%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %表題 2 次元非静力学モデル -- 付録 B 乱流パラメタリゼーション % %履歴 2003-07-25 高橋 こう子 新規作成 % 2003-09-03 高橋 こう子 骨子完成 % 2003-09-08 高橋 こう子 参考文献追加 % 2003-09-09 高橋 こう子 Appendix 追加 % 2003-11-17 高橋 こう子 修正 % 2003-11-22 高橋 こう子 運動エネルギーの式修正 % 2004-07-25 小高正嗣 2 次元乾燥大気版へ再構成 % 2007-06-05 小高正嗣 乱流運動エネルギー方程式の導出を追加 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{乱流パラメタリゼーション} %---------------------------------------------------------------------- %\newpage %\subsection{レイノルズ応力方程式} %---------------------------------------------------------------------- %\newpage \section{乱流パラメタリゼーション} Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー ジャーを用いる. このとき乱流運動エネルギーの時間発展方程式は, % \begin{eqnarray} \DD{E}{t} &=& B + S + D_{E} - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right) E^{\frac{3}{2}} \Deqlab{B:dEdt} \end{eqnarray} % と与えられる. $l$ は混合距離で, $l = \left(\Delta x \Delta z\right)^{1/2}$ とする. $B$ と $S$ はそれぞれ浮力と流れの変形速度によ る乱流エネルギー生成項, $D_{E}$ は乱流エネルギー拡散項, 第 4 項は乱流 エネルギーの消散項であり, % \begin{eqnarray} B &=& \frac{g_{j}}{\overline{\theta}} \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} , \\ S &=& - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} \DP{u_{i}}{x_{j}} , \\ D_{E} &=& \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right) \end{eqnarray} % である. 1.5 次のクロージャーでは, レイノルズ応力を以下のように定義する. % \begin{eqnarray} \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} &=& - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) + \frac{2}{3} \delta_{ij} E, \Deqlab{レイノルズ応力1} \\ \overline{u_{j}^{\prime} \theta } &=& - K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}. \Deqlab{レイノルズ応力2} \end{eqnarray} % ここで $K_{m}$ は運動量に対する渦粘性係数であり, $E$ はサブグリッドス ケールの乱流運動エネルギー, $K_{h}$ は渦拡散係数である. $K_{m}$, $K_{h}$ は $E$ を用いて以下のように与えられる. % \begin{eqnarray} K_{m} &=& C_{m} E^{\frac{1}{2}} l, \Deqlab{B:E}\\ K_{h} &=& 3 K_{m}. \end{eqnarray} % パラメータ $C_{\varepsilon}, C_{m}$ はともに 0.2 である. a \subsection{乱流運動エネルギー方程式の導出} Klemp and Wilhelmson (1978) では\Deqref{B:dEdt}について, 「Deardroff (1975), Mellor and Yamada (1974), Schemm and Lipps (1976) で用いられ ている式と類似のものである」とだけ記述され, その導出の詳細については解 説されていない. それゆえ大気大循環モデルでよく用いられている Mellor and Yamada (1974, 1982) のパラメタリゼーションとの対応が不明瞭であ る. そこで以下では Mellor and Yamada (1973, 1974) の定式化の手順に沿っ て式\Deqref{B:dEdt}, \Deqref{レイノルズ応力1}, \Deqref{レイノルズ応力 2} の導出を行う. 考えているサブグリッドスケール内において, 密度は一定, 動粘性係数や拡散 係数などの物理定数は一定とする. 出発点となる方程式は, Mellor and Yamada (1973) の式 (7) および (8) \begin{eqnarray} \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{t} &+& \DP{}{x_{k}}\left[ u_{k}\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} + \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} - \nu \DP{}{x_{k}}\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}\right] \nonumber \\ &+& \DP{}{x_{j}}\overline{pu^{\prime}_{i}} + \DP{}{x_{i}}\overline{pu^{\prime}_{j}} + f_{k}(\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{i}} + \varepsilon _{ikl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{j}}) \nonumber \\ &=& -\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}}\DP{u_{j}}{x_{k}} -\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}}\DP{u_{i}}{x_{k}} -\beta(g_{j}\overline{u^{\prime}_{i}\theta } + g_{i}\overline{u^{\prime}_{j}\theta }) \nonumber \\ &+& \overline{p\left(\DP{u^{\prime}_{i}}{x_{j}} + \DP{u^{\prime}_{j}}{x_{i}}\right)} - 2\nu \overline{\DP{u^{\prime}_{i}}{x_{k}}\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}}, \Deqlab{MY1974:eq(7)} \end{eqnarray} \begin{eqnarray} \DP{\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}}}{t} &+& \DP{}{x_{k}}\left[ u_{k}\overline{\theta^{\prime} u^{\prime}_{j}} + \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} } - \alpha \overline{u^{\prime}_{j}\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}} - \nu \overline{\theta^{\prime} \DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}}\right] + \DP{}{x_{j}}\overline{p\theta^{\prime} } + \varepsilon _{jkl}f_{k}\overline{u^{\prime}_{l}\theta^{\prime} } \nonumber \\ &=& -\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{\theta }{x_{k}} -\overline{\theta^{\prime} u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} -\beta g_{j}\overline{(\theta^{\prime})^{2}} + \overline{p\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}} -(\alpha + \nu ) \overline{\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}}. \Deqlab{MY1974:eq(8)} \end{eqnarray} および, \Deqref{MY1974:eq(7)}において $i=j$ とした式 \begin{eqnarray} \DP{q^{2}}{t} + u_{k}\DP{q^{2}}{x_{k}} + \DP{}{x_{k}}\left(\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{j}} - \nu \DP{q^{2}}{x_{k}}\right) &=& - \overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} - \DP{}{x_{k}}\overline{pu^{\prime}_{j}} \nonumber \\ && + g_{j}\beta\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}} - 2\nu \overline{\left(\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}\right)} \Deqlab{qの予報式} \end{eqnarray} ここで \begin{eqnarray*} q &\equiv& \sqrt{\overline{(u^{\prime}_{i})^{2}}} \\ & = & \sqrt{2E} \end{eqnarray*} で, $\nu, \alpha, \beta$ はそれぞれ動粘性係数, 拡散係数および熱膨 張率, $g_{j}$ は重力加速度ベクトルの第 $j$ 成分である. \Deqref{MY1974:eq(7)}および\Deqref{MY1974:eq(8)}に現れる圧力に関する相関項 および 3 次の相関量については以下の仮定をおく. \begin{enumerate} \item $\overline{p\left(\DP{u^{\prime}_{i}}{x_{j}} + \DP{u^{\prime}_{i}}{x_{j}}\right)}$ (圧力による運動エネルギーの再分配) \[ = - \frac{q}{3l_{1}}(\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} - \frac{\delta _{ij}}{3}q^{2}) + Cq^{2}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right), \] とおく. ここで $l_{1}$ は乱流の特徴的なスケール, $C$ は無次元の定数である. \item $\overline{p\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}}$ (圧力による熱エネルギー再分配) 1. の導出と同様の考察によって, \[ = -\frac{q}{3l_{2}}\overline{u^{\prime}_{i}\theta^{\prime} } \] とおく. ここでの乱れのスケールは $l_{2}$ とする. \item $2\nu \overline{\DP{u^{\prime}_{i}}{x_{k}}\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}}$ (粘性による散逸) 粘性に関与するような小スケールの現象は等方的とみて $q$ のみ で表現する. \[ = \frac{2}{3}\frac{q^{3}}{\Lambda _{1}}\delta _{ij}. \] ここで $\Lambda _{1}$ は粘性の及ぶ特徴的スケールである. \item $(\alpha + \nu ) \overline{\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}}$ \[ = 0 \] とおく. \item $\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}, \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }, \overline{u^{\prime}_{k}(\theta^{\prime})^{2}}$ 速度変動による $\overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}, \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }, \overline{u^{\prime}_{k}(\theta^{\prime})^{2}}$ と考え次のようにおく. \begin{eqnarray*} \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} &=& -q\lambda _{1}\left( \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{x_{k}} + \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{k}}}{x_{j}} + \DP{\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{j}}}{x_{i}}\right), \\ \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} } &=& -q\lambda _{2}\left( \DP{\overline{u^{\prime}_{k}\theta^{\prime} }}{x_{j}} + \DP{\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }}{x_{k}}\right), \\ \overline{u^{\prime}_{k}(\theta^{\prime})^{2}} &=& -q\lambda _{3} \DP{\overline{(\theta^{\prime})^{2}}}{x_{k}}. \end{eqnarray*} ここで $\lambda _{i}(i=1,2,3)$ はそれぞれの特徴的スケールである. \item $\overline{pu^{\prime}_{i}}, \overline{p\theta^{\prime} }$ (圧力変動による拡散) \[ \overline{pu^{\prime}_{i}} = \overline{p\theta^{\prime} } = 0 \] とする. この近似は