\underline{灰色大気の放射対流平衡目次 1}

灰色大気の放射対流平衡

小高正嗣

97/02/08

目次

1 対流不安定 2 2 放射平衡大気の安定性 5 3 放射対流平衡 6 4 計算法 7 5 参考文献 10

\underline{2  灰色大気の放射対流平衡  1 対流不安定}

1 対流不安定

重力場中で鉛直方向に成層している流体は, ある条件が満たされると鉛直方向の微小変移に対して不安定となってしまう. ここでは力学的に平衡状態にある流体が不安定になる条件について考察する. 次のような場合を考える.

• 重力場中で静止した流体. 静水圧平衡

\frac{∂p}{∂z} = −ρg  (1)

が成立する.

• 高度 z で密度 ρ, 圧力 p の流体塊を ξ だけ準静的に断熱上昇させる. 断熱運動なので流体のエントロピー (s) は保存される. また流体塊の圧力は周囲の圧力 (p′ = p(z +ξ)) と平衡状態を保つ.

不安定となるのは断越上昇した流体塊が周囲よりも軽くなったときである. z で密度が ρ(p, s) だった流体塊 ξ だけ変移したときの密度を ρ(p′, s), 周囲の密度を ρ(p′, s′) とすると,

ρ(p′, s) − ρ(p′, s′) < 0  (2)

が不安定の条件である. s′ = s(z) + ξds/dz とすると

(\frac{∂ρ}{∂s})_{p} \frac{ds}{dz} > 0  (3)

となる. 熱力学関係式 c_{p} = (∂Q/∂T)_{p} = T (∂s/∂T)_{p} を用いると,

(\frac{∂ρ}{∂s})_{p} = (\frac{∂ρ}{∂T} )_{p} (\frac{∂T}{∂s} )_{p} = \frac{T}{c_{p}} (\frac{∂ρ}{∂T} )_{p}

であるので, (3) は

\frac{T}{c_{p}} (\frac{∂ρ}{∂T} )_{p} \frac{ds}{dz} > 0

となる. T, c_{p} > 0 であり, 普通 (∂ρ/∂T)_{p} < 0 (熱膨張率は正) なので, 不安定の条件は

\frac{ds}{dz} < 0  (4)

となる. すなわちエントロピーが鉛直方向に減少するとき不安定となる. または

\frac{ds}{dz} = (\frac{∂s}{∂T} )_{p} \frac{dT}{dz} + (\frac{∂s}{∂p} )_{T} \frac{dp}{dz} = \frac{c_{p}}{T} \frac{dT}{dz} − (\frac{∂V}{∂T} )_{p} \frac{dp}{dz} < 0  (5)

\underline{灰色大気の放射対流平衡  1 対流不安定  3}

と変形できるので^{1}

− \frac{dT}{dz} > \frac{g}{c_{p}} T β  (6)

となる. ここで V = 1/ρ とし, β = 1/V (∂V/∂T)_{p} は熱膨張率である.

理想気体の場合

理想気体の場合, 状態方程式

p = ρRT = \frac{RT}{V}  (7)

が成立する. これを用いると

βT = \frac{T}{V} (\frac{∂V}{∂T} )_{p} = 1

である. よって (6) は

− \frac{dT}{dz} > \frac{g}{c_{p}}  (8)

となる. すなわち場の温度勾配 (−dT/dz) が断熱運動で決まる温度勾配 (g/c_{p}) より大きいとき不安定となる.

地球大気のように気体中に相変化成分が含まれる場合, 断熱運動で決まる温度勾配は g/c_{p} ではない. このような場合と区別して g/c_{p} は乾燥断熱減率 (dry adiabatic lapse late) と呼ばれ, これを Γ_{d}と書くことが多い.

(\frac{∂U}{∂p} )_{T} = T (\frac{∂s}{∂p} )_{T} − p (\frac{∂V}{∂p} )_{T}
(\frac{∂U}{∂T} )_{p} = T (\frac{∂s}{∂T} )_{p} − p (\frac{∂V}{∂T} )_{p}

(\frac{∂s}{∂p} )_{T} = − (\frac{∂V}{∂T} )_{p}

1熱力学第一法則 dU = T ds − pdV より, が得られる. この第一式を p で微分し第二式を T で微分して, それぞれが互いに等しいことからが得られる.

