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%
%表題   2 次元非静力学モデル -- 付録 B 乱流パラメタリゼーション
%
%履歴   2003-07-25 高橋 こう子   新規作成
%       2003-09-03 高橋 こう子   骨子完成
%       2003-09-08 高橋 こう子   参考文献追加
%       2003-09-09 高橋 こう子   Appendix 追加
%       2003-11-17 高橋 こう子   修正
%       2003-11-22 高橋 こう子   運動エネルギーの式修正
%       2004-07-25 小高正嗣      2 次元乾燥大気版へ再構成
%       2007-06-05 小高正嗣      乱流運動エネルギー方程式の導出を追加
%       2009-09-23 山下達也      乱流運動エネルギー方程式の導出を一部改変
%       2010-03-17 山下達也      修正
%       2010-03-31 山下達也      サブグリッドスケールの凝結を考慮した式
%                                に書き換え
%       2010-04-13 山下達也      修正
%
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\chapter{乱流パラメタリゼーション}

%----------------------------------------------------------------------
%\newpage

%\subsection{レイノルズ応力方程式}


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%\newpage

\section{乱流パラメタリゼーション}

Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー
ジャーを用いる. このとき乱流運動エネルギーの時間発展方程式は, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{E_{turb}}{t} &=& B + S + D_{E}  
  - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
    E_{turb}^{\frac{3}{2}}
\Deqlab{B:dEdt}	  
\end{eqnarray} 
%
と与えられる. $l$ は混合距離で, $l = \left(\Delta x \Delta y \Delta
z \right)^{1/3}$ とする.  $B$ と $S$ はそれぞれ浮力と流れの変形速度によ
る乱流エネルギー生成項, $D_{E}$ は乱流エネルギー拡散項, 第 4 項は乱流
エネルギーの消散項であり,
%
\begin{eqnarray}
 B &=& 
  \frac{g_{j}}{\overline{\theta_v}}
  \overline{ u^{\prime}_{j} \theta_v^{\prime} },
 \\
 S &=& 
  - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
  \DP{u_{i}}{x_{j}} ,
 \\
 D_{E} &=& \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{x_{j}} \right)
\end{eqnarray}
%
である. 
ここで
\begin{eqnarray}
\frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}}
 &=&
  \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}}
  + \frac{\sum \frac{R_v}{R_d} q_v^{\prime} - \sum q_L^{\prime}}
         { 1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L} }
   \Deqlab{vpot1} \\
q_L 
 &=&
  q_v + q_c + q_r
   \Deqlab{vpot2}
\end{eqnarray}
である. 
1.5 次のクロージャーでは速度の 2 次相関量を以下のように表す. 
%
\begin{equation}
  \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
  = - K_{m} 
    \left(
      \DP{u_{i}}{x_{j}}
      + \DP{u_{j}}{x_{i}}
    \right)
     + \frac{2}{3} \delta_{ij} E_{turb},
  \Deqlab{レイノルズ応力1}
\end{equation}
%
また, $q_c = 0$ の場合, 
\begin{eqnarray}
 \overline{(u_{i}^{\prime} \theta)}
  &=& 
    - K_{h} \DP{\theta}{x_j}
    \Deqlab{レイノルズ応力2} \\
 \overline{(u_{i}^{\prime} q_v)}
  &=&
    - K_{h} \DP{q_v}{x_j}
    \Deqlab{レイノルズ応力3} \\
 \overline{(u_{i}^{\prime} q_L)}
  &=& 0
    - K_{h} \DP{q_L}{x_j}
    \Deqlab{レイノルズ応力4}
\end{eqnarray}
と表し, $q_c > 0$ の場合, 
\begin{eqnarray}
 \overline{(u_{i}^{\prime} \theta)}
  &=& 
   - K_{h} 
     \left( 
      1 + \sum 
       \frac{L^2 \overline{q_v}}
            { \langle c_p \rangle_0 R_v \overline{\theta}^2 
              \overline{\Pi}^2 } 
     \right)^{-1}
   \DP{\theta_e}{x_j}
     \Deqlab{レイノルズ応力5} \\
 \overline{(u_{i}^{\prime} q_v)}
  &=& 
   - K_{h} 
    \frac{L \overline{q_v}}{R_v \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
     \left( 
      1 + \sum 
       \frac{L^2 \overline{q_v}}
            { \langle c_p \rangle_0 R_v \overline{\theta}^2 
              \overline{\Pi}^2 } 
     \right)^{-1}
   \DP{\theta_e}{x_j}
     \Deqlab{レイノルズ応力6} \\
 \overline{(u_{i}^{\prime} q_L)}
  &=& 
    - K_{h} \DP{q_L}{x_j}
    \Deqlab{レイノルズ応力7}
\end{eqnarray}
と表す. 
ここで $K_{m}$ は運動量に対する渦粘性係数, $E_{turb}$ はサブグリッ
ドスケールの乱流運動エネルギー, $K_{h}$ は渦拡散係数, $\theta_e$ は相当
温位である.
$K_{m}$, $K_{h}$ は $E_{turb}$ を用いて以下のように与えられる.
%
 \begin{eqnarray}
  K_{m} &=& C_{m} {E_{turb}}^{1/2} l,
   \Deqlab{B:E}\\
  K_{h} &=& 3 K_{m}.
 \end{eqnarray}
%
パラメータ $C_{\varepsilon}, C_{m}$ はともに 0.2 である. 