Deardroff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている. \item $f_{k}(\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{i}} + \varepsilon _{ikl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{j}}), \; f_{k}\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}\theta^{\prime} }$ (コリオリ項) \[ f_{k}\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{i}} = f_{k}\varepsilon _{ikl}\overline{u_{l}^{\prime}u^{\prime}_{j}} = 0, \] \[ f_{k}\varepsilon _{jkl}\overline{u_{l}^{\prime}\theta^{\prime}} = 0 \] とする. この近似は Deardroff (1975), Schemm and Lipps (1976) でも行われている. \item $\alpha \overline{u^{\prime}_{j}\DP{\theta^{\prime} }{x_{k}}}, \; \nu \overline{\theta^{\prime} \DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}}}$ \begin{equation} = 0 \end{equation} とする. \end{enumerate} 以上の近似を\Deqref{MY1974:eq(7)}, \Deqref{MY1974:eq(8)}, \Deqref{qの予報式} に対して行うと, 以下の式を得る. \begin{eqnarray} \DD{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{t} &-& \DP{}{x_{k}}\left[ q\lambda _{1}\left( \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}}{x_{k}} + \DP{\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{k}}}{x_{j}} + \DP{\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{i}}}{x_{i}}\right) -\nu\DP{}{x_{k}}\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}\right] \nonumber \\ &=& - \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{i}}\DP{u_{j}}{x_{k}} - \overline{u^{\prime}_{k}u^{\prime}_{j}}\DP{u_{i}}{x_{k}} - \beta(g_{j}\overline{u^{\prime}_{i}\theta^{\prime} } + g_{i}\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }) \nonumber \\ & & - \frac{q}{3l_{1}}(\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} - \frac{\delta _{ij}}{3}q^{2}) + Cq^{2}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) - \frac{2}{3}\frac{q^{3}}{\Lambda _{1}}\delta _{ij}, \Deqlab{MY1974:Level4(1)} \\ \DD{\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }}{t} &-& \DP{}{x_{k}}\left[q\lambda _{2}\left( \DP{\overline{u^{\prime}_{k}\theta^{\prime} }}{x_{j}} + \DP{\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }}{x_{k}}\right)\right] \nonumber \\ &=& - \overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{\theta }{x_{k}} - \overline{\theta^{\prime} u^{\prime}_{k}}\DP{u^{\prime}_{j}}{x_{k}} - \beta g_{j}\overline{(\theta^{\prime})^{2}} - \frac{q}{3l_{2}}\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime} }, \Deqlab{MY1974:Level4(2)} \\ \DD{q^{2}}{t} &+& \DP{}{x_{k}}\left[ q\lambda _{1}\left( 2\DP{q^{2}}{x_{k}} + \DP{\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}}{x_{j}}\right) - \nu \DP{q^{2}}{x_{k}}\right] \nonumber \\ &=& - 2\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} + 2g_{j}\beta\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}} - 2\frac{q^{3}}{\Lambda _{1}} \Deqlab{MY1974:Level4(3)} \end{eqnarray} ここで \[ \DD{}{t} \equiv \DP{}{t} + u_{k}\DP{}{x_{k}} \] である. これらは Mellor and Yamada (1974) の Level 4 モデルの式に対応 する式である. 式\Deqref{MY1974:Level4(1)}, \Deqref{MY1974:Level4(2)}, \Deqref{MY1974:Level4(3)}に対し, さらに以下の近似を加える. \begin{itemize} \item 式\Deqref{MY1974:Level4(1)}は, 右辺の第 4 項と第 5 項だけ考慮する. さらに\Deqref{MY1974:Level1(1)}では $C=1/3$ とする. \item 式\Deqref{MY1974:Level4(2)}は, 右辺の第 1 項と第 4 項だけ考慮する. さらに $\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\sim q^{2}\delta_{jk}/3$ とする. \item 式\Deqref{MY1974:Level4(3)}は, 左辺の 3 次相間項を無視する. \end{itemize} これらの近似を行うと, 式\Deqref{MY1974:Level4(1)}, \Deqref{MY1974:Level4(2)}, \Deqref{MY1974:Level4(3)}は \begin{eqnarray} \overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} &=& \frac{\delta _{ij}}{3}q^{2} - ql_{1}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) \Deqlab{MY1974:Level1(1)} \\ \overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}} &=& - ql_{2}\DP{\theta }{x_{j}} \Deqlab{MY1974:Level1(2)} \\ \DD{q^{2}}{t} &=& - 2\overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} + 2g_{j}\beta\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}} + \DP{}{x_{k}}\left[\nu \DP{q^{2}}{x_{k}}\right] - 2\frac{q^{3}}{\Lambda _{1}} \Deqlab{MY1974:Level3(1)} \end{eqnarray} となる. \Deqref{MY1974:Level1(1)}は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデルの $\overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}}$ の式である. \Deqref{MY1974:Level1(2)}は Mellor and Yamada (1974) の Level 1 モデル の $\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}}$ の式で $\overline{(\theta^{\prime})^{2}}$ の項を無視したものに対応する. \Deqref{MY1974:Level3(1)} は Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデ ルの $q^{2}$ の式において, 3 次相関項を無視し粘性拡散項を残したものに 対応する. $ql_{1}=K_{m}, ql_{2}=K_{h}$ とし, $q$ を $E$ で表し動粘性係数を乱流拡散係数で置き換えると \begin{eqnarray} \overline{u^{\prime}_{i}u^{\prime}_{j}} &=& \frac{2}{3}\delta _{ij}E - K_{m}\left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) \\ \overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}} &=& - K_{h}\DP{\theta }{x_{k}} \\ \DD{E}{t} &=& - \overline{u^{\prime}_{j}u^{\prime}_{k}}\DP{u_{j}}{x_{k}} + g_{j}\beta\overline{u^{\prime}_{j}\theta^{\prime}} + \DP{}{x_{k}}\left[K_{m} \DP{q^{2}}{x_{k}}\right] - \frac{2^{3/2}}{\Lambda _{1}}E^{3/2} \Deqlab{乱流エネルギーの式} \end{eqnarray} となる. 理想気体の場合 $\beta = 1/\theta$ であることに注意すると, 式 \Deqref{乱流エネルギーの式}は散逸項の係数を除き\Deqref{B:dEdt}に一致 する. 以上より, Klemp and Wilhelmson (1978) の乱流パラメタリゼーションは, Mellor and Yamada (1974) の Level 3 モデルと Level 1 モデルとを組みあ わせたものと理解することができる. Klemp and Wilhelmson (1978) と同様に 乱流運動エネルギーのみ予報し他の相関量は診断的に求めるモデルとして Mellor and Yamada (1974) の Level 2.5 モデルがある. しかし Level 2.5 モデルは Level 3 モデルと Level 2 モデルとの組合せであることに注意が必 要である. \subsection{2 次元の場合の表現} 2 次元の場合の\Deqref{B:dEdt}式の各項を書き下す. 浮力による乱流エネル ギー生成項は, % \begin{eqnarray} B &=& \frac{g_{j}}{\overline{\theta}} \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} \nonumber \\ &=& - \frac{g}{\overline{\theta}} \overline{w^{\prime} \theta^{\prime}} \nonumber \\ &=& - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right) \Deqlab{B} \end{eqnarray} % である. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 $S$ は, % \begin{eqnarray} S &=& - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})} \DP{u_{i}}{x_{j}} \nonumber \\ &=& - \left\{ - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) + \frac{2}{3} \delta_{ij} E \right\} \DP{u_{i}}{x_{j}} \nonumber \\ &=& \left\{ K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right) - \frac{2}{3} \delta_{ij} E \right\} \DP{u_{i}}{x_{j}} \nonumber \\ &=& \left\{ K_{m} \left(\DP{u}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x}\right) - \frac{2}{3} \delta_{1j} E \right\} \DP{u}{x_{j}} \nonumber \\ &&+ \left\{ K_{m} \left(\DP{w}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{z}\right) - \frac{2}{3} \delta_{3j} E \right\} \DP{w}{x_{j}} \nonumber \\ &=& \left\{ 2 K_{m} \left(\DP{u}{x} \right) - \frac{2}{3} E \right\} \DP{u}{x} + K_{m} \left( \DP{w}{x} + \DP{u}{z} \right) \DP{u}{z} \nonumber \\ &&+ K_{m} \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right) \DP{w}{x} + \left\{ 2 K_{m} \left(\DP{w}{z} \right) - \frac{2}{3} E \right\} \DP{w}{z} \nonumber \\ &=& 2 K_{m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} + K_{m} \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} \nonumber \\ && - \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \Deqlab{S} \end{eqnarray} % である. 乱流エネルギー拡散項 $D_{E}$ は, % \begin{eqnarray} D_{E} &=& \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right), \nonumber \\ &=& \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) \Deqlab{De} \end{eqnarray} % である. 