% ɽ��   dcpam5-primitive  �ϳز����λ�����������Ƴ�� -- ��ǥ����������
%
% ���� 
%\Drireki{2010/08/11 �ݹ�����}
%\Drireki{2009/03/03 ��������}
%\Drireki{2008/06/16 ��������}
%\Drireki{2008/03/25 �������硦��������}
%\Drireki{1997/04/15 ���ٹ���}
%\Drireki{1994/04/13 ��������}
%

\section{��ǥ����������}
\Dseclab{��ǥ����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������}

���٤������ƷǤ���. 
    \begin{align}
      \zeta \equiv  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
                  - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi).
    \end{align}


��ư�������� $u$ �μ�
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�ץ�ߥƥ���}
��$\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \cos \varphi$ �� 
���Ѥ�, $v$ �μ�
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�ץ�ߥƥ���}
�� $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}$ �� 
���Ѥ�, ����ξ���κ���Ȥä��ѷ�����м��α���������������. 
    \begin{align}
      \Deqlab{�������������}
          \DP{\zeta}{t}
      & = - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} 
            ( \zeta v \cos  \varphi )
          -  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} 
            ( \zeta u )                \nonumber \\
      & \quad
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
            \left[   \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
                   + \frac{R T}{a} \DP{\pi}{\varphi}
                   - {\cal F}_{\varphi} + f u \right]  \nonumber \\
      & \quad
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
            \left[   - \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
                  - \frac{R T}{a} \DP{\pi}{\lambda}
                  + {\cal F}_{\lambda} \cos \varphi + f v \cos \varphi \right].
    \end{align}

(����) \hspace{1cm}
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�ץ�ߥƥ���}, 
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�ץ�ߥƥ���}�Τ��줾�캸����1���,
\Deqref{�饰��󥸥���ʬ�Һ�ɸ}, \Deqref{�ҥɥå����}
���Ѥ���Ÿ������Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ�.
    \begin{align}
      \Deqlab{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�饰��󥸥�}
           \DP{u}{t}
         + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
         + \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi}
         + \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma}
         - fv
         - \frac{uv}{a} \tan \varphi
     & = - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda}
         - \frac{R T}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
         + {\cal F}_{\lambda} ,
     \\
      \Deqlab{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�饰��󥸥�}
           \DP{v}{t}
         + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
         + \frac{v}{a}              \DP{v}{\varphi}
         + \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma}
         + fu
         + \frac{u^2}{a} \tan \varphi
     & = - \frac{1}{a}              \DP{\Phi}{\varphi}
         - \frac{R T}{a}  \DP{\pi}{\varphi}
         + {\cal F}_{\varphi}.
    \end{align}
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�饰��󥸥�}
�� $\DP{}{\lambda}$ ����Ѥ���������
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�饰��󥸥�}
�� $\DP{}{\varphi} \cos \varphi$ �� 
���Ѥ�������������Ȥ�,
    \begin{align}
     \Deqlab{����������Ƴ�Фβ���1}
      & \quad
           \DP{}{\lambda} \left( \DP{v}{t} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a}              \DP{v}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{5em}
         + \DP{}{\lambda} \left( fu \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u^2}{a} \tan \varphi \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{1}{a}              \DP{\Phi}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{R T}{a}  \DP{\pi}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( {\cal F}_{\varphi} \right)
      \nonumber \\
      & 
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{u}{t} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{u}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{5em}
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi fv \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \frac{uv}{a} \sin \varphi \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \frac{1}{a} \DP{\Phi}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \frac{R T}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi {\cal F}_{\lambda} \right)
      = 0 .
    \end{align}
\Deqref{����������Ƴ�Фβ���1}��$\Phi$�˴ؤ���
�� (������7�����16��) ���Ǥ��ä����äƾä���.
����¾�ι�ϰʲ��Τ褦�����������.

