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%表題   3 次元積雲モデル -- 数理モデル
%
%履歴   2003-07-25 高橋 こう子   新規作成
%       2003-09-03 高橋 こう子   骨子完成
%       2003-09-08 高橋 こう子   参考文献追加
%       2003-09-09 高橋 こう子   Appendix 追加
%       2003-11-17 高橋 こう子   修正
%       2003-11-22 高橋 こう子   運動エネルギーの式修正
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}

% 使用パッケージ
\usepackage{Dennou6}
\usepackage{ascmac}

% 字下げなし
\Dnoparindent

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%
% 分数の定義
% (分数の中に分数がある場合, 文字の大きさを揃えるため)
\def\dfrac#1#2{{\displaystyle\frac{#1}{#2}}}
\def\cfrac#1#2{\dfrac{\mathstrut #1}{#2}}
%
% eqnarray 環境の変更
% & & をつけたところに空白ができないようにする
%
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%
% 節, 式, 図, 表の表示設定
%\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
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% 節, 式, 図, 表, ページの番号設定
\setcounter{secnumdepth}{3} % 番号表示する節の深さ
\setcounter{tocdepth}{3}    % 目次で表示する節の深さ

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\Dtitle{3 次元積雲モデルの定式化}

\Dauthor[高橋, 杉山, 小高, 中島, 林]
        {高橋 こう子, 杉山 耕一朗, 小高 正嗣, 中島 健介, 林 祥介}

\Ddate{2003年11月25日}

%\Dpath{/GFD\_Dennou\_Club/ftp/arch/deepconv/}

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\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\begin{abstract}
 Klemp and Wilhelmso (1978) と CReSS を基にして, 3 次元,
 圧縮性の地形を考慮した非静力の積雲モデルの定式化を行う.
 まず, 直交直線座標系における基礎方程式を導出する.
 サブグリッドスケールの拡散は 1.5 次の乱流クロージャモデルを
 用いる.
 微物理過程は,  氷相過程は考えず, 水蒸気と雲水間の変換, 
 雲水から雨水への変換, 雨水から水蒸気への変換と降水過程を
 考える.
 次に, 同様の設定で地形に沿う座標系における基礎方程式系を
 導出する.
\end{abstract}

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\Dparskip

%====================================================================
\newpage

\section{直交直線座標系における基礎方程式系}

 この節では, 3 次元, 準圧縮系での直交直線座標系における
 基礎方程式系を導出する.
 これらの方程式系はKlemp and Wilhelmson (1978) と同様である.

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%\pagebreak

\subsection{変数の定義}

 モデルの独立変数は空間の変数 $x, y, z$ と時間の変数 $t$ で
 ある.
 ここで用いる従属変数はこれらの関数として定義され,
  \begin{center}
   \begin{tabular}[tb]{lll}
    $u$ & : & 速度の $x$ 成分 \\
    $v$ & : & 速度の $y$ 成分 \\
    $w$ & : & 速度の $z$ 成分 \\
    $\theta$ & : & 温位 \\
    $\pi$ & : & 初期状態からの圧力偏差 \\
    $q_{v}$ & : & 水蒸気の混合比  \\
    $q_{c}$ & : & 雲水の混合比 \\
    $q_{r}$ & : & 雨水の混合比 \\
   \end{tabular}
  \end{center}
 である.

 圧力 $p$ は無次元量であるエクスナー (Exner) 関数
 \begin{equation}
  \Pi \equiv \left(\frac{p}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{p}}
  \Deqlab{エクスナー関数}
 \end{equation}
 を用い, 温位は
 \begin{eqnarray}
  \theta &\equiv& T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/c_{p}}
  \nonumber \\
         &=& \frac{T}{\Pi}
  \Deqlab{温位}
 \end{eqnarray}
 を用いる.
 ただし $T$ は温度, $p_{0}$ は地表面での圧力, $c_{p}$ は
 定圧比熱, $R_{d}$ は乾燥空気の気体定数である.

 湿潤空気の状態方程式は
 \begin{eqnarray}
  p = \rho R_{d} T \left(1 + 0.61 q_{v}\right)
  \Deqlab{状態方程式}
 \end{eqnarray}
 または
 \begin{eqnarray}
  \Pi  = \left(\frac{R_{d}}{p_{0}}
	       \rho \theta_{v}\right)^{R_{d}/c_{v}}
 \end{eqnarray}
 である.
 ただし $\rho$ は湿潤空気の密度,  $\theta_{v}$ は仮温位で
 以下のように表される:
 \begin{equation}
  \theta_{v} = \theta \left(1 + 0.61 q_{v}\right) .
  \Deqlab{仮温位}
 \end{equation}

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{基本場と偏差の分離}

 変数を基本場とそこからの偏差に分ける.
 基本場の状態の変数は上付きバー $(\bar{~})$ で表し,
 偏差の変数を上付きプライム $( ^{\prime})$  で表す.
 ある変数 $\phi$ は以下のように分離される:
 \begin{eqnarray}
  \phi = \bar{\phi} + \phi^{\prime}
 \end{eqnarray}
 $\phi$ は速度 $u, v, w$, 温位 $\theta$, 圧力 $p$ または $\Pi$,
 密度 $\rho$である
 \footnote{水蒸気の混合比 $q_{v}$, 雲水の混合比 $q_{c}$,
           雨水の混合比 $q_{r}$ は分離しない.}.

 ここでは基本場として初期状態を考える.
 初期状態は, 水平一様 ($\bar{\phi} = \bar{\phi}(z)$), 静止
 ($\bar{u} = \bar{v} = \bar{w} = 0$) 擾乱のない状態
 であるとする
 \footnote{初期状態では雲水と降水がないとする.}.

 基本場における無次元量の圧力, 温位, 仮温位は, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  \bar{\Pi} &=& \left(\frac{\bar{p}}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{p}}
  , \\
  \bar{\theta} &=& \frac{\bar{T}}{\bar\Pi}
  , \\
  \bar{\theta_{v}} &=& \bar{\theta}
                       \left( 1 + 0.61 \bar{q_{v}}\right)
 \end{eqnarray}
 である.

 基本場での運動方程式の鉛直成分から, 静水圧平衡の式が得られる:
 \begin{eqnarray}
  \DP{\bar{\Pi}}{z} = - \frac{g}{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
  .
 \end{eqnarray}

 以下では, 記述の簡便のため,  $\Pi^{\prime} = \pi$ とし,
 その他の変数の上付きプライム $( ^{\prime})$ は省略する.
 
%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{基礎方程式系}

 密度は湿潤空気の状態方程式より以下のように与えられる:
 \begin{eqnarray}
  \rho = \frac{p_{0}}{R_{d}}
           \frac{\Pi^{c_{v}/R_{d}}}{\theta_{v}}
  .
 \end{eqnarray}


 密度以外の変数は以下のような時間発展方程式系で表される.

 {\bf 運動方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DD{u_{i}}{t} &+& c_{p} \bar{\theta}_{v} \DP{\pi}{x_{i}}
  \nonumber \\
   &=& \delta_{i3} g
       \left[\frac{\theta}{\bar{\theta}} - 1
	     + 0.61 \left(q_{v} - \bar{q}_{v}\right)
             - q_{c} - q_{r}\right]
       - \varepsilon_{i3k} f u_{k} + D_{u_{i}}
  .
 \end{eqnarray}
 $f$ はコリオリパラメータ, $D_{u_{i}}$ はサブグリッド
 スケールの乱流に伴う拡散項であり
 \ref{サブグリッドスケールの拡散}節で述べる.

 {\bf 圧力方程式} :
 \begin{eqnarray}
    \DP{\pi}{t}
     &+& \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p}
         \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
         \DP{}{x_{j}}
	 \left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} u_{j}\right)
     = f_{\pi}
  , \\
  f_{\pi} &=& - u_{j} \DP{\pi}{x_{j}}
            + \frac{R_{d} \pi}{c_{v}} \DP{u_{j}}{x_{j}}
            + \frac{c^{2}}{c_{p} \theta_{v}^{2}}
              \DD{\theta_{v}}{t}
            + D_{\pi}
  \Deqlab{基礎圧力方程式f}
  .
 \end{eqnarray}
 $D_{\pi}$ はサブグリッドスケールの乱流に伴う拡散項,
 $c, \bar{c}$ はそれぞれ以下のように与えられる
 音波と基本場での音波である:
 \begin{eqnarray}
  c^{2} &=& \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}} \Pi \theta_{v}
  , \\
  \bar{c^{2}} &=& \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}}
                  \bar{\Pi} \bar{\theta}_{v}
  .
 \end{eqnarray}
 Klemp and Wilhelmson (1978) に従い $f_{\pi} = 0$ とする.
 これは線形化を行い, 非断熱項 (\Deqref{基礎圧力方程式f}の右辺
 第 3項) を無視することを意味する.

 圧力方程式は, エクスナー関数と連続の式
 \begin{eqnarray}
  \DP{\rho}{t}
   + \DP{}{x_{j}} \left(\rho u_{j}\right)
   = 0
 \end{eqnarray}
 から得られる.

 {\bf 熱力学方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DD{\theta}{t} = D_{\theta} + M_{\theta}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 水蒸気の混合比の方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DD{q_{v}}{t} = D_{q_{v}} + M_{q_{v}}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雲水の混合比の方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DD{q_{c}}{t} = D_{q_{c}} + M_{q_{c}}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雨水の混合比の方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DD{q_{r}}{t} = D_{q_{r}} + M_{q_{r}}
  .
 \end{eqnarray}

 それぞれの方程式中の
 $D_{\theta}, D_{q_{v}}, D_{q_{c}}, D_{q_{v}}$ はサブ
 グリッドスケールの乱流に伴う拡散項である.
 $M_{\theta}, M_{q_{v}}, M_{q_{c}}, M_{q_{v}}$ は微物理
 過程に伴う生成・消滅項である.
 拡散項については\ref{サブグリッドスケールの拡散}節で,
 生成・消滅項については\ref{雲・降水の微物理過程}節で述べる.

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\pagebreak

\subsection{サブグリッドスケールの拡散}
\label{サブグリッドスケールの拡散}

 サブグリッドスケールでのダブルプライム付き
 $(^{\prime \prime})$ の変数は, 
 レイノルズ平均からの偏差とする.

 {\bf 運動方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{u_{i}} = - \DP{}{x_{j}}
                \left(\overline{u_{i}^{\prime \prime}
	              u_{j}^{\prime \prime}}\right)
  .
 \end{eqnarray}
 ただし
 \begin{eqnarray}
  \overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}
        = - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
	  	        + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	  + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
  ,
 \end{eqnarray}
 $K_{m}$ は運動量の渦混合係数,  $E$ は以下のように
 与えられるサブグリッドスケールの運動エネルギーである:
 \begin{eqnarray}
  E = \frac{1}{2}
      \overline{\left(u^{\prime \prime}
	              + v^{\prime \prime}
	              + w^{\prime \prime}
	        \right)^{2}}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 熱力学方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{\theta} &=& - \DP{}{x_{j}}
                \left(\overline{u^{\prime \prime}
		                \theta^{\prime \prime}}
	        \right)
  \\
             &\sim& \DP{}{x_{j}}
	            \left(K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}\right)
  .
 \end{eqnarray}
 $K_{h}$ は渦混合係数である.

