% ɽ��   dcpam5-primitive �ϳز����λ�����������Ƴ�� -- �����������Ϥ�Ƴ��
%
% ���� 
%\Drireki{2010/08/11 �ݹ�����}
%\Drireki{2008/06/15 ��������}
%\Drireki{1997/04/15 ���ٹ���}
%\Drireki{1994/04/13 ��������}
%

\section{�����������Ϥ�Ƴ��}

�������Ϥ� 5 �ܤ�ͽ���������� 1 �ܤο�������������ʤ�. ͽ����������, 
�����̤�Ϣ³�μ�, ��ư������(3 ��ʬ), Ǯ�ϳؤμ�����ʤ�. 
������, ���줾��, ��������¸§, �����̤˴ؤ��뱿ư����¸§, 
�����̤˴ؤ��������ͥ륮����¸§����Ƴ�Ф���. �����������ˤ�, 
���۵��Τξ������������Ѥ���

% ��������: ������Ͽ��Ǥ�Ƴ�Ф��Թ��, ��������ε�������� $R^d$, 
% �갵��Ǯ�� $C_p^d$, ���絤�ε�������� $R$ �Ȥ���. 
% ������, ��ǥ�μ����ˤĤ��Ƶ������̻�
% ��\htmladdnormallinkfoot{�����������ϤȤ���Υ����}
% {http://www.gfd-dennou.org/library/dcpam/dcpam5/dcpam5\_current/doc/basic\_equations/htm/basic\_equations.htm}��
% �Ρ��ϳز�����
% �Ǥ�, ��������ε�������� $R$, �갵��Ǯ�� $C_p$ ��ɽ�����Ƥ���
% �Τ�α�դ�����������. 

\subsection{����������}

1��ʬ���۵��Τξ����������Ϥ��줾��
    \begin{align}
       \Deqlab{����������}
       p & = \rho R T, 
    \end{align}
�Ǥ���. ������$p$ �ϰ���, $\rho$��̩��, $R$�ϵ������, $T$�ϲ��٤Ǥ���. 

\subsection{Ϣ³�μ�}

���絤�μ�����¸§��, 
    \begin{align}
        \DP{\rho}{t}
      + \DP{}{x_j}( \rho v_j )
      = 0.
      \Deqlab{���絤���̥ե�å���}
    \end{align}
������, $v$����®�Ǥ���. 
�饰��󥸥�����ǵ��Ҥ����, 
    \begin{align}
        \DD{\rho}{t}
      + \rho \Ddiv \Dvect{v}
      = 0.
    \end{align}

\subsection{��ư������}

��ư����¸§�ϼ��Τ褦�˽񤱤�.
    \begin{align}
        \DP{}{t}(\rho v_i)
      + \DP{}{x_j}( \rho v_i v_j )
      + \DP{p}{x_i} 
      - \DP{\sigma_{ij}}{x_j}
      + \rho \DP{\Phi^*}{x_i}
     = {\cal F}_i^{\prime}.
     \Deqlab{��ư�̥ե�å���}
    \end{align}
%
������, $\sigma_{ij}$ ��Ǵ�����ϥƥ󥽥�, $\Phi^*$ ������
�ΰ��Ϥˤ��ݥƥ󥷥��
    \footnote{
        ����ϱ��Ϥ��θ���ʤ������μ��̤ˤΤߵ���
        �����ݥƥ󥷥��.},
${\cal F}_i^{\prime}$ �Ϥ���¾�γ��Ϲ�Ǥ���. ���뤤��Ϣ³�μ�
���Ѥ��ƥ饰��󥸥�����ǵ��Ҥ����
    \begin{align}
        \rho \DD{v_i}{t}
      + \DP{p}{x_i}
      - \DP{\sigma_{ij}}{x_j}
      + \rho \DP{\Phi^*}{x_i}
     = {\cal F}_i^{\prime }
    \end{align}
�Ȥʤ�. ������, Ǵ����ȳ��Ϲ�� ${\cal F}_i$ �Ȥ���, ����˥٥��ȥ�ɽ������.
    \begin{align}
        \rho \DD{\Dvect{v}}{t}
      + \Dgrad p
      + \rho \Dgrad \Phi^*
     = \Dvect{\cal F}.
    \end{align}

