}{\mu}         \right]
   + T' D
 \nonumber \\
 & = &
   - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \DP{UT'}{\lambda}
   - \frac{1}{a} \DP{VT'}{\mu}
   + T' D.
\end{eqnarray}

以上を用いて程式系を記述すれば次のようになる.

連続の式
\begin{equation}
  \DP{\pi}{t} + \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \pi 
    = -\Dgrad_{\sigma} \cdot \Dvect{v}_H - \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}.
\end{equation}
静水圧の式
\begin{equation}
  \DP{\Phi}{\sigma} = - \frac{R^d T_v}{\sigma}.
\end{equation}
運動方程式\footnote{ (2005/4/4 石渡) $\zeta$ の式の右辺第一項の符号は正
しいか? $D$ の式の右辺第二項の符号は正しいか?}
\begin{equation}
  \DP{\zeta}{t}
  = -\frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{VA}{\lambda}
      -\frac{1}{a} \DP{UA}{\mu},
\end{equation}
\begin{equation}
  \DP{D}{t}
  = \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{UA}{\lambda}
    -  \frac{1}{a} \DP{VA}{\mu} 
    - \Dgrad^2_{\sigma} ( \Phi + R \bar{T}_v \pi + KE ).
\end{equation}
ここで, 
\begin{eqnarray} 
 UA & \equiv &  ( \zeta + f ) V 
             - \dot{\sigma} \DP{U}{\sigma} 
             - \frac{RT'}{a} 
                  \DP{\pi}{\lambda} 
             + F_{\lambda} \cos \varphi \\
 VA & \equiv & - ( \zeta + f ) U 
             - \dot{\sigma} \DP{V}{\sigma} 
             - \frac{RT'}{a} ( 1 - \mu^{2} ) 
                  \DP{\pi}{\mu}
             + F_{\varphi} \cos \varphi.
\end{eqnarray}
熱力学の式
\begin{eqnarray}
  \DP{T}{t}
    & = & - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} \DP{UT'}{\lambda}
          - \frac{1}{a} \DP{VT'}{\mu}
          + T' D
          - \dot{\sigma} 
              \DP{T}{\sigma}
                    \nonumber \\
    & & \qquad
          + \kappa T \left( \DP{\pi}{t}
                            + \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi 
                            + \frac{ \dot{\sigma} }{ \sigma } 
                     \right)
          + \frac{Q^*}{C_p^d}.
\end{eqnarray}
水蒸気の式
\begin{equation}
  \DP{q}{t}
    = - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} 
               \DP{Uq}{\lambda}
          - \frac{1}{a}
               \DP{Vq}{\mu}
          + q D 
       - \dot{\sigma} \frac{\partial q }{\partial \sigma}
          + S_{q}.
\end{equation}

式(\ref{内部エネルギー}) で導入した $Q^*$ から粘性による寄与 
$c_p \mathcal{D}(\Dvect{v})$ を再び分離し, 
$Q^*=Q+c_p \mathcal{D}(\Dvect{v})$ とする. 一般に粘
性は運動方程式において適当なパラメタリゼーションによって表現する. また, 
渦度, 発散, 温度, 水蒸気の式に対してそれぞれ水平拡散項 $\mathcal{D}(\zeta)$,
$\mathcal{D}(D)$, $\mathcal{D}(T)$, $\mathcal{D}(q)$ をつける. 
この項の付加は主に数値的安定性の要請
によるものであるが, 物理的には後で行なう離散化のスケール以下の運動を表
現していると解釈できる. 最後に, 乾燥大気の気体定数および定圧比熱 
$R^d$, $c_p$ をそれぞれ $R$, $c_p$ のようにあらためて置きなおせば, 支
配方程式系 (\ref{質量}) --- (\ref{水蒸気}) を得る.