/housha-tairyu-heikou/doc/tairyu.tex  97/02/08(小高正嗣)

\underline{4  灰色大気の放射対流平衡  1 対流不安定}

各惑星における乾燥断熱減率

太陽系の種々の惑星大気の Γ_{d} の値を求めてみよう. 理想気体の単位質量あたりの定積比熱 (c_{v}), 定圧比熱は, 分子量 (M_{r}) と気体定数 (R) を用いて以下のように与えられる.

c_{v} = \{ \begin{matrix}\frac{3}{2}R/M_{r} & 単原子分子気体 \\ \frac{5}{2}R/M_{r} & 二原子分子気体 \\ 3R/M_{r} & 多原子分子気体 \end{matrix}  (9)
c_{p} − c_{v} = R/M_{r}  (10)

R = 8.31J mol^{−1}K^{−1} をあてはめて計算すると下の表のようになる.

大気主成分 M_{r}(g) g(msec^{−2}) c_{p}(Jkg^{−1}K^{−1}) Γ_{d}(Kkm^{−1})
金星  CO_{2}  44  8.84  755  11.7
地球  N_{2},O_{2}  28.8  9.81  1.0×10^{3}  9.8
火星  CO_{2}  44  3.72  755  4.9
木星  H_{2},He_{2}  2  26  14×10^{3}  1.9

\underline{灰色大気の放射対流平衡  2 放射平衡大気の安定性  5}

2 放射平衡大気の安定性

放射平衡で決まる大気構造の力学的な安定性について考察する. 大気が光学的に厚くなると, 大気の十分深いところでは大気の鉛直温度勾配が, 先に求めた断熱温度勾配よりも大きくなる. このような領域では力学的に不安定となり, 運動による熱輸送 (対流) の効果を考慮する必要が生じる. この不安定が生じるか生じないかをもって, 大気を二つの領域に分類することがある. すなわち

−\frac{dT}{dz} > \frac{g}{c_{p}}; 対流圏
−\frac{dT}{dz} < \frac{g}{c_{p}}; 成層圏

とするものである. 伝統的には大気の下端がはっきりと与えられない恒星大気などで, このような分類をするようである.

地球型惑星のように大気の下端が陽に与えられる場合には, 対流圏の形成は上に述べたものとは多少異なる. 大気は灰色として, 先に求めた放射平衡解より大気下端 (τ = τ_{b}) の黒体放射束密度と, 地表 (τ = τ_{b}) での上向き放射束密度は次のようになる.

πB(τ_{b}) = \frac{1}{2}F_{top}^{↑}(\frac{3}{2}τ_{b} + 1)  (11)
F^{↑}(τ_{b}) = \frac{1}{2}F_{top}^{↑}(\frac{3}{2}τ_{b} + 2)  (12)

地表での温度を T_{s} とすると F^{↑}(τ_{b}) = σT_{s}^{4} である. これを πB_{s} とすると,

πB_{s} − πB(τ_{b}) = \frac{1}{2}F_{top}^{↑}  (13)

となる. すなわち地表と大気下端では温度差が生じることになる. よって地表面では必ず −dT/dz > g/c_{p} となり不安定が生じる. その他の領域で −dT/dz < g/c_{p} であっても対流圏が形成される. このように地球のような惑星では, 対流圏の形成に対して地表面の存在が重要な要素であることが理解される.

\underline{6  灰色大気の放射対流平衡  3 放射対流平衡}

3 放射対流平衡

運動による熱輸送 (対流) が存在する場合, 熱平衡にある大気の温度構造がどのように決められるか考察する. 放射平衡にある場合, 温度構造は次式より与えられた.

\frac{d}{dz} (F^{↓} − F^{↑}) = 0  (14)

対流がある場合これに対流による熱流束が加わる. これを q とすると,

\frac{d}{dz} (F^{↓} − F^{↑} − q) = 0  (15)

となる. このような大気は放射対流平衡にあると呼ばれる.

一次元の大気モデルにおいて q の表現には二つの方法がある. 一つは温度勾配に比例した拡散で表現するもので,

q = \{ \begin{matrix}−ρc_{p}K_{H}(\frac{∂T}{∂z} + Γ_{d}) & −\frac{∂T}{∂z} > Γ_{d} \\ 0 & −\frac{∂T}{∂z} < Γ_{d} \end{matrix}  (16)

とするものである. この表現は大気境界層中の乱流の研究より得られた. 係数 K_{H} には経験的な値が使用される. 温度の時間変化を求めたい場合にも使用される.

もう一つは対流調節と呼ばれる方法である. これは q の形は陽に与えずに, 対流の結果として得られるであろう温度勾配から温度構造を決めてしまう方法である. すなわち対流の結果, 温度勾配は断熱減率 Γ_{d} になるとして温度構造を決める. 平衡解だけを求めるならこちらのほうが簡単である. 手順としては,

• 放射平衡の温度構造を求める. 成層圏はそのまま決まる.