������ʬ�ι� (��1�����10��): 
    \begin{align}
     \Deqlab{����������Ƴ�Фβ�����������ʬ�ι������}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \DP{v}{t} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{u}{t} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{t} \left\{ \DP{v}{\lambda} \right\}
         - \DP{}{t} \left\{ \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right) \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{t}
             \left\{
                 \DP{v}{\lambda}
               - \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           a \cos \varphi \DP{\zeta}{t}. 
    \end{align}

®�٤�2����ʿ��ʬ�ιऽ��1 (��3, 12, 15��):
    \begin{align}
     \Deqlab{����������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����1������}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a}              \DP{v}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \frac{uv}{a} \sin \varphi \right)
     \nonumber \\
     = &
           \frac{1}{a} \DP{v}{\lambda} \DP{v}{\varphi}
         + \frac{v}{a} \DP{{}^2 v}{\varphi \partial \lambda} 
         - \DP{}{\varphi}
             \left\{ \frac{v}{a} 
               \left(
                   \cos \varphi \DP{u}{\varphi}
                 + u            \DP{\cos \varphi}{\varphi}
               \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{v}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi}
             \left\{ \frac{v}{a}
               \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi}
             \left\{
               \left(
                   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
                 - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
               \right)
                 v \cos \varphi
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \zeta v \cos \varphi \right) .
    \end{align}


®�٤�2����ʿ��ʬ�ιऽ��2 (��2, 6, 11��):
    \begin{align}
     \Deqlab{����������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����2������}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u^2}{a} \tan \varphi \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{u}{\lambda} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u^2}{a} \tan \varphi \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a} \DP{u}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda}
             \left\{
               \frac{u}{a \cos \varphi}
                 \left(
                     u \sin \varphi
                   - \cos \varphi  \DP{u}{\varphi}
                 \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda}
             \left\{
               \frac{u}{a \cos \varphi}
                 \left(
                   - u \DP{\cos \varphi}{\varphi}
                   - \cos \varphi  \DP{u}{\varphi}
                 \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\lambda}
             \left\{
               \frac{u}{a \cos \varphi}
                 \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \zeta u \right) .
    \end{align}
������, 2 ���ܤ���3����ѷ��ˤ�, 
\Deqref{����������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����1������}��
2, 3 ���ܤ���1����Ф����Ѥ����ѷ����Ѥ���. 

\Deqref{����������Ƴ�Фβ���1}��
\Deqref{����������Ƴ�Фβ�����������ʬ�ι������}, 
\Deqref{����������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����1������}, 
\Deqref{����������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����2������}
���Ѥ���������, ξ�դ� $\frac{1}{a \cos \varphi}$ ��ݤ��뤳�Ȥ�,
\Deqref{�������������}��������. 

\hspace{12cm}
(��������)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{ȯ��������}

ȯ���������ƷǤ���. 
    \begin{align}
      D \equiv   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
               + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi).
    \end{align}

��ư�������� $u$ �μ�
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�ץ�ߥƥ���}
�� $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}$ ����Ѥ�, $v$ �μ�
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�ץ�ߥƥ���}
�� $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \cos \varphi$ ����Ѥ�,
ξ�����¤�Ȥä��ѷ�����ȼ���ȯ��������������. 
    \begin{align}
      \Deqlab{ȯ�����������}
          \DP{D}{t}
      & = \quad
            \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} 
            ( \zeta v )
          -  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} 
            ( \zeta u \cos \varphi)                \nonumber \\
      & \quad
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
            \left[   \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
                   + \frac{R T}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
                   - {\cal F}_{\lambda} - f v \right]  \nonumber \\
      & \quad
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
            \left[    \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
                   + \frac{R T}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi}
                   - {\cal F}_{\varphi} \cos \varphi + f u \cos \varphi \right]
                                                  \nonumber \\
      & \quad
          - \nabla^2_{\sigma} ( \Phi + KE).
    \end{align}
������, 
    \begin{align}
           \nabla^2_{\sigma} 
      & =   \frac{1}{a^2 \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
          + \frac{1}{a^2 \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
              \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right),   \\
            KE 
      & = \frac{u^2 + v^2}{2}.
    \end{align}

(����) \hspace{1cm}
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�饰��󥸥�}
�� $\DP{}{\lambda}$ ����Ѥ�������
\Deqref{��ư������(����)�ΦҺ�ɸ�饰��󥸥�}
�� $\DP{}{\varphi} \cos \varphi$ ����Ѥ������Ȥ��¤�Ȥ뤳�Ȥ�,
    \begin{align}
     \Deqlab{ȯ��������Ƴ�Фβ���1}
      & \quad
           \DP{}{\lambda} \left( \DP{u}{t} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{5em}
         - \DP{}{\lambda} \left( fv \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{uv}{a} \tan \varphi \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{R T}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( {\cal F}_{\lambda} \right)
     \nonumber \\
      &
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{v}{t} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{v}{a}              \DP{v}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{5em}
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi fu \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \sin \varphi \frac{u^2}{a} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{1}{a}              \DP{\Phi}{\varphi} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{10em}
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{R T}{a}  \DP{\pi}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi {\cal F}_{\varphi} \right)
     = 0 .
    \end{align}
���μ��ϰʲ��Τ褦�����������. 