 {\bf 水蒸気の混合比の方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{q_{v}} &=& - \DP{}{x_{j}}
                \left(\overline{u^{\prime \prime}
		                q_{v}^{\prime \prime}}
	        \right)
  \\
             &\sim& \DP{}{x_{j}}
                \left(K_{h} \DP{q_{v}}{x_{j}}\right)
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雲水の混合比の方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{q_{c}} &=& - \DP{}{x_{j}}
                \left(\overline{u^{\prime \prime}
		                q_{c}^{\prime \prime}}
	        \right)
  \\
             &\sim& \DP{}{x_{j}}
                \left(K_{h} \DP{q_{c}}{x_{j}}\right)
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雨水の混合比の方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{q_{r}} &=& - \DP{}{x_{j}}
                \left(\overline{u^{\prime \prime}
		                q_{r}^{\prime \prime}}
	        \right)
  \\
             &\sim& \DP{}{x_{j}}
                \left(K_{h} \DP{q_{r}}{x_{j}}\right)
  .
 \end{eqnarray}

 $E$ は以下の予測方程式から得られる:
 \begin{eqnarray}
  \DD{E}{t}
     &=& g
         \left\{- A K_{h} \DP{\theta_{e}}{z}
                + K_{h} \left(1 - \gamma A\right)
                  \DP{q_{v}}{z}
                + K_{h} \DP{q_{c}}{z}\right\}
  \nonumber \\
     & & + 2 K_{m} \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)^{2}
         + \frac{1}{2} \, |\varepsilon_{ijk}| K_{m}
	   \left(\DP{u_{j}}{x_{i}} + \DP{u_{i}}{x_{j}}\right)^{2}
  \nonumber \\
     & & - \frac{3}{2} \delta_{ij} E
         \left(\DP{u_{j}}{x_{j}}\right)
         + \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}}\right)
		- \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
		  E^{\frac{3}{2}}
  , \\
  A &=& \frac{1}{\bar{\theta}}
        \left\{\frac{1 + \dfrac{1.61
	             \varepsilon L q_{v}}{R_{d} T}}
	            {1 + \dfrac{\varepsilon L^{2} q_{v}}
		              {c_{p} R_{d} T^{2}}}\right\}
  .
 \end{eqnarray}
 ただし, $\theta_{e}$ は相当温位で
 $\theta_{e} = \theta \left(1 + L q_v/(c_{p} T)\right)$
 $l = \left(\Delta x \Delta y \Delta z\right)^{1/3}$ は
 混合距離,
 $K_{h} = 3 K_{m}, C_{\varepsilon} = C_{m} = 0.2,$
 $\gamma = L/\left(c_{p} \bar{\Pi}\right)$ である.

 $K_{m}$ は
 \begin{eqnarray}
  K_{m} = C_{m} E^{\frac{1}{2}} l
  .
 \end{eqnarray}
 から得られる.

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{雲・降水の微物理過程}
\label{雲・降水の微物理過程}

 水蒸気を含む空気塊が上昇すると, 水蒸気から雲水になり雲が
 形成され, さらに降水粒子へと成長すると降水が起こる.
 ここで考える降水過程は氷相過程を含まない「暖かい雨」である.
 このような過程の雲は全領域が $0^{\circ}{\rm C}$ 以上にあり,
 暖かい雲といわれる. 

  {\bf 熱力学方程式中の生成・消滅項} :
 \begin{eqnarray}
  M_{\theta} = - \gamma
                 \left(\DD{q_{vs}}{t} + E_{r}\right)
  .
 \end{eqnarray}
 $q_{vs}$ は飽和混合比, $E_{r}$ は蒸発による雨水から水蒸気への
 変換分である.

 {\bf 水蒸気の混合比の方程式中の生成・消滅項} :
 \begin{eqnarray}
  M_{q_{v}} = \DD{q_{vs}}{t} + E_{r}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雲水の混合比の方程式中の生成・消滅項} :
 \begin{eqnarray}
  M_{q_{c}} = - \DD{q_{vs}}{t} - A_{r} - C_{r}
  .
 \end{eqnarray}
 $A_{r}$ は併合過程による雲水から雨水への変換分,
 $C_{r}$ は衝突併合による雲水から雨水への変換分である.

 {\bf 雨水の混合比の方程式中の生成・消滅項} :
 \begin{eqnarray}
  M_{q_{r}} = F_{r}
	      - E_{r} + A_{r} + C_{r}
  \Deqlab{雨水微物理}
  .
 \end{eqnarray}
 $F_{r}$ は雨水の鉛直フラックスつまり降水として落ちた分である.

 ここで考えている微物理過程は以下のとおりである
 (\Dfigref{微物理過程}).
 ただし水蒸気が直接雨水になる凝結する過程は無視する.
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics{./images/bibutsuri.eps}
   \caption{考慮する微物理過程.}
   \Dfiglab{微物理過程}
  \end{center}
 \end{figure}

 \begin{itemize}
  \item 凝結による水蒸気から雲水への変換と
	蒸発による雲水から水蒸気への変換 (Soong and Ogura, 1973):

	$q_{vs}$ は, Tetens の公式を用いて,
	\begin{eqnarray}
	 q_{vs} = \frac{3.8}{\bar{p}}
	           \exp
		   \left(17.27
		   \frac{\bar{\Pi} \theta -273}
		        {\bar{\Pi} \theta -36}\right)
	\end{eqnarray}
	と表される.
  \item 蒸発による雨水から水蒸気への変換 (Ogura and
	Takahashi,1971):
	\begin{eqnarray}
	 E_{r} = \frac{1}{\bar{\rho}}
	         \frac{\left(1 - \dfrac{q_{v}}{q_{vs}}\right)
		 C \left(\bar{\rho} q_{r}\right)^{0.525}}
		 {5.4 \times 10^{5}
		 + \dfrac{2.55 \times 10^{6}}{\bar{p} q_{vs}}}
	 .
	\end{eqnarray}
	ただし $C$ は換気ファクタ (ventilation factor) といい,
	\begin{eqnarray}
	 C = 1.6
	     + 124.9 \left(\bar{\rho}q_{r}\right)^{0.2046}
	\end{eqnarray}
	である.
  \item 併合成長による雲水から雨水への変換 (Kessler, 1969):
	\begin{eqnarray}
	 A_{r} = k_{1} \left(q_{c} - a\right)
	 .
	\end{eqnarray}
	ただし $k_{1} = 0.001 ~ {\rm s^{-1}},$
	$ a = 0.001 ~ {\rm kg \, kg^{-1}}$ である.

  \item 衝突併合による雲水から雨水への変換 (Kessler, 1969):
	\begin{eqnarray}
	 C_{r} &=& k_{2} q_{c} q_{r}^{0.875}
	 .
	\end{eqnarray}
	ただし $k_{2} = 2.2 ~ {\rm s^{-1}}$ である.
 \end{itemize}
 \Deqref{雨水微物理}の右辺第 1 項 $F_{r}$ は雨水の鉛直
 フラックスである:
 \begin{eqnarray}
   F_{r} = \frac{1}{\bar{\rho}}
	      \DP{}{z}
	      \left(\bar{\rho} V q_{r}\right)
  .
 \end{eqnarray}
 $V$ は雨水の終端速度で
 \begin{eqnarray}
  V = 36.34 \left(\bar{\rho} q_{r}\right)^{0.1346}
        \left(\frac{\bar{\rho}}{\rho_{0}}\right)^{-\frac{1}{2}}
  .
 \end{eqnarray}
 のように与えられる (Soong and Ogura, 1973 に密度の変化を加えた).

 $\rho_{0}$ は基本場の地表面での密度である.
 各単位は, $p$ が ${\rm mb},$ 密度 $\rho$ が ${\rm kgm^{3}},$
 混合比 $q_{v}, q_{c}, q_{r}$ が ${\rm kg \, kg^{-1}},$
 $V$ が ${\rm m \, s^{-1}}$ とする.


%====================================================================
\newpage

\section{地形に沿う座標系における基礎方程式}

 前節で導出した直交直線座標系での方程式系を地形に沿う座標系へ
 変換する.

%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\subsection{地形に沿う座標系}

 直交直線座標 $(x, y, z)$ の関数として曲線座標
 \begin{eqnarray}
   x^{*} &=& x^{*} (x, y, z)
   , \\
   y^{*} &=& y^{*} (x, y, z)
   , \\
   z^{*} &=& z^{*} (x, y, z)
 \end{eqnarray}
 を設定する.
 また,
 \begin{eqnarray}
  G &\equiv&  \DP{(x, y, z)}{(x^{*}, y^{*},z^{*})}
  \nonumber \\
    &\equiv& \left|
	      \begin{array}{ccc}
	       \dfrac{\partial x}{\partial x^{*}} &
		\dfrac{\partial x}{\partial y^{*}} &
		\dfrac{\partial x}{\partial z^{*}} \\
	       \dfrac{\partial y}{\partial x^{*}} &
		\dfrac{\partial y}{\partial y^{*}} &
		\dfrac{\partial y}{\partial z^{*}} \\
	       \dfrac{\partial z}{\partial x^{*}} &
		\dfrac{\partial z}{\partial y^{*}} &
		\dfrac{\partial z}{\partial z^{*}} \\
	      \end{array}
       \right|
  , \\
   G &\ne& 0
  \nonumber
 \end{eqnarray}
 が成り立っているとする.
 
 直交座標系でのベクトル
 $(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3})$
 \begin{eqnarray}
  \vec{e}_{1} = \left(
		 \begin{array}{c}
		      \dfrac{\partial x}{\partial x^{*}} \\
		      \dfrac{\partial y}{\partial x^{*}} \\
		      \dfrac{\partial z}{\partial x^{*}}
		 \end{array}
		\right)
  , \ \
  \vec{e}_{2} = \left(
		 \begin{array}{c}
		      \dfrac{\partial x}{\partial y^{*}} \\
		      \dfrac{\partial y}{\partial y^{*}} \\
		      \dfrac{\partial z}{\partial y^{*}}
		 \end{array}
		\right)
  , \ \
  \vec{e}_{3} = \left(
		 \begin{array}{c}
		      \dfrac{\partial x}{\partial z^{*}} \\
		      \dfrac{\partial y}{\partial z^{*}} \\
		      \dfrac{\partial z}{\partial z^{*}}
		 \end{array}
		\right)
 \end{eqnarray}
 を定義する.
 ベクトル $(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3})$ は
 曲線座標 $(x^{*}, y^{*}, z^{*})$ の基底ベクトルである.

 曲線座標系での速度を $(U, V, W)$ とすると,
 \begin{eqnarray}
  u &=& U \DP{x}{x^{*}} + V \DP{x}{y^{*}} + W \DP{x}{z^{*}}
  \Deqlab{地形に沿う速度u}
  , \\
  v &=& U \DP{y}{x^{*}} + V \DP{y}{y^{*}} + W \DP{y}{z^{*}}
  \Deqlab{地形に沿う速度v}
  , \\
  w &=& U \DP{z}{x^{*}} + V \DP{z}{y^{*}} + W \DP{z}{z^{*}}
  \label{地形に沿う速度w}
 \end{eqnarray}
 と書ける.
 \Deqref{地形に沿う速度u}-(\ref{地形に沿う速度w})を $U, V, W$ に
 ついて解くと,
 \begin{eqnarray}
  G^{1/2} U &=& u J_{y^{*} z^{*}}^{yz} + v J_{y^{*} z^{*}}^{zx}
                + w J_{y^{*} z^{*}}^{xy}
  , \\
  G^{1/2} V &=& u J_{z^{*} x^{*}}^{yz} + v J_{z^{*} x^{*}}^{zx}
                + w J_{z^{*} x^{*}}^{xy}
  , \\
  G^{1/2} W &=& u J_{x^{*} y^{*}}^{yz} + v J_{x^{*} y^{*}}^{zx}
                + w J_{x^{*} y^{*}}^{xy}
  .
 \end{eqnarray}
 $J$ はヤコビアンで, 例えば
 \begin{eqnarray}
  J_{y^{*} z^{*}}^{yz} &\equiv& \DP{(y, z)}{(y^{*}, z^{*})}
  \nonumber \\
                       &=& \left|
			     \begin{array}{cc}
			      \dfrac{\partial y}{\partial y^{*}} &
			      \dfrac{\partial y}{\partial z^{*}} \\
			      \dfrac{\partial z}{\partial y^{*}} &
			      \dfrac{\partial z}{\partial z^{*}} \\
			     \end{array}
			   \right|
 \end{eqnarray}
 である.