\subsection{乱流運動エネルギー方程式の導出(雲が存在しない場合)}

Klemp and Wilhelmson (1978) では\Deqref{B:dEdt}について, 「Deardorff
  (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and Lipps (1976) で用いられ
ている式と類似のものである」とだけ記述され, その導出の詳細については解
説されていない. それゆえ大気大循環モデルでよく用いられている Mellor
and Yamada (1974, 1982) のパラメタリゼーションとの対応が不明瞭であ
る. そこで以下では Mellor and Yamada (1973, 1974) の定式化の手順に沿っ
て式\Deqref{B:dEdt}, \Deqref{レイノルズ応力1}, \Deqref{レイノルズ応力
2} -- \Deqref{レイノルズ応力4} の導出を行う.

考えているサブグリッドスケール内において, 密度は一定, 動粘性係数や拡散
係数などの物理定数は一定とする. 
またサブグリッドスケール内での放射の影響は考慮しない. 
出発点となる方程式は, Mellor and
Yamada (1973) の式 (7) および (8)
\begin{eqnarray}
  \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{t}
      &+& \DP{}{x_{k}}\left[
          u_{k}\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}
       + \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}
       -  \nu \DP{}{x_{k}}\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}\right] 
       \nonumber \\ 
      &+& \DP{}{x_{j}}\overline{pu^{\prime}_{i}} 
        + \DP{}{x_{i}}\overline{pu^{\prime}_{j}}
        + f_{k}(\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{i}}
        + \varepsilon _{ikl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{j}}) 
	\nonumber \\
      &=& -\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}}\DP{u_{j}}{x_{k}}
          -\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}}\DP{u_{i}}{x_{k}}
          -\overline{\theta_v}^{-1}
            ( g_{j}\overline{u^{\prime}_{i}\theta_v }
              + g_{i}\overline{u^{\prime}_{j}\theta_v }) \nonumber \\
      &+& 
       \overline{p\left(\DP{u^{\prime}_{i}}{x_{j}} 
       + \DP{u^{\prime}_{j}}{x_{i}}\right)}
       -  2\nu \overline{\DP{u^{\prime}_{i}}{x_{k}}\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}},
           \Deqlab{MY1974:eq(7)}
    \end{eqnarray}
    \begin{eqnarray}
      \DP{\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}}}{t}
      &+& 
      \DP{}{x_{k}}\left[
        u_{k}\overline{\theta^{\prime} u^{\prime}_{j}} 
      + \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }
      - \alpha \overline{u^{\prime}_{j}\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}}
      - \nu \overline{\theta^{\prime} \DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}}\right] 
      + \DP{}{x_{j}}\overline{p\theta^{\prime} } 
      + \varepsilon _{jkl}f_{k}\overline{u^{\prime}_{l}\theta^{\prime} } 
      \nonumber \\
      &=& -\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{\theta }{x_{k}} 
          -\overline{\theta^{\prime} u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} 
          -\overline{\theta_v}^{-1} g_{j}\overline{(\theta^{\prime})^{2}} 
          + \overline{p \DP{\theta^{\prime} }{x_{j}}}
          -(\alpha + \nu )
            \overline{\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}}.
         \Deqlab{MY1974:eq(8)}
\end{eqnarray}
および, \Deqref{MY1974:eq(7)}において $i=j$ とした式
\begin{eqnarray}
  \DP{q^{2}}{t} + u_{k}\DP{q^{2}}{x_{k}} 
    &+& \DP{}{x_{k}}\left(\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{j}}
    - \nu \DP{q^{2}}{x_{k}}\right)
    + 2 f_k \varepsilon _{jkl} \overline{u_{l}^{\prime} u^{\prime}_{j}} 
     \nonumber \\
    &=&
    - 2 \overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} 
    - 2 \DP{}{x_{j}}\overline{pu^{\prime}_{j}} 
    + 2 g_{j}\overline{\theta_v}^{-1}\overline{u^{\prime}_{j} \theta_v}
    - 2 \nu \overline{\left(\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}\right)^2}
    \Deqlab{qの予報式}
\end{eqnarray}
である. 
ここで 
\begin{eqnarray*}
  q &\equiv&  \sqrt{\overline{(u^{\prime}_{i})^{2}}}  \\
    & = &    \sqrt{2E_{turb}} 
\end{eqnarray*}
で, $\nu$, $\alpha$ はそれぞれ動粘性係数, 拡散係数, $g_{j}$ は重力加速度ベ
クトルの第 $j$ 成分である. 

\Deqref{MY1974:eq(7)}および\Deqref{MY1974:eq(8)}に現れる圧力に関する相関項
および 3 次の相関量については以下の仮定をおく. 

\begin{enumerate}
  \item $\overline{p\left(\DP{u^{\prime}_{i}}{x_{j}} + \DP{u^{\prime}_{i}}{x_{j}}\right)}$
        (圧力による運動エネルギーの再分配)

        \[
          = - \frac{q}{3l_{1}}(\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} - 
                              \frac{\delta _{ij}}{3}q^{2})
            + Cq^{2}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} 
            + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right),
        \]
        とおく. ここで $l_{1}$ は乱流の特徴的なスケール,
        $C$ は無次元の定数である.

  \item $\overline{p\DP{\theta^{\prime} }{x_{j}}}$ (圧力による熱エネルギー再分配)

        1. の導出と同様の考察によって,
        \[
          = -\frac{q}{3l_{2}}\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }
        \]
        とおく. ここでの乱れのスケールは $l_{2}$ とする.

