%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%ɽ��   2 ���������ϳإ�ǥ� -- ������ǥ�
%
%����   2003-07-25 �ⶶ ������   ��������
%       2003-09-03 �ⶶ ������   ���Ҵ���
%       2003-09-08 �ⶶ ������   ����ʸ���ɲ�
%       2003-09-09 �ⶶ ������   Appendix �ɲ�
%       2003-11-17 �ⶶ ������   ����
%       2003-11-22 �ⶶ ������   ��ư���ͥ륮���μ�����
%       2004-07-25 ��������      2 ���������絤�Ǥغƹ���
%       2004-11-30 ��������      
%       2005-01-31 �����̰�ϯ
%       2005-08-25 ��������	 Ǯ�ϳؤμ��˻����Ǯ����ɲ�
%       2005-08-26 ��������	 Ǯ�ϳؤμ��˴��ܾ�γȻ�����ɲ�
%       2006-03-10 �����̰�ϯ
%       2006-03-12 �����̰�ϯ
%       2009-09-06 ����ã��      ͽ���ѿ��Ȥ��ƺ������������漾����
%                                ����褦���ѹ�
%       2009-11-12 ����ã��
%       2009-12-01 ����ã��
%       2009-12-08 ����ã��
%       2010-04-11 ����ã��
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\chapter{��ɸ��}

%���ֺ�ɸ�Ϥ� 2 ����ľ��ľ���ɸ�Ϥ��Ѥ���. ��ʿ�����κ�ɸ�ѿ��� $x$, 
%��ľ�����κ�ɸ�ѿ��� $z$ ��ɽ��. �����������ѿ��� $t$ �Ȥ���.


\chapter{������������}

�ܿ��ͥ�ǥ�Ͽ�ʿ����ľ�� 3 ������ǥ�Ǥ���. ��ʿ�����κ�ɸ�ѿ��� $x$,
$y$, ��ľ�����κ�ɸ�ѿ��� $z$ ��ɽ��, �����������ѿ��� $t$ ��ɽ��. 

 
%\section{ͽ���ѿ������}
%
% ��ǥ����Ω�ѿ��϶��������κ�ɸ�ѿ� $x, z$ �Ȼ����������ѿ� $t$ �Ǥ���.
% ��ǥ��ͽ���ѿ��Ϥ����δؿ��Ȥ�����������
%  \begin{center}
%   \begin{tabular}[tb]{lll}
%    $u$ & : & ®�٤� $x$ ��ʬ \\
%    $w$ & : & ®�٤� $z$ ��ʬ \\
%    $\theta$ & : & ���� \\
%    $\Pi$ & : & ̵�������ϴؿ� 
%   \end{tabular}
%  \end{center}
% �Ǥ���.

% ̵�������ϴؿ� (�������ʡ��ؿ�) $\Pi$ �ϰ��� $p$ ���Ѥ��ưʲ��Τ褦���������
% ��.
% \begin{equation}
%  \Pi \equiv \left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{p}}
%  \Deqlab{�������ʡ��ؿ�}
% \end{equation}
% $p_{0}$ ����ɽ�̤Ǥε����Ǥ���.
%���� $\Theta$ ��
% \begin{eqnarray}
%  \Theta &\equiv& T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/c_{p}}
%  \nonumber \\
%         &=& \frac{T}{\Pi}
%  \Deqlab{����}
% \end{eqnarray}
% ��Ϳ������. 
% ������ $T$ �ϲ���, $c_{p}$ ��
% �갵��Ǯ, $R_{d}$ �ϴ�������ε�������Ǥ���.

%--------------------------------------------------------------------
\section{�ͤ��Ƥ����}

�ͤ��Ƥ���ϤǤ�, �ʲ��Τ��Ȥ�����Ω�ĤȲ��ꤹ��. 

\begin{itemize}
 \item Ǥ�դ�ʪ���̤ϴ��ܾ���ʬ�Ⱦ������ʬ���¤ǵ��ҤǤ���. 
 \item ���ܾ�� $z$ �Τߤ˰�¸��, �ſ尵ʿ�դξ��֤ˤ���. 
 \item ���ܾ�ˤϱ��䱫γ��ɹγ��¸�ߤ��ʤ�. 
 \item �絤��γƵ���ʬ�Ҥ����۵��ΤȤߤʤ���. 
 \item �絤��γƵ���ʬ�Ҥε������, ������Ǯ, �갵��Ǯ�ϰ���Ǥ���. 
 \item �絤����絤�������礭���Ѳ����ʤ�. 
\end{itemize}


\section{��ư��������������������Ǯ�μ����漾����¸��}

�ϳ�Ū�����Ȥߤ�, �వ����������(Klemp and Wilhelmson,1978)���Ѥ���. 
�����������ϤǤ�, ͽ���ѿ����ʿ���ͤʴ��ܾ�Ȥ�������Τ����ʬΥ��, 
����������������ԤäƤ���. 
���ܾ���ſ尵ʿ�դξ��֤ˤ����ΤȲ��ꤹ��. 
�ޤ����Τ����۵��ΤȤߤʤ����ΤȤ���. 
�వ���������Ϥ�Ƴ�Ф���Ͽ A �˼���. 
����������ѿ�����Ͽ D �˼���. 

Klemp and Wilhelmson(1978) �Ǥ϶ŷ������Τ�ŷ�ʪ�򺮹����ɽ�����Ƥ���
�Τ��Ф�, �ܥ�ǥ�Ǥ��漾��ɽ�����Ƥ���. 
â���ܥɥ�����Ȥˤ������漾�Ȥ�, �̾�ε��ݳؤ��Ѥ����Ƥ����漾���
ĥ��, ��̩�٤��Ф���Ǥ�դε��Τ�ŷ�ʪ��̩�٤����ؤ���ΤȤ���. 
����ʬ���ŷ뤹�������絤�򰷤���, ��ŷ뵤�Τ�̩�٤�ʬ��Ȥ��뺮�������
����ȿ��ͷ׻���κ����������ǽ��������. 
���Τ��Ȥ��͡��������絤�򰷤����Ȥ���Ū�Ȥ����ܥ�ǥ�ˤȤä��礭������
�Ȥʤꤦ��. 
�������ܥ�ǥ�Ǥ�������ʬ���ŷ뤹��Ϥ����Ǥʤ�, ����ʬ���ŷ뤹��ϤǤ�
�׻���Ԥʤ���褦, �ŷ뵤�Τ�ŷ�ʪ���漾��ɽ�����뤳�Ȥˤ���. 