• 地表面の温度を境界条件にして, −dT/dz = Γ_{d} を積分して下層の温度構造を決める.

• 圏界面は次のように決める. (15) より対流圏においては

\frac{d}{dz} (F^{↓} − F^{↑}) = \frac{dq}{dz} < 0  (17)

である. なぜなら対流によって熱は上層に輸送されるからである. 温度が十分低くなると, 左辺の放射収束が 0 になる (それより上層では正). その高度を圏界面とする

となる.

\underline{灰色大気の放射対流平衡  4 計算法  7}

4 計算法

具体的な計算の手順について解説する. すでに放射平衡解が得られたとする.

対流圏の温度は −dT/dz = Γ_{d} を積分して得る. 静水圧平衡が成立しているので, d/dz = −ρgd/dp が成立する. 座標を z から p に変えて,

−\frac{dT}{dz} = ρg \frac{dT}{dp} = \frac{g}{c_{p}}

状態方程式 p = ρRT より

\frac{dT}{dp} = \frac{1}{ρc_{p}} = \frac{RT}{c_{p}p}

これをそれぞれ区間 (p, p_{s}), (T, T_{s}) で積分する.

∫_{T}^{T_{s}} \frac{1}{T} dT = ∫_{p}^{p_{s}} \frac{R}{c_{p}p} dp

よって次式を得る.

T = T_{s} (\frac{p}{p_{s}} )^{R/c_{p}}  (18)

これより圧力 p での温度が求まる.

この温度分布を用いて再度上向き及び下向き放射束密度を計算する.

F^{↑}(τ) = πB(τ) + ∫_{τ}^{τ_{b}} \frac{dπB(τ′)}{dτ′}e^{− \frac{3}{2} (τ′−τ)} dτ′  (19)
F^{↓}(τ) = πB(τ) − πB(0)e^{− \frac{3}{2} τ} − ∫_{0}^{τ} \frac{dπB(τ)}{dτ′}e^{\frac{3}{2} (τ′−τ)} dτ′  (20)

これを用いて放射収束\frac{d}{dz} (F^{↓}(τ) − F^{↑}(τ)) を下層から計算し, これが 0 になる高度までの温度を (18) で与えられる温度に置き換える.

実際の計算は大気を N 等分し, 各圧力での放射束密度を求める. p_{0} = 0, p_{N} = p_{s} とし, p = p_{i} での光学的厚さを τ_{i} とする. よって,

F_{i}^{↑} = πB_{i} + ∑_{j=i}^{N} \frac{πB_{j+1} − πB_{j−1}}{2 dτ} e^{− \frac{3}{2} (τ_{j}−τ_{i})} dτ  (21)
F_{i}^{↓} = πB_{i} − πB(0)e^{− \frac{3}{2} τ_{i}} − ∑_{j=0}^{i} \frac{πB_{j+1} − πB_{j−1}}{2 dτ} e^{\frac{3}{2} (τ_{j}−τ_{i})} dτ  (22)

である. これより (F_{i+1}^{↓}−F_{i+1}^{↑})−(F_{i}^{↓}−F_{i}^{↑}) = 0 なるところを探し, その高度を圏界面とする.

p_{s} = 10^{5}Pa, κ = 10^{−4}kg/m^{3}, g =10 m/sec, M_{r} = 29, R = 8.31J mol^{−1}K^{−1}, c_{p} = 5R/2M_{r}, F_{top}^{↑} =240W/m^{2} としたときの結果を図 1に, F_{top}^{↑} の代わりに T_{s} = 295K を与えた場合の結果を図 2示す.

\underline{8  灰色大気の放射対流平衡  4 計算法}

{図 1: (上) 光学的深さと放射束密度の関係. F_{top}^{↑} を与えた場合. 点線は下向き, 実線は上向 \atop き, 太い実線は黒体の放射束密度である. (下) 温度と圧力の関係.} {図 2: (上) 光学的深さと放射束密度の関係. T_{s} を与えた場合. 点線は下向き, 実線は上向き, \atop 太い実線は黒体の放射束密度である. (下) 温度と圧力の関係.}

\underline{10  灰色大気の放射対流平衡  5 参考文献}

5 参考文献

久保亮五, 1961: 大学演習熱学・統計力学. 裳華房,pp.477. Houghton, J.T., 1986: The Physics of Atmosphere, 2nd ed. Cambridge,pp.271. Landau, L.D. and Lifshitz, E.M., 1987: Fluid Mechanics, 2nd ed. Pergamon Press,pp.539.