  \item $2\nu \overline{\DP{u^{\prime}_{i}}{x_{k}}\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}}$
        (粘性による散逸)

        粘性に関与するような小スケールの現象は等方的とみて $q$ のみ
        で表現する.
        \[
          = \frac{2}{3}\frac{q^{3}}{\Lambda _{1}}\delta _{ij}.
        \]
        ここで $\Lambda _{1}$ は粘性の及ぶ特徴的スケールである.

   \item $(\alpha + \nu )
          \overline{\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}}$

        \[
          = 0
        \]
	とおく. 

  \item $\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}, 
        \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }, 
        \overline{u^{\prime}_{k}(\theta^{\prime})^{2}}$ 

        速度変動による $\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}, 
        \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }, 
        \overline{u^{\prime}_{k}(\theta^{\prime})^{2}}$ と考え次のようにおく.
        \begin{eqnarray*}
          \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} 
          &=& -q\lambda _{1}\left(
            \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{x_{k}} + 
            \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{k}}}{x_{j}} + 
            \DP{\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}}{x_{i}}\right), \\
          \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} } 
          &=& -q\lambda _{2}\left( 
            \DP{\overline{u^{\prime}_{k}\theta^{\prime} }}{x_{j}} + 
            \DP{\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }}{x_{k}}\right), \\
          \overline{u^{\prime}_{k}(\theta^{\prime})^{2}} &=& -q\lambda _{3}
                   \DP{\overline{(\theta^{\prime})^{2}}}{x_{k}}. 
        \end{eqnarray*}
        ここで $\lambda _{i}(i=1,2,3)$ はそれぞれの特徴的スケールである.

   \item $\overline{pu^{\prime}_{i}}, \overline{p\theta^{\prime} }$
        (圧力変動による拡散)

        \[
            \overline{pu^{\prime}_{i}} =  \overline{p\theta^{\prime} } = 0
        \]
        とする. この近似は 
        Deardorff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

   \item $f_{k}(\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{i}}
         + \varepsilon _{ikl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{j}}), \;
         f_{k}\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}\theta^{\prime} }$ 
	 (コリオリ項)

        \[
           f_{k}\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{i}} =
           f_{k}\varepsilon _{ikl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{j}} = 0,
        \]
        \[
           f_{k}\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}\theta^{\prime}} = 0
        \]
	とする. この近似は 
        Deardorff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている.

   \item $\alpha \overline{u^{\prime}_{j}\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}}, \;
          \nu \overline{\theta^{\prime} \DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}}$

        \begin{equation}
          = 0
	\end{equation}
	とする. 

\end{enumerate}
以上の近似を\Deqref{MY1974:eq(7)}, \Deqref{MY1974:eq(8)}, \Deqref{qの予報式}
に対して行うと, 以下の式を得る.
\begin{eqnarray}
    \DD{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{t}
          &-& \DP{}{x_{k}}\left[
              q\lambda _{1}\left(
                \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{x_{k}} + 
                \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{k}}}{x_{j}} + 
                \DP{\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}}{x_{i}}\right)
		-\nu\DP{}{x_{k}}\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}\right] 
              \nonumber \\
          &=& - \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}}\DP{u_{j}}{x_{k}}
              - \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}}\DP{u_{i}}{x_{k}}
	      - \overline{\theta_v}^{-1}
               ( g_{j}\overline{u^{\prime}_{i}\theta_{v}^{\prime} }
                + g_{i}\overline{u^{\prime}_{j}\theta_{v}^{\prime} })
              \nonumber \\
          & & - \frac{q}{3l_{1}}(\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}
              - \frac{\delta _{ij}}{3}q^{2})
              + Cq^{2}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} 
              + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
              - \frac{2}{3}\frac{q^{3}}{\Lambda _{1}}\delta _{ij},
	      \Deqlab{MY1974:Level4(1)}
              \\
    \DD{\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }}{t}
          &-& \DP{}{x_{k}}\left[q\lambda _{2}\left(
              \DP{\overline{u^{\prime}_{k}\theta^{\prime} }}{x_{j}}
              + \DP{\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }}{x_{k}}\right)\right]
              \nonumber \\
          &=& - \overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{\theta }{x_{k}} 
              - \overline{\theta^{\prime} u^{\prime}_{k}}\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}} 
              - \overline{\theta_v}^{-1} g_{j}\overline{(\theta^{\prime})^{2}} 
              - \frac{q}{3l_{2}}\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }, 
	      \Deqlab{MY1974:Level4(2)}
             \\
  \DD{q^{2}}{t} 
    &+& \DP{}{x_{k}}\left[
         q\lambda _{1}\left(
               \DP{q^{2}}{x_{k}} + 
               2 \DP{\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}}{x_{j}}\right)
        - \nu \DP{q^{2}}{x_{k}}\right]
   \nonumber \\
   &=&
    - 2\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} 
    + 2 g_{j} \overline{\theta_v}^{-1} 
        \overline{u^{\prime}_{j}\theta_v^{\prime}}
    - 2\frac{q^{3}}{\Lambda _{1}}
	      \Deqlab{MY1974:Level4(3)}
\end{eqnarray}
ここで
\[
  \DD{}{t} \equiv \DP{}{t} + u_{k}\DP{}{x_{k}}
\]
である. これらは Mellor and Yamada (1974) の Level 4 モデルの式に対応
する式である.