以上の \Deqref{B}, \Deqref{S}, \Deqref{De} 式を \Deqref{B:dEdt} 式 に代入することで以下の式を得る. % \begin{eqnarray} \DD{E}{t} &=& - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right) \nonumber \\ &&+ 2 K_{m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} + K_{m} \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} - \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ &&+ \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right) - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right) E^{\frac{3}{2}}. \Deqlab{B:TurbE} \end{eqnarray} % \subsection{乱流拡散係数を用いた表現} \Deqref{B:TurbE} 式を \Deqref{B:E} 式を用いて $K_{m}$ に関する式に変形 する. 右辺の乱流エネルギー拡散項を書き下すと, % \begin{eqnarray} \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x}\right) &+& \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E}{z}\right) \nonumber \\ &=& \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{\DP{}{x} \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{x}\right) + \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{z}\right) \Biggr\} \nonumber \\ &=& \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP{K_{m}}{x} \DP{K_{m}^{2}}{x} + K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} + \DP{K_{m}}{z} \DP{K_{m}^{2}}{z} \Biggr\} \nonumber \\ &=& \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \Biggr\} \nonumber \\ \end{eqnarray} % となるので, \Deqref{B:TurbE} 式を変形すると, % \begin{eqnarray} \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \DD{K_{m}}{t} &=& - \frac{g}{\overline{\theta}} \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right) + 2 K_{m} \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} \nonumber \\ && + K_{m} \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2} - \frac{2}{3} \frac{K_{m}^{2}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ && + \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}} \Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \Biggr\} \nonumber \\ && - \frac{C_{\varepsilon}}{C_{m}^{3} {l}^{4}} K_{m}^{3}. \end{eqnarray} 係数を整理すると, \begin{eqnarray} \DP{K_{m}}{t} &=& - \left( u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z} \right) - \frac{g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \frac{K_{h}}{K_{m}} \left(\DP{\theta}{z} \right) \nonumber \\ && + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} \nonumber \\ && + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2} - \frac{K_{m}}{3} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ && + \Dinv{2} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \nonumber \\ && - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}} K_{m}^{2} \nonumber \end{eqnarray} % となり, ここで $C_{m} = C_{\varepsilon} = 0.2$ と $K_{h} = 3 K_{m}$ という 関係を用いると, % \begin{eqnarray} \DP{K_{m}}{t} &=& - \left( u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z} \right) - \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \left(\DP{\theta}{z} \right) \nonumber \\ && + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ \left( \DP{u}{x} \right)^{2} + \left( \DP{w}{z} \right)^{2} \right\} \nonumber \\ && + \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2} \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2} - \frac{K_{m}}{3} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) \nonumber \\ && + \Dinv{2} \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x} + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z} \right) + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2} + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2} \nonumber \\ && - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2} \Deqlab{close_1.5} \end{eqnarray} % となる.