\underline{プリュームの上昇における分子量の影響  1 負の浮力  1}

プリュームの上昇における分子量の影響

杉山耕一朗

2006 年 5 月 06 日

目次

1 負の浮力 1

謝辞

1 負の浮力

浮力はパーセルの密度と周囲 (パーセルと同じ圧力とする) の密度の差で決まるが, 密度は温度と成分の関数であることに注意しなければならない. 凝結の潜熱によってパーセルの温度が上がるとき, 凝結成分の飽和蒸気圧も高くなるので, 凝結成分の混合比が増す. この際, 凝結成分が相対的に「重い」 (凝結成分の分子量が主成分の分子量より大きい) 場合には, 温度効果と成分効果が競合する。

大気成分は乾燥成分と湿潤成分の 2 つから成るものとし. 凝縮物は速やかに気塊から除去されるものとする. このとき問題は, ある温度の飽和した気塊とそれより高い温度のやはり飽和した気塊ではどちらが密度が大きいか, という問題にに帰着される.

気塊の平均分子量 M は,

M̄ = M_{d} (1 − \frac{p_{v}^{sat}}{p} ) + M_{v} \frac{p_{v}^{sat}}{p}
= M_{d} \{1 + (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) \frac{p_{v}^{sat}}{p} \}  (1)

である. ここで M_{d}, M_{v} はそれぞれ乾燥成分と湿潤成分の分子量であり, p_{v}^{sat} は湿潤成分の飽和蒸気圧である. この平均分子量の式を用いて気塊の密度 ρ を書き下すと,

ρ = \frac{p}{R_{d}T} \{1 + (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) \frac{p_{v}^{sat}}{p} \}
= \frac{1}{R_{d}T} \{p + (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) p_{v}^{sat}\}

となる. この式を圧力一定で温度 T に対して偏微分すると,

\frac{∂ρ}{∂T} = −\frac{p}{R_{d}T^{2}} − \frac{1}{R_{d}T^{2}} (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) p_{v}^{sat} + \frac{1}{R_{d}T} (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) (\frac{∂p_{v}^{sat}}{∂T} )
= −\frac{1}{R_{d}T^{2}} \{p + (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) p_{v}^{sat} − (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) (T \frac{∂p_{v}^{sat}}{∂T} )\}
= −\frac{1}{R_{d}T^{2}} \{p − (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) (−p_{v}^{sat} + T \frac{∂p_{v}^{sat}}{∂T} )\}  (2)

である. この式にクラウジウス・クラペイロンの式,

\frac{∂p_{v}^{sat}}{∂T} = \frac{Lp_{v}^{sat}}{RT^{2}}  (3)

を代入すると,

\frac{∂ρ}{∂T} = −\frac{1}{R_{d}T^{2}} \{p − (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) (\frac{L}{RT} − 1) p_{v}^{sat}\}  (4)

である. さらに飽和混合比,

q_{v}^{sat} = \frac{ρ_{v}^{sat}}{ρ_{d}} = \frac{p_{v}^{sat}}{R_{v}T} \frac{R_{d}T}{p_{d}} = \frac{M_{v}}{M_{d}} \frac{p_{v}^{sat}}{p − p_{v}^{sat}}  (5)

を用いると,

\frac{∂ρ}{∂T} = −\frac{p − p_{v}^{sat}}{R_{d}T^{2}} \{\frac{p}{p − p_{v}^{sat}} − (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) (\frac{L}{RT} − 1) \frac{p_{v}^{sat}}{p − p_{v}^{sat}} \}
= −\frac{p − p_{v}^{sat}}{R_{d}T^{2}} \{1 + \frac{p_{v}^{sat}}{p − p_{v}^{sat}} − (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) (\frac{L}{RT} − 1) \frac{p_{v}^{sat}}{p − p_{v}^{sat}} \}
= −\frac{p − p_{v}^{sat}}{R_{d}T^{2}} \{1 + \frac{p_{v}^{sat}}{p − p_{v}^{sat}} (1 + \frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) − \frac{L}{RT} (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{d}} ) \frac{p_{v}^{sat}}{p − p_{v}^{sat}} \}
= −\frac{p − p_{v}^{sat}}{R_{d}T^{2}} \{1 + \frac{M_{v}}{M_{d}} \frac{p_{v}^{sat}}{p − p_{v}^{sat}} − \frac{L}{RT} (\frac{M_{v} − M_{d}}{M_{v}} ) (\frac{M_{v}}{M_{d}} \frac{p_{v}^{sat}}{p − p_{v}^{sat}} )\}
= −\frac{p − p_{v}^{sat}}{R_{d}T^{2}} \{(1 + q_{v}^{sat}) − \frac{L}{RT} (1 − \frac{M_{d}}{M_{v}} ) q_{v}^{sat}\}  (6)

である. 浮力が負になる場合は, ∂ρ/∂T < 0 の場合であり, 浮力が正になる場合は, ∂ρ/∂T > 0 の場合である. M_{d} > M_{v} の場合には必ず浮力は正となる.

(6) 式において, 1 + q_{v}^{sat} ≈ 1 とみなせば, 浮力が負になる条件は,

q_{v}^{sat} > \frac{1}{\frac{L}{RT} (1 − \frac{M_{d}}{M_{v}} )}  (7)

である. 中島ら (1998) によると, 浮力の符号が変化する臨界値は,

q_{H_{2}O}^{c} = 0.057, q_{NH_{3}}^{c} = 0.104, q_{CH_{4}}^{c} = 0.112,  (8)

である. ちなみに, 太陽組成の 1 倍の場合, q_{H_{2}O} = 0.015 である.

\underline{プリュームの上昇における分子量の影響謝辞 4}

*謝辞

本資源は, 地球流体電脳倶楽部のインターネット上での学術知識の集積と活用の実験の一環として

http://www.gfd-dennou.org/arch/deepconv/

において公開されているものである. \begin{matrix}c \\ ◯ \end{matrix}杉山耕一朗, 北守太一, 小高正嗣 (K. Sugiyama, T. Kitamori, M. Odaka) 2006. 本資源は, 著作者の諸権利に抵触しない (迷惑をかけない) 限りにおいて自由に利用していただいて構わない. なお, 利用する際には今一度自ら内容を確かめることをお願いする (無保証無責任原則).

本資源に含まれる元資源提供者(図等の版元等を含む)からは, 直接的な形での WEB 上での著作権または使用許諾を得ていない場合があるが, 勝手ながら, 「未来の教育」のための実験という学術目的であることをご理解いただけるものと信じ, 学術標準の引用手順を守ることで諸手続きを略させていただいている. 本資源の利用者には, この点を理解の上, 注意して扱っていただけるようお願いする. 万一, 不都合のある場合には

dcstaff@gfd-dennou.org

まで連絡していただければ幸いである.