\Deqref{MY1974:Level4(1)}, \Deqref{MY1974:Level4(2)},
\Deqref{MY1974:Level4(3)}に対し, さらに以下の近似を加える.
\begin{itemize}
  \item \Deqref{MY1974:Level4(1)}では, 右辺の第 4 項と第 5 項だけ考慮する.
        さらに $C=-1/3$ とする.

  \item \Deqref{MY1974:Level4(2)}では, 右辺の第 1 項と第 4 項だけ考慮する.
        さらに $\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\sim q^{2}\delta_{jk}/3$ とする.

  \item \Deqref{MY1974:Level4(3)}では, 左辺の $\lambda_1$ 
        に比例する項を無視する.
\end{itemize}
これらの近似を行うと, 式\Deqref{MY1974:Level4(1)},
\Deqref{MY1974:Level4(2)}, \Deqref{MY1974:Level4(3)}は
\begin{eqnarray}
  \overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} 
    &=& \frac{\delta _{ij}}{3}q^{2}
       - ql_{1}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
    \Deqlab{MY1974:Level1(1)}
    \\
   \overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}}
    &=& - ql_{2}\DP{\theta }{x_{j}} 
    \Deqlab{MY1974:Level1(2)}
             \\
  \DD{q^{2}}{t} 
   &=&
    - 2\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} 
    + 2 g_{j} \overline{\theta_v}^{-1} 
        \overline{u^{\prime}_{j} \theta_v^{\prime}}
    + \DP{}{x_{k}}\left[\nu \DP{q^{2}}{x_{k}}\right]
    - 2\frac{q^{3}}{\Lambda _{1}}
    \Deqlab{MY1974:Level3(1)}
\end{eqnarray}
となる. \Deqref{MY1974:Level1(1)}は Mellor and Yamada (1974) の Level
1 モデルの $\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}$ の式である.
\Deqref{MY1974:Level1(2)}は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデル
の $\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}}$ の式で
$\overline{(\theta^{\prime})^{2}}$ の項を無視したものに対応する.
\Deqref{MY1974:Level3(1)} は Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデ
ルの $q^{2}$ の式において, 3 次相関項を無視し粘性拡散項を残したものに
対応する.

雲が存在しない場合, $q_v$, $q_L$ は保存量であるので, $q_v$, $q_L$ は
$\theta$ と同一形式の時間発展方程式を満たす. 
従って, $\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}}$ を導いたのと同様
の近似を行なうことにより, 次式を得る.  
\begin{eqnarray}
\overline{u^{\prime}_{j} q_v^{\prime}}
 &=& 
   - ql_{3} \DP{ q_v }{x_{j}}, 
   \Deqlab{MY1974:Level1(3)} \\
\overline{u^{\prime}_{j} q_L^{\prime}}
 &=& 
   - ql_{4} \DP{ q_L }{x_{j}} 
   \Deqlab{MY1974:Level1(4)}
\end{eqnarray}
但し $l_3$, $l_4$ は各物理量に関する乱れのスケールである. 

$ql_{1}=K_{m}, ql_{2} = ql_{3} = ql_{4} = K_{h}$ とし, 
$q$ を $E_{turb}$ で表し動粘性係数を乱流拡散係数で置き換えると
\begin{eqnarray}
  \overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} 
    &=& \frac{2}{3}\delta _{ij}E_{turb}
       - K_{m}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
    \\
  \overline{\theta_v}^{-1}
   \overline{u^{\prime}_{j}\theta_v^{\prime}}
    &=&   
      \frac{ \overline{ u_j^{\prime} \theta^{\prime}} }{\overline{\theta}}
      + \frac{\sum \frac{R_v}{R_d} \overline{u_j^{\prime} q_v^{\prime}} 
        - \sum \overline{ u_j^{\prime} q_L^{\prime}} }
      { 1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L} }
        \nonumber \\
    &=&
      - \frac{K_h}{\overline{\theta}}  \DP{\theta}{x_j}
      - K_h \frac{\sum \frac{R_v}{R_d} \DP{q_v}{x_j} 
        - \sum \DP{ q_L }{x_j} }
      { 1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L} } 
        \\
  \DD{E_{turb}}{t} 
   &=&
    - \overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} 
    + g_{j} \overline{\theta_v}^{-1} 
       \overline{u^{\prime}_{j}\theta_v^{\prime}}
    + \DP{}{x_{k}}\left[K_{m} \DP{q^{2}}{x_{k}}\right]
    - \frac{2^{3/2}}{\Lambda _{1}}E_{turb}^{3/2}
  \Deqlab{乱流エネルギーの式}
\end{eqnarray}
となり, 
\Deqref{乱流エネルギーの式}は散逸項の係数を除き\Deqref{B:dEdt}に一致
する.

以上より, Klemp and Wilhelmson (1978) の乱流パラメタリゼーションは,
Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルと Level 1 モデルとを組みあ
わせたものと理解することができる. Klemp and Wilhelmson (1978) と同様に
乱流運動エネルギーのみ予報し他の相関量は診断的に求めるモデルとして 
Mellor and Yamada (1974) の Level 2.5 モデルがある. しかし Level 2.5 
モデルは Level 3 モデルと Level 2 モデルとの組合せであることに注意が必
要である.