������ʬ�ι� (��1�����10��):
    \begin{align}
     \Deqlab{ȯ��������Ƴ�Фβ�����������ʬ�ι������}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \DP{u}{t} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{v}{t} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{t} \left\{ \DP{u}{\lambda} \right\}
         + \DP{}{t} \left\{ \DP{}{\varphi} \left( v \cos \varphi \right) \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{t}
             \left\{
                 \DP{u}{\lambda}
               + \DP{}{\varphi} \left( v \cos \varphi \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           a \cos \varphi \DP{D}{t}. 
    \end{align}

$\Phi$�˴ؤ���� (��7�����16��):
    \begin{align}
     \Deqlab{ȯ��������Ƴ�Фβ��������ι������}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{1}{a}              \DP{\Phi}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           a \cos \varphi
           \left\{
              \frac{1}{a^2 \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
            + \frac{1}{a^2 \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
                \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right)
           \right\} \Phi
     \nonumber \\
     = &
         a \cos \varphi \ \nabla^2_{\sigma} \Phi .
    \end{align}

®�٤�2����ʿ��ʬ�ιऽ��1 (��2, 12��):
    \begin{align}
     \Deqlab{ȯ��������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����1������}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{v}{a} \DP{v}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \frac{1}{2 a \cos \varphi} \DP[2]{u^2}{\lambda}
         + \frac{1}{2a} \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{v^2}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \left\{
              \frac{1}{a \cos \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
            + \frac{1}{a} \DP{}{\lambda} \left( \cos \varphi \DP{}{\lambda} \right)
           \right\}
           \left( \frac{u^2 + v^2}{2} \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{u}{a} \DP{u}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           a \cos \varphi \ \nabla^2_{\sigma} KE
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{u}{a} \DP{u}{\varphi} \right) .
    \end{align}
��2�����3��ˤĤ��Ƥ�, ����ʹߤι�������κݤ˺��о줹��. 

®�٤�2����ʿ��ʬ�ιऽ��2 (��3, 6��,
\Deqref{ȯ��������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����1������}����2��):
    \begin{align}
     \Deqlab{ȯ��������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����2������}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{uv}{a} \tan \varphi \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda}
           \left\{
               \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
           \right\}
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
     \nonumber \\
     = &
         - \DP{}{\lambda}
           \left\{
               v
               \left(
                   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
                 - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
               \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
         - \DP{}{\lambda} (\zeta v) . 
    \end{align}

®�٤�2����ʿ��ʬ�ιऽ��3 (��11, 15��,
\Deqref{ȯ��������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����1������}����3��):
    \begin{align}
     \Deqlab{ȯ��������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����3������}
       & 
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \sin \varphi \frac{u^2}{a} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{u}{a} \DP{u}{\varphi} \right) 
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi}
           \left\{
             \frac{u}{a}
             \left(
                 u \sin \varphi
               - \cos \varphi \DP{u}{\varphi}
             \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi}
           \left\{
             \frac{u}{a}
             \left(
                 u \DP{\cos \varphi}{\varphi}
               + \cos \varphi \DP{u}{\varphi}
             \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi}
           \left\{
             \frac{u}{a} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi}
           \left\{
             u \cos \varphi
             \left(
                 \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
               - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
             \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \zeta u \cos \varphi \right) .
    \end{align}

\Deqref{ȯ��������Ƴ�Фβ���1}��
\Deqref{ȯ��������Ƴ�Фβ�����������ʬ�ι������}, 
\Deqref{ȯ��������Ƴ�Фβ��������ι������}, 
\Deqref{ȯ��������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����1������}, 
\Deqref{ȯ��������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����2������}, 
\Deqref{ȯ��������Ƴ�Фβ�����®�٤�2����ʿ��ʬ����3������}
���Ѥ���������, ξ�դ� $\frac{1}{a \cos \varphi}$ ��ݤ��뤳�Ȥ�,
\Deqref{ȯ�����������}��������. 

