%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % % 表題 3 次元非静力学モデル deepconv -- 数理モデル % 付録 A-2 準圧縮方程式系の導出 - 基本場と擾乱場の分離 - % % 履歴 2005/11/26 杉山耕一朗 % 2007/06/22 小高正嗣 % 2012/04/18 小高正嗣 3 次元化 % 2012/12/05 小高正嗣 圧力方程式に熱膨張項を追加 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う. \subsection{基本場と擾乱場の分離} 変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この 時, 変数は以下のように書ける. % \begin{eqnarray} && u = u^{'}(x,z,t) \nonumber \\ && v = v^{'}(x,z,t) \nonumber \\ && w = w^{'}(x,z,t) \nonumber \\ && \pi = \bar{\pi}(z) + \pi^{'}(x,z,t) \nonumber \\ && \theta_{v} = \bar{\theta_{v}}(z) + {\theta_{v}}^{'}(x,z,t) \nonumber \\ && \rho = \bar{\rho}(z) + \rho^{'}(x,z,t) \nonumber \\ && q_{v} = \bar{q_{v}}(z) + q_{v}^{'}(x,z,t) \nonumber \\ && q_{r} = q_{r}^{'}(x,z,t) \nonumber \\ && q_{c} = q_{c}^{'}(x,z,t) \nonumber \end{eqnarray} % 但し, $\theta_{v} = \theta/f$ とし, 基本場の風速 $u, w$ と雲粒混合比と雨粒混合はゼロと見なした. そして基本場には静水圧平衡, % \begin{eqnarray} \DP{\bar{\pi}}{z} = - \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} = - \frac{g}{{c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \end{eqnarray} % の関係が成り立つものとする. \subsection{水平方向の運動方程式の線形化} 水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する. % \begin{eqnarray} \DP{u^{'}}{t} &=& - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + v^{'} \DP{u^{'}}{y} + w^{'} \DP{u^{'}}{z} \right) \nonumber \\ && - {c_{p}}_{d} \left( \bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\pi}}{x} + \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{x} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{x} \right) + Turb.u \nonumber \\ \DP{v^{'}}{t} &=& - \left( u^{'} \DP{v^{'}}{x} + v^{'} \DP{v^{'}}{y} + w^{'} \DP{v^{'}}{z} \right) \nonumber \\ && - {c_{p}}_{d} \left( \bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\pi}}{y} + \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{y} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{y} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{y} \right) + Turb.v \nonumber \end{eqnarray} % 上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は水平方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる. % \begin{eqnarray} \DP{u^{'}}{t} &=& - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + v^{'} \DP{u^{'}}{x} + w^{'} \DP{u^{'}}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x} + Turb.u \nonumber \\ &=& - \left( u^{'} \DP{u^{'}}{x} + v^{'} \DP{u^{'}}{y} + w^{'} \DP{u^{'}}{z} \right) -{c_{p}}_{d} \left( \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}\right) \DP{\pi^{'}}{x} + Turb.u \Deqlab{bunri:moist:dudt} \\ \DP{v^{'}}{t} &=& - \left( u^{'} \DP{v^{'}}{x} + v^{'} \DP{v^{'}}{y} + w^{'} \DP{v^{'}}{z} \right) -{c_{p}}_{d} \left( \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}\right) \DP{\pi^{'}}{y} + Turb.v \Deqlab{bunri:moist:dvdt} \end{eqnarray} % ここで $\bar{f}$ は, % \begin{eqnarray} \bar{f} = {\left( 1 - \frac{\sum \bar{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \bar{q_{v}}/M_{v}} \right) (1 + \sum \bar{q_{v}} )} \Deqlab{bunri:moist:bar_f} \end{eqnarray} % である. \subsection{鉛直方向の運動方程式の線形化} 鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する. % \begin{eqnarray} \DP{w^{'}}{t} &=& - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + v^{'} \DP{w^{'}}{y} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) \nonumber \\ && - {c_{p}}_{d} \left( \bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\pi}}{z} + \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{z} \right) - g + Turb.w \nonumber \end{eqnarray} % 上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる. % \begin{eqnarray} \DP{w^{'}}{t} &=& - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + v^{'} \DP{w^{'}}{y} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) \nonumber \\ && -{c_{p}}_{d} \left( \bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\pi}}{z} + \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z} + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z} \right) - g + Turb.w . \nonumber \end{eqnarray} % さらに静水圧の式を利用すると以下となる. % \begin{eqnarray} \DP{w^{'}}{t} &=& - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + v^{'} \DP{w^{'}}{y} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) \nonumber \\ && + {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \left( \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z} + {c_{p}}_{d} {\theta_{v}}^{'} \left( \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} \right) - g + Turb.w \nonumber \\ &=& - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + v^{'} \DP{w^{'}}{y} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z} + \frac{{\theta_{v}}^{'}}{\bar{\theta_{v}}} g + Turb.w \nonumber \end{eqnarray} % ここで ${\theta_{v}}^{'}$ は, % \begin{eqnarray} {\theta_{v}}^{'} &=& \Dinv{f} \left\{ \theta^{'} - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{v}} q_{v}^{'} - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'} - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'} \right\} \nonumber \\ &=& \Dinv{f} \left\{ \frac{\theta^{'}}{\theta} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{v}} q_{v}^{'} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'} \right\} \Deqlab{DTheta} \end{eqnarray} % であり, \Deqref{DTheta} 式の第 2 項を計算すると, % \begin{eqnarray} \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{v}} &=& \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})} \DP{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{v}} \nonumber \\ &=& \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})} \nonumber \\ && \left[ \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} - \left\{ \frac{\sum 1/M_{d}M_{v}}{(1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v})^{2}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}) \right\} \right] \nonumber \\ &=& \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} - \frac{\sum 1/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} \nonumber \end{eqnarray} % であり, \Deqref{DTheta} 式の第 3 項を計算すると, % \begin{eqnarray} \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{c}} &=& \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})} \DP{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{c}} \nonumber \\ &=& \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} \nonumber \end{eqnarray} % であり, \Deqref{DTheta} 式の第 4 項を計算すると, % \begin{eqnarray} \sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{r}} &=& \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})} \DP{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{r}} \nonumber \\ &=& \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} \nonumber \end{eqnarray} % となるので, % \begin{eqnarray} {\theta_{v}}^{'} = \Dinv{f} \left\{ \frac{\theta^{'}}{\theta} + \frac{\sum q_{v}^{'}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} - \frac{\sum q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} \right\} \end{eqnarray} % である. ここで擾乱成分は平均成分に比べて十分に小さいので, 全量を平均成分に置き換えることで, % \begin{eqnarray} {\theta_{v}}^{'} = \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \left\{ \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{\sum q_{v}^{'}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \bar{q_{v}}/M_{v}} - \frac{\sum q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right\} \end{eqnarray} % となる. これを用いると, 擾乱成分の速度 $w$ の式は以下のように書ける. % \begin{eqnarray} \DP{w^{'}}{t} &=& - \left( u^{'} \DP{w^{'}}{x} + v^{'} \DP{w^{'}}{y} + w^{'} \DP{w^{'}}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z} \nonumber \\ && + \left( \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{\sum q_{v}^{'}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \bar{q_{v}}/M_{v}} - \frac{\sum q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right) g + Turb.w \nonumber \\ \end{eqnarray} % \subsection{圧力方程式の線形化} 式\Deqref{equations:u-w-pi-theta:continue}を線形化する. 変数を平均成分 と擾乱成分に分解し, 擾乱成分は平均成分よりも十分小さく, 平均成分は $z$ のみの関数とする. 式\Deqref{equations:u-w-pi-theta:continue}左辺は % \[ \mathrm{式\Deqref{equations:u-w-pi-theta:continue}左辺} = \DP{\pi '}{t} + w' \DP{\overline{\pi}}{z} \] % となる. 