\subsection{乱流運動エネルギー方程式の導出(雲が存在する場合)}

飽和湿潤過程における熱力学的保存量は $\theta_e$, $q_L$ である. 
そこで浮力項の中の $\theta^{\prime}$, $q_v^{\prime}$ を
$\theta_e^{\prime}$, $q_L^{\prime}$ で表す. 

飽和状態における物理量には * 印を付すことにする. 
飽和比湿 $q_v^{*} (T,p)$ を基本場近傍で Taylor 展開すると, 
\begin{eqnarray}
 q_v^{*} (T,p)
  &\simeq&
   q_v^{*} (\overline{T},\overline{p})
   + \left( \DP{q_v^{*}}{T} \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
     T^{\prime}
   + \left( \DP{q_v^{*}}{p} \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
     p^{\prime}
   \nonumber \\
  &=&
   \overline{q_v^{*}} 
   + \left( \DP{q_v^{*}}{T} \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
     T^{\prime}
   + \left( \DP{q_v^{*}}{p} \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
     p^{\prime}
 \Deqlab{moistturb1}
\end{eqnarray}
となる. 
比湿の定義より, 
\begin{eqnarray}
\left( \DP{q_v^{*}}{T} \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
 &=&
  \DP{}{T} 
   \left( 
     \frac{p_v^{*} / R_v}{p / \langle R \rangle_0 } 
   \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
    \nonumber \\
 &=&
   \frac{\langle R \rangle_0}{R_v \overline{p}}
    \left( \DP{p_v^{*}}{T} \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
    \nonumber \\
 &=&
   \frac{L \langle R \rangle_0}{R_v^2 \overline{T}^2}
   \frac{\overline{p_v}^{*}}{ \overline{p}}
    \nonumber \\
 &=&
   \frac{L \overline{q_v}^{*}}{R_v \overline{T}^2}, 
 \Deqlab{moistturb2} \\
\left( \DP{q_v^{*}}{p} \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
 &=&
  \DP{}{p} 
   \left( 
     \frac{p_v^{*} / R_v}{p / \langle R \rangle_0 } 
   \right)_{(\overline{T},\overline{p})} 
    \nonumber \\
 &=&
  - \frac{\overline{q_v^{*}}}{\overline{p}}
 \Deqlab{moistturb3}
\end{eqnarray}
が成り立つ. 
但し \Deqref{moistturb2} の変形の途中で Clausius-Clapeyron の式
\begin{eqnarray}
\DP{p_v^{*}}{T}
 = 
   \frac{L p_v^{*}}{R_v T^2}
 \Deqlab{moistturb3-2}
\end{eqnarray}
を用いた. 
\Deqref{moistturb2}, \Deqref{moistturb3} を \Deqref{moistturb1} に代入す
ると, 
\begin{eqnarray}
 {q_v^{*}}^{\prime} (T,p)
  &=&
    \frac{L \overline{q_v}^{*}}{R_v \overline{T}^2} 
     T^{\prime}
   - \frac{\overline{q_v^{*}}}{\overline{p}}
     p^{\prime}
 \Deqlab{moistturb4}
\end{eqnarray}
となる. 
ここで
\begin{equation}
 \frac{T^{\prime}}{\overline{T}}
  \simeq
    \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}}
    + \frac{\langle R \rangle_0}{\langle c_p \rangle_0}
      \frac{p^{\prime}}{\overline{p}}
 \Deqlab{moistturb5}
\end{equation}
となることに注意すると, 
\begin{eqnarray}
{q_v^{*}}^{\prime} (T,p)
 &=&
   \frac{L \overline{q_v}^{*}}{R_v \overline{T}} 
    \left(
     \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}}
      + \frac{\langle R \rangle_0}{\langle c_p \rangle_0}
        \frac{p^{\prime}}{\overline{p}}
    \right)
   - \frac{\overline{q_v^{*}}}{\overline{p}}
    p^{\prime}
   \nonumber \\
 &=&
  \frac{L \overline{q_v}^{*}}{R_v \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
   \theta^{\prime}
  + 
    \left( 
     \frac{L \langle R \rangle_0}{R_v \langle c_p \rangle_0
     \overline{T}} 
      - 1 
    \right)
    \frac{\overline{q_v^{*}}}{\overline{p}}
    p^{\prime}
 \Deqlab{moistturb6}
\end{eqnarray}
となる. 
\Deqref{moistturb6} より
\begin{eqnarray}
\overline{ u_j^{\prime} {q_v^{*}}^{\prime} }
 &=&
  \frac{L \overline{q_v}^{*}}{R_v \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
   \overline{ u_j^{\prime} \theta^{\prime} }
  + 
    \left( 
     \frac{L \langle R \rangle_0}{R_v \langle c_p \rangle_0
     \overline{T}} 
      - 1 
    \right)
    \frac{\overline{q_v^{*}}}{\overline{p}}
    \overline{ u_j^{\prime} p^{\prime}}
 \Deqlab{moistturb7}
\end{eqnarray}
が得られる. 
B.1.1 節同様, $\overline{u_j^{\prime} p^{\prime}} = 0$ とすると, 
\begin{eqnarray}
\overline{ u_j^{\prime} {q_v^{*}}^{\prime} }
 &=&
  \frac{L \overline{q_v}^{*}}{R_v \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
   \overline{ u_j^{\prime} \theta^{\prime} }
 \Deqlab{moistturb8}
\end{eqnarray}
となる. 
相当温位の定義より, 
\begin{eqnarray}
\theta_e^{\prime}
 &\simeq&
  \theta^{\prime} 
  + \sum \frac{L}{\langle c_p \rangle_0 \overline{\Pi}}
  {q_v^{*}}^{\prime} 
  \nonumber \\
 &=& 
  \theta^{\prime}
  + \sum \frac{L}{\langle c_p \rangle_0 \overline{\Pi}}
   \left[
     \frac{L \overline{q_v}^{*}}{R_v \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
     \theta^{\prime}
    + 
     \left( 
     \frac{L \langle R \rangle_0}{R_v \langle c_p \rangle_0
     \overline{T}} 
      - 1 
     \right)
      \frac{\overline{q_v^{*}}}{\overline{p}}
       p^{\prime}
   \right]
    \nonumber \\
 &=&
  \theta^{\prime}
   \left(
    1 +
     \sum 
      \frac{ L^2 \overline{q_v}^{*}}
       { \langle c_p \rangle_0 R_v \overline{\Pi}^2 
         \overline{\theta}^2 }
   \right)
  + \sum \frac{L}{\langle c_p \rangle_0 \overline{\Pi}}
     \left( 
     \frac{L \langle R \rangle_0}{R_v \langle c_p \rangle_0
     \overline{T}} 
      - 1 
     \right)
      \frac{\overline{q_v^{*}}}{\overline{p}}
       p^{\prime}
 \Deqlab{moistturb9}
\end{eqnarray}
となる. 
\Deqref{moistturb9} より
\begin{eqnarray}
\overline{ u_j^{\prime} \theta^{\prime}}
 &=&
   \left(
    1 +
     \sum 
      \frac{ L^2 \overline{q_v}^{*}}
       { \langle c_p \rangle_0 R_v \overline{\Pi}^2 
         \overline{\theta}^2 }
   \right)^{-1}
    \overline{u_j^{\prime} \theta_e^{\prime}}
 \Deqlab{moistturb10}
\end{eqnarray}
となる. 
\Deqref{moistturb8}, \Deqref{moistturb10} より
\begin{eqnarray}
\overline{ u_j^{\prime} {q_v^{*}}^{\prime} }
 =
  \frac{L \overline{q_v}^{*}}
       {R_v \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
   \left(
    1 +
     \sum 
      \frac{ L^2 \overline{q_v}^{*}}
       { \langle c_p \rangle_0 R_v \overline{\Pi}^2 
         \overline{\theta}^2 }
   \right)^{-1}
    \overline{u_j^{\prime} \theta_e^{\prime}}
 \Deqlab{moistturb11}
\end{eqnarray}