\hspace{12cm}
(��������)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Ǯ�ϳؤμ�}
%\vspace{-5ex}

\Deqref{Ǯ�ϳؤμ��Һ�ɸ}���
%
\begin{align}
 \begin{split}
%   \DD{T}{t}
%    \ &= \
%            \frac{R^d T_v}{C_p^d}
%            \left\{   \DP{\pi}{t} 
%                    + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} \pi
%                    + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma}
%            \right\}
%          + \frac{Q^*}{C_p^d}, \\
   \DP{T}{t}
    \ &= \
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \DP{(u T)}{\lambda}
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \DP{(v T \cos \varphi)}{\varphi}
          + T D \\
    \ & \ \quad
       - \dot{\sigma} 
              \DP{T}{\sigma}
       + \kappa T
           \left(
                   \DP{\pi}{t}
                 + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
                 + \frac{v}{a} \DP{\pi}{\varphi}
                 + \frac{ \dot{\sigma} }{ \sigma } 
           \right)
       + \frac{Q^{*}}{C_p} .
 \end{split}
\end{align}
%
������,
%
\begin{align}
  \kappa = \frac{R}{C_p}
\end{align}
%
�Ǥ���. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{���٤δ��ܾ�Ȥ����ʬΥ}

���� $T$ �򼡤Τ褦�� $\sigma$ �Τߤ˰�¸����� 
$\overline{T}(\sigma)$ ��, ��������Τ�����ʬ $T'$ �ˤ櫓�Ƶ��Ҥ���.

������������ $T$ ��ޤ��ϼ��Τ褦���ѷ�����롣
    \begin{align}
        & 
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R T}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
          + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R T}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \nonumber \\
      = &
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d \overline{T}}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
        \nonumber \\
        & 
          + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R \overline{T}}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
          + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \nonumber \\
      = &
        - \frac{1}{a \cos \varphi}
        \left\{
            \frac{R \overline{T}}{a} \DP{{}^2 \pi}{\lambda \partial \varphi}
          + \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
          - \frac{R \overline{T}}{a} \DP{{}^2\pi}{\varphi \partial \lambda}
          - \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \right\}
        \nonumber \\
      = &
        - \frac{1}{a \cos \varphi}
        \left\{
            \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
          - \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \right\} .
    \end{align}
%
ȯ���������� $T$ ��ޤ��ϼ��Τ褦���ѷ������.
    \begin{align}
        & 
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R T}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R T}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right]
        \nonumber \\
      = &
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R \overline{T}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \nonumber \\
        & 
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R \overline{T}}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right]
        \nonumber \\
      = &
          - \frac{1}{a^2 \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
              \left( R \overline{T} \pi \right)
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \nonumber \\
        & 
          - \frac{1}{a^2 \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \cos \varphi \DP{}{\varphi} \left( R \overline{T} \pi \right) \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right]
        \nonumber \\
      = &
          - \nabla_{\sigma}^2 \left( R \overline{T} \pi \right)
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R T^{\prime}}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right] .
    \end{align}
%
������
    \begin{align}
      \nabla_{\sigma}^{2}
            & \equiv 
                    \frac{1}{a^{2} \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda} 
                  + \frac{1}{a^{2} \cos \varphi}
                     \DP{}{\varphi}
                       \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right)
    \end{align}
���Ѥ���.

Ǯ�ϳؤμ��Ǥ�, ���� $T$ �� $\sigma$ �Τߤ˰�¸����� 
$\overline{T}(\sigma)$ ��, ��������Τ�����ʬ $T'$ �ˤ櫓�Ƶ��Ҥ���. 
���ʤ��, ������1--3��ϼ��Τ褦���ѷ������.
    \begin{align}
      & \quad
        - \Dinv{a \cos \varphi} \DP{(u T)}{\lambda}
        - \Dinv{a \cos \varphi} \DP{(v T \cos \varphi)}{\varphi}
        + T D
          \nonumber \\
      & =
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \left\{
                  \DP{(u \overline{T})}{\lambda}
                + \DP{(u T^{\prime})}{\lambda}
                + \DP{(v \overline{T} \cos \varphi)}{\varphi}
                + \DP{(v T^{\prime} \cos \varphi)}{\varphi}
              \right\}
          + \overline{T} D 
          + T^{\prime} D 
          \nonumber \\
      & =
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \left\{
                  \overline{T} \DP{u}{\lambda}
                + \DP{(u T^{\prime})}{\lambda}
                + \overline{T} \DP{(v \cos \varphi)}{\varphi}
                + \DP{(v T^{\prime} \cos \varphi)}{\varphi}
              \right\}
          \nonumber \\
      & \qquad \qquad
          + \overline{T}
              \left[
                  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
                + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)
              \right]
          + T^{\prime} D 
          \nonumber \\
      & =
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \DP{(u T^{\prime})}{\lambda}
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \DP{(v T^{\prime} \cos \varphi)}{\varphi}
          + T^{\prime} D .
    \end{align}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{�ѿ��Ѵ�}