式\Deqref{equations:u-w-pi-theta:continue}右辺においては 音速を以下のように平均成分で表わす. % \begin{eqnarray} {C_{s}}^{2} &=& \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} (\bar{\pi} + \pi^{'}) \left( \frac{\bar{\theta} + \theta^{'}}{\bar{f} + f'} \right) \nonumber \\ &\approx& \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \left( \bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} + \bar{\pi} \frac{\theta^{'}}{\bar{f}} + \pi^{'} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \right) \nonumber \\ &=& \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \left( 1 + \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{ \pi^{'} }{\bar{\pi}} \right) \nonumber \\ &\approx& \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}} \equiv \overline{{C_{s}}^{2}} \end{eqnarray} % また組成の変化に伴う項は, 熱力学の式において行ったように以下のように近似する. % \begin{eqnarray*} \sum_{i} \Dinv{f}\DP{f}{q_{v_{i}}}\dot{q_{v_{i}}} &=& \sum_{i}\Dinv{f}\left[ \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum_{j}q_{v_{j}}/M_{v_{j}}} \right. \\ && \left. - \frac{1/M_{d} 1/M_{v_{i}}}{(1/M_{d} + \sum_{j}q_{v_{j}}/M_{v_{j}})^{2}} (1 + \sum_{j}q_{v_{j}} + \sum _{j}q_{c_{j}} + \sum_{j}q_{r_{j}}) \right]\dot{q_{v_{i}}} \\ &=& \sum _{i} \left[ \frac{1}{1 + \sum_{j}q_{v_{j}} + \sum _{j}q_{c_{j}} + \sum_{j}q_{r_{j}}} - \frac{1/M_{v_{i}}}{1/M_{d} + \sum_{j}q_{v_{j}}/M_{v_{j}}} \right]\dot{q_{v_{i}}} \\ &=& \frac{\sum \dot{q}_{v}}{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} - \frac{\sum \dot{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}} \\ &\approx & \frac{\sum \dot{q}_{v}}{1 + \sum \overline{q_{v}}} - \frac{\sum \dot{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \overline{q_{v}}/M_{v}}, \\ \sum_{i} \Dinv{f}\DP{f}{q_{c_{i}}}\dot{q_{c_{i}}} &=& \sum_{i}\Dinv{f} \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum_{j}q_{v_{j}}/M_{v_{j}}}\dot{q_{c_{i}}} \\ &=& \frac{\sum \dot{q}_{c}}{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} \\ &\approx & \frac{\sum \dot{q}_{c}}{1 + \sum \overline{q_{v}}}, \\ \sum_{i} \Dinv{f}\DP{f}{q_{r_{i}}}\dot{q_{r_{i}}} &=& \sum_{i}\Dinv{f} \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum_{j}q_{v_{j}}/M_{v_{j}}}\dot{q_{r_{i}}} \\ &=& \frac{\sum \dot{q}_{r}}{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} \\ &\approx & \frac{\sum \dot{q}_{r}}{1 + \sum \overline{q_{v}}}. \end{eqnarray*} % これらを用いると, % \begin{equation} \DP{\pi'}{t} + w' \DP{\overline{\pi}}{z} = \frac{\overline{C_{s}^{2}}}{c_{p_{d}}\overline{\theta _{v}}} \left\{ - \Ddiv \Dvect{u}' + \frac{\dot{\theta}}{\overline{\theta}} - \left( \frac{\sum \dot{q}_{v} + \sum \dot{q}_{c} + \sum \dot{q}_{r}} {1 + \sum \overline{q_{v}}}. - \frac{\sum \dot{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \overline{q_{v}}/M_{v}} \right) \right\}. \end{equation} % 左辺の基本場の移流項と右辺の発散項は以下のようにまとめる % \begin{eqnarray*} - w' \DP{\overline{\pi}}{z} - \frac{\overline{C_{s}^{2}}} {c_{p_{d}}\overline{\theta _{v}}} \Ddiv \Dvect{u}' &=& - w^{'} \DP{}{z} \left( \frac{\bar{\rho} R_{d}(\bar{\theta}/\bar{f})}{p_{0}}\right)^{R_{d}/{c_{v}}_{d}} - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}} }{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \Ddiv \Dvect{u}' \\ % &=& - w^{'} \frac{R_{d}}{{c_{v}}_{d}} \bar{\pi} \Dinv{\left( \frac{\bar{\rho} R_{d}(\bar{\theta}/\bar{f})}{p_{0}}\right)} \frac{R_{d}}{p_{0}} \DP{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})}{z} - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}} }{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} \Ddiv \Dvect{u}' \\ % &=& - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})^{2}} \left\{ w^{'} \DP{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})}{z} + \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Ddiv \Dvect{u}' \right\} \\ % &=& - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u}' \right\} \end{eqnarray*} % 以上より, % \begin{eqnarray} \DP{\pi^{'}}{t} &=& - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d}\bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}} \right\} \nonumber \\ && + \frac{\overline{C_{s}^{2}}}{c_{p_{d}}\overline{\theta _{v}}} \left\{ \frac{\dot{\theta}}{\overline{\theta}} - \left( \frac{\sum \dot{q}_{v} + \sum \dot{q}_{c} + \sum \dot{q}_{r}} {1 + \sum \overline{q_{v}}}. - \frac{\sum \dot{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \overline{q_{v}}/M_{v}} \right) \right\}. \end{eqnarray} \subsubsection*{Klemp and Wilhelmson (1978) における近似} Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝縮に伴う圧力変化を無視し, % \begin{eqnarray} \DD{\pi}{t} = - \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} (\theta/f)} \Ddiv \Dvect{u} \nonumber \end{eqnarray} % として定式化している. \subsection{熱の式の線形化} 熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する. % \begin{eqnarray} && \DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{t} = - u^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{x} - v^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{y} - w^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{z} + Q + Turb.