 ここで, 以下のような地形に沿う座標系 $(x^{*}, y^{*} ,z^{*})$ を
 導入する:
 \begin{eqnarray}
  x^{*} &=& x
  , \\
  y^{*} &=& y
  , \\
  z^{*} &=& z^{*} (x, y, z)
  .
 \end{eqnarray}
 地表面の高さを $z_{s} (x^{*}, y^{*})$ , モデル領域の高さを $H$ 
 としたとき, 地表面上で 0 , 領域の高さで $H$ となるように
 $z^{*}$ を定義する (\Dfigref{地形に沿った座標}):
 \begin{eqnarray}
  z^{*} = \frac{H \left(z - z_{s}\right)}{H - z_{s}}
  .
 \end{eqnarray}
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics{./images/zsta.eps}
   \caption{直線直交座標系における $(u, v, w)$ と
            地形に沿った座標系における $(U, V, W)$.}
   \Dfiglab{地形に沿った座標}
  \end{center}
 \end{figure}

 このとき, ヤコビアン $J$ は, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  \left.
  \begin{array}{lll}
  J_{y^{*} z^{*}}^{yz} = \dfrac{\partial z}{\partial z^{*}} , &
  J_{y^{*} z^{*}}^{zx} = 0 , &
  J_{y^{*} z^{*}}^{xy} = 0 , \\
  J_{z^{*} x^{*}}^{yz} = 0 , &
  J_{z^{*} x^{*}}^{zx} = \dfrac{\partial z}{\partial z^{*}} , &
  J_{z^{*} x^{*}}^{xy} = 0 , \\
  J_{x^{*} y^{*}}^{yz} = - \dfrac{\partial z}{\partial x} , &
  J_{x^{*} y^{*}}^{zx} = - \dfrac{\partial z}{\partial y} , &
  J_{x^{*} y^{*}}^{xy} = 1 ,
  \end{array}
  \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right\}
 \end{eqnarray}
 3 次元の場合のヤコビアン $G$ は
 \begin{eqnarray}
  G &\equiv& \DP{(x, y, z)}{(x^{*}, y^{*},z^{*})}
  , \\
    &=& \left(\DP{z}{z^{*}}\right)^{2}
 \end{eqnarray}
 となる.
 したがって,
 \begin{eqnarray}
  G^{1/2} &=& \frac{H - z_{s}}{H}
  , \\
  G^{13} &\equiv& \frac{J_{x^{*} y^{*}}^{yz}}{G^{1/2}}
  \nonumber \\
         &=& \frac{z^{*} - H}{H -  z_{s}}
             \DP{z_{s}}{x}
  , \\
  G^{23}  &\equiv& \frac{J_{x^{*} y^{*}}^{zx}}{G^{1/2}}
  \nonumber \\
         &=& \frac{z^{*} - H}{H -  z_{s}}
             \DP{z_{s}}{y}
 \end{eqnarray}
 とする.

 地形に沿った座標系での速度は
 \begin{eqnarray}
  U &=& u
  , \\
  V &=& v
  , \\
  W &=& G^{13} u + G^{23} v + \frac{1}{G^{1/2}} w
 \end{eqnarray}
 となる.
 以下では $W = \omega$ とおく.

 直交直線座標系から地形に沿う座標系へ変換したとき,
 ある変数 $\phi$ の空間微分は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\phi}{x} &=&\DP{\phi}{x}
           + G^{13} \DP{\phi}{z^{*}}
  , \\
  \DP{\phi}{y} &=& \DP{\phi}{y}
                      + G^{23} \DP{\phi}{z^{*}}
  , \\
  \DP{\phi}{z} &=& \frac{1}{G^{1/2}}
                      \DP{\phi}{z^{*}}
 \end{eqnarray}
 となる.

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{基礎方程式系}

 地形に沿う座標系場合も直交直線座標系の場合と同様に,
 基本場とそこからの偏差に分ける.
 基本場は地形を考慮した静水圧平衡の式
 \begin{eqnarray}
  \DP{\bar{\Pi}}{z^{*}} = - \frac{G^{1/2} g}{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
 \end{eqnarray}
 を満たす状態とする.

 密度は湿潤空気の状態方程式から与えられる:
 \begin{eqnarray}
  \rho = \frac{p_{0}}{R_{d}}
           \frac{\Pi^{c_{v}/c_{p}}}{\theta_{v}}
  .
 \end{eqnarray}

 密度以外の変数は以下のような地形に沿う座標系における時間発展
 方程式系で表現される:

 {\bf 運動方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DP{u}{t} + u \DP{u}{x} + v \DP{u}{y}
     &+& \omega \DP{u}{z^{*}}
     + c_{p} \bar{\theta}_{v}
        \left(\DP{\pi}{x} + G^{13} \DP{\pi}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
   &=& f v + D_{u}
  , \\
  \DP{v}{t} + u \DP{v}{x} + v \DP{u}{y}
     &+& \omega \DP{v}{z^{*}}
     + c_{p} \bar{\theta}_{v}
        \left(\DP{\pi}{y} + G^{23} \DP{\pi}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
   &=& - f u + D_{v}
  , \\
  \DP{w}{t} + u \DP{w}{x} + v \DP{w}{y}
     &+& \omega \DP{w}{z^{*}}
     + \frac{c_{p} \bar{\theta}_{v}}{G^{1/2}}
        \DP{\pi}{z^{*}}
  \nonumber \\
   &=& g \left[\frac{\theta}{\bar{\theta}} - 1
	     + 0.61 \left(q_{v} - \bar{q}_{v}\right)
             - q_{c} - q_{r}\right]
             + D_{w}
 \end{eqnarray}
 $D_{u}, D_{v}, D_{w}$ は \ref{地形サブグリッドの拡散} 節で述べる.

 {\bf 圧力方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DP{\pi}{t}
     &+& \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p}
         \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	 \Biggl\{
	   \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} u\right)}{x}
	   + \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} v\right)}{y}
	   + G^{13}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} u\right)}{z^{*}}
	   + G^{23}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} v\right)}{z^{*}}
	   + \frac{1}{G^{1/2}}
	     \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} w\right)}{z^{*}}
	 \Biggr\}
  \nonumber \\
     &=& f_{\pi}
  , \\
  f_{\pi} &=& - u \DP{\pi}{x} - v \DP{\pi}{y}
              - \omega \DP{\pi}{z^{*}}	      
  \nonumber \\
          & & + \frac{R_{d} \pi}{c_{v}}
	        \left\{\DP{u}{x} + \DP{v}{y}
		      +\left(G^{13} + G^{23} + \frac{1}{G^{1/2}}\right)
		        \DP{w}{z^{*}}
	        \right\}
  \nonumber \\
          & & + \frac{c^{2}}{c_{p} \theta_{v}^{2}}
	        \left\{\DP{\theta_{v}}{t}
		       + \DP{\theta_{v}}{x}
		       + \DP{\theta_{v}}{y}
		       + \left(G^{13} + G^{23}
		               + \frac{1}{G^{1/2}}\right)
		         \DP{\theta_{v}}{z^{*}}
	        \right\}
	      + D_{\pi}
  .
 \end{eqnarray}
 Klemp and Wilhelmson (1978) では $f_{\pi} = 0$ としている.
 
 {\bf 熱力学方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DP{\theta}{t} + u \DP{\theta}{x}
  + v \DP{\theta}{y} + \omega \DP{\theta}{z^{*}}
     = M_{\theta} + D_{\theta}
 \end{eqnarray}

 {\bf 水蒸気の混合比の方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DP{q_{v}}{t} + u \DP{q_{v}}{x}
     + v \DP{q_{v}}{y}
     + \omega \DP{q_{v}}{z^{*}}
     &=& M_{q_{v}} + D_{q_{v}}
 \end{eqnarray}

 {\bf 雲水の混合比の方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DP{q_{c}}{t} + u \DP{q_{c}}{x}
     + v \DP{q_{c}}{y}
     + \omega \DP{q_{c}}{z^{*}}
     &=& M_{q_{c}} + D_{q_{c}}
 \end{eqnarray}

 {\bf 雨水の混合比の方程式} :
 \begin{eqnarray}
  \DP{q_{r}}{t} + u \DP{q_{r}}{x}
     + v \DP{q_{r}}{y}
     + \omega \DP{q_{r}}{z^{*}}
     &=& M_{q_{r}} + D_{q_{r}}
 \end{eqnarray}

 それぞれの方程式中の
 乱流項 $D_{\theta}, D_{q_{v}}, D_{q_{c}}, D_{q_{v}}$ は
 \ref{地形サブグリッドの拡散} 節で,
 微物理項 $M_{\theta}, M_{q_{v}}, M_{q_{c}}, M_{q_{v}}$ は
 \ref{地形雲・降水の微物理過程} 節で述べる.

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{サブグリッドスケールの拡散}
\label{地形サブグリッドの拡散}