�����������Ϥˤ������ѿ���, ��ǥ��������Ѥ��Ƥ����ѿ����Ѵ�����. �ޤ�,
$\mu \equiv \sin \varphi$ ��Ƴ������. �ޤ�®�پ� $u, v$ ��$U \equiv u
\cos \varphi$, $V \equiv \cos \varphi$ ���Ѵ�����.
���ΤȤ�, ��ʿ���α��� $\zeta$ ��ȯ�� $D$ �ϼ��Τ褦��
�Ѵ�����, ����ɽ���򤢤餿��� $\zeta$ ����� $D$ ���������.
    \begin{align}
    \zeta & =   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
         - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi)
       \nonumber \\
       & =   \frac{1}{a \cos^2 \varphi} \DP{v \cos \varphi}{\lambda}
           - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi)
       \nonumber \\
       & =   \frac{1}{a ( 1- \mu^2 )} \DP{V}{\lambda}
           - \frac{1}{a} \DP{U}{\mu},
    \end{align}
    \begin{align}
    D & =   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
         + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)
       \nonumber \\
      & =   \frac{1}{a \cos^2 \varphi} \DP{u \cos \varphi}{\lambda}
         + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)
       \nonumber \\
      & =   \frac{1}{a ( 1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda}
         + \frac{1}{a} \DP{V}{\mu}.
    \end{align}
%
��ʿ���ˤ���ή�ϼ��Τ褦���Ѵ������.
%
    \begin{align}
     \Deqlab{�դȣ֤��Ѥ�����ή��ɽ��}
        \frac{u}{a \cos\varphi}\DP{\bullet}{\lambda}
        + \frac{v}{a} \DP{\bullet}{\varphi}
       & =  
          \frac{1}{a \cos^2 \varphi}
            \left\{ \DP{}{\lambda} (u \cos \varphi \bullet)
                 - \bullet \DP{}{\lambda} ( u \cos \varphi ) \right\}
          \nonumber \\
       & \quad
        + \frac{1}{a \cos \varphi}
            \left\{ \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi \bullet)
                 - \bullet \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi ) \right\}
          \nonumber \\
       & =  
          \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda} (U\bullet)
         -\frac{\bullet}{a (1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda}
         +\frac{1}{a} \DP{}{\mu} (V\bullet)
         -\frac{\bullet}{a} \DP{V}{\mu}
          \nonumber \\
       & =  
          \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda} (U\bullet)
         +\frac{1}{a} \DP{}{\mu} (V\bullet)
         -\bullet D.
    \end{align}
��ʿ���ˤ���ή�Τ⤦�ҤȤĤε��Ҥ�Ϣ³�μ����Ѵ��Τ���˼���.
    \begin{align}
         \frac{u}{a \cos\varphi} \DP{\bullet}{\lambda}
        + \frac{v}{a} \DP{\bullet}{\varphi}
       & =  
          \frac{u \cos \varphi }{a \cos^2 \varphi}\DP{\bullet}{\lambda}
        + \frac{v \cos \varphi }{a \cos \varphi } \DP{\bullet}{\varphi}
          \nonumber \\
       & =  
          \frac{U}{a (1-\mu^2)} \DP{\bullet}{\lambda} 
        + \frac{V}{a} \DP{\bullet}{\mu}
          \nonumber \\
       & \equiv 
        \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \bullet.
    \end{align}
%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{��ǥ�����������κǽ���}
\Dseclab{��ǥ����������--����������}

�ʾ���Ѥ����������Ϥ򵭽Ҥ���м��Τ褦�ˤʤ�.