�ܥ�ǥ�Ǥ���ŷ�������, �ŷ�������, ����, ����(ɹ)�� 4 �ĤΥ��ƥ��꡼
�����ꤷ�Ƥ���. 

\begin{tabular}{lll}\\ \hline
���� & ��̣ & ����                \\ \hline
$q_{d}$   &   ��ŷ������Τ��漾 &   \\
$q_{v}$   &   �ŷ������Τ��漾   &   \\
%         &                    &  ���ݳؤ��Ѥ������漾���б�����. 
$q_{c}$   &   �����漾     &  �®�٤������Ǥ���γ�Ҥ˴ؤ����漾.  \\
& &  �絤��α�γ���б�. \\
%& &  �̾� 100 $\mu$m �ʲ���������ή��γ�ҤǤ���.  \\
$q_r$   &   �����漾     &  ͭ�դ��®�٤����γ�Ҥ˴ؤ����漾.  \\
& &  �絤��α�γ�ޤ���ɹγ���б�. \\ \hline
\end{tabular}

$\rho_d$, $\rho_v$, $\rho_c$, $\rho_r$, $\rho$ �򤽤줾����ŷ���ʬ��̩
��, �ŷ���ʬ��̩��, �����̩��, �����̩��, ��̩�٤Ȥ����, 
\begin{eqnarray}
\rho = \rho_d + \sum \rho_v + \sum \rho_c + \sum \rho_r
\end{eqnarray}
������Ω��, �ƥ��ƥ��꡼���漾�ϰʲ��Τ褦����������. 
\begin{eqnarray}
q_{d} &=& \frac{\rho_d}{\rho}, \Deqlab{qd} \\
q_{v} &=& \frac{\rho_v}{\rho}, \Deqlab{qv} \\
q_{c} &=& \frac{\rho_c}{\rho}, \Deqlab{qc} \\
q_r &=& \frac{\rho_r}{\rho}. \Deqlab{qs}
\end{eqnarray}
�漾�˴ؤ���
\begin{eqnarray}
q_d + \sum q_v + \sum q_c + \sum q_r = 1
\end{eqnarray}
�δط�������Ω�ĤΤ�, ��ŷ������Τ��漾 $q_d$ �ˤĤ��ƤϿ���Ū�˵���
���ȤȤ���. 


���ѿ�����ܾ�Ⱦ�����ʬ��, ���ܾ����®, �����漾�ȱ����漾������
�Ǥ���Ȥߤʤ�. 
�ޤ����ܾ�Ͽ�ʿ���ͤǤ���, �ſ尵ʿ�դ�����Ω�ĤȲ��ꤹ��. 
���ܾ��ʪ���̤� $\bar{~}$ ���դ�, ������ʪ���̤� $\prime$ ���դ�����
�ˤ����, ���ѿ��ϰʲ��Τ褦�˽񤱤�. 
%
\begin{eqnarray}
u (x,y,z,t) &=& u^{\prime} (x,y,z,t), \nonumber \\
v (x,y,z,t) &=& v^{\prime} (x,y,z,t), \nonumber \\
w (x,y,z,t) &=& w^{\prime} (x,y,z,t), \nonumber \\
\theta (x,y,z,t) &=& \overline{\theta} (z) + \theta^{\prime} (x,y,z,t),
 \nonumber \\
\Pi (x,y,z,t) &=& \overline{\Pi} (z) + \Pi^{\prime} (x,y,z,t),
 \nonumber \\
\langle c_s \rangle^2 (x,y,z,t) 
 &=& 
  \overline{ \langle c_s \rangle^2 } (z)
  + { \langle c_s \rangle^2 }^{\prime} (x,y,z,t)
 \nonumber \\
q_d (x,y,z,t) &=& \overline{q_d} (z) +
 {q_d}^{\prime} (x,y,z,t), \nonumber \\
q_v (x,y,z,t) &=& \overline{q_v} (z) +
 {q_v}^{\prime} (x,y,z,t), \nonumber \\
q_c (x,y,z,t) &=& {q_c}^{\prime} (x,y,z,t), \nonumber \\
q_r (x,y,z,t) &=& {q_r}^{\prime} (x,y,z,t). \nonumber
\end{eqnarray}
%
$\theta$, $\Pi$, $\langle c_s \rangle$ �Ϥ��줾�첹��, �������ʡ��ؿ�,
��®�Ǥ���, 
%
\begin{eqnarray}
 \Pi 
  &\equiv& 
  \left( \frac{p}{p_0} \right)^{\langle R \rangle_0 / \langle
   c_p \rangle_0}
  \Deqlab{�������ʡ��ؿ������} \\
\theta 
  &\equiv& 
   T \left( \frac{p_0}{p} \right)^{\langle R \rangle_0 / \langle
    c_p \rangle_0}
    = \frac{T}{\Pi}
  \Deqlab{���̤����} \\ 
\langle c_s \rangle^2
  &\equiv& 
    \frac{\langle c_p \rangle_0 \langle R \rangle_0
    \Pi \theta_v}{\langle c_v \rangle_0 }
\end{eqnarray}
%
�Ǥ���. 
â��
\begin{eqnarray}
\langle R \rangle_0
 &\equiv& 
  \frac{q_{d0} R_d + \sum q_{v0} R_v}{q_{d0} + \sum q_{v0} }
  \Deqlab{def_R} \\
\langle c_p \rangle_0
 &\equiv& 
  \frac{q_{d0} c_{pd} + \sum q_{v0} c_{pv}}{q_{d0} + \sum q_{v0} }  
  \Deqlab{def_Cp} \\
\langle c_v \rangle_0
 &\equiv& 
  \frac{q_{d0} c_{vd} + \sum q_{v0} c_{vv}}{q_{d0} + \sum q_{v0} }  
  \Deqlab{def_Cv}
\end{eqnarray}
�Ǥ���. 
$q_{d0}$, $q_{v0}$ �Ϥ��줾����ŷ�������, �ŷ������Τ��漾����ɽ��, 
$c_{pd}$, $c_{pv}$ �Ϥ��줾����ŷ�������, �ŷ������Τ��갵��Ǯ, 
$c_{vd}$, $c_{vv}$ �Ϥ��줾����ŷ�������, �ŷ������Τ�������Ǯ, 
$R_d$, $R_v$ �Ϥ��줾����ŷ�������, �ŷ������Τε�������Ǥ���. 
$q_{d0}$, $q_{v0}$, $c_{pd}$, $c_{pv}$, $R_d$, $R_v$ ������Ǥ���. 
��ɽ�� $q_{d0}$, $q_{v0}$ �� $q_{d0} + \sum q_{v0} = 1$ ���������褦, ��
���˱����Ʒ���. 
\Deqref{def_R}, \Deqref{def_Cp}, \Deqref{def_Cv} �˸�����¤ϳƶŷ�����
ʬ�ˤĤ��Ƽ���ΤȤ���. 
$\langle c_p \rangle_0$, $\langle R \rangle_0$ ����ŷ������Τȶŷ������Τ�
̩�٤�ŤߤȤ����갵��Ǯ�ڤӵ��������ʿ���ͤǤ���, ��ʸ��Ǥ�ʿ���갵��
Ǯ, ʿ�ѵ�������ȸƤ֤��Ȥˤ���. 
�ܥ�ǥ�Ǥ� $\langle c_p \rangle_0$, $\langle R \rangle_0$ �ϰ����ͤǤ�
��
\footnote{
$\langle R \rangle$, $\langle c_p \rangle$, $\langle M \rangle$ ���礭��
�Ѳ�����ϤǤ�ʪ��Ū�˰�̣�Τ���׻����ݾڤ���ʤ�. 
}. 
�ޤ�������������
%
%\item[������ $T_{v}$]
%%
%\begin{eqnarray}
%T_v \equiv \left( \frac{\langle M \rangle_0}{M_d} q_d
%     + \sum \frac{\langle M \rangle_0}{ M_v } q_v
%         \right) T
%\end{eqnarray}
%
%
\begin{eqnarray}
\rho
= \frac{p}{\langle R \rangle_0 \Pi \theta_v}
= \frac{p_0 \Pi^{\langle c_{v} \rangle_0 / \langle R \rangle_0}}{\langle R
\rangle_0 \theta_v}
 \Deqlab{̩�٤����}
\end{eqnarray}
��ɽ�����. 
������ 
\begin{eqnarray}
\theta_v
 &\equiv&
    \left( \frac{\langle M \rangle_0}{M_d} q_d
     + \sum \frac{\langle M \rangle_0}{ M_v } q_v
         \right) \theta, \\
\langle M \rangle_0
 &\equiv& 
 \frac{q_{d0} + \sum q_{v0}}{q_{d0} / M_d + \sum q_{v0} / M_v}
  \Deqlab{def_M}  
\end{eqnarray}
�Ǥ���. 
% $\theta_v$ �ϲ����̤ȸƤФ��. 
â�� $M_d$, $M_v$ �Ϥ��줾����ŷ�������, �ŷ������Τ�ʬ���̤Ǥ���. 
$\langle M \rangle_0$ ��ʿ��ʬ���̤ȸƤ�, �����ͤȤߤʤ�. 