 {\bf 運動方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{u} &=& 2 \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
            \left\{K_{m}
	           \left(\DP{u}{x} + G^{13}
		         \DP{u}{z^{*}}\right)
            \right\}
  \nonumber \\
	& & + \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{u}{y}
		         + \DP{v}{x}
		         + G^{23} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{x}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
  , \\
  D_{v} &=& \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
            \left\{K_{m}
	         \left(\DP{v}{x}
		       + \DP{u}{y}
		       + G^{23} \DP{u}{z^{*}}
		       + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
		 \right)
            \right\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
	             \left(\DP{v}{y}
		           + G^{23} \DP{v}{z^{*}}\right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{y}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z^{*}}
		         + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
  , \\
  D_{w} &=& \left(\DP{}{x} + G^{13} \DP{}{z^{*}}\right)
                \left\{K_{m}
	           \left(\DP{w}{x}
		         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z^{*}}
		         + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
		   \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + \left(\DP{}{y} + G^{23} \DP{}{z^{*}}\right)
              \left\{K_{m}
 	             \left(\DP{w}{y}
		           + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z^{*}}
		           + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
		     \right)
              \right\}
  \nonumber \\
	& & + 2 \frac{1}{G^{1/2}}\DP{}{z^{*}}
              \left(K_{m}
	             \frac{1}{G^{1/2}} \DP{w}{z^{*}}
              \right)
  \nonumber \\
        & & - \frac{2}{3}
	      \left(\DP{E}{x} + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
	            + \DP{E}{y} + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
		    + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{E}{z^{*}}
	      \right)
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 熱力学方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{\theta} &=& \left(\DP{}{x}
                      + G^{13} \DP{}{z^{*}}
		 \right)
                 \left(K_{h}\DP{\theta}{x}
		       + K_{h} G^{13}
		         \DP{\theta}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & &  + \left(\DP{}{y}
                      + G^{23} \DP{}{z^{*}}
		    \right)
                    \left(K_{h}\DP{\theta}{y}
		         + K_{h} G^{23}
			   \DP{\theta}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & & + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{}{z^{*}}
	           \left(\frac{K_{h}}{G^{1/2}}
		         \DP{\theta}{z^{*}}\right)
  , \\
  K_{h} &=& 3 K_{m}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 水蒸気の混合比の方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{q_{v}} &=& \left(\DP{}{x}
                      + G^{13} \DP{}{z^{*}}
		 \right)
                 \left(K_{h}\DP{q_{v}}{x}
		       + K_{h} G^{13}
		         \DP{q_{v}}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & &  + \left(\DP{}{y}
                      + G^{23} \DP{}{z^{*}}
		    \right)
                    \left(K_{h}\DP{q_{v}}{y}
		         + K_{h} G^{23}
			   \DP{q_{v}}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & & + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{}{z^{*}}
	           \left(\frac{K_{h}}{G^{1/2}}
		         \DP{q_{v}}{z^{*}}\right)
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雲水の混合比の方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{q_{c}} &=& \left(\DP{}{x}
                      + G^{13} \DP{}{z^{*}}
		 \right)
                 \left(K_{h}\DP{q_{c}}{x}
		       + K_{h} G^{13}
		         \DP{q_{c}}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & &  + \left(\DP{}{y}
                      + G^{23} \DP{}{z^{*}}
		    \right)
                    \left(K_{h}\DP{q_{c}}{y}
		         + K_{h} G^{23}
			   \DP{q_{c}}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & & + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{}{z^{*}}
	           \left(\frac{K_{h}}{G^{1/2}}
		         \DP{q_{c}}{z^{*}}\right)
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雨水の混合比の方程式中の拡散項} :
 \begin{eqnarray}
  D_{q_{r}} &=& \left(\DP{}{x}
                      + G^{13} \DP{}{z^{*}}
		 \right)
                 \left(K_{h}\DP{q_{r}}{x}
		       + K_{h} G^{13}
		         \DP{q_{r}}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & &  + \left(\DP{}{y}
                      + G^{23} \DP{}{z^{*}}
		    \right)
                    \left(K_{h}\DP{q_{r}}{y}
		         + K_{h} G^{23}
			   \DP{q_{r}}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
             & & + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{}{z^{*}}
	           \left(\frac{K_{h}}{G^{1/2}}
		         \DP{q_{r}}{z^{*}}\right)
  .
 \end{eqnarray}

\pagebreak
 サブグリッドスケールの運動エネルギー $E$ は以下の
 時間発展方程式より得られる:
 \begin{eqnarray}
  \DP{E}{t} &+& u \DP{E}{x}
      + v \DP{E}{y} + \omega \DP{E}{z^{*}}
  \nonumber \\
     &=& \frac{g}{G^{1/2}}
         \left\{- A K_{h} \DP{\theta_{e}}{z^{*}}
                + K_{h} \left(1 - \gamma A\right)
                  \DP{q_{v}}{z^{*}}
                + K_{h} \DP{q_{c}}{z^{*}}\right\}
  \nonumber \\
     & & + 2 K_{m}
           \left\{\left(\DP{u}{x} + G^{13} \DP{u}{z^{*}}\right)^{2}
	          + \left(\DP{v}{y} + G^{23} \DP{v}{z^{*}}\right)^{2}
                  + \left(\frac{1}{G^{1/2}}\DP{w}{z^{*}}\right)^{2}
           \right\}
  \nonumber \\
     & & + K_{m}
	   \Biggl\{\left(\DP{v}{x} + \DP{u}{y}
		         + G^{13} \DP{v}{z^{*}}
		         + G^{23} \DP{u}{z^{*}}\right)^{2}
  \nonumber \\
     & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
         + \left(\DP{w}{y} + G^{23} \DP{w}{z^{*}}
	         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{v}{z^{*}}
	   \right)^{2}
  \nonumber \\
     & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
         + \left(\DP{w}{x} + G^{13} \DP{w}{z^{*}}
	         + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{u}{z^{*}}
	   \right)^{2}
           \Biggr\}
  \nonumber \\
     & & - \frac{2}{3} E
         \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}
	       + G^{13} \DP{u}{z^{*}} + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
	       + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{w}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
     & & + \left(\DP{}{x}
	         + G^{13} \DP{}{z^{*}}
	   \right)
	   \left(K_{h}\DP{E}{x}
		 + K_{h} G^{13}
		 \DP{E}{z^{*}}
	   \right)
  \nonumber \\
     & & + \left(\DP{}{y}
                 + G^{23} \DP{}{z^{*}}
	   \right)
           \left(K_{h}\DP{E}{y}
	        + K_{h} G^{23}
		  \DP{E}{z^{*}}\right)
  \nonumber \\
     & & + \frac{1}{G^{1/2}} \DP{}{z^{*}}
           \left(\frac{K_{m}}{G^{1/2}}
	         \DP{E}{z^{*}}\right)
         - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
	   E^{\frac{3}{2}}
  , \\
  \overline{u_{i}^{\prime \prime} u_{j}^{\prime \prime}}
      &=& - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
		      + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	+ \frac{2}{3} \delta_{ij} E
  .
 \end{eqnarray}
 右辺第 1 項は浮力による乱流エネルギーの生成項であり,
 右辺第 2, 3, 4, 5 項はシアーによる生成項である.

 $K_{m}$ は
 \begin{eqnarray}
  K_{m} &=& C_{m} E^{\frac{1}{2}} l
 \end{eqnarray}
 から得られる.

\pagebreak

 $E$ に関する方程式に書き換えると
 \begin{eqnarray}
  \DP{E}{t} &=& - \left(u \DP{E}{x}
		        + v \DP{E}{y} + \omega \DP{E}{z^{*}}
		  \right)
  \nonumber \\
            & & + \frac{g}{G^{1/2}}
		  \left(- A k_{h} \DP{\theta_{e}}{z^{*}}
		         + K_{h} \DP{q_{l}}{z^{*}}
		    \right)
  \nonumber \\
            & & + 2 C_{m} l E^{1/2}
	            \Biggl[\left(\DP{u}{x}
			         + G^{13} \DP{u}{z^{*}}
			   \right)^{2}
			   + \left(\DP{v}{y}
			         + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
			     \right)^{2}
			   + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			           \DP{w}{z}
			     \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{8em}
	                + \left(\DP{v}{x}
			        + \DP{u}{y}
				+ G^{13} \DP{v}{z^{*}}
				+ G^{23} \DP{u}{z^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{8em}
			+ \left(\DP{w}{x}
				+ G^{13} \DP{w}{z^{*}}
			        + \frac{1}{G^{1/2}}
				  \DP{u}{z^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{8em}
			+ \left(\DP{w}{y}
				+ G^{23} \DP{w}{z^{*}}
			        + \frac{1}{G^{1/2}}
				  \DP{v}{z^{*}}
			  \right)^{2}
	        \Biggr]
  \nonumber \\
              & & + \frac{C_{m} l}{2 E^{1/2}}
	            \Biggl[\left(\DP{}{x}
			         + G^{13} \DP{}{z^{*}}
			   \right)
		           \left(\DP{E^{2}}{x}
			         + G^{13} \DP{E^{2}}{z^{*}}
			   \right)
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
		           + \left(\DP{}{y}
			         + G^{23} \DP{}{z^{*}}
			   \right)
		           \left(\DP{E^{2}}{y}
			         + G^{23} \DP{E^{2}}{z^{*}}
			   \right)
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
			   + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			           \DP{}{z^{*}}
			     \right)
			     \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			           \DP{E^{2}}{z^{*}}
			     \right)
  \nonumber \\
              & & \hspace*{4em}
			   - \Biggl\{\left(\DP{E}{x}
				          + G^{13}
				            \DP{E}{z^{*}}
				    \right)^{2}
  \nonumber \\
              & & \hspace*{8em}
			            + \left(\DP{E}{y}
				          + G^{23}
				            \DP{E}{z^{*}}
				      \right)^{2}
			            + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
				            \DP{E}{z^{*}}
				      \right)^{2}
			     \Biggr\}
	            \Biggr]
  \nonumber \\
	     & & - \frac{C_{\varepsilon}}{l} E^{3/2}
 \end{eqnarray}
 となる.

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{雲・降水の微物理過程}
\label{地形雲・降水の微物理過程}

 {\bf 熱力学方程式中の生成・消滅項} :
 \begin{eqnarray}
  M_{\theta} = - \gamma
                 \left\{\DP{q_{vs}}{t} + u \DP{q_{vs}}{x}
		       + v \DP{q_{vs}}{y}
		       + \omega \DP{q_{vs}}{z^{*}}
		       + E_{r}\right\}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 水蒸気の混合比の方程式中の生成・消滅項} :
 \begin{eqnarray}
  M_{q_{v}} = \DP{q_{vs}}{t} + u \DP{q_{vs}}{x}
		       + v \DP{q_{vs}}{y}
		       + \omega \DP{q_{vs}}{z^{*}}
		       + E_{r}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雲水の混合比の方程式中の生成・消滅項} :
 \begin{eqnarray}
  M_{q_{c}} = - \left(\DP{q_{vs}}{t}
		         + u \DP{q_{vs}}{x}
		         + v \DP{q_{vs}}{y}
                         + \omega \DP{q_{vs}}{z^{*}}\right)
		- A_{r} - C_{r}
  .
 \end{eqnarray}

 {\bf 雨水の混合比の方程式中の生成・消滅項} :
 \begin{eqnarray}
  M_{q_{r}} &=& F_{r} - E_{r} + A_{r} +C_{r}
  .
 \end{eqnarray}

 ただし, 
 \begin{eqnarray}
  q_{vs} &=& \frac{3.8}{\bar{p}}
           \exp
	   \left(17.27
	    \frac{\bar{\Pi} \theta -273}
	    {\bar{\Pi} \theta -36}\right)
 , \\
  E_{r} &=& \frac{1}{\bar{\rho}}
	  \frac{\left(1 - \dfrac{q_{v}}{q_{vs}}\right)
	        C \left(\bar{\rho} q_{r}\right)^{0.525}}
	       {5.4 \times 10^{5}
	  + \dfrac{2.55 \times 10^{6}}{\bar{p} q_{vs}}}
  , \\
  C &=& 1.6
      + 124.9 \left(\bar{\rho}q_{r}\right)^{0.2046}
  , \\
  A_{r} &=& k_{1} \left(q_{c} - a\right)
  , \\
  C_{r} &=& k_{2} q_{c} q_{r}^{0.875}
  , \\
  F_{r} &=& \frac{1}{G^{1/2} \bar{\rho}}
	      \DP{}{z^{*}}
	      \left(\bar{\rho} V q_{r}\right)
  ,\label{test} \\
  V &=& 36.34 \left(\bar{\rho} q_{r}\right)^{0.1346}
        \left(\frac{\bar{\rho}}{\rho_{0}}\right)^{-\frac{1}{2}}
  ,
 \end{eqnarray}
 $k_{1} = 0.001 ~ {\rm s^{-1}}, 
  a = 0.001 ~ {\rm kg \, kg^{-1}}, 
  k_{2} = 2.2 ~ {\rm s^{-1}}$ である.


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\newpage

\appendix

\section{基礎方程式系の導出}

 導出できなかった方程式や覚書として残しておきたい導出過程
 について解説する
 \footnote{式変形などがかなりしつこく書いてあります.}.

