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\section{負の浮力}

浮力はパーセルの密度と周囲(パーセルと同じ圧力とする)の密度の差で決まるが, 
密度は温度と成分の関数であることに注意しなければならない. 
凝結の潜熱によってパーセルの温度が上がるとき, 
凝結成分の飽和蒸気圧も高くなるので, 凝結成分の混合比が増す. 
この際, 凝結成分が相対的に「重い」
(凝結成分の分子量が主成分の分子量より大きい)場合には, 
温度効果と成分効果が競合する。

大気成分は乾燥成分と湿潤成分の 2 つから成るものとし. 
凝縮物は速やかに気塊から除去されるものとする. 
このとき問題は, ある温度の飽和した気塊と
それより高い温度のやはり飽和した気塊ではどちらが密度が大きいか, 
という問題にに帰着される. 

気塊の平均分子量 $M$ は, 
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\begin{eqnarray}
 \bar{M} &=& M_{d} \left(1 - \frac{p_{v}^{sat}}{p} \right) + M_{v}
  \frac{p_{v}^{sat}}{p}  \nonumber \\
 &=&  M_{d}\left\{ 1 + 
	    \left(
	     \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} 
	    \right)\frac{p_{v}^{sat}}{p}  
	   \right\}
\end{eqnarray}
%
である. ここで $M_{d}, M_{v}$ はそれぞれ乾燥成分と湿潤成分の分子量であり, 
$p_{v}^{sat}$ は湿潤成分の飽和蒸気圧である. この平均分子量の式を用いて
気塊の密度 $\rho$ を書き下すと, 
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\begin{eqnarray}
 \rho 
  &=& \frac{p}{R_{d} T} 
  \left\{ 1 + 
   \left(
    \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} 
   \right)\frac{p_{v}^{sat}}{p} 
  \right\} \nonumber \\
  &=& \frac{1}{R_{d} T} 
  \left\{ p + 
   \left(
    \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} 
   \right) p_{v}^{sat}
  \right\} \nonumber 
\end{eqnarray}
%
となる. この式を圧力一定で温度 $T$ に対して偏微分すると, 
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\begin{eqnarray}
 \DP{\rho}{T} 
  &=& 
  - \frac{p}{R_{d} T^{2}} 
  - \frac{1}{R_{d} T^{2}} 
    \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right)
    p_{v}^{sat}
  + \frac{1}{R_{d} T} 
    \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right)
    \left( \DP{p_{v}^{sat}}{T} \right) \nonumber \\
  &=& 
   - \frac{1}{R_{d} T^{2}} 
   \left\{
    p 
  + \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right) p_{v}^{sat}
  - \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right) \left( T \DP{p_{v}^{sat}}{T} \right) 
\right\} \nonumber \\
  &=& 
   - \frac{1}{R_{d} T^{2}} 
   \left\{
    p 
  - \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right) 
  \left(
   - p_{v}^{sat} +  T \DP{p_{v}^{sat}}{T} 
  \right)
\right\}
\end{eqnarray}
%
である. この式にクラウジウス・クラペイロンの式, 
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\begin{eqnarray}
 \DP{p_{v}^{sat}}{T} = \frac{ L p_{v}^{sat}}{R T^{2}}
\end{eqnarray}
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を代入すると, 
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\begin{eqnarray}
 \DP{\rho}{T} 
  &=& 
   - \frac{1}{R_{d} T^{2}} 
   \left\{
    p 
  - \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right) 
  \left(
     \frac{L}{RT} - 1
  \right) p_{v}^{sat}
\right\}
\end{eqnarray}
%
である. さらに飽和混合比, 
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\begin{eqnarray}
 q_{v}^{sat} = \frac{\rho_{v}^{sat}}{\rho_{d}} 
  = \frac{p_{v}^{sat}}{R_{v}T} \frac{R_{d} T}{p_{d}} 
  = \frac{M_{v}}{M_{d}} \frac{p_{v}^{sat}}{p - p_{v}^{sat}}
\end{eqnarray}
%
を用いると, 
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\rho}{T} 
  &=& 
   - \frac{p - p_{v}^{sat}}{R_{d} T^{2}} 
   \left\{
    \frac{ p }{p - p_{v}^{sat}}
    - \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right) 
    \left(
     \frac{L}{RT} - 1
    \right) \frac{p_{v}^{sat}}{p - p_{v}^{sat}}
   \right\} \nonumber \\
  &=& 
   - \frac{p - p_{v}^{sat}}{R_{d} T^{2}} 
   \left\{ 
    1 +  \frac{ p_{v}^{sat} }{p - p_{v}^{sat}}
    - \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right) 
    \left(
     \frac{L}{RT} - 1
    \right) \frac{p_{v}^{sat}}{p - p_{v}^{sat}}
   \right\} \nonumber \\
  &=& 
   - \frac{p - p_{v}^{sat}}{R_{d} T^{2}} 
   \left\{
    1 
    +  \frac{ p_{v}^{sat} }{p - p_{v}^{sat}} 
       \left( 1 +  \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right) 
    - \frac{L}{RT}  \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{d}} \right)     
     \frac{p_{v}^{sat}}{p - p_{v}^{sat}}
   \right\} \nonumber \\
  &=& 
   - \frac{p - p_{v}^{sat}}{R_{d} T^{2}} 
   \left\{
    1 +  \frac{M_{v}}{M_{d}} \frac{ p_{v}^{sat} }{p - p_{v}^{sat}} 
    - \frac{L}{RT} \left( \frac{M_{v} - M_{d}}{M_{v}} \right)      
     \left(
       \frac{M_{v}}{M_{d}}\frac{p_{v}^{sat}}{p - p_{v}^{sat}}
     \right) 
  \right\} \nonumber \\
  &=& 
   - \frac{p - p_{v}^{sat}}{R_{d} T^{2}} 
   \left\{ \left(
	    1 +  q_{v}^{sat}
	   \right) 
    - 
    \frac{L}{RT} \left( 1 - \frac{M_{d}}{M_{v}} \right) q_{v}^{sat}   
   \right\} 
   \Deqlab{buoy}
\end{eqnarray}
%
である. 浮力が負になる場合は, $\partial \rho/\partial T < 0$ の場合であ
り, 浮力が正になる場合は, $\partial \rho/\partial T > 0$ の場合である. 
$M_{d} > M_{v}$ の場合には必ず浮力は正となる. 

\Deqref{buoy} 式において, $1 + q_{v}^{sat} \approx 1$ とみなせば, 
浮力が負になる条件は, 
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\begin{eqnarray}
q_{v}^{sat}
  > 
   \Dinv{
   \frac{L}{RT} \left( 1 - \frac{M_{d}}{M_{v}} \right) 
    }
\end{eqnarray}
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である. 中島ら(1998)によると, 浮力の符号が変化する臨界値は, 
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\begin{eqnarray}
 q_{\rm H_2O }^{c} = 0.057, \;\;\; 
 q_{\rm NH_3 }^{c} = 0.104, \;\;\; 
 q_{\rm CH_4 }^{c} = 0.112, \;\;\; 
\end{eqnarray}
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である. ちなみに, 太陽組成の 1 倍の場合, $q_{\rm H_{2}O} = 0.015$ である. 