$\theta_e^{\prime}$, $q_L^{\prime}$ は保存量なので, B.1.1 節での
$\theta$ と同一形式の時間発展方程式を満たす. 
従って, 
\begin{eqnarray}
\overline{u^{\prime}_{j} \theta_e^{\prime}}
 &=& 
   - ql_{5} \DP{ \theta_e }{x_{j}}, 
    \Deqlab{moistturb12} \\
\overline{u^{\prime}_{j} q_L^{\prime}}
 &=& 
   - ql_{6} \DP{ q_L }{x_{j}} 
    \Deqlab{moistturb13}
\end{eqnarray}
を得る. 
但し $l_5$, $l_6$ は各物理量に関する乱れのスケールである. 

$q l_5 = q l_6 = K_h$ とし, $q$ を $E_{turb}$ で表すと,  
\begin{eqnarray}
  \overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} 
    &=& \frac{2}{3}\delta _{ij}E_{turb}
       - K_{m}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
    \\
  \overline{\theta_v}^{-1}
   \overline{u^{\prime}_{j}\theta_v^{\prime}}
    &=&   
      \frac{ \overline{ u_j^{\prime} \theta^{\prime}} }{\overline{\theta}}
      + \frac{\sum \frac{R_v}{R_d} \overline{u_j^{\prime} q_v^{\prime}} 
        - \sum \overline{ u_j^{\prime} q_L^{\prime}} }
      { 1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L} }
        \nonumber \\
    &=&
      - K_h 
        \left( 
         1 
          + \sum 
           \frac{L^2 \overline{q_v}}{ \langle c_p \rangle_0 R_v 
               \overline{\theta}^2 \overline{\Pi}^2 } 
        \right)^{-1}
         \nonumber \\
    & &
        \left[
         \Dinv{\overline{\theta}}
         + \Dinv{R_d \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
           \left( 
            1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
           \right)^{-1}
          \left( \sum L \overline{q_v} \right)
        \right]
        \DP{\theta_e}{x_j}
         \nonumber \\
    & &
      + K_h 
         \left( 
          1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
         \right)^{-1}
        \DP{\left( \sum q_L \right)}{x_j}, 
        \\
  \DD{E_{turb}}{t} 
   &=&
    - \overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} 
    + g_{j} \overline{\theta_v}^{-1} 
       \overline{u^{\prime}_{j}\theta_v^{\prime}}
    + \DP{}{x_{k}}\left[K_{m} \DP{q^{2}}{x_{k}}\right]
    - \frac{2^{3/2}}{\Lambda _{1}}E_{turb}^{3/2}
  \Deqlab{乱流エネルギーの式2}
\end{eqnarray}
となる. 