(\bar{\theta} + \theta^{'}) \nonumber \end{eqnarray} % ここで平均場の量は $z$ の関数であることを用いると, % \begin{eqnarray} && \DP{\theta^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{\theta^{'}}{x} + v^{'}\DP{\theta^{'}}{y} + w^{'}\DP{\theta^{'}}{z} \right) - w^{'}\DP{\bar{\theta}}{z} + Q + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta^{'} \end{eqnarray} % となる. \subsection{混合比の保存式の線形化} 凝縮成分の混合比の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝縮は生じていないと考えることに 等しい. % \begin{eqnarray} % && \DP{q_{v}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{v}^{'}}{x} + v^{'}\DP{q_{v}^{'}}{y} + w^{'}\DP{q_{v}^{'}}{z} \right) - w^{'}\DP{\bar{q_{v}}}{z} \nonumber \\ && + Src.q_{v}^{'} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v}^{'}, \\ % && \DP{q_{c}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x} + v^{'}\DP{q_{c}^{'}}{y} + w^{'}\DP{q_{c}^{'}}{z} \right) + Src.q_{c}^{'} + Turb.q_{c}^{'}, \\ % && \DP{q_{r}^{'}}{t} = - \left( u^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x} + v^{'}\DP{q_{r}^{'}}{y} + w^{'}\DP{q_{r}^{'}}{z} \right) + Src.q_{r}^{'} + Fall.q_{r}^{'} + Turb.q_{r}^{'} % \end{eqnarray} % 但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である. \section{まとめ} 準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる. ただし, 擾乱を示す $~^{'}$ は 除いた. % \begin{description} % \item[運動方程式]~ % \begin{eqnarray} \DP{u}{t} &=& - \left( u \DP{u}{x} + v \DP{u}{y} + w \DP{u}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x} + Turb.u \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:u} \\ % \DP{v}{t} &=& - \left( u \DP{v}{x} + v \DP{v}{y} + w \DP{u}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{y} + Turb.v \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:v} \\ % \DP{w}{t} &=& - \left( u \DP{w}{x} + v \DP{w}{y} + w \DP{w}{z} \right) - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x} + Turb.w \nonumber \\ && + \left( \frac{\theta}{\bar{\theta}} + \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \bar{q_{v}}/M_{v}} - \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} {1 + \sum \bar{q_{v}}} \right) g \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:w} \end{eqnarray} % \item[圧力方程式]~ % \begin{eqnarray} \DP{\pi}{t}&=& - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d} \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})^{2}} \Ddiv \left\{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u} \right\} \nonumber \\ && + \frac{\overline{C_{s}^{2}}}{c_{p_{d}}\overline{\theta _{v}}} \left\{ \frac{\dot{\theta}}{\overline{\theta}} - \left( \frac{\sum \dot{q}_{v} + \sum \dot{q}_{c} + \sum \dot{q}_{r}} {1 + \sum \overline{q_{v}}}. - \frac{\sum \dot{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \overline{q_{v}}/M_{v}} \right) \right\}. \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:continue} \end{eqnarray} % \item[熱の式]~ % \begin{eqnarray} \DP{\theta}{t} = - \left( u\DP{\theta}{x} + v\DP{\theta}{y} + w\DP{\theta}{x} \right) - w\DP{\bar{\theta}}{x} + Q + Turb.\bar{\theta} + Turb.\theta \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:theta} \end{eqnarray} % \item[凝縮成分の混合比の保存式]~ % \begin{eqnarray} \DP{q_{v}}{t} &=& - \left( u\DP{q_{v}}{x} + v\DP{q_{v}}{y} + w\DP{q_{v}}{z} \right) - w\DP{\bar{q_{v}}}{z} \nonumber \\ && + Src.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v}, \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:qv} \\ % \DP{q_{c}}{t} &=& - \left( u\DP{q_{c}}{x} + v\DP{q_{c}}{y} + w\DP{q_{c}}{z} \right) + Src.q_{c} + Turb.q_{c}, \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:qc} \\ % \DP{q_{r}}{t} &=& - \left( u\DP{q_{r}}{x} + v\DP{q_{r}}{y} + w\DP{q_{r}}{z} \right) + Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r} \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:qr} \end{eqnarray} % \end{description}