% 表題  2 次元非弾性流体モデル deepconv-mars 解説: 数理モデル編
%       第 2 節 大気モデル
%
% 履歴  1998/06/29  小高正嗣
%       1999/06/15  小高正嗣
%       2001/11/01  小高正嗣
%       2007/04/24  小高正嗣: 英語版の作成
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\section{\DselJ{大気モデル}{Atmospheric model}} \Dseclab{大気モデル}

\DselJ{
大気は回転系の 2 次元の非弾性方程式系(Ogura and Phllips, 1962)でモデル化
する.
}
{
The governing equation of model atmospheric dynamics is the 2D
   anelastic system (Ogura and Phillips, 1962). 
}

\begin{eqnarray}
 &&\DD{u}{t} -fv = -c_{p}\Theta _{0}\DP{\pi }{x} + D(u), 
	\Deqlab{運動方程式1}\\
 &&\DD{v}{t} + fu = D(v), 
	\Deqlab{運動方程式3}\\
 &&\DD{w}{t} = -c_{p}\Theta _{0}\DP{\pi }{z} + 
        g\frac{\theta }{\Theta _{0}} + D(w), 
	\Deqlab{運動方程式2} \\
 &&\DP{(\rho _{0}u)}{x} + \DP{(\rho _{0}w)}{z} = 0, \Deqlab{連続の式}\\
 &&\DD{\theta }{t} + w\DP{\Theta _{0}}{z}  
 = \frac{\Theta _{0}}{T_{0}}(Q_{rad}+Q_{dis}) + D(\theta + \Theta _{0}) ,
	\Deqlab{熱力学の式} \\
 && \DD{}{t} = \DP{}{t} + u\DP{}{x} + w\DP{}{z}. 
	\Deqlab{時間微分} \nonumber 
\end{eqnarray}

\DselJ{
\Deqref{運動方程式1}, \Deqref{運動方程式3}, \Deqref{運動方程式2}は運動方
程式, \Deqref{連続の式}は連続の式, \Deqref{熱力学の式}は熱力学の式である.
$x,y$ は水平座標, $z,t$ は鉛直および時間座標, $u, v$ は水平風速, $w$ は
鉛直風速, $\theta, \pi $ はそれぞれ温位と無次元圧力関数の基本場からの偏
差である. このモデルでは $y$ 方向に一様な 2 次元場を想定している. $\rho
_{0}, \Theta _{0}, T_{0}$ はそれぞれ基本場の密度と温位, 温度である. $f$ 
はコリオリパラメータ, $g$ は重力加速度である.  $Q_{rad}$ は放射加熱(冷却)
であり, 後述の放射過程により与えられる.  $Q_{dis}$ は散逸加熱であり, 後
述の乱流モデルから与えられる.
}
{
\Deqref{運動方程式1}, \Deqref{運動方程式3}, \Deqref{運動方程式2}
   are the horizontal and
   vertical component of equation of motion, respectively.
\Deqref{連続の式} is the continuity equation
   and \Deqref{熱力学の式} is the thermodynamic equation. 
$x,y, z,t$  are horizontal, vertical and time
   coordinate, respectively.
$u, v$ are horizontal and vertical velocity, and
   $\theta, \pi$
   are potential temperature and
   nondimensional pressure function deviation from those of basic
   state, respectively.
$\rho_{0}, \Theta _{0}, T_{0}$
   are density, potential temperature and
   temperature in basic state.
$g$ is gravitational acceleration whose value
   is equal to 3.72 msec${}^{-2}$.
$Q_{rad}$ is radiative heating (cooling) rate per
   unit mass which is calculated by convergence of the radiative heat flux.
$Q_{dis}$ is heating rate per unit mass owing to
   dissipation of turbulent kinetic energy, which is given by 
   turbulent parameterization.
}

\DselJ{
\Deqref{運動方程式1}$\sim $\Deqref{熱力学の式}式中の $D(\cdot )$ 項は数
値モデルの空間格子間隔以下の乱流による混合の寄与で, 以下のように表される.
}
{
$D(\cdot )$ term in equation \Deqref{運動方程式1}$\sim $\Deqref{熱力学の式}
    represents the turbulent diffusion owing to subgrid scale turbulent
    mixing.
}

\begin{equation}
  D(\cdot ) = \DP{}{x}\left[ K\DP{(\cdot )}{x} \right] + 
	\frac{1}{\rho _{0}}\DP{}{z}\left[ \rho _{0}K\DP{(\cdot )}{z} \right].
	\Deqlab{拡散演算子}
\end{equation}