\subsection{3 次元の場合の表現}

3 次元の場合の\Deqref{B:dEdt}式の各項を書き下す. 
先ず浮力による乱流エネルギー生成項を書き下す. 
雲が存在しない場合, 
%
\begin{eqnarray}
 B &=& 
  \frac{g_{j}}{\overline{\theta_v}} 
  \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} 
  \nonumber \\
  &=& 
  \frac{g}{\overline{\theta}} 
  \overline{w^{\prime}  \theta^{\prime}} 
  \nonumber \\
  &=& 
    - g \frac{K_h}{\overline{\theta}}  \DP{\theta}{z}
    - g K_h \frac{\sum \frac{R_v}{R_d} \DP{q_v}{z} 
      - \sum \DP{ q_L }{z} }
    { 1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L} } 
\Deqlab{B}
\end{eqnarray}
%
である. 
また雲が存在する場合, 
\begin{eqnarray}
 B &=& 
  \frac{g_{j}}{\overline{\theta_v}} 
  \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} 
  \nonumber \\
  &=& 
  \frac{g}{\overline{\theta}} 
  \overline{w^{\prime}  \theta^{\prime}} 
  \nonumber \\
  &=& 
      - g K_h 
        \left( 
         1 
          + \sum 
           \frac{L^2 \overline{q_v}}{ \langle c_p \rangle_0 R_v 
               \overline{\theta}^2 \overline{\Pi}^2 } 
        \right)^{-1}
         \nonumber \\
    & &
        \left[
         \Dinv{\overline{\theta}}
         + \Dinv{R_d \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
           \left( 
            1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
           \right)^{-1}
          \left( \sum L \overline{q_v} \right)
        \right]
        \DP{\theta_e}{z}
         \nonumber \\
    & &
      + g K_h 
         \left( 
          1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
         \right)^{-1}
        \DP{\left( \sum q_L \right)}{z}
\Deqlab{B-moist}
\end{eqnarray}
となる. 
次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 $S$ は, 
%
\begin{eqnarray}
 S 
  &=& 
  - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
  \DP{u_{i}}{x_{j}} 
  \nonumber \\
  &=& 
  - \left\{
     - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	  + \frac{2}{3} \delta_{ij} E_{turb}
    \right\}
  \DP{u_{i}}{x_{j}}
  \nonumber \\
  &=& 
   \left\{ 
      K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	  - \frac{2}{3} \delta_{ij} E_{turb}
   \right\} 
  \DP{u_{i}}{x_{j}} 
  \nonumber \\
  &=& 
   \left\{ 
    K_{m} \left(\DP{u}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x}\right)
    - \frac{2}{3} \delta_{1j} E_{turb}
   \right\} 
  \DP{u}{x_{j}} 
  \nonumber \\
  &&+  
   \left\{ 
      K_{m} \left(\DP{v}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{y}\right)
	  - \frac{2}{3} \delta_{2j} E_{turb}
   \right\} 
  \DP{v}{x_{j}} 
  \nonumber \\
  &&+  
   \left\{ 
      K_{m} \left(\DP{w}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{z}\right)
	  - \frac{2}{3} \delta_{3j} E_{turb}
   \right\} 
  \DP{w}{x_{j}} 
  \nonumber \\
  &=& 
   \left\{ 
      2 K_{m} \DP{u}{x}
	  - \frac{2}{3} E_{turb}
   \right\} 
  \DP{u}{x}
  +  
   K_{m} \left( \DP{u}{y} + \DP{v}{x} \right)
  \DP{u}{y}
  +  
   K_{m} \left( \DP{w}{x} + \DP{u}{z} \right)
  \DP{u}{z}
  \nonumber \\
  && +  
   K_{m} \left( \DP{v}{x} + \DP{u}{y} \right)
  \DP{v}{x}
  +  \left\{ 
      2 K_{m} \DP{v}{y}
	  - \frac{2}{3} E_{turb}
   \right\} 
  \DP{v}{y}
  +  
   K_{m} \left( \DP{v}{z} + \DP{w}{y} \right)
  \DP{v}{z}
  \nonumber \\
  &&+  
   K_{m} \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)
  \DP{w}{x}
   + K_{m} \left(\DP{w}{y} + \DP{v}{z}\right)
  \DP{w}{y}
  +  
   \left\{ 
     2 K_{m} \DP{w}{z}  
	  - \frac{2}{3} E_{turb}
   \right\} 
  \DP{w}{z} 
  \nonumber \\
 &=&  
   2 K_{m} \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{v}{y} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
 &&
  +  K_{m}
     \left\{
      \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)^{2}
      + \left(\DP{v}{z} + \DP{w}{y}\right)^{2}
      + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
     \right\}
      \nonumber \\
 && 
   - \frac{2}{3} E_{turb} 
     \left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z} \right) 
\Deqlab{S}
\end{eqnarray}
%
である. 
乱流エネルギー拡散項 $D_{E}$ は, 
%
\begin{eqnarray}
 D_{E} 
   &=& \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{x_{j}} \right), 
    \nonumber \\
   &=& \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{x} \right)  
       + \DP{}{y} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{y} \right)  
       + \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{z} \right)  
\Deqlab{De}
\end{eqnarray}
%
である. 
以上の \Deqref{B}, \Deqref{S}, \Deqref{De} 式を \Deqref{B:dEdt} 式
に代入することで雲が存在しない場合の乱流エネルギーの式を得る. 
%
 \begin{eqnarray}
  \DD{E_{turb}}{t}
  &=& 
    - g \frac{K_h}{\overline{\theta}}  \DP{\theta}{z}
    - g K_h \frac{\sum \frac{R_v}{R_d} \DP{q_v}{z} 
      - \sum \DP{ q_L }{z} }
    { 1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L} } 
     \nonumber \\
  &&+ 2 K_{m} \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{v}{y} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  +  K_{m}
    \left\{
     \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)^{2}
     + \left(\DP{v}{z} + \DP{w}{y}\right)^{2}
     + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  - \frac{2}{3} 
      E_{turb} \left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z} \right) 
     \nonumber \\
  && + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{x} \right)  
