% 表題  2 次元非弾性流体モデル deepconv-mars 解説: 数理モデル編
%       第 2 節 乱流モデル
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% 履歴  1998/06/29  小高正嗣
%       1999/06/15  小高正嗣
%       2001/11/01  小高正嗣
%       2007/04/24  小高正嗣: 英語版の作成
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\section{\DselJ{乱流モデル}{Turbulent parameterization}}

\subsection{\DselJ{乱流パラメタリゼーション}{Subgrid turbulent mixing parameterization}}

\DselJ{
乱流拡散係数 $K$ は Klemp and Wilhelmson (1978) に従い乱流運動エネルギー
$\varepsilon $ から計算する. 熱に対する拡散係数は運動量に対する拡散係数
に等しいとする. }
{
The turbulent diffusion coefficient is evaluated by the formula of 
   Klemp and Wilhelmson (1978), where
   the turbulent diffusion is proportional to square root of turbulent
   kinetic energy $\varepsilon$.
The value of turbulent diffusion coefficient for heat is equal
   to that for momentum. 
The diagnostic equation of turbulent kinetic energy is as follows.
}
\begin{eqnarray}
 &&\DD{\varepsilon }{t} = BP + SP + D(\varepsilon ) 
                         - \frac{C_{\epsilon }}{l}\varepsilon ^{3/2}, 
   \Deqlab{乱流エネルギー予報式} \\
 &&K=C_{m}\sqrt{\varepsilon }l. \Deqlab{乱流拡散係数} 
\end{eqnarray}

\DselJ{
ここで $C_{\epsilon}=C_{m}=0.2$, $BP, SP$ はそれぞれ浮力とシアーによる乱
流エネルギー生成項で}
{
$C_{\epsilon}=C_{m}=0.2$.
$BP$ and $SP$ are generation terms of the turbulent kinetic
   energy associated with buoyancy force and wind shear, respectively.
}
\begin{eqnarray}
 BP &=& -\frac{g}{\Theta _{0}}K\DP{(\theta +\Theta _{0})}{z}, 
        \Deqlab{浮力生成} \\
 SP &=& 2K\left[ \left(\DP{u}{x}\right)^{2} +  
                     \left(\DP{w}{z}\right)^{2} \right] 
        + \frac{2}{3}\varepsilon \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x} \right)
        + K\left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x} \right)^{2},
	\Deqlab{シアー生成} 
\end{eqnarray}
\DselJ{
と表される. $l$ は混合距離でモデルの鉛直格子間隔か高度のどちらか小さい方
の値を与える. }
{
where $l$ is the mixing length which is the smaller
   value of either vertical grid interval or altitude.
}

\[
 l =\mbox{max}(\Delta z,z). \Deqlab{混合距離}
\]

\DselJ{
 \Deqref{乱流エネルギー予報式}右辺第 4 項は乱流エネルギーの散逸を表す. 
 この項から散逸加熱 $Q_{dis}$ が計算される. 
}
{
The last term in left hand side of \Deqref{乱流エネルギー予報式}
   represents the dissipation rate of turbulent kinetic energy.
By using this term, $Q_{dis}$ in equation \Deqref{熱力学の式}
   is given as follows.
}
\begin{equation}
 Q_{dis} = \frac{C_{\epsilon }}{lc_{p}}\varepsilon ^{3/2}.
\Deqlab{散逸加熱}
\end{equation}

\subsection{\DselJ{地表フラックスパラメリゼーション}
            {Surface flux parameterization}}

\DselJ{
地表からの運動量と熱のフラックス $F_{u}, F_{\theta }$ は Louis (1979) の
パラメタリゼーションを用いて計算する. 熱に対するバルク係数は運動量に対す
るそれに等しいとする. 
}
{
The surface momentum and heat fluxes are given by the bulk
   formulae, where the bulk coefficients depend on static stability
   and vertical wind shear (Louis, 1979).
The bulk coefficient for heat transport has same value of that for
   momentum.
}
\begin{eqnarray}
 F_{u} &=& - \rho _{0}C_{D}|u_{z=z1}|u_{z=z_{1}}, 
       \Deqlab{運動量フラックス} \\
 F_{\theta }&=& \rho _{0}C_{D}|u_{z=z1}|(T_{sfc}-T_{z=z1}).
       \Deqlab{熱フラックス}
\end{eqnarray}

\DselJ{
ここで $u_{z=z1}, T_{z=z1}$ はモデル最下層高度 $z_{1}$ での水平風と温度,
$T_{sfc}$ は地表面温度である. バルク係数 $C_{D}$ は
}
{
$u_{z=z1}, T_{z=z1}$ are the horizontal wind and temperature
   at the lowest level of the model atmosphere $z_{1}$.
$T_{sfc}$ is the surface temperature.
The bulk coefficient $C_{D}$ is calculated as follows.
}

\begin{equation}
  C_{D} = \left\{
  \begin{array}{lcl}
  C_{Dn}\left( 1 -
  \frac{\displaystyle a\mbox{Ri}_{B}}
       {\displaystyle 1+c|\mbox{Ri}_{B}|^{1/2}} \right) & 
  	for & \mbox{Ri}_{B} < 0,  \\
  C_{Dn}\frac{\displaystyle 1}
  {\displaystyle (1+b\mbox{Ri}_{B})^{2}}& for &  \mbox{Ri}_{B} \geq 0,
  \end{array}\right. \Deqlab{運動量輸送係数}
\end{equation}

\DselJ{
から計算される. ここで
}
{
where,
}
\begin{equation}
  C_{Dn} = \left(\frac{k}{\ln (z_{1}/z_{0})}\right)^{2},
  \quad
  a = 2b = 9.4, 
  \quad
  c = 0.74\cdot ab\left(\frac{z_{1}}{z_{0}}\right)^{\frac{1}{2}},
\end{equation}

\DselJ{
であり, $k$ はカルマン定数, $z_{0}$ は地表面粗度である. 
$\mbox{Ri}_{B}$ はバルクリチャードソン数で,}
{
and $k$ is the Karman constant (= 0.35), $z_{0}$ is the roughness length.
$\mbox{Ri}_{B}$ is the bulk Richardson number, which is
    given as follow.
}

\begin{equation}
  \mbox{Ri}_{B} \equiv \frac{gz_{1}(\Theta _{sfc}-\Theta _
  {z=z1})}{\overline{\Theta }_{z=z1}u_{z=z1}},
  \Deqlab{バルクリチャードソン数}
\end{equation}

\DselJ{
として評価される. ここで $\Theta _{z=z1}, \overline{\Theta }_{z=z1}$ は
モデル最下層の温位と水平平均温位, $\Theta_{sfc}$ は地表面の温位
($=T_{sfc}$)である.}
{
where $\Theta _{z=z1}, \overline{\Theta }_{z=z1}$ and  
   are the potential temperature and that of
   horizontal mean value at the lowest level of model atmosphere.
}

\subsection*{\DselJ{パラメータ}{Parameters}}

\DselJ{
地表フラックスパラメリゼーションに現れるパラメータの標準設定は以下のよう
になっている.}
{}

\begin{table}[h]
\begin{center}
\caption{\DselJ{地表フラックスパラメリゼーションのパラメータ}
         {Parameters of surface flux parameterization}}
\begin{tabular}{||c|c|c|||} \hline
\DselJ{パラメータ}{Parameters} & \DselJ{標準値}{Standard values} & \DselJ{備考}{Note} \\ \hline
$k$ & 0.35 & \\ 
$z_{0}$ & 1 cm & Sutton {\it et al.}, (1978) \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