�ʲ�, ���ܾ줬�����������������. 
������������
\begin{eqnarray}
\overline{\rho}
= 
 \frac{\overline{p}}{\langle R \rangle_0 \overline{\Pi}
 \overline{\theta_v}} 
= 
 \frac{p_0 \overline{\Pi}^{\langle c_{v} \rangle_0 / \langle R
 \rangle_0}}
 {\langle R \rangle_0 \overline{\theta_v}}
 \Deqlab{basic1}
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�. 
â��
\begin{eqnarray}
\overline{\theta_v}
 &\equiv&
    \left( \frac{\langle M \rangle_0}{M_d} \overline{q_d}
     + \sum \frac{\langle M \rangle_0}{ M_v } \overline{q_v}
         \right) \overline{\theta},  \Deqlab{basic2} \\
 \overline{\Pi} 
  &\equiv& 
  \left( \frac{\overline{p}}{p_0} \right)^{\langle R \rangle_0 / \langle
   c_p \rangle_0},  \Deqlab{basic3} \\
 \overline{\theta} 
  &\equiv& 
   \overline{T} 
    \left( \frac{p_0}{\overline{p}} \right)^{\langle R \rangle_0 / \langle
    c_p \rangle_0}
    = \frac{\overline{T}}{\overline{\Pi}}  \Deqlab{basic4}
\end{eqnarray}
�Ǥ���. 
$\overline{q_d}$, $\overline{q_v}$ ��
\begin{eqnarray}
 \overline{q_d} + \sum \overline{q_v} = 1  \Deqlab{basic5}
\end{eqnarray}
��������. 
�ſ尵ʿ�դμ���
%
\begin{eqnarray}
\DP{\overline{\Pi}}{z} 
= - \frac{g}{\langle c_p \rangle_0 \overline{\theta_v}} 
  \Deqlab{basic6}
\end{eqnarray}
%
��ɽ�����. 
���Ȥ�
\begin{eqnarray}
 \overline{\langle c_s \rangle^2}
  &\equiv& 
    \frac{\langle c_p \rangle_0 \langle R \rangle_0
    \overline{\Pi} \overline{\theta_v}}{\langle c_v \rangle_0 }
  \Deqlab{basic7}
\end{eqnarray}
��������. 
�Ƽ¸��Ǥ� $\overline{T}$, $\overline{q_d}$, $\overline{q_v}$ ��Ϳ��,
\Deqref{basic1} --  \Deqref{basic4},  \Deqref{basic6}, \Deqref{basic7}
���Ѥ��Ƥ���¾�δ��ܾ���ʬ�����. 


�ʲ��˽వ���������Ϥλ���ȯŸ���������������. 
�ܥ�ǥ�ˤ�����ͽ���ѿ��� $u^{\prime}$, $w^{\prime}$,
$\theta^{\prime}$, $\Pi^{\prime}$, $q_a^{\prime}$ ($a = v, c, r$) �Ǥ���. 
̩�٤μ��Ǥϴ�����ʬ�ȼ�����ʬ��ʬ���̤κ����θ���뤬, Ǯ�μ��ǤϹ�θ��
�ʤ�. 
�ŷ��̤ϵ�����̤���٤ƽ�ʬ���ʤ��Ȳ��ꤹ��. 
%��Ǯ, �������������Ū, ����Ū�˰��ͤǤ���Ȳ��ꤷ�Ƥ���. 
%���äƶŷ������Τ���ŷ�������٤ư���Ū��¿���Ϥ�, ��ŷ������Τ��ŷ���
%���Τ���٤ư���Ū��¿���ϰʳ��Ǥ�, �����ɤ��׻����ݾڤ���ʤ�. 


%�ޤ������������Ǥ�����Ǯ��Ǯ�ˤ���絤����ĥ��, 
%�Ž̤�ȼ�������Ѳ���̵�뤷�Ƥ���. 

%
\begin{description}

 \item[��ư������]
%
\begin{eqnarray}
\DP{u^{\prime}}{t}
&=& - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x} 
    - v^{\prime} \DP{u^{\prime}}{y}
    - w^{\prime} \DP{u^{\prime}}{z}
  - \langle c_p \rangle_0 \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{x} +
  D_{u}
\\
%%
\DP{v^{\prime}}{t}
&=& - u^{\prime} \DP{v^{\prime}}{x} 
    - v^{\prime} \DP{v^{\prime}}{y}
    - w^{\prime} \DP{v^{\prime}}{z}
  - \langle c_p \rangle_0 \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{y} +
  D_{v}
\\
%%
\DP{w^{\prime}}{t}
&=& - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x}
    - v^{\prime} \DP{w^{\prime}}{y} 
    - w^{\prime} \DP{w^{\prime}}{z}
  - \langle c_p \rangle_0 \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{z}
  \nonumber \\
& &  
  + \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} g
  + \frac{
      \sum (R_v / R_d - 1) q_v^{\prime}
      - \sum ( q_c^{\prime} + q_r^{\prime} )
    }
    { 1 + \sum (R_v / R_d - 1) \overline{q_v} } g
%  + \frac{q_d^{\prime} \langle M \rangle_0 /M_d + \sum q_v^{\prime}
%    \langle M \rangle_0 / M_v }{\overline{q_d} \langle M \rangle_0 /M_d +
%    \sum \overline{q_v} \langle M \rangle_0 / M_v} g
  + D_{w^{\prime}}
\end{eqnarray}

\item[����������]
%
\begin{eqnarray}
\DP{ \Pi^{'}}{t}
 &=&
- \frac{\overline{{\langle c_{s} \rangle}^{2}}}
       {\langle c_p \rangle_0  \bar{\rho} \bar{\theta_v}^{2}}
 \Ddiv \left(
        \bar{\rho} \bar{\theta_v} \Dvect{u^{'}}
       \right)
 \nonumber \\
 & &
 + \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }
      {\langle c_p \rangle_0 \overline{\theta_v} }
\Bigg[
 \Dinv{ \overline{\theta} }
 \left\{ \Dinv{\overline{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
  + D_{\theta} \right\}
 \nonumber \\
& &
+ \Dinv{ 1 + \sum \left( \frac{R_v}{R_d} - 1 \right) \overline{q_v} }
 \nonumber \\
& &
  \Bigg\{
   - \sum ( D_{q_v} + D_{q_c} + D_{q_r} )
    + \sum \frac{R_v}{R_d}
      \left[  M_{src} (q_v) + D_{q_v} \right]
  \Bigg\}
\Bigg]
 \nonumber \\
\end{eqnarray}



\item[Ǯ�μ�]
%
\begin{eqnarray}
\DP{\theta^{\prime}}{t}
 &=& - u^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{x}
     - v^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{y}
     - w^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{z}
     - w^{\prime} \DP{\overline{\theta}}{z}
+ \Dinv{\overline{\Pi}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}) \nonumber \\
& &
 + D_{\overline{\theta}} + D_{\theta^{\prime}}
\Deqlab{def_theta}
\end{eqnarray}