\subsection{Ǯ�ϳؤμ�}

ñ�̼��̤�����������ͥ륮����, ��ư���ͥ륮�� $\Dvect{v}^2/2$ ��������
�ͥ륮�� $\varepsilon$ ����ӥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮�� $\Phi^*$ ���¤�ɽ
�������. ���λ����Ѳ�Ψ�μ���, 
    \begin{align}
            \DP{}{t} 
             \left[ \rho 
                   \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                 + \varepsilon + \Phi^* \right) \right]
         + \DP{}{x_j} \left[ 
             \rho 
               \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                    + \varepsilon + \Phi^* \right)v_j
                    + p v_j - \sigma_{ij}v_i  
            \right]
      =  \rho Q + {\cal F}_i^{\prime} v_i
      \Deqlab{�����ͥ륮���ե�å���}
    \end{align}
�Ǥ���. ������, $Q$ �ϳ�������β�ǮΨ�Ǥ���. ����, ��ư���ͥ륮���ȥ�
�ƥ󥷥�륨�ͥ륮�����¤���¸����, ��ư����¸�� \Deqref{��ư�̥ե�å�
��} �� $v_i$ �򤫤�, Ϣ³�μ����Ѥ����ѷ����뤳�Ȥ�������
    \footnote{
        Ƴ�Фβ����򼨤�. ������1�����2��ϼ��Τ褦���ѷ������. 
            \begin{align}
              v_i \DP{}{t} ( \rho v_i ) 
                     + v_i \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i )
              & =   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 ) 
                     + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )
                     - \rho \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  v_i^2 \right) 
                     - \rho v_j \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \right)
                      \nonumber \\
              & =   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 )
                     + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )  
                     - \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  \rho v_i^2 \right)  
                     - \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \rho v_j \right)
                       \nonumber \\ 
              & \quad
                     + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{\rho}{t}
                     + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{}{x_j} ( \rho v_j )  \nonumber \\
              & =   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)  
                     + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 )
                     + \frac{1}{2} v_i^2  
                       \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} ( \rho v_j ) \right\}
                      \nonumber  \\
              & =   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)
                     + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 ).  \nonumber 
            \end{align}
        �ޤ�, ������5��ϼ��Τ褦���ѷ������.
	�ѷ��κݤˤ� $\DP{\Phi^*}{t}=0$ �Ǥ���Ȥ��Ƥ���. 
            \begin{align}
              v_i \rho \DP{\Phi^*}{x_i} 
               & = \Phi^* \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_i}(\rho v_i) \right\} 
                      + \rho \DP{\Phi^*}{t}
                      + v_i \rho \DP{\Phi^*}{x_i} \nonumber \\
               & = \DP{}{t} ( \rho \Phi^* )
                      + \DP{}{x_i} ( \rho \Phi^* v_i ). \nonumber 
            \end{align}
    }.
    \begin{align}
       \Deqlab{��ư�ȥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���ե�å���}
          \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 + \rho \Phi^* \right) 
        + \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} \rho v_j \Dvect{v}^2
                            + \rho \Phi^* v_j
                            + p v_j - \sigma_{ij} v_i \right)
     =  p \DP{v_j}{x_j} - \sigma_{ij} \DP{v_i}{x_j} + {\cal F}_i^{\prime} v_i .
    \end{align}
������, �ѷ��κݤˤ� $\DP{\Phi^*}{t}=0$ �Ǥ���Ȥ��Ƥ���. 
\Deqref{�����ͥ륮���ե�å���}��
\Deqref{��ư�ȥݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���ե�å���}
�Ȥκ���Ȥ��, ���Τ褦���������ͥ륮���μ���������.
    \begin{align}
       \DP{}{t} ( \rho \varepsilon )
         + \DP{}{x_j} ( \rho \varepsilon v_j )
       =  - p \DP{v_j}{x_j} + \sigma_{ij} \DP{v_i}{x_j}
         + \rho Q .
    \end{align}
Ϣ³�μ����Ѥ��ƥ饰��󥸥�����˽�ľ����
    \begin{align}
     \Deqlab{�������ͥ륮��}
       \rho \DD{\varepsilon}{t} 
      =   \frac{p}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)
        + \rho Q.
    \end{align}
�ʹߤǤ�, ��������β�Ǯ�ι��Ǵ���ˤ���Ǯ�ι��
�ޤȤ�� $Q^*$ �Ȥ������ȤȤ���.

�������ͥ륮�����٤��Ѥ���ɽ������� $\varepsilon = C_v T$ �Ǥ���.
$C_v$���갵��Ǯ�Ǥ���. 
����˾��������� \Deqref{����������} ���Ѥ���\Deqref{�������ͥ륮��}
���ѷ�����. $C_p = C_v + R$ �Ǥ��뤳�Ȥ����դ����
    \begin{align}
        \DD{C_p  T}{t} = \frac{1}{\rho} \DD{p}{t} + Q^*,
    \end{align}
�Ȥʤ�. �������ä�, ����Ǯ�ϳؤμ�������. 
\begin{align}
 \DD{T}{t}  =  \frac{1}{C_p \rho} \DD{p}{t} + \frac{Q^*}{C_p}.
\end{align}