%--------------------------------------------------------------------
%\pagebreak

\subsection{湿潤空気の状態方程式}

 温度 $T$ のとき, 乾燥空気の状態方程式は
 \begin{eqnarray}
  p_{d} = \rho_{d} R_{d} T
 \end{eqnarray}
 である.
 $p_{d}$ は乾燥空気の圧力, $\rho_{d}$ は乾燥空気の密度,
 $R_{d}$ は乾燥空気の気体定数である.

 また, 温度 $T$ のときの水蒸気の状態方程式は
 \begin{eqnarray}
  e = \rho_{v} R_{v} T
  .
 \end{eqnarray}
 $e$ は湿潤空気の圧力, $\rho_{v}$ は湿潤空気の密度,
 $R_{v}$ は湿潤空気の気体定数である.

 容積 $V$ 中に質量 $M_{d}$ の乾燥空気と質量 $M_{v}$ の
 水蒸気が混ざっているとき, 湿潤空気の密度は
 \begin{eqnarray}
  \rho &=& \frac{M_{d} + M_{v}}{V}
  \nonumber \\
       &=& \rho_{d} + \rho_{v}
  \Deqlab{密度}
 \end{eqnarray}

 したがって, 湿潤空気の圧力を $p$ とすると,
 \begin{eqnarray}
  p &=& p_{d} + e
  \nonumber \\
    &=& \rho_{d} R_{d} T +  \rho_{w} R_{w} T
  \nonumber \\
    &=& \rho_{d} \frac{R^{*}}{m_{d}} T
        + \rho_{v} \frac{R^{*}}{m_{v}} T
  \nonumber \\
    &=& \rho
        \left(\frac{\rho_{d}
	            + \rho_{v} \left(m_{d}/m_{v}\right)}
		   {\rho}
        \right)
	\frac{R^{*}}{m_{d}} T
  \nonumber \\
    &=& \rho R_{d} T
        \left(\frac{1 + \left(\rho_{v}/ \rho_{v}\right)
	            \left(m_{d}/m_{v}\right)}
		   {1 + \rho_{v}/\rho_{d}}\right)
  \nonumber \\
    &=& \rho R_{d} T
        \left(\frac{1 + \varepsilon q_{v}}{1 + q_{v}}\right)
 \end{eqnarray}
 ただし $R^{*}$ は一般気体定数, $m_{d}, m_{v}$ はそれぞれ乾燥空気の
 分子量, 水蒸気の分子量, $q_{v}$ は水蒸気の混合比, $\varepsilon$
 は乾燥空気の分子量と水蒸気の分子量との比である:
 \begin{eqnarray}
  q_{v} &\equiv& \frac{\rho_{v}}{\rho_{d}}
  \\
  \varepsilon &\equiv& \frac{m_{v}}{m_{d}}
  \nonumber \\
              &\sim& 1.61
 \end{eqnarray}

 一般に混合比は $q \ll 1$ なので,
 \begin{eqnarray}
  p &=& \rho R_{d} T
        \left \{\frac{1 + q_{v}
	              + \left(\varepsilon - 1\right)
		         q_{v}}
		     {1 + q_{v}}
	     \right\}
  \nonumber \\
    &\simeq& \rho R_{d} T
           \left\{1 + \left(\varepsilon - 1\right)
	              q_{v}
		      \left(1 - q_{v}\right)
           \right\}
  \nonumber \\
    &\sim& \rho R_{d} T
           \left\{1 + \left(\varepsilon - 1\right)
	              q_{v}
           \right\}
  \nonumber \\
    &=& \rho R_{d} T
        \left(1 + 0.61 q_{v} \right)
 \end{eqnarray}
 である.

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{運動方程式}

 運動方程式中の浮力項を温位と混合比で表す (Houze, 1993 参照).
 雲に対する運動方程式は, 雲水粒子と降水粒子の影響を
 考えなければならない.
 この効果を式に入れるには 2 つの方法がある.
 一つは, Newton の第 3 法則から周囲の空気に対する空気塊の
 抗力は $- g \left(q_{v} + q_{c} + q_{r}\right)$ なので, この項を
 外力項として運動方程式に追加する方法である.
 もう一つは, 密度 $\rho$ に雲水粒子と降水粒子の密度を含める
 という方法である.
 つまり, 周囲の空気(気体のみ)の密度を $\rho_{a}$ として
 \begin{eqnarray*}
  \rho = \rho_{a} \left(1 + q_{c} + q_{r}\right)
 \end{eqnarray*}
 とする.
 これら 2 つの方法は等しい.
 ここでは, 密度を式\Deqref{密度}として決めたので, 前者の方法で
 導出する.

 基本場と偏差を含んだ運動方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DD{u_{i}}{t} = - \frac{1}{\rho} \DP{p}{x_{i}}
                  - \delta_{i3} g
		    \left(1 + q_{v} + q_{c} + q_{r}\right)
                  - \varepsilon_{i3k} f u_{k}
		  + D_{u_{i}}
 \end{eqnarray}
 である.
 エクスナー関数 \Deqref{エクスナー関数}を用いて,
 圧力項を書き直す.
 エクスナー関数を $x_{i}$ で微分すると
 \begin{eqnarray}
  \DP{p}{x_{i}} &=& \frac{c_{p} p}{R_{d} \Pi}
                    \DP{\Pi}{x_{i}}
  .
 \end{eqnarray}
 ここで, 状態方程式\Deqref{状態方程式}, 温位\Deqref{温位},
 仮温位\Deqref{仮温位}より
 \begin{eqnarray}
  p &=& \rho R_{d} \Pi \theta \left(1 + 0.61 q_{v}\right)
  \nonumber \\
    &=& \rho R_{d} \Pi \theta_{v}
 \end{eqnarray}
 である.
 したがって, 圧力項は
 \begin{eqnarray}
  - \frac{1}{\rho} \DP{p}{x_{i}}
      &=& - \frac{c_{p} p}{R_{d} \Pi \rho}
          \DP{\Pi}{x_{i}}
  \nonumber \\
      &=& - c_{p} \theta_{v} \DP{\Pi}{x_{i}}
  .
 \end{eqnarray}
 運動方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DD{u_{i}}{t} = - c_{p} \theta_{v} \DP{\Pi}{x_{i}}
                  - \delta_{i3} g
		    \left(1 + q_{v} + q_{c} + q_{r}\right)
                  - \varepsilon_{i3k} f u_{k}
		  + D_{u_{i}}
 \end{eqnarray}
 となる.

 次に, 基本場とそこからの偏差に分けて, 線形化する.
 水平方向の運動方程式 $(i = 1, 2)$は
 \begin{eqnarray}
  \DD{u}{t} &=& - c_{p}
                  \left(\bar{\theta}_{v}
	        - \theta_{v}^{\prime}
	          \right)
		  \DP{\left(\bar{\Pi} - \pi\right)}{x}
                + f v
		+ D_{u}
  \nonumber \\
             &\simeq& - c_{p}
		     \left(\bar{\theta}_{v}
		           \DP{\bar{\Pi}}{x}
			   + \bar{\theta}_{v}
		             \DP{\pi}{x}
			   + \theta_{v}^{\prime}
		             \DP{\bar{\Pi}}{x}
		     \right)
                    + f v
		    + D_{u}
  , \\
  \DD{v}{t} &=& - c_{p}
                  \left(\bar{\theta}_{v}
	        - \theta_{v}^{\prime}
	          \right)
		  \DP{\left(\bar{\Pi} - \pi\right)}{y}
                - f u
		+ D_{v}
  \nonumber \\
             &\simeq& - c_{p}
		     \left(\bar{\theta}_{v}
		           \DP{\bar{\Pi}}{y}
			   + \bar{\theta}_{v}
		             \DP{\pi}{y}
			   + \theta_{v}^{\prime}
		             \DP{\bar{\Pi}}{y}
		     \right)
                    - f u
		    + D_{v}
  .
 \end{eqnarray}
 鉛直方向の運動方程式 $(i = 3)$は
 \begin{eqnarray}
  \DD{w}{t} &=& - c_{p}
                  \left(\bar{\theta}_{v}
		        - \theta_{v}^{\prime}
		  \right)
		  \DP{\left(\bar{\Pi} - \pi\right)}{z}
                -  g \left(1 + q_{v} + q_{c} + q_{r}\right)
		+ D_{w}
  \nonumber \\
             &\simeq& - c_{p}
		     \left(\bar{\theta}_{v}
		           \DP{\bar{\Pi}}{z}
			   + \bar{\theta}_{v}
		             \DP{\pi}{z}
			   + \theta_{v}^{\prime}
		             \DP{\bar{\Pi}}{z}
		     \right)
                    - g \left(1 + q_{v} + q_{c} + q_{r}\right)
		    + D_{u}
  \Deqlab{基本場含む運動方程式}
  .
 \end{eqnarray}

 偏差の式は基本場を含む式から基本場のみの式を引けばよい.
 基本場では静水圧平衡が成り立っているとする:
 \begin{eqnarray}
  \DP{\bar{\Pi}}{z} = - \frac{g}{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
  \Deqlab{静水圧の式}
  .
 \end{eqnarray}

 水平方向についての基本場は各項が 0 になるので, 偏差の式は
 基本場を含む式と同じである:
 \begin{eqnarray}
  \DD{u}{t} &=&  - c_{p}
		 \left(\bar{\theta}_{v}
		       \DP{\bar{\Pi}}{x}
			   + \bar{\theta}_{v}
		         \DP{\pi}{x}
			   + \theta_{v}^{\prime}
		         \DP{\bar{\Pi}}{x}
		 \right)
                + f v
		+ D_{u}
  , \\
  \DD{v}{t} &=&  - c_{p}
		 \left(\bar{\theta}_{v}
		       \DP{\bar{\Pi}}{y}
		       + \bar{\theta}_{v}
		          \DP{\pi}{y}
		       + \theta_{v}^{\prime}
		         \DP{\bar{\Pi}}{y}
		  \right)
                 - f u
		 + D_{v}
  .
 \end{eqnarray}

 鉛直方向については, 式\Deqref{基本場含む運動方程式}から
 式\Deqref{静水圧の式}を引いて偏差の式にする:
 \begin{eqnarray}
  \DD{w}{t} &=& - c_{p}
                  \bar{\theta}_{v} \DP{\pi}{z}
		  - c_{p} \theta_{v}^{\prime}
		    \DP{\bar{\Pi}}{z}
		  - g \left(q_{v} + q_{c} + q_{r}\right)
	        + D_{w}
  \nonumber \\
           &=&  - c_{p}
                  \bar{\theta}_{v} \DP{\pi}{z}
		+ g \left(\frac{\theta_{v}^{\prime}}
		               {\bar{\theta}_{v}}
			  - q_{v} - q_{c} - q_{r}
		    \right)
		+ D_{w}
  .
 \end{eqnarray}