\item[�漾����¸��]
\begin{eqnarray}
\DP{q_a^{\prime}}{t}
 &=& - u^{\prime} \DP{q_a^{\prime}}{x}
     - v^{\prime} \DP{q_a^{\prime}}{y}
     - w^{\prime} \DP{q_a^{\prime}}{z}
     - w^{\prime} \DP{\overline{q_a}}{z} \nonumber \\
 & & + \Dinv{\overline{\rho}} M_{fall} (\rho_a^{\prime})
     + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_a^{\prime})
     - \frac{\overline{q_a}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
     (\rho_r^{\prime}) 
     + D_{\overline{q_a}}
     + D_{q_a^{\prime}}. 
       \nonumber \\
\Deqlab{def_qa}
%\DP{q_d^{\prime}}{t}
% &=& - u^{\prime} \DP{q_d^{\prime}}{x}
%     - w^{\prime} \DP{q_d^{\prime}}{z}
%     - \overline{u} \DP{q_d^{\prime}}{x}
%     - w^{\prime} \DP{\overline{q_d}}{z}
%     - \frac{\overline{q_d}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
%     (\rho_s^{\prime}) \nonumber \\
% & & + D_{\overline{q_d}}
%     + D_{q_d^{\prime}}, 
%\Deqlab{def_qd}
%\\
%%
%\DP{q_v^{\prime}}{t}
% &=& - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
%     - w^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{z}
%     - \overline{u} \DP{q_v^{\prime}}{x}
%     - w^{\prime} \DP{\overline{q_v}}{z}
%     - \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
%     (\rho_s^{\prime}) \nonumber \\
% & & + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_v^{\prime})
%     + D_{\overline{q_v}}
%     + D_{q_v^{\prime}},
%\Deqlab{def_qv}
%\\
%%
%\DP{q_c^{\prime}}{t}
% &=& - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
%     - w^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{z}
%     - \overline{u} \DP{q_c^{\prime}}{x}
%     - \frac{\overline{q_c}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
%     (\rho_s^{\prime}) \nonumber \\
% & & + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_c^{\prime})
%     + D_{q_c^{\prime}},
%\Deqlab{def_qc}
%\\
%%
%\DP{q_r^{\prime}}{t}
% &=& - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
%     - w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{z}
%     - \overline{u} \DP{q_r^{\prime}}{x}
%     + \Dinv{\overline{\rho}} M_{fall} (\rho_r^{\prime})
%     + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_r^{\prime})
%     + D_{q_r^{\prime}}. 
%\Deqlab{def_qr}
%
\end{eqnarray}
%
\end{description}


���ΤȤ� \Deqref{def_qa} �� $a = v, c, r$ �� 3 ��˴ؤ��뼰�Ȥʤ�. 
%$\langle R \rangle_0$, $\langle c_p \rangle_0$, $\langle M \rangle_0$ �Ϥ��줾
%��ʿ�ѵ������, ʿ���갵��Ǯ, ʿ��ʬ���̤Ǥ���, ���줾��
%����������. 
$Q_{cond}$, $Q_{rad}$, $Q_{dis}$ �Ϥ��줾��ŷ��Ǯ, ���Ͳ�Ǯ,
�����Ǯ�ˤ�벹���Ѳ�Ψ��ɽ��, $M_{src}$, $M_{fall}$ �Ϥ��줾��������,
����ɽ��. 
$M_{src}$, $M_{fall}$, $Q_{cond}$ ���꼰���ˤĤ��Ƥ� 1.2 ��ǾܽҤ���. 
$Q_{rad}$ ���꼰���ˤĤ��Ƥ� 1.3 ��ǾܽҤ���. 
$Q_{dis}$, $D_{\ast}$ ���꼰���ˤĤ��Ƥ� 1.4 ��ǾܽҤ���. 



%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\section{����ʪ�������Υѥ�᥿�ꥼ�������}

�ܥ�ǥ�Ǥ� Kessler(1969) �Υѥ�᥿�ꥼ�������� Tobie et al.(2003)
�˴�Ť��ѥ�᥿�ꥼ�������� 2 ���ब�Ѱդ���Ƥ���\footnote{
����, �ܥ�ǥ���Ѱդ���Ƥ��� Tobie et al.(2003) �Υѥ�᥿�ꥼ�������
�ϲ����絤�׻��ǤΤ߻��Ѳ�ǽ�Ǥ���. 
}. 

\subsection{Kessler(1969) �α���ʪ���ѥ�᥿�ꥼ�������}

%Kessler(1969) �Υѥ�᥿�ꥼ�������
%�������Ϥ˴ޤޤ��ŷ�ˤ��ŷ��Ǯ�� $Q_{cond}$, ������ $M_{src}$, 
%��� $M_{fall}$ ��ɾ����, 
%����(1998)���Ѥ���줿 Kessler (1969) ���Ȥ������Υѥ�᥿�ꥼ��������
%����. 

Kessler(1969) �Υѥ�᥿�ꥼ�������Ǥ� 4 �ĤΥ��ƥ��꡼�����ꤷ, ��ʪ
���ǲ����Ȥ��ưʲ����θ����. 
������, �������̤����������ͤȤ����������, 
�������ľ�ܱ���˶ŷ뤹�������̵�뤵��Ƥ���. \\
%
\begin{tabular}{ll}\\ \hline
���� & ����                \\ \hline
$CN_{vc}$  & �ŷ�ˤ�������������ؤ��Ѵ� (condensation) \\
$EV_{cv}$  & ��ȯ�ˤ����夫�������ؤ��Ѵ� (evaporation) \\
$EV_{rv}$  & ��ȯ�ˤ�뱫�夫�������ؤ��Ѵ� (evaporation) \\
$CN_{cr}$  & ʻ����Ĺ�ˤ����夫�鱫��ؤ��Ѵ�. 
             ʻ��������Ȼ��ˤ��, \\
           & ��γ�Ҥ���γ���礭���ˤޤ���Ĺ���� (autocondensation) \\
$CL_{cr}$  & ����ʻ��ˤ����夫�鱫��ؤ��Ѵ�. \\
           & ���ũ������ũ�����ʻ�礹�� (collection) \\ 
$PR_{r}$   & ����ν������ȼ�����庮������Ѳ�Ψ (precipitation)\\ \hline
\end{tabular}

������ʪ���ǲ������Ѥ����, ������, ���, �ŷ��Ǯ��ϰʲ��Τ褦��ɽ��
���. 
\begin{eqnarray}
M_{src} (\rho_v^{\prime})
 &=& - \overline{\rho} (CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv}), \\
M_{src} (\rho_c^{\prime})
 &=& \overline{\rho} (CN_{vc} - EV_{cv} - CN_{cr} - CL_{cr}), \\
M_{src} (\rho_r^{\prime})
 &=& \overline{\rho} (CN_{cr} + CL_{cr} - EV_{cv}), \\
M_{fall} (\rho_v^{\prime}) 
 &=& 0, \\
M_{fall} (\rho_c^{\prime}) 
 &=& 0, \\
M_{fall} (\rho_r^{\prime}) 
 &=& PR_r, \\
Q_{cond} 
 &=& - \frac{L_v}{\overline{\rho} \langle c_p \rangle_0} 
     M_{src} (\rho_v^{\prime}). 
\end{eqnarray}