      + \DP{}{y} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{y} \right)  
      + \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{z} \right)  
     \nonumber \\
  &&
   - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
	  E_{turb}^{\frac{3}{2}}.
\Deqlab{B:TurbE}	  
\end{eqnarray}
%
\Deqref{B:E} を用いて $K_m$ を $E_{turb}$ で書き換えると, 以下の式が得
られる. 
\begin{eqnarray}
  \DP{E_{turb}}{t}
  &=& 
     - u \DP{E_{turb}}{x} - v \DP{E_{turb}}{y} - w \DP{E_{turb}}{z} 
   \nonumber \\
  &&
    - 3 g C_m l E_{turb}^{1/2} \frac{K_h}{\overline{\theta}}  \DP{\theta}{z}
    - 3 g C_m l E_{turb}^{1/2} \frac{\sum \frac{R_v}{R_d} \DP{q_v}{z} 
      - \sum \DP{ q_L }{z} }
    { 1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L} } 
     \nonumber \\
  &&+ 2 C_m l E_{turb}^{1/2} \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{v}{y} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  +  C_m l E_{turb}^{1/2}
    \left\{
     \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)^{2}
     + \left(\DP{v}{z} + \DP{w}{y}\right)^{2}
     + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  - \frac{2}{3} 
      E_{turb} \left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z} \right) 
     \nonumber \\
  && + \DP{}{x} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{x} \right)  
     + \DP{}{y} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{y} \right) 
      \nonumber \\ 
  &&  + \DP{}{z} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{z} \right)  
      - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
	  E_{turb}^{\frac{3}{2}}.
\end{eqnarray} 
また \Deqref{B-moist}, \Deqref{S}, \Deqref{De} 式を \Deqref{B:dEdt} 式
に代入することで雲が存在する場合の乱流エネルギーの式を得る. 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{E_{turb}}{t}
   &=& 
      - g K_h 
        \left( 
         1 
          + \sum 
           \frac{L^2 \overline{q_v}}{ \langle c_p \rangle_0 R_v 
               \overline{\theta}^2 \overline{\Pi}^2 } 
        \right)^{-1}
         \nonumber \\
   & &
        \left[
         \Dinv{\overline{\theta}}
         + \Dinv{R_d \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
           \left( 
            1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
           \right)^{-1}
          \left( \sum L \overline{q_v} \right)
        \right]
        \DP{\theta_e}{z}
         \nonumber \\
   & &
      + g K_h 
         \left( 
          1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
         \right)^{-1}
        \DP{\left( \sum q_L \right)}{z}
         \nonumber \\
  &&+ 2 K_{m} \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{v}{y} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  +  K_{m}
    \left\{
     \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)^{2}
     + \left(\DP{v}{z} + \DP{w}{y}\right)^{2}
     + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  - \frac{2}{3} 
      E_{turb} \left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z} \right) 
     \nonumber \\
  && + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{x} \right)  
      + \DP{}{y} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{y} \right)  
      + \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E_{turb}}{z} \right)  
     \nonumber \\
  &&
   - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
	  E_{turb}^{\frac{3}{2}}.
\Deqlab{B:TurbE-moist}	  
\end{eqnarray}
\Deqref{B:E} を用いて $K_m$ を $E_{turb}$ で書き換えると, 以下の式が得
られる. 
\begin{eqnarray}
\DP{E_{turb}}{t}
&=&
 - u \DP{E_{turb}}{x} - v \DP{E_{turb}}{y} - w \DP{E_{turb}}{z} 
 \nonumber \\
& &
      - 3 g C_m l E_{turb}^{1/2} 
        \left( 
         1 
          + \sum 
           \frac{L^2 \overline{q_v}}{ \langle c_p \rangle_0 R_v 
               \overline{\theta}^2 \overline{\Pi}^2 } 
        \right)^{-1}
         \nonumber \\
   & &
        \left[
         \Dinv{\overline{\theta}}
         + \Dinv{R_d \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
           \left( 
            1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
           \right)^{-1}
          \left( \sum L \overline{q_v} \right)
        \right]
        \DP{\theta_e}{z}
         \nonumber \\
   & &
      + 3 g C_m l E_{turb}^{1/2}
         \left( 
          1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
         \right)^{-1}
        \DP{\left( \sum q_L \right)}{z}
         \nonumber \\
  &&+ 2 C_m l E_{turb}^{1/2} \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{v}{y} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  +  C_m l E_{turb}^{1/2}
    \left\{
     \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)^{2}
     + \left(\DP{v}{z} + \DP{w}{y}\right)^{2}
     + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  - \frac{2}{3} 
      E_{turb} \left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z} \right) 
     \nonumber \\
  && + \DP{}{x} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{x} \right)  
      + \DP{}{y} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{y} \right) 
      \nonumber \\ 
  &&
      + \DP{}{z} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{z} \right)  
      - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
	  E_{turb}^{\frac{3}{2}}.
\end{eqnarray} 