 ここで浮力項を変形する.
 仮温位を基本場 $ (\bar{\ })$とそこからの偏差 $(^{\prime})$
 に分けると
 \begin{eqnarray}
  \theta_{v} = \bar{\theta}_{v} + \theta_{v}^{\prime}
  .
 \end{eqnarray}
 また定義より,
 \begin{eqnarray}
  \theta_{v} &=& \theta \left(1 + 0.61 q_{v}\right)
  \nonumber \\
             &=& \left(\bar{\theta} + \theta^{\prime}\right)
	         \left\{1 + 0.61
		        \left(\bar{q}_{v}
			      + q_{v}^{\prime}
		        \right)
                 \right\}
  \nonumber \\
             &=& \bar{\theta}
	         \left(1 + 0.61 \bar{q}_{v}\right)
		 + 0.61 \bar{\theta} q_{v}^{\prime}
		 + \theta^{\prime}
 	           \left(1 + 0.61 \bar{q}_{v}\right)
		 + 0.61 \theta^{\prime} q_{v}^{\prime}
  .
 \end{eqnarray}
 基本場を引いて線形化すると,
 \begin{eqnarray}
  \theta_{v}^{\prime}
      \simeq 0.61 \bar{\theta} q_{v}^{\prime}
             + \theta^{\prime}
	       \left(1 + 0.61 \bar{q}_{v}\right)
  .
 \end{eqnarray}
 したがって, 浮力項の ( ) 内の第 1, 2 項部分は
 \begin{eqnarray}
  \frac{\theta_{v}^{\prime}}{\bar{\theta}_{v}} - q_{v}
      &=& \frac{0.61 \bar{\theta} q_{v}^{\prime}
                + \theta^{\prime}
		  \left(1 + 0.61 \bar{q}_{v}\right)}
	       {\bar{\theta} \left(1 + 0.61 \bar{q}_{v}\right)}
		 - q_{v}
  \nonumber \\
      &=& \frac{\theta^{\prime}}{\bar{\theta}}
          + \frac{0.61 \left(q_{v} - \bar{q_{v}}\right)}
	         {1 + 0.61 \bar{q}_{v}}
	  - q_{v}
  \nonumber \\
      &=& \frac{\theta^{\prime}}{\bar{\theta}}
          - 1
          + \frac{1 + 0.61 q_{v}}
	         {1 + 0.61 \bar{q}_{v}}
	  - q_{v}
  \nonumber \\
      &\simeq& \frac{\theta^{\prime}}{\bar{\theta}}
               - 1
	       + 0.61 \left(q_{v} - \bar{q_{v}}\right)
 \end{eqnarray}
 となる(? はず).
  最後の近似が分からない.

 よって, 運動方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DD{u_{i}}{t} &+& c_{p} \bar{\theta}_{v} \DP{\pi}{x_{i}}
  \nonumber \\
   &=& \delta_{i3} g
       \left[\frac{\theta}{\bar{\theta}} - 1
	     + 0.61 \left(q_{v} - \bar{q}_{v}\right)
             - q_{c} - q_{r}\right]
       - \varepsilon_{i3k} f u_{k} + D_{u_{i}}
 \end{eqnarray}
 となる.

%--------------------------------------------------------------------
\pagebreak

\subsection{圧力方程式}

 圧力方程式は, 連続の式
 \begin{eqnarray}
  \DD{\rho}{t}
   + \rho \DP{u_{j}}{x_{j}}
   = 0
  \Deqlab{連続の式}
 \end{eqnarray}
 とエクスナー関数で表した状態方程式
 \begin{eqnarray}
  \Pi = \left(\frac{R_{d}}{p_{0}}
              \rho \theta_{v}\right)^{R_{d}/c_{v}}
  \Deqlab{エクスナーの状態方程式}
 \end{eqnarray}
 から導出する.

 上の状態方程式\Deqref{エクスナーの状態方程式}を $t$ で微分する:
 \begin{eqnarray}
  \DD{\Pi}{t} &=& \left(\frac{R_{d}}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{v}}
                  \left\{\frac{R_{d}}{c_{v}}
		         \theta_{v}^{R_{d}/c_{v}}
		         \rho^{R_{d}/c_{v} - 1}
		         \DD{\rho}{t}
			 + \frac{R_{d}}{c_{v}}
		           \rho^{R_{d}/c_{v}}
		           \theta_{v}^{R_{d}/c_{v} - 1}
			   \DD{\theta_{v}}{t}
                  \right\}
  \nonumber \\
	      &=& \frac{R_{d}}{c_{v}}
	          \left(\frac{R_{d}}{p_{0}}
		        \rho \theta_{v}
		  \right)^{R_{d}/c_{v}}
                  \left\{\frac{1}{\rho}
		         \DD{\rho}{t}
			 + \frac{1}{\theta_{v}}
			   \DD{\theta_{v}}{t}
                  \right\}
  \nonumber \\
              &=& \frac{R_{d}}{c_{v}} \Pi
                  \left\{\frac{1}{\rho}
		         \DD{\rho}{t}
			 + \frac{1}{\theta_{v}}
			   \DD{\theta_{v}}{t}
                  \right\}
  .
 \end{eqnarray}
 連続の式\Deqref{連続の式}を代入すると,
 \begin{eqnarray}
  \DD{\Pi}{t}  &=& \frac{R_{d}}{c_{v}} \Pi
                  \left\{- \DP{u_{j}}{x_{j}}
			 + \frac{1}{\theta_{v}}
			   \DD{\theta_{v}}{t}
                  \right\}
 \end{eqnarray}
 となる.

 基本場とそこからの偏差に分けると,
 \begin{eqnarray}
  \DP{\pi}{t} + u_{j} \DP{\pi}{x_{j}}
              + w \DP{\bar{\Pi}}{z}
	      &=& - \frac{R_{d}}{c_{v}}
	            \bar{\Pi} \DP{u_{j}}{x_{j}}
		  - \frac{R_{d}}{c_{v}}
		    \pi \DP{u_{j}}{x_{j}}
		  + \frac{R_{d}}{c_{v}}
		    \frac{\Pi}{\theta_{v}}
		    \DD{\theta_{v}}{t}
 .
 \end{eqnarray}
 音速
 \begin{eqnarray}
  c^{2} &=& \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}} \Pi \theta_{v}
  , \\
  \bar{c^{2}} &=& \frac{c_{p} R_{d}}{c_{v}}
                  \bar{\Pi} \bar{\theta}_{v}
 \end{eqnarray}
 を用いて書き直すと,
 \begin{eqnarray}
  \DP{\pi}{t} + \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
	        \DP{u_{j}}{x_{j}}
              + w \DP{\bar{\Pi}}{z}
	      &=& - u_{j} \DP{\pi}{x_{j}}
		  - \frac{R_{d} \pi}{c_{v}}
		    \DP{u_{j}}{x_{j}}
		  + \frac{c^{2}}{c_{p} \theta_{v}^{2}}
		    \DD{\theta_{v}}{t}
 .
 \end{eqnarray}
 ここで, 状態方程式\Deqref{エクスナーの状態方程式}を用いて
 右辺第 3 項を変形する:
 \begin{eqnarray}
  w \DP{\bar{\Pi}}{z}
      &=& w \left(\frac{R_{d}}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{v}}
          \DP{\left(\bar{\rho}
	            \bar{\theta}_{v}
	      \right)^{R_{d}/c_{v}}}
	     {z}
  \nonumber \\
      &=& w \left(\frac{R_{d}}{p_{0}}\right)^{R_{d}/c_{v}}
          \frac{R_{d}}{c_{v}}
	  \left(\bar{\rho}
	            \bar{\theta}_{v}
	      \right)^{R_{d}/c_{v} - 1}
          \DP{\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}}{z}
  \nonumber \\
      &=& w \frac{R_{d}}{c_{v}}
          \bar{\Pi}
	  \frac{1}{\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}}
          \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}\right)}{z}
  \nonumber \\
      &=& \frac{\bar{c}^{2}}
               {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  w
          \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}\right)}{z}
  \nonumber \\
      &=& \frac{\bar{c}^{2}}
               {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	  u_{j}
          \DP{\left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v}\right)}{x_{j}}
  .
 \end{eqnarray}
 また, 左辺第 2 項は
 \begin{eqnarray}
   \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p} \bar{\theta}_{v}}
    \DP{u_{j}}{x_{j}}
      = \frac{\bar{c}^{2}}
             {c_{p} \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
	 \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}
	\DP{u_{j}}{x_{j}}
 \end{eqnarray}
 と書き換えることができる.
 左辺第 2, 3 項をまとめると圧力方程式は
 \begin{eqnarray}
  \DP{\pi}{t}
     &+& \frac{\bar{c}^{2}}{c_{p}
         \bar{\rho} \bar{\theta}_{v}^{2}}
         \DP{}{x_{j}}
	 \left(\bar{\rho} \bar{\theta}_{v} u_{j}\right)
     = f_{\pi}
  , \\
  f_{\pi} &=& - u_{j} \DP{\pi}{x_{j}}
            + \frac{R_{d} \pi}{c_{v}} \DP{u_{j}}{x_{j}}
            + \frac{c^{2}}{c_{p} \theta_{v}^{2}}
              \DD{\theta_{v}}{t}
            + D_{\pi}
  \Deqlab{圧力方程式f}
  .
 \end{eqnarray}

 この圧力方程式は Tapp and White (1976) が非静力メソモデルに
 用いたのと同じ方程式である.

 Klemp and Wilhelmson (1978) では $f_{\pi} = 0$ としている.
 さらに詳しくは Klemp (1978) にある.
 これは線形化を行い, 非断熱項 (\Deqref{圧力方程式f}の右辺
 第 3項) を無視することを意味する.

 $D_{\pi}$ は非断熱項を無視することによる質量の生成・消滅が
 あることを意味するってこと ?

%======================================================================
\pagebreak

\section{サブグリッド拡散パラメタリゼーション}

%----------------------------------------------------------------------
%\newpage

\subsection{レイノルズ応力方程式}


%----------------------------------------------------------------------
\newpage

\subsection{サブグリッドスケールの方程式}

 サブグリッドスケールの運動エネルギーの方程式に関して,
 Klemp and Wilhelmson (1978) 中の式 (2.21) から (3.12) の
 導出を行った.
 (2.21) から導出した式と比べると, (3.21) には足りない項が
 2 つあった.

 ここではサブグリッドスケールの運動エネルギーの方程式を
 書き下す.
 座標系は直交直線座標系である.

 Klemp and Wilhelmson (1978) の式 (2.21):
 \begin{eqnarray}
  \DD{E}{t} &=& g
                \overline{w
		          \left(\frac{\theta^{\prime}}
			             {\bar{\theta}}
				+ 0.61 q_{v}^{\prime}
				- q_{c}^{\prime}
			  \right)}
		- \overline{u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime}}
		  \DP{u_{i}}{x_{j}}
		+ \DP{}{x_{j}}
		  \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}}\right)
		- \frac{C_{\varepsilon}}{l}
		  E^{\frac{3}{2}}
  \Deqlab{サブグリッドE}
  .
 \end{eqnarray}
 $C_{\varepsilon}, l$ は定数である.