\Deqref{def_theta}, \Deqref{def_qa} ���ľ����, �ʲ��Τ褦�ˤʤ�. 
%
\begin{eqnarray}
\DP{\theta^{\prime}}{t} 
 &=& 
 - u^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{x} 
 - v^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{y} 
 - w^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{z} 
 - w^{\prime} \DP{\overline{\theta}}{z} 
 + \frac{L_v}{ \langle c_p \rangle_0 \overline{\Pi}} 
  \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right) 
\nonumber \\
&& + \Dinv{\bar{\Pi}} \left(Q_{rad} + Q_{dis}\right)
 + D_{\bar{\theta}}
 + D_{\theta^{\prime}}
\\
%
\DP{q_v^{\prime}}{t}
 &=& - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
     - v^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{y}
     - w^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{z}
     - w^{\prime} \DP{\overline{q_v}}{z}
     - \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum PR_r
        \nonumber \\
 & & - \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)
     + D_{\overline{q_v}}
     + D_{q_v^{\prime}},
%\DP{q_{v}}{t} 
%&=&
%  - \left( u \DP{q_{v}}{x} + w \DP{q_{v}}{z} \right)
%  - w\DP{\bar{q_{v}}}{x} 
%  - \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)
%\nonumber \\
%&& 
%  + Turb.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}}, 
\Deqlab{def_qv2}
\\
%%
\DP{q_c^{\prime}}{t}
 &=& - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
     - v^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{y}
     - w^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{z}
     - \frac{\overline{q_c}}{\overline{\rho}} \sum PR_r
      \nonumber \\
 & & + CN_{vc} - EV_{cv} - CN_{cr} - CL_{cr} 
     + D_{q_c^{\prime}},
%\DP{q_{c}}{t} 
%&=& 
%  - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right)
%  + ( CN_{vc} - EV_{cv} - CN_{cr} - CL_{cr})  + Turb.q_{c}, 
\Deqlab{def_qc2}
\\
%%
\DP{q_r^{\prime}}{t}
 &=& - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
     - v^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{y}
     - w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{z}
     + \Dinv{\overline{\rho}} PR_r
     + CN_{cr} + CL_{cr} - EV_{rv}
     + D_{q_r^{\prime}}. 
%\DP{q_{r}}{t} 
%&=&
%  - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right)
%  + (CN_{cr} + CL_{cr} - EV_{rv} ) + PR_{r} + Turb.q_{r}
%\Deqlab{def_qr2}
%
\end{eqnarray}
%
������, 
%$\gamma = L_{v}/ ({c_{p}}_{d} \Pi)$ �Ǥ���, 
$L_{v}$ �Ͽ�ξ�ȯ����Ǯ[J kg$^{-1}$], 
$\langle c_{p} \rangle$ ���갵��Ǯ[J K kg$^{-1}$] �Ǥ���. 


��ʪ���ǲ����ϰʲ��Τ褦���꼰������. 

%
%CReSS(���ڤȺ縶, 2001)�� Klemp and Wilhelmson (1978) ����
%������ʪ���ǲ������꼰������. CReSS�桼�����ޥ˥奢��(���ڤȺ縶, 2001)
%�� Klemp and Wilhelmson (1978) ��Ʊ���꼰�����Ѥ��Ƥ��뤬, 
%˰�¾����� $q_{vsw}$ �ȱ���ν�ü®�� $V_{term}$ �μ��η��������줾��ۤʤ�.
%������ͳ��ξ�Ԥ��Ѥ���ñ�̷Ϥ��ߤ��˰ۤʤ뤿���, 
%Klemp and Wilhelmson (1978) �Ǥϰ��ϤȤ��� mbar, 
%®�٤Ȥ��� cm s$^{-1}$ ���Ѥ��Ƥ���. 



\begin{description}

 \item[������ȱ���δ֤��Ѵ�: $-CN_{vc} + EV_{cv}$]~\\
%
	    �����γ��������, ������Ȥδ֤ǽִ�Ū��˰��Ĵ�᤬��������
	    �Ȥ���. ���ʤ��, ��ή�ʤɤι��׻�������β��٤ȿ�����̤�
	    ��˰�¾��֤ȤʤäƤ�����ˤ�, ���礦��˰�¤ˤʤ��̤ο����
	    ��ŷ뤵����. ����, ��ή�ʤɤι��׻��������, ���夬¸�ߤ�
	    ��ˤ⹴��餺̤˰�¤ˤʤäƤ�����Ǥ�, ���礦��˰�¤ˤʤ�
	    �̤α�����ȯ������. 	    
%
%	    \begin{eqnarray}
%	     -CN_{vc} + EV_{cv} = \DD{q_{vsw}}{t}. 
%	      \Deqlab{teishiki:def_CNvc+EVcv}
%	    \end{eqnarray}


% \item[˰�º�����: $q_{vsw}$] ~\\
%	    
%	    ˰�¾����� $p_{vsw}$ �� Antoine �μ����Ѥ��ưʲ��Τ褦��ɽ��
%	    ����. 
%
%	    \begin{eqnarray}
%	     p_{vsw} 
%	      = A - \frac{B}{C + T}
%	      = A - \frac{B}{C + (\theta \Pi)}
%	    \end{eqnarray}
%%
%	    ��ξ��, Antoine ����η������ͤ�, 
%%
%	    \begin{eqnarray}
%	     A = 23.1964 \hspace{1em}
%%	      B = 3816.44 \hspace{1em}
%	      C = -46.13 
%	    \end{eqnarray}
%%
%	    �Ǥ���. �ͤϲ��ع��������򻲾Ȥ���. ˰�¾��������˰�º������
%	    ����Ȱʲ��Ȥʤ�. 
%%
%	    \begin{eqnarray}
%	     q_{vsw} 
%	      = \varepsilon \frac{p_{vsw}}{p - p_{vsw}}
%	      = \varepsilon \frac{p_{vsw}}{p_{0}  \Pi^{{c_{p}}_{v}/R_{d}} - p_{vsw}}
%	    \end{eqnarray}
%%
%	    ������ $\varepsilon$ �Ͽ�����ȴ��������ʬ������Ǥ���, 
%	    �ϵ�ξ��ˤ� $\varepsilon = 0.622$ �Ǥ���. 
%	    �����꼰���Ǥ϶Ž���ʬ�����Ѥϵ�����ʬ�����Ѥ����̵��Ǥ��뤯�餤
%	    �������Ȳ��ꤷ, �Ž���ʬ������ΰ��Ϥ�Ϳ����ƶ���̵�뤷�Ƥ���. 

 \item[�����ʻ����Ĺ: $CN_{cr}$] ~\\
%
%	     Berry(1968)�˽��äưʲ���Ϳ����. 
%
%	    \begin{eqnarray}
%	     && CN_{cr} = \frac{10^{6} \bar{\rho} q_{c}^{3}}
%	      {60 (2 q_{c} + 2.66 \times 10^{-8} N_{0}/ \bar{\rho} D_{0})}
%	      \Deqlab{def_CNcr} \\
%	     && \hspace{2em}
%	      N_{0} = 5.0 \times 10^{7}, 
%	      \hspace{1em}
%	      D_{0} = 0.366
%	      \nonumber 
%	    \end{eqnarray}
%
%	    ��������򤷤���ͳ��, ���ˤ� Kessler (1969) �Τ�Ȥ�Ȥμ�
%	    �����ͤ�ޤ�Ǥ��뤿����������Լ�����(Ĺ������ʬ��, �ΰ��
%	    �����˱��夬ί�ޤ�, �Ĥ��ˤ����褬����ʤ���Ƥ��ޤ�)�����
%	    ������Ǥ���. ����ˤ�, Berry(1969) �μ����ޤ���ʤ�ˤ�, 
%	    ���ξ�α�ʪ���򰷤���ȼ�ĥ���Ƥ��뤫��Ǥ���. 
%
	    Kessler (1969) �˽��ä�, �ʲ��Τ褦��Ϳ����.
%
	    \begin{eqnarray}
	     && CN_{cr} = 
	      \left( q_{c}^{\prime} - q_{c 0} \right) / \tau_{ac}
	      \Deqlab{def_CNcr}
	    \end{eqnarray}
	    ������, $ q_{c 0}$, $\tau_{ac}$ ��ʻ����Ĺ�˴ؤ�������,
	    ���֥�������Ǥ���, ���줾�� 0, 100 [s] �Ȥ���. 
%
    