Ϣ³�μ�
    \begin{align}
      \DP{\pi}{t} + \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \pi 
        = - D - \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}.
    \end{align}
�ſ尵�μ�
    \begin{align}
      \DP{\Phi}{\sigma} = - \frac{R T}{\sigma}.
    \end{align}
��ư������
    \begin{align}
      \DP{\zeta}{t} 
         \ &= \ \Dinv{a}
               \left( \Dinv{1-\mu^2} \DP{V_A}{\lambda} - \DP{U_A}{\mu} \right), \\
%      \DP{\zeta}{t} 
%         \ &= \ \Dinv{a \cos \varphi}
%               \left\{ \DP{v_A}{\lambda} - \DP{(u_A \cos \varphi)}{\varphi} \right\}, \\
      \DP{D}{t} 
         \ &= \ \Dinv{a}
               \left( \Dinv{1-\mu^2} \DP{U_A}{\lambda} + \DP{V_A}{\mu} \right)
              - \nabla^{2}_{\sigma}
               ( \Phi + R \overline{T} \pi + \mbox{\sl KE} ) .
%      \DP{D}{t} 
%         \ &= \ \Dinv{a \cos \varphi}
%               \left\{ \DP{u_A}{\lambda} + \DP{(v_A \cos \varphi)}{\varphi} \right\}
%              - \nabla^{2}_{\sigma}
%               ( \Phi + R \overline{T} \pi + \mbox{\sl KE} ) .
    \end{align}
������,
     \begin{align}
        U_A\ (\varphi, \lambda, \sigma)
                    & \equiv
                          ( \zeta + f ) V
                        - \dot{\sigma} \DP{U}{\sigma} 
                        - \frac{R T^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\lambda} 
                        + {\cal F}_{\lambda} \cos \varphi, \\
%        u_A\ (\varphi, \lambda, \sigma)
%                    & \equiv
%                          ( \zeta + f ) v 
%                        - \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
%                        - \frac{R T^{\prime}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} 
%                        + {\cal F}_{\lambda}, \\
%
        V_A\ (\varphi, \lambda, \sigma)
                    & \equiv
                        - ( \zeta + f ) U
                        - \dot{\sigma} \DP{V}{\sigma} 
                        - \frac{R T^{\prime}}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} 
                        + {\cal F}_{\varphi} \cos \varphi .
%        v_A\ (\varphi, \lambda, \sigma)
%                    & \equiv
%                        - ( \zeta + f ) u 
%                        - \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
%                        - \frac{R T^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\varphi} 
%                        + {\cal F}_{\varphi} .
     \end{align}
Ǯ�ϳؤμ�
    \begin{align}
      \begin{split}
        \DP{T}{t}
        \ &= \
              - \Dinv{a}
                 \left(  \Dinv{1-\mu^2} \DP{U T'}{\lambda}
                        + \DP{V T'}{\mu}
                 \right)
              + T^{\prime} D \\
%        \ &= \
%              - \Dinv{a \cos \varphi}
%                 \left\{  \DP{(u T')}{\lambda}
%                        + \DP{(v T' \cos \varphi)}{\varphi}
%                 \right\}
%              + T^{\prime} D \\
        \ & \ \quad
           - \dot{\sigma} 
                  \DP{T}{\sigma}
           + \kappa T
               \left(
                       \DP{\pi}{t}
                     + \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \pi 
%                     + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
%                     + \frac{v}{a} \DP{\pi}{\varphi}
                     + \frac{ \dot{\sigma} }{ \sigma } 
               \right)
           + \frac{Q^{*}}{C_p} .
      \end{split}     
    \end{align}

\Deqref{�������ͥ륮��}��Ƴ������ $Q^*$ ����Ǵ���ˤ���Ϳ 
$C_p \mathcal{D}(\Dvect{v})$ ��Ƥ�ʬΥ��, 
$Q^*=Q+C_p \mathcal{D}(\Dvect{v})$ �Ȥ���. 
���̤�Ǵ���ϱ�ư�������ˤ�����Ŭ���ʥѥ�᥿�ꥼ�������ˤ�ä�ɽ������. 
�ޤ�, ����, ȯ��, ����, ������μ����Ф��Ƥ��줾��
��ʿ�Ȼ��� $\mathcal{D}(\zeta)$, $\mathcal{D}(D)$, $\mathcal{D}(T)$, 
$\mathcal{D}(q)$ ��Ĥ���. 
���ι���ղäϼ�˿���Ū������������
�ˤ���ΤǤ��뤬, ʪ��Ū�ˤϸ�ǹԤʤ�Υ�����Υ�������ʲ��α�ư��ɽ
�����Ƥ���Ȳ��Ǥ���. 
�ʾ�� \Dmodelp ���ϳز����λ����������Ϥ�����.