 ここで
 \begin{eqnarray}
  \overline{w \left(\frac{\theta^{\prime}}{\bar{\theta}}
	            + 0.61 q_{v}^{\prime}
		    - q_{c}^{\prime}
	    \right)}
        &=& - A K_{h} \DP{\theta_{e}}{z} + K_{h} \DP{q_{l}}{z}
  \Deqlab{サブ浮力}
  , \\
  \overline{u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime}}
        &=& - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
		          + \DP{u_{j}}{x_{i}}
		    \right)
	    + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
  \Deqlab{サブ速度}
  , \\
  K_{m} &=& C_{m} l E^{\frac{1}{2}}
 \Deqlab{サブ粘性とEの関係}
  .
 \end{eqnarray}
 ただし
 \begin{eqnarray}
  q_{l} &=& q_{v} + q_{c}
  , \\
  A &=& \frac{1}{\bar{\theta}}
        \left\{\frac{1 + \dfrac{1.61
	             \varepsilon L q_{v}}{R_{d} T}}
	            {1 + \dfrac{\varepsilon L^{2} q_{v}}
		              {c_{p} R_{d} T^{2}}}\right\}
  , \\
  K_{h} &=& 3 K_{m}
  .
 \end{eqnarray}

 Klemp and Wilhelmson (1978) の式 (3.12):
 \begin{eqnarray}
  \delta_{2t} K_{m}
       &=& - \frac{1}{3} \overline{u}^{x}
             \left(4 \delta_{2x} K_{m}
	           - \delta_{4x} K_{m}\right)
	   - \frac{1}{3} \overline{u}^{y}
             \left(4 \delta_{2y} K_{m}
	           - \delta_{4y} K_{m}\right)
 \nonumber \\
       & & \overline{w \delta_{z} K_{m}}^{z}
	   + \frac{C_{m}^{2} l^{2}}{2 K_{m}}
	     \left(B + S\right)
 \nonumber \\
       & & + \frac{1}{2}
	     \left(\delta_{xx} K_{m}^{2}
	           + \delta_{yy} K_{m}^{2}
	           + \delta_{zz} K_{m}^{2}
	     \right)
	   - \frac{C_{\varepsilon} K_{m}^{2}}{2 C_{m} l^{2}}
  \Deqlab{サブグリッド離散E}
  .
 \end{eqnarray}
 ただし,
 \begin{eqnarray}
  B &=& - g A K_{h} \delta_{2z} \theta_{e}
        + g K_{h} \delta_{2z} q_{l}
  , \\
  S &=& - \overline{u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime}}
          \DP{u_{i}}{u_{j}}
  \nonumber \\
    &=& K_{m}
        \Biggl\{2 \left[\left(\delta_{x} u\right)^{2}
		       + \left(\delta_{y} v\right)^{2}
		       + \left(\delta_{z} w\right)^{2}
		 \right]
  \nonumber \\
    & & \hspace*{4em}
               + \left(\overline{\delta_{x} v
		                 + \delta_{y} w}
		 \right)^{2}
	       + \left(\overline{\delta_{x} w
		                 + \delta_{z} u}
		 \right)^{2}
	       + \left(\overline{\delta_{y} w
		                 + \delta_{z} v}
		 \right)^{2}
        \Biggr\}
  \Deqlab{浮力項S}
  .
 \end{eqnarray}
 式\Deqref{浮力項S}の右辺の$\{ \}$ 内第 3 項は誤植かもしれない.
 $\left(\overline{\delta_{x} v + \delta_{y} u}\right)^{2}$ 
 であると思われる.
 式 (3.12) は 4 次精度で離散化された後の式である.
 $\delta_{2t}$ などの意味は以下のようである.
  $\xi$ をある独立変数, $\phi$ をある従属変数とし,
 $n \Delta \xi$ はある独立変数の間隔とすると,
 \begin{eqnarray}
  \delta_{n \xi} \phi (\xi)
     &=& \frac{1}{n \Delta \xi}
         \left[\phi
	       \left(\xi + \frac{n \Delta \xi}{2}\right)
	       - \phi
	         \left(\xi - \frac{n \Delta \xi}{2}\right)
	 \right]
 , \\
 \overline{\phi \left(\xi\right)}^{n \xi}
     &=& \frac{1}{2}
         \left[\phi
	       \left(\xi + \frac{n \Delta \xi}{2}\right)
	       - \phi
	         \left(\xi - \frac{n \Delta \xi}{2}\right)
	 \right]
  .
 \end{eqnarray}
 
 \Deqref{サブ浮力}と\Deqref{サブ速度}を用いて
 \Deqref{サブグリッドE}を書き直すと,
 \begin{eqnarray}
  \DP{E}{t} &=& - \left(u \DP{E}{x} + v \DP{E}{y}
		        + w \DP{E}{z}
		  \right)
  \nonumber \\
            & & + \left(- g A K_{h} \DP{\theta_{e}}{z}
		        + g K_{h} \DP{q_{l}}{z}
		  \right)
  \nonumber \\
	    & & - \left\{- K_{m}
		          \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
		                + \DP{u_{j}}{x_{i}}
			  \right)
			 + \frac{2}{3}
			   \delta_{ij} E
		  \right\}
		\DP{u_{i}}{x_{j}}
  \nonumber \\
	    & & + \DP{}{x_{j}}
		  \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}}\right)
		- \frac{C_{\varepsilon}}{l}
		  E^{\frac{3}{2}}
  .
 \end{eqnarray}

\pagebreak
 右辺第 3 項, 第 4 項を書き下すと, それぞれ,
 \begin{eqnarray}
  &-& \Biggl\{- K_{m}
	     \Biggl(\DP{u_{i}}{x_{j}}
	           + \DP{u_{j}}{x_{i}}
	     \Biggr)
	   + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
    \Biggr\}
		\DP{u_{i}}{x_{j}}
  \nonumber \\
   &=& K_{m}
       \Biggl\{2 \left(\DP{u}{x}\right)^{2}
	       + \left(\DP{u}{y} + \DP{v}{x}\right)\DP{u}{y}
	       + \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)\DP{u}{z}
  \nonumber \\
   & & \hspace*{3em}
             + \left(\DP{v}{x} + \DP{u}{y}\right)\DP{v}{x}
             + 2 \left(\DP{v}{y}\right)^{2}
	     + \left(\DP{v}{z} + \DP{w}{y}\right)\DP{v}{z}
  \nonumber \\
   & & \hspace*{3em}
	     + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)\DP{w}{x}
	     + \left(\DP{w}{y} + \DP{v}{z}\right)\DP{w}{y}
             + 2 \left(\DP{w}{z}\right)^{2}
  \nonumber \\
   & & \hspace*{3em}
             - \frac{2 K_{m}^{2}}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	       \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z}\right)
     \Biggr\}
  \nonumber \\
    &=& 2 K_{m}
       \Biggl\{\left(\DP{u}{x}\right)^{2}
             + \left(\DP{v}{y}\right)^{2}
             + \left(\DP{w}{z}\right)^{2}
     \Biggr\}
  \nonumber \\
    & & + K_{m}
         \Biggl\{\left(\DP{u}{y}\right)^{2}
                 + \DP{v}{x} \DP{u}{y}
		 + \left(\DP{u}{z}\right)^{2}
                 + \DP{w}{x} \DP{u}{z}
  \nonumber \\
    & & \hspace*{4em}
		 + \left(\DP{v}{x}\right)^{2}
                 + \DP{u}{y} \DP{v}{x}
		 + \left(\DP{v}{z}\right)^{2}
                 + \DP{w}{y} \DP{v}{z}
  \nonumber \\
    & & \hspace*{4em}
		 + \left(\DP{w}{x}\right)^{2}
                 + \DP{u}{z} \DP{w}{x}
		 + \left(\DP{w}{y}\right)^{2}
                 + \DP{v}{z} \DP{w}{y}
         \Biggr\}
  \nonumber \\
    & & - \frac{2 K_{m}^{2}}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	       \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z}\right)     
  \nonumber \\
    &=& 2 K_{m}
       \Biggl\{\left(\DP{u}{x}\right)^{2}
             + \left(\DP{v}{y}\right)^{2}
             + \left(\DP{w}{z}\right)^{2}
     \Biggr\}
  \nonumber \\
    & & + K_{m}
         \Biggl\{\left(\DP{v}{x}\right)^{2}
                 + 2 \DP{v}{x} \DP{u}{y}
		 + \left(\DP{u}{y}\right)^{2}
		 + \left(\DP{w}{x}\right)^{2}
                 + 2 \DP{w}{x} \DP{u}{z}
		 + \left(\DP{u}{z}\right)^{2}
  \nonumber \\
    & & \hspace*{4em}
		 + \left(\DP{w}{y}\right)^{2}
                 + 2 \DP{w}{y} \DP{v}{z}
		 + \left(\DP{v}{z}\right)^{2}
         \Biggr\}
  \nonumber \\
    & & - \frac{2 K_{m}^{2}}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	       \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z}\right)     
  \nonumber \\
    &=& 2 K_{m}
       \Biggl\{\left(\DP{u}{x}\right)^{2}
             + \left(\DP{v}{y}\right)^{2}
             + \left(\DP{w}{z}\right)^{2}
     \Biggr\}
  \nonumber \\
    & & + K_{m}
         \Biggl\{\left(\DP{v}{x} + \DP{u}{y}\right)^{2}
		 + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
		 + \left(\DP{w}{y} + \DP{v}{z}\right)^{2}
         \Biggr\}
  \nonumber \\
    & & - \frac{2 K_{m}^{2}}{3 C_{m}^{2} l^{2}}
	       \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z}\right)
 \end{eqnarray}
 \begin{eqnarray}
  \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}}\right)
   &=& \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x}\right)
       + \DP{}{y} \left(K_{m} \DP{E}{y}\right)
       + \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E}{z}\right)
  \nonumber \\
   &=& \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}}
       \Biggl\{\DP{}{x}
               \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{x}\right)
	      + \DP{}{y}
	        \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{y}\right)
  \nonumber \\
   & & \hspace*{4em}
              + \DP{}{z}
	        \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{z}\right)
       \Biggr\}
  \nonumber \\
   &=& \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}}
       \Biggl\{K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
               + \DP{K_{m}}{x}
                 \DP{K_{m}^{2}}{x}
  \nonumber \\
   & & \hspace*{4em}
	       + K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{y}
               + \DP{K_{m}}{y}
                 \DP{K_{m}^{2}}{y}
  \nonumber \\
   & & \hspace*{4em}
	       + K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
               + \DP{K_{m}}{z}
                 \DP{K_{m}^{2}}{z}
       \Biggr\}
  \nonumber \\
   &=& \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
       \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{y}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
       \right)
  \nonumber \\
   & & + \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}}
         \Biggl(\DP{K_{m}}{x} 2 K_{m} \DP{K_{m}}{x}
	        + \DP{K_{m}}{y} 2 K_{m} \DP{K_{m}}{y}
  \nonumber \\
   & & \hspace*{5em}
	        + \DP{K_{m}}{z} 2 K_{m} \DP{K_{m}}{z}
	 \Biggr)
  \nonumber \\
   &=& \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
       \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{y}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
       \right)
  \nonumber \\
   & & + \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
         \Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
	        + \left(\DP{K_{m}}{y}\right)^{2}
	        + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
	 \Biggr\}
  .
 \end{eqnarray}
 したがって,
 $E = \left(\frac{K_{m}}{C_{m} l}\right)^{2}, K_{h} = 3 K_{m}$ より
 \begin{eqnarray}
  \DP{K_{m}}{t}
     &=& - \left(u \DP{K_{m}}{x} + v \DP{K_{m}}{y}
		 + w \DP{K_{m}}{z}
	   \right)
            + \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{2}
	      \left(- A \DP{\theta_{e}}{z}
	            + \DP{q_{l}}{z}
		  \right)
  \nonumber \\
            & & + C_{m}^{2} l^{2}
	          \Biggl\{\left(\DP{u}{x}\right)^{2}
		          + \left(\DP{v}{y}\right)^{2}
			  + \left(\DP{w}{z}\right)^{2}
		  \Biggr\}
  \nonumber \\
            & & + \frac{C_{m}^{2} l^{2}}{2}
              	  \Biggl\{\left(\DP{v}{x} + \DP{u}{y}\right)^{2}
		          + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
			  + \left(\DP{w}{y} + \DP{v}{z}\right)^{2}
		  \Biggr\}
  \nonumber \\
            & & - \frac{K_{m}}{3}
		  \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}
		        + \DP{w}{z}
		  \right)
  \nonumber \\
	    & & + \frac{1}{2}
   		 \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
 			 + \DP[2]{K_{m}^{2}}{y}
 			 + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
   		 \right)
                + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
	                  + \left(\DP{K_{m}}{y}\right)^{2}
			  + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
  \nonumber \\
	    & & - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}}
		  K_{m}^{2}
  \Deqlab{サブK}
  .
 \end{eqnarray}
 \Deqref{サブK}と\Deqref{サブグリッド離散E}とを比べると,
 \Deqref{サブグリッド離散E}中には上\Deqref{サブK}の右辺第 4 項
 \begin{eqnarray}
 - \frac{K_{m}}{3}
   \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}+ \DP{w}{z}\right)
 \end{eqnarray}と第 6 項
 \begin{eqnarray}
  \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
      + \left(\DP{K_{m}}{y}\right)^{2}
      + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
 \end{eqnarray}
 がない.
 準圧縮系を考えているので, 第 4 項は 0 になる.
 第 6 項がないのは不明である.
 $( )^{2}$ なので微小項と考えるのだろうか.
 消去する理由が分からないので, 第 6 項は残す.