 \item[����ξ���ʻ��: $CL_{cr}$] ~\\
%
	    Kessler (1969) �˽��ä�, �ʲ����꼰������. 
%
	    \begin{eqnarray}
	     && CL_{cr} = 10.344 g^{1/2} 
                \left( \frac{\bar{\rho}}{\rho_w} \right)^{0.375}
                 q_c^{\prime} {q_r^{\prime}}^{0.875} 
	      \Deqlab{def_CLcr}
	    \end{eqnarray}
%


 \item[����ξ�ȯ: $EV_{rv}$]~\\
%
	    Kessler (1969) �˽��ä�, �ʲ����꼰������. 
	    \begin{eqnarray}
	     EV_{rv} = 
	      4.85 \times 10^{-2}
	      \left( q_{vsw} - q_v^{\prime} \right)
	      ( \bar{\rho} q_r^{\prime} )^{0.65}
	    \end{eqnarray}
	    ������ $q_{vsw}$ ��˰���漾��ɽ��. 

\item[����Υե�å���: $PR_{r}$ ]~\\
%
	    ����ν�����ˤ�뺮������Ѳ�Ψ��, 
%
	    \begin{eqnarray}
	     PR_{r} = \DP{}{z} 
	              \left( \bar{\rho} q_r^{\prime} V_{term} \right). 
	      \Deqlab{teishiki:def_PRr}
	    \end{eqnarray}
%
	    �Ǥ���, ����ν�ü�®�� $V_{term}$ [m s$^{-1}$] ��
%
	    \begin{eqnarray}
%	     V_{term} = 12.2 \left( \bar{\rho} q_r^{\prime}
%			     \right)^{0.125}  
	     V_{term} = 0.3224 g^{1/2} 
                 \left( \frac{\rho_w}{\overline{\rho}} \right)^{0.375}
                 {q_r^{\prime}}^{0.125}  
	    \end{eqnarray}
%
	    ��Ϳ����. 
	    ������ $\rho_w$ �ϱ����̩�٤Ǥ���. 

\end{description}

�ơ�����ʪ��������Ƴ�ФˤĤ��Ƥ�, ��Ͽ C �򻲾Ȥ��줿��. 
 

\subsection{Tobie et al.(2003) �α���ʪ���ѥ�᥿�ꥼ�������}


Tobie et al.(2003) �ϲ����絤�Ǥ� CO$_{2}$ �α�ʪ�����꼰���ˤĤ��ƽҤ�
�Ƥ���. 
Tobie et al.(2003) �Ǥϱ������� 3 �ĤΥ��ƥ��꡼��ͤ���($q_c = 0$). 
��γ�ϳȻ���Ĺ�Τߤˤ�ä���Ĺ����Ȳ��ꤷ, ��γ��ʻ����Ĺ�Ϲ�θ���ʤ�. 
��ʪ�������Ȥ��ưʲ����θ����. 

\begin{tabular}{ll}\\ \hline
���� & ����                \\ \hline
$CN_{vr}$  & �ŷ�ˤ����������ɹ�ؤ��Ѵ� (condensation) \\
$PR_{r}$   & ɹγ�ν������ȼ��ɹ�漾���Ѳ�Ψ (precipitation)\\ \hline
\end{tabular}

������ʪ���ǲ������Ѥ����, ������, ���, �ŷ��Ǯ��ϰʲ��Τ褦��ɽ��
���. 
\begin{eqnarray}
M_{src} (\rho_v^{\prime})
 &=& - \overline{\rho} CN_{vr}, \\
M_{src} (\rho_r^{\prime})
 &=&   \overline{\rho} CN_{vr}, \\
M_{fall} (\rho_v^{\prime}) 
 &=& 0, \\
M_{fall} (\rho_r^{\prime}) 
 &=& PR_r, \\
Q_{cond} 
 &=& - \frac{L_s}{\overline{\rho} \langle c_p \rangle_0} 
     M_{src} (\rho_v^{\prime}). 
\end{eqnarray}

\Deqref{def_theta}, \Deqref{def_qa} ���ľ����, �ʲ��Τ褦�ˤʤ�. 
%
\begin{eqnarray}
\DP{\theta^{\prime}}{t} 
 &=& 
 - u^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{x} 
 - v^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{y} 
 - w^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{z}
 - w^{\prime} \DP{\bar{\theta}}{z} 
 + \frac{L_s}{ \langle c_{p} \rangle_0 \overline{\Pi}} 
  CN_{vr}  
\nonumber \\
&& + \Dinv{\bar{\Pi}} \left(Q_{rad} + Q_{dis}\right)
 + D_{\bar{\theta}}
 + D_{\theta^{\prime}}
\\
%
\DP{q_v^{\prime}}{t}
 &=& - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
     - v^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{y}
     - w^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{z}
     - w^{\prime} \DP{\overline{q_v}}{z}
     - \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum PR_r
     (\rho_r^{\prime}) \nonumber \\
 & & - CN_{vr} 
     + D_{\overline{q_v}}
     + D_{q_v^{\prime}},
%\DP{q_{v}}{t} 
%&=&
%  - \left( u \DP{q_{v}}{x} + w \DP{q_{v}}{z} \right)
%  - w\DP{\bar{q_{v}}}{x} 
%  - \left( CN_{vc} - EV_{cv} - EV_{rv} \right)
%\nonumber \\
%&& 
%  + Turb.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}}, 
\Deqlab{def_qv3}
\\
%%
%%
\DP{q_r^{\prime}}{t}
 &=& - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
     - v^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{y}
     - w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{z}
     + \Dinv{\overline{\rho}} PR_r
     - CN_{vr}
     + D_{q_r^{\prime}}. 
%\DP{q_{r}}{t} 
%&=&
%  - \left( u \DP{q_{c}}{x} + w \DP{q_{c}}{z} \right)
%  + (CN_{cr} + CL_{cr} - EV_{rv} ) + PR_{r} + Turb.q_{r}
%\Deqlab{def_qr2}
%
\end{eqnarray}
������ $L_s$ �� CO$_2$ �ξ��ڤ���Ǯ [J K$^{-1}$ kg$^{-1}$] �Ǥ���. 