\DselJ{
ここで $K$ は\Deqref{乱流エネルギー予報式}, \Deqref{乱流拡散係数}式で計
算される乱流拡散係数である.
}
{
$K$ is turbulent diffusion coefficient which
   is calculated by 
   \Deqref{乱流エネルギー予報式} and \Deqref{乱流拡散係数}.
}

\DselJ{
無次元圧力関数 $\Pi$ と温位 $\Theta$ は以下の式で定義される.
}
{
The nondimensional pressure function and potential temperature are
   defined as follows.
}
\[
 \Pi \equiv  \left(\frac{p}{P_{00}}\right)^{\kappa } = \Pi _{0} + \pi, \quad
 \Pi_{0} = \left(\frac{P_{0}}{P_{00}}\right)^{\kappa }
\]
\[
 \Theta \equiv T\Pi^{-1} = \Theta _{0} + \theta, \quad 
 \Theta _{0} = T_{0}\Pi_{0}^{-1}
\]
\DselJ{
ここで $p$ は圧力, $P_{0}$ はその基本場の値, $P_{00}$ は参照気圧,
$\kappa = R/c_{p}$ である.  $c_{p}$ は単位質量あたりの定圧比熱, $R$ は単
位質量あたりの気体定数である. 基本場の温度圧力構造は静水圧の式と理想気体
の状態方程式から計算される.
}
{
where $p$ and $P_{0}$ are pressure
    and basic state pressure, $P_{00}$ is reference
    pressure (= 7 hPa), $\kappa = R/c_{p}$, $c_{p}$ is specific
    heat of constant pressure per unit mass and $R$ is
    atmospheric gas constant per unit mass.
The basic state atmospheric structure is calculated by using
   the hydrostatic equation as follows.
}
\begin{eqnarray}
 \DD{P_{0}}{z} &=& - \rho _{0}g, \Deqlab{基本場静水圧の式} \\
 P_{0}&=&\rho _{0}RT_{0}. \Deqlab{状態方程式}
\end{eqnarray}
\DselJ{
無次元圧力関数の偏差 $\pi$ は\Deqref{運動方程式1}$\sim $\Deqref{連続の
式}式を変形して得られる以下の式から診断される.
}
{
The deviation of nondimensional pressure function is calculated
   by using the following equation which is derived
   from 
   \Deqref{運動方程式1}$\sim $\Deqref{連続の式}.
}
\begin{eqnarray}
  c_{p}\Theta_{0} \left[ \rho _{0}\DP[2]{\pi }{x} + \DP{}{z} 
		\left( \rho _{0}\DP{\pi }{z} \right) \right] 
	&=&  \frac{g}{\Theta_{0} }\DP{(\rho _{0}\theta )}{z}
		\nonumber \\ 
	&& - \DP{}{x}\left[ \rho _{0}\left
                           ( u\DP{u}{x} + w\DP{u}{z} - D(u) \right) \right]
		\nonumber \\ 
	&& - \DP{}{z}\left[ \rho _{0}\left
                           ( u\DP{w}{x} + w\DP{w}{z} - D(w) \right) \right].
	\Deqlab{圧力診断式}
\end{eqnarray}

\subsection*{\DselJ{境界条件}{Boundary conditions}}

\DselJ{
境界条件は $x$ 方向に周期境界条件, 大気下端では $w=0$, 大気上端では応力
なし条件を与える. 大気下端の運動量フラックスと熱フラックスの境界条件は乱
流モデルによって計算される.
}
{
    The model horizontal boundary is cyclic. 
    The vertical wind velocity is set to be 0 at the surface and upper
       boundary.
}

\subsection*{\DselJ{パラメータ}{Parameters}}

\DselJ{
大気モデル部分に現れるパラメータの標準設定は以下のようになっている.
}{}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{\DselJ{大気モデルのパラメータ}{Parameters of atmospheric model}}
\begin{tabular}{||c|c|c||} \hline
\DselJ{パラメータ}{Parameters} & \DselJ{標準値}{Standard Values} & \DselJ{備考}{Note} \\ \hline
$f$  & 0 sec${}^{-1}$ & \\
$g$  & 3.72 msec${}^{-2}$ & \DselJ{火星の平均値}{} \\
$P_{00}$ & 7 hPa & \DselJ{火星の平均地表気圧} \\
$c_{p}$  & 734.9 Jkg${}^{-1}$K${}^{-1}$ & \DselJ{CO${}_{2}$ の値}{Value of CO${}_{2}$}\\
$R$ & 189.0 Jkg${}^{-1}$K${}^{-1}$ & \DselJ{CO${}_{2}$ の値}{Value of CO${}_{2}$ } \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