 よって, 直交直線座標系におけるサブグリッドスケールの
 運動エネルギーの方程式を $E$ に関する式に書き換えると,
 \begin{eqnarray}
  \DP{E}{t} &=& - \left(u \DP{E}{x}
		        + v \DP{E}{y} + w \DP{E}{z}
		  \right)
                + 3 g C_{m} l E^{1/2}
		  \left(- A \DP{\theta_{e}}{z}
		        +  \DP{q_{l}}{z}
		  \right)
  \nonumber \\
            & & + 2 C_{m} l E^{1/2}
	            \Biggl\{\left(\DP{u}{x}\right)^{2}
			   + \left(\DP{v}{y}\right)^{2}
			   + \left(\DP{w}{z}\right)^{2}
		    \Biggr\}
  \nonumber \\
	    & & + C_{m} l E^{1/2}
	          \Biggl\{\left(\DP{v}{x} + \DP{u}{y}\right)^{2}
			 + \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)^{2}
			 + \left(\DP{w}{y} + \DP{v}{z}\right)^{2}
	          \Biggr\}
  \nonumber \\
              & & + 2 C_{m} l E^{1/2}
	            \left[\frac{1}{2}
	             	    \Biggl(\DP[2]{E}{x}
		    		   + \DP[2]{E}{y}
		 		   + \DP[2]{E}{z}
	            	    \Biggr)
			    + \left(\DP{E^{1/2}}{x}\right)^{2}
			    + \left(\DP{E^{1/2}}{y}\right)^{2}
			    + \left(\DP{E^{1/2}}{z}\right)^{2}
		     \right]
  \nonumber \\
              & & - \frac{C_{\varepsilon}}{l} E^{3/2}
 \end{eqnarray}
 となる.
 この式は Deardorff (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and
 Lipps (1976) などで用いられているものと同じ方程式である.

\pagebreak

 地形に沿った座標系では
 \begin{eqnarray}
  \DP{E}{t} &=& - \left(u \DP{E}{x}
		        + v \DP{E}{y} + \omega \DP{E}{z^{*}}
		  \right)
                + \frac{3 g C_{m} l E^{1/2}}{G^{1/2}}
		  \left(- A \DP{\theta_{e}}{z^{*}}
		         + \DP{q_{l}}{z^{*}}
		    \right)
  \nonumber \\
            & & + 2 C_{m} l E^{1/2}
	          \left\{\left(\DP{u}{x}
			         + G^{13} \DP{u}{z^{*}}
			   \right)^{2}
			   + \left(\DP{v}{y}
			         + G^{23} \DP{v}{z^{*}}
			     \right)^{2}
			   + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			           \DP{w}{z}
			     \right)^{2}
		   \right\}
  \nonumber \\
	      & & + C_{m} l E^{1/2}
	            \Biggl\{\left(\DP{v}{x}
			        + \DP{u}{y}
				+ G^{13} \DP{v}{z^{*}}
				+ G^{23} \DP{u}{z^{*}}
			  \right)^{2}
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
			+ \left(\DP{w}{x}
				+ G^{13} \DP{w}{z^{*}}
			        + \frac{1}{G^{1/2}}
				  \DP{u}{z^{*}}
			  \right)^{2}
			+ \left(\DP{w}{y}
				+ G^{23} \DP{w}{z^{*}}
			        + \frac{1}{G^{1/2}}
				  \DP{v}{z^{*}}
			  \right)^{2}
	        \Biggr\}
  \nonumber \\
              & & + C_{m} l E^{1/2}
	            \Biggl\{
		           \left(\DP{}{x}
			         + G^{13} \DP{}{z^{*}}
			   \right)
		           \left(\DP{E}{x}
			         + G^{13} \DP{E}{z^{*}}
			   \right)
  \nonumber \\
	      & & \hspace*{4em}
		           + \left(\DP{}{y}
			         + G^{23} \DP{}{z^{*}}
			   \right)
		           \left(\DP{E}{y}
			         + G^{23} \DP{E}{z^{*}}
			   \right)
			   + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			           \DP{}{z^{*}}
			     \right)
			     \left(\frac{1}{G^{1/2}}
			           \DP{E}{z^{*}}
			     \right)
	            \Biggr\}
  \nonumber \\
              & & + 2 C_{m} l E^{1/2}
	            \Biggl\{\left(\DP{E^{1/2}}{x}
				  + G^{13} \DP{E^{1/2}}{z^{*}}
			    \right)^{2}
  \nonumber \\
              & & \hspace*{8em}
			    + \left(\DP{E^{1/2}}{y}
				    + G^{23} \DP{E^{1/2}}{z^{*}}
			      \right)^{2}
			    + \left(\frac{1}{G^{1/2}}
				    \DP{E^{1/2}}{z^{*}}
			      \right)^{2}
			     \Biggr\}
  \nonumber \\
	     & & - \frac{C_{\varepsilon}}{l} E^{3/2}
 \end{eqnarray}
 となる.
 

%======================================================================
\newpage

\section{変数}

 記号の意味は以下のようである:

  \begin{tabular}[tb]{lll}
    $A_{r}$ & : & 自然対流速度 \\
    $a$     & : & 定数 $a = 0.001 ~ {\rm g g^{-1}}$ \\
    $C$     & : & 換気ファクタ (ventilation factor) \\
    $C_{\varepsilon}$ & : & 定数, 例えば $C_{\varepsilon} = 0.2$ \\
    $C_{m}$ & : & 定数, 例えば $C_{m} = 0.2$ \\
    $C_{r}$ & : & 凝集率 \\
    $c$     & : & 音波 \\
    $\bar{c}$ & : & 初期状態の音波 \\
    $c_{p}$ & : & 定圧比熱 \\
    $c_{v}$ & : & 定積比熱 \\
    $D_{u_{i}}$ & : & サブグリッドスケールの $x_{i}$ 成分の
                      運動方程式の乱流混合項 \\  
    $D_{\pi}$ & : & サブグリッドスケールの圧力方程式の
                    乱流混合項 \\
    $D_{\theta}$ & : & サブグリッドスケールの熱力学方程式の
                       乱流混合項 \\
    $D_{q_{v}}$ & : & サブグリッドスケールの水蒸気の混合比の
                      方程式の乱流混合項 \\
    $D_{q_{c}}$ & : & サブグリッドスケールの雲水の混合比の
                      方程式の乱流混合項 \\
    $D_{q_{r}}$ & : & サブグリッドスケールの雨水の混合比の
                      方程式の乱流混合項 \\
    $E$     & : & サブグリッドスケールの運動エネルギー \\
    $E_{r}$ & : & 雨水の蒸発率 \\
    $\varepsilon$ & : & 定数, $\varepsilon = 0.622$\\
    $f$     & : & コリオリパラメータ \\
    $g$     & : & 重力加速度 \\
    $K_{h}$ & : & 渦混合係数, $K_{h} = 3 K_{m}$\\
    $K_{m}$ & : & 運動量渦混合係数\\
    $k_{1}$ & : & 定数 $k_{1} = 0.001 {\rm s^{-1}}$ \\
    $k_{2}$ & : & 定数 $k_{2} = 2.2 {\rm s^{-1}}$ \\
    $L$     & : & 蒸発の潜熱 \\
    $l$     & : & 混合距離,
    $l = \left(\Delta x \Delta y \Delta z\right)^{\frac{1}{3}}$ \\
    $M_{\theta}$ & : & 熱力学方程式の微物理項 \\
    $M_{q_{v}}$ & : & 水蒸気の混合比の方程式の微物理項 \\
    $M_{q_{c}}$ & : & 雲水の混合比の方程式の微物理項 \\
    $M_{q_{r}}$ & : & 雨水の混合比の方程式の微物理項 \\
  \end{tabular}

  \begin{tabular}[tb]{lll}
    $N$     & : &  Brunt-V\"ais\"al\"a 振動数\\
    $p$     & : & 圧力 \\
    $\bar{p}$ & : & 初期状態の圧力 \\
    $p_{0}$ & : & 地表面での基準圧力 \\
    $\Pi$   & : & エクスナー関数: 無次元化した圧力 \\
    $\bar{\Pi}$ & : & 初期状態の無次元化した圧力 \\
    $q_{c}$ & : & 雲水の混合比 \\
    $q_{r}$ & : & 雨水の混合比 \\
    $q_{v}$ & : & 水蒸気の混合比 \\
    $q_{vs}$ & : & 飽和混合比 \\
    $R_{d}$ & : & 乾燥空気の気体定数 \\
    $\rho$  & : & 密度 \\
    $\bar{\rho}$ & : & 初期状態の密度 \\
    $\rho_{0}$ & : & 地表面での密度 \\
    $T$     & : & 温度 \\
    $\theta_{v}$ & : & 仮温位 \\
    $\theta_{e}$ & : & 相当温位 \\
    $u_{i}$ & : & 速度, 
                  $(u_{1}, u_{2}, u_{3}) = (u, v, w)$ \\
    $V$     & : & 終端速度 \\
    $x_{i}$ & : & 空間変数, $i = 1, 2, 3,$
                  $(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x, y, z)$ \\
  \end{tabular}


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%\pagebreak

%\subsection{}


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\newpage

\section{参考文献}

 \begin{description}
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  \item Klemp J. B., 1978:
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	the compressible equations of motion.
        ???

  \item Klemp J. B., 1978:
	A  splitting procedure for numerical solution of
	the compressible equations of motion.
	???, ???.

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  \item Wilhelmson, R. B., and Y. Ogura, 1977:
        The pressure perturbation and the numerical modleing of
	a cloud.
        {\it J. Atmos. Sci.}, {\bf 29}, 1295-1307.
 \end{description}

\vspace{2em}

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\newpage

\section*{謝辞}
\markright{謝辞}

 本資源は, 
 地球流体電脳倶楽部の
 インターネット上での学術知識の集積と活用の実験の一環として
 \begin{center}
  http://www.gfd-dennou.org/arch/deepconv/kaminari/
 \end{center}
 において公開されているものである.
 \copyright 高橋 こう子, 杉山 耕一朗, 小高 正嗣, 中島 健介, 林 祥介
  (K. Takahashi, K. Sugiyama, M. Odaka, K. Nakajima and Y.-Y. Hayashi)
 2003.
 本資源は, 
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 学術目的であることをご理解いただけるものと信じ, 
 学術標準の引用手順を守ることで諸手続きを略させていただいている. 
 本資源の利用者には, この点を理解の上, 
 注意して扱っていただけるようお願いする. 
 万一, 不都合のある場合には
 \begin{center}
  deepconv@gfd-dennou.org
 \end{center}
 まで連絡していただければ幸いである. 

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\end{document}