�ʲ�, $CN_{vr}$ �μ�갷���ˤĤ��ƽҤ٤�.
�ܥ�ǥ�Ǥ�ñ�̼��̤ε���˴ޤޤ��ŷ�ˤθĿ��ڤ�Ⱦ�¤϶���Ū������Ū
�˰��ͤȲ��ꤹ��.
�ޤ���γ��Ⱦ�¤ϳƳʻ���ˤ����ƶ���Ū�˰���Ǥ���Ȳ��ꤹ��.
���˱�γ�ϵ���ζŷ�ˤ�ˤȤ��Ʒ�������, ��γ���Ȥ����Ȥʤ�Ȳ��ꤹ��.
���ΤȤ�
\begin{equation}
\frac{4}{3} \rho_I \pi ( r_d^3 - r_{aero}^3) N 
 = q_r^{\prime} \overline{\rho} 
 \Deqlab{CloudA}
\end{equation}
�Ȥ����ط���������Ω��.
������ $\rho_I$ �� CO$_2$ ɹ��̩��, $r_d$ �ϱ�γȾ��, $r_{aero}$ �϶ŷ�
�ˤ�Ⱦ��, $N$ ��ñ������������ζŷ�ˤο�̩�٤Ǥ���.
�ܥ�ǥ�Ǥ� $\rho_I = 1.565 \times 10^3$ [kg/m$^3$] ��Ϳ��, $r_{aero}$,
$N$ �ϼ¸��˱�����Ϳ����.
��γ�α�γ���Ȼ��ˤ�ä���Ĺ�������ñ�̻���ñ������������ζŷ���
$CN_{vr}$ �ϰʲ��Τ褦��ɽ�����. 
\begin{equation}
CN_{vr} 
 = \frac{4 \pi r_d N}{\overline{\rho} (R_h + R_m)} 
   (S - 1). 
    \Deqlab{CloudB}
\end{equation}
������ $R_h$, $R_m$, $S$ �Ϥ��줾��Ǯ͢���˴ؤ������, ����͢���˴ؤ���
���, ˰����Ǥ���
\begin{eqnarray}
R_h &=& \frac{L_s^2}{k R_v T^2} = \frac{L_s^2}{k R_v \theta^2 \Pi^2},
 \Deqlab{CloudC} \\
R_m &=& \frac{R_v T}{D p_{\ast}} = \frac{R_v \theta \Pi}{D p_{\ast}},
 \Deqlab{CloudD} \\
S &=& \frac{p}{p_{\ast}} = \frac{{p_0}^{\frac{c_p}{R}} \Pi}{p_{\ast}}
 \Deqlab{CloudE}
\end{eqnarray}
��ɽ�����.
â�� $k$, $D$, $p_{\ast}$ �Ϥ��줾��Ǯ�Ȼ�����, ʬ�ҳȻ�����, CO$_2$ ��
˰�¾������Ǥ���.
�ܥ�ǥ�Ǥ� Tobie et al. (2003) Ʊ�ͤ˼���ʬ�ŷ�ϤǤ� $R_h \gg R_m$ ��
����
\begin{equation}
CN_{vr} = \frac{4 \pi r_d N}{R_h} (S - 1). \Deqlab{CloudF}
\end{equation}
��ɽ��.
CO$_2$ ��˰�¾������ˤĤ��Ƥ�Ⱦ�и����Ǥ��� Antoine �μ�
\begin{equation}
 p_{\ast} = \exp \left( A - \frac{B}{T - C} \right) \Deqlab{CloudG}
\end{equation}
���Ѥ�������(Antoine, 1888).
������ $A$, $B$, $C$ �ϼ¸��ˤ����ޤ뷸���Ǥ���, CO$_2$ �ξ�� $A =
27.4$, $B = 3103$, $C = -0.16$ �Ǥ���(���ع��ز�, 1999).
�����絤�Ķ��ˤ�����ŷ�����ꤹ��� $O(T) \sim 150 $[K] �Ǥ���Τ�, $T
\gg C$ �ȶ������
\begin{equation}
 p_{\ast} \approx \exp \left( A - \frac{B}{T} \right) \Deqlab{CloudH}
\end{equation}
�Ȥ���.

�ʲ�, ñ�̻�������������α�γ��� $PR_r$ �μ�갷���ˤĤ��ƽҤ٤�.
Tobie et al.(2003) �Ǥϱ�γ���̵�뤷�Ƥ��뤬, �ܥѥ�᥿�ꥼ�������
�ǤϹ�θ����. 
$PR_r$ �� Kessler(1969) ��Ʊ�ͤ�, ��γ�ν�ü®�� $V_{term}$ �Ǥΰ�ή
�Ȥ���ɽ������.
¨��
\begin{equation}
PR_r = \DP{}{z} \left( \rho_r V_{term} \right) \Deqlab{CloudI}
\end{equation}
��ɽ��.
��ü®�� $V_{term}$ �ˤĤ��Ƥϵ��γ�Ҥ˴ؤ��� Stokes §��Ŭ�Ѥ���
\begin{equation}
V_{term} = C_{sc} \frac{2 r_d^2 g \rho_I}{9 \eta} \Deqlab{CloudJ}
\end{equation}
��ɽ��.
������ $C_{sc}$ ��������γ�Ҥˤ����� Stokes §����Τ�����������뷸��
(Cunningham ��������)�Ǥ���,
\begin{equation}
C_{sc} = 1 + 1.255 \frac{\lambda}{r_d} \Deqlab{CloudK}
\end{equation}
��ɽ�����(Cunningham, 1910).
$\lambda$ �� CO$_2$ ��ʿ�Ѽ�ͳ�����Ǥ���,
\begin{equation}
\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 p_{CO_2}} \Deqlab{CloudL}
\end{equation}
��ɽ�����.
$k_B$ �� Boltzmann ���, $\sigma$ �� CO$_2$ ʬ�Ҥ�ľ��, $p_{CO_2}$ ��
CO$_2$ ��ʬ���Ǥ���, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}$ [m$^2$ kg s$^{-2}$
K$^{-1}$], $\sigma = 3.3 \times 10^{-10}$ [m] �Ǥ���(Golden and Sircar,
1994). 
$\eta$ ��Ǵ�������Ǥ���, Sutherland �θ���
\begin{equation}
\eta = \eta_{ref} \left( \frac{T_{ref} + C_{CO_2}}{T + C_{CO_2}} \right)
 \left( \frac{T}{T_{ref}} \right)^{3/2} \Deqlab{CloudM}
\end{equation}
��ɽ������(Sutherland, 1893).
$\eta_{ref}$, $T_{ref}$, $C_{CO_2}$ �Ϥ��줾��Ǵ�������δ����, ���٤δ�
����, CO$_2$ �˴ؤ��� Sutherland ����Ǥ���, $\eta_{ref} = 1.47 \times
10^{-5}$ [Pa $\cdot$ s], $T_{ref} = 293$ [K], $C_{CO_2} = 240$ [K] ��Ϳ
��
��(����ǯɽ, 2004).



%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\section{���Ͳ�Ǯ���ɽ��}

���Ͳ�Ǯ�� $Q_{rad}$ ����̣�ξ�������ͥե�å��� $F_{net}$ ���Ѥ���
�ʲ��Τ褦��ɽ�����.
\[
  Q_{rad} = - \frac{1}{\overline{\rho} \langle c_{p} \rangle_0 }
            \DD{F_{net}}{z}
\]

�ܥ�ǥ�Ǥ� $F_{net}$ ���ۤ˷׻�����, $Q_{rad}$ �Ϲ��٤Τߤ˰�¸����
�ѥ�᥿�Ȥ���Ϳ����.  


%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\section{��ή����Υѥ�᥿�ꥼ�������}

\subsection{��ư��������γȻ���} 
Klemp and Wilhelmson (1978) ����� CReSS (���ڤȺ縶, 2001) ��Ʊ�ͤ�,
1.5 ���Υ��������㡼���Ѥ��뤳�Ȥ�Ǵ���Ȼ���ϰʲ��Τ褦�˽񤱤�. 
%
 \begin{eqnarray}
  D_{u_{i}} 
   &=& - \DP{}{x_{j}} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
   \nonumber \\
  &=& - \DP{}{x_{j}}
       \left[
          - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
	  	        + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	  + \frac{2}{3} \delta_{ij} E_{turb}
       \right]
 \end{eqnarray}
 ������ $K_{m}$ �ϱ�ư�̤��Ф�����ή�Ȼ������Ǥ���,  $E_{turb}$ ��
 ���֥���åɥ����������ή��ư���ͥ륮��
 \begin{eqnarray}
  E_{turb} = \frac{1}{2}
      \overline{(u^{\prime})^{2} + (v^{\prime})^{2} + (w^{\prime})^{2}}
      = \frac{{K_{m}}^{2}}{C_{m}^{2} l^{2}}
 \end{eqnarray}
 �Ǥ���. 
 Deardorff(1975) �˽���, $C_{m} = 0.2$ �Ȥ���. 

\subsection{Ǯ�ϳؤμ��γȻ���}
Klemp and Wilhelmson (1978) ����� CReSS (���ڤȺ縶, 2001) ��Ʊ�ͤ�,
1.5 ���Υ��������㡼���Ѥ��Ʋ��̤�Ǵ���Ȼ����ɽ������. 
����¸�ߤ��ʤ����, 
%
 \begin{eqnarray}
  D_{\theta} 
   &=& - \DP{}{x_{j}} \overline{u_{j}^{\prime} \theta^{\prime}}
   \nonumber \\
   &=& - \DP{}{x_{j}} \left(K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}\right)
 \end{eqnarray}
��ɽ��, ����¸�ߤ�����, 
%
 \begin{eqnarray}
  D_{\theta} 
   &=& - \DP{}{x_{j}} \overline{u_{j}^{\prime} \theta^{\prime}}
   \nonumber \\
   &=& 
    - \DP{}{x_{j}} 
      \left[
       \left( 
        1 + \sum 
         \frac{L^2 \overline{q_v}}
              { \langle c_p \rangle_0 R_v
	        \overline{\Pi}^2 \overline{\theta}^2 }
       \right)^{-1}
       K_h \DP{\theta_e}{x_j}
      \right]
 \end{eqnarray} 
��ɽ��. 
������ $K_{h}$ �ϲ��̤��Ф�����ή�Ȼ�����, $\theta_e$ ���������̤Ǥ���. 

\subsection{��ή��ư���ͥ륮���μ�}

Klemp and Wilhelmson (1978) ����� CReSS (���ڤȺ縶, 2001) ��Ʊ�ͤ�,
1.5 ���Υ��������㡼���Ѥ���, ��ή���ͥ륮���λ���ȯŸ��������ɽ������
\footnote{
��ή��ư���ͥ륮���λ���ȯŸ��������Ƴ�Ф˴ؤ��Ƥ�, ��Ͽ B �򻲾Ȥ��줿
��. 
}. 
����¸�ߤ��ʤ����, 
\begin{eqnarray}
  \DP{E_{turb}}{t}
  &=&
     - u \DP{E_{turb}}{x} - v \DP{E_{turb}}{y} - w \DP{E_{turb}}{z}
   \nonumber \\
  &&
    - 3 g C_m l E_{turb}^{1/2} \frac{K_h}{\overline{\theta}}
    \DP{\theta}{z}
    - 3 g C_m l E_{turb}^{1/2} \frac{\sum \frac{R_v}{R_d} \DP{q_v}{z}
      - \sum \DP{ q_L }{z} }
    { 1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L} }
     \nonumber \\
  &&+ 2 C_m l E_{turb}^{1/2} \left\{
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{v}{y} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  +  C_m l E_{turb}^{1/2}
    \left\{
     \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)^{2}
     + \left(\DP{v}{z} + \DP{w}{y}\right)^{2}
     + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  - \frac{2}{3}
      E_{turb} \left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z} \right)
     \nonumber \\
  && + \DP{}{x} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{x} \right)
     + \DP{}{y} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{y} \right)
      \nonumber \\
  &&  + \DP{}{z} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{z} \right)
      - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
          E_{turb}^{\frac{3}{2}}.
 \Deqlab{kiso:TurbE}
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�. 
�ޤ�����¸�ߤ�����, 
\begin{eqnarray}
\DP{E_{turb}}{t}
&=&
 - u \DP{E_{turb}}{x} - v \DP{E_{turb}}{y} - w \DP{E_{turb}}{z}
 \nonumber \\
& &
      - 3 g C_m l E_{turb}^{1/2}
        \left(
         1
          + \sum
           \frac{L^2 \overline{q_v}}{ \langle c_p \rangle_0 R_v
               \overline{\theta}^2 \overline{\Pi}^2 }
        \right)^{-1}
         \nonumber \\
   & &
        \left[
         \Dinv{\overline{\theta}}
         + \Dinv{R_d \overline{\Pi} \overline{\theta}^2}
           \left(
            1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum
	    \overline{q_L}
           \right)^{-1}
          \left( \sum L \overline{q_v} \right)
        \right]
        \DP{\theta_e}{z}
         \nonumber \\
   & &
      + 3 g C_m l E_{turb}^{1/2}
         \left(
          1 + \sum \frac{R_v}{R_d} \overline{q_v} - \sum \overline{q_L}
         \right)^{-1}
        \DP{\left( \sum q_L \right)}{z}
         \nonumber \\
  &&+ 2 C_m l E_{turb}^{1/2} \left\{
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{v}{y} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  +  C_m l E_{turb}^{1/2}
    \left\{
     \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)^{2}
     + \left(\DP{v}{z} + \DP{w}{y}\right)^{2}
     + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
    \right\}
     \nonumber \\
  &&
  - \frac{2}{3}
      E_{turb} \left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z} \right)
     \nonumber \\
  && + \DP{}{x} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{x} \right)
      + \DP{}{y} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{y} \right)
      \nonumber \\
  &&
      + \DP{}{z} \left(C_m l E_{turb}^{1/2} \DP{E_{turb}}{z} \right)
      - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
          E_{turb}^{\frac{3}{2}}.
 \Deqlab{kiso:TurbE-moist}
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�. 
%
������ $C_{m} = 0.2$, �����Υ $l = \left(\Delta x \Delta y \Delta z
\right)^{1/3}$ �Ȥ���. 
������ $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ �ϳʻҴֳ֤Ǥ���.
%$\theta_{el}$ �ϰʲ��Τ褦���������
%%
%\begin{eqnarray}
% \theta_{el} &=& \overline{ \theta_{v}} + \theta_{v}^{'} \;\;\; (for \;\; q_{c} = 0)\\
%%
% \theta_{el} 
%  &=& \overline{\theta_{v}} + \theta_{v}^{'} + \frac{ \sum L
%  q_{v}}{{c_p}_{d} \bar{\pi}}  
%   \;\;\; (for \;\; q_{c} > 0)
%\end{eqnarray}
%%
%������, 
%%
%\begin{eqnarray}
% \theta_v
%  =
% \overline{\theta_{v}} + \theta_{v}^{'}   
%  = 
%  \left( \frac{\langle M\rangle}{M_d} 
%         q_d 
%         + \sum \frac{\langle M \rangle_0}{M_v} 
%         q_v \right)
%    \bar{\theta_{v}} 
%    \left\{
%     1 + \frac{\theta}{\bar{\theta}}
%     + \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum  \bar{q_{v}}/M_{v}}
%     - \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}
%     {1 + \sum \bar{q_{v}}}
%    \right\}
%\end{eqnarray}
%
%�Ǥ���.


\subsection{�����Ǯ���ɽ��}

�����Ǯ�� $Q_{dis}$ ��, ��ή��ư���ͥ륮���λ������Ȥ�, 
�ʲ��Τ褦��Ϳ����.
\begin{equation}
  Q_{dis} = \frac{1}{\langle c_{p} \rangle_0 }\frac{C_{\varepsilon}}{l}
            \frac{K_{m}^{3}}{(C_{m}l)^{3}}.
\end{equation}
������  $C_{\varepsilon} = 0.2$, 
$l=(\Delta x \Delta y \Delta z)^{1/3}$ �Ǥ���.




%--------------------------------------------------------------------


