% ɽ��   AGCM5 ��1�� ������ǥ� 
%
% ���� 
\Drireki{94/04/13 ��������}
\Drireki{97/04/15 ���ٹ���}
%

\section{$\sigma$-��ɸ�ץ�ߥƥ���������}

���ϳ�ʿ�դΤ�ȤǤ�, ���� $p$ �ϱ�ľ��ɸ $z$ ���Ф�ñĴ��������ؿ���
����. ������, ��ľ��ɸ�� $z$ ����, ��ɽ�̵��� $p_s$ �ǵ��ʲ�����������
ɸ,
\begin{equation}
  \sigma \equiv \frac{p}{p_s},
  \label{������}
\end{equation}
���Ѵ�����. $\sigma$ �� $z$ �δط���, ���ϳ�ʿ�դμ����ѷ�����������. 
\begin{equation} 
  \DP{\sigma}{z} = - \frac{g \sigma}{R^d T_v}.
  \label{���������ϳ�}
\end{equation} 

\subsection{$\sigma$-��ɸ�Ѵ�����}

$z$- ��ɸ���� $\sigma$- ��ɸ�ؤ��Ѵ������򼨤�.. 

��ľ��ʬ
\begin{eqnarray}
  \DP{\bullet}{z} 
 & = & \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma} \nonumber \\
 & = & - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}.
\end{eqnarray}
��ʿ��ʬ
\begin{eqnarray}
  \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_z
 & = & \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
 - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}  \nonumber \\
 & = & \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
 + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma},
   \label{������ʬ}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
  \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_z
 & = & \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
 - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}  \nonumber \\
 & = & \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
 + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}.
   \label{�ե�����ʬ}
\end{eqnarray}
������ʬ
\begin{eqnarray}
  \left( \DP{\bullet}{t} \right)_z
 & = & \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
 - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}  \nonumber  \\
 & = & \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
 + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}.
\end{eqnarray}
�饰��󥸥���ʬ�Ϥ������Ѥ���,
\begin{eqnarray}
  \left( \DD{\bullet}{t} \right)_z
 & = & \left( \DP{\bullet}{t} \right)_z
  + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_z
  + \frac{v}{a} \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_z
  + w \left( \DP{\bullet}{z} \right)_z \nonumber \\
 & = & \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
  + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
  + \frac{v}{a} \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
  + w \left( \DP{\bullet}{z} \right)_{\sigma} \nonumber \\
 &  & + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left\{ 
    \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}
   + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}
   + \frac{v}{a} \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}
   -w \right\} \DP{\bullet}{\sigma} \nonumber \\
 & = & \left( \DD{\bullet}{t} \right)_{\sigma}.
\end{eqnarray}
������, $\sigma$-��ɸ��ľ®�� $\dot{\sigma}$ ���������. 
\begin{equation}
  \dot{\sigma} \equiv
    \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left\{ 
    \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}
   + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}
   + \frac{v}{a} \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}
   -w \right\}.
\end{equation}

\subsection{$\sigma$-��ɸ�ץ�ߥƥ�����������}

\subsubsection{���ϳ�ʿ�դμ�}

�� (\ref{���������ϳ�}) ����ϥݥƥ󥷥�� $\Phi=gz$ ���Ѥ��ƽ񤱤�,
\begin{equation}
  \DP{\Phi}{\sigma}=-\frac{R^d T_v}{\sigma}.
\end{equation}

\subsubsection{��ư������}

��ʿ�ΰ��ϸ��ۤ�, ��(\ref{������ʬ})����Ӽ�(\ref{�ե�����ʬ}) �� 
$p$ ���Ф���Ŭ�Ѥ�, ��(\ref{������}) ���Ѥ���м��Τ褦���Ѵ������. 
\begin{eqnarray}
  \frac{1}{\rho} \left( \DP{p}{\lambda} \right)_z
 & = & \frac{1}{\rho} \left\{ \DP[][\sigma]{p}{\lambda}
   + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{p}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
   \right\} \nonumber \\
 & = & \frac{R^d T_v}{p_s} \DP{p_s}{\lambda}
   + \frac{R^d T_v}{p} \frac{g \sigma}{R^d T_v} p_s \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
    \nonumber \\
 & = & R^d T_v \DP[][\sigma]{\pi}{\lambda} + \DP{\Phi}{\lambda},
\end{eqnarray}
\begin{equation}
  \frac{1}{\rho} \left( \DP{p}{\varphi} \right)_z
 = R^d T_v \DP[][\sigma]{\pi}{\varphi} + \DP{\Phi}{\varphi}.
\end{equation}
������ $\pi \equiv \ln p_s$ �Ǥ���. �������ä�, ��ư�������ο�ʿ��ʬ��,
      \begin{equation}
               \DD{u}{t}  -f v - \frac{uv}{a} \tan \varphi
           = - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda}
             - \frac{R^d T_v}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
             + F_{\lambda},
      \end{equation}
      \begin{equation}
               \DD{v}{t} + fu + \frac{u^2}{a} \tan \varphi
           = - \frac{1}{a}  \DP{\Phi}{\varphi}
             - \frac{R^d T_v}{a}  \DP{\pi}{\varphi}
             + F_{\varphi}.
      \end{equation}

\subsubsection{Ϣ³�μ�}

®�٤�ȯ����,
\begin{eqnarray}
     \left( \Ddiv \Dvect{v} \right)_z
%   &=&   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
%       + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} (\cos \varphi v)
%       + \DP{w}{z}            \nonumber \\
   &=&   \frac{1}{a \cos \varphi} 
         \left[   \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
                + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{u}{\sigma}
                \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]   \nonumber \\
   &  &+ \frac{1}{a \cos \varphi} 
         \left[   \left( \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi) \right)_{\sigma}
        + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} ( v \cos \varphi) 
                \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]
       - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} \left( \DD{z}{t}
         \right)_{\sigma}
         \nonumber \\
   &=&   \frac{1}{a \cos \varphi} 
         \left[   \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
                + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{u}{\sigma} 
                \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]           \nonumber \\
   & & + \frac{1}{a \cos \varphi} 
         \left[  \left( \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi) \right)_{\sigma}
                + \frac{g \sigma}{R^d T_v}\DP{}{\sigma} ( v \cos \varphi)
                \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]          \nonumber \\
   & & - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} \left[
          \DP[][\sigma]{z}{t} + \frac{u}{a \cos \varphi}
          \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
         + \frac{v}{a} \DP[][\sigma]{z}{\varphi}
         + \dot{\sigma} \DP{z}{\sigma}
         \right]     \nonumber \\
   &=&  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP[][\sigma]{u}{\lambda}
       + \frac{1}{a \cos \varphi} \left( \DP{}{\varphi} (v \cos
         \varphi) \right)_{\sigma} 
       + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}              \nonumber \\
   & & - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left[ \DP{}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{t}
       + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\sigma}
         \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
       + \frac{v}{a} \DP{}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{\varphi} 
       + \dot{\sigma} \DP{}{\sigma} \DP[][]{z}{\sigma} \right]
       \nonumber \\
%   &=&  ( \Ddiv{\Dvect{v}})_{\sigma} 
%       + \DP{\sigma}{z}
%         \left[ \left( \DP{}{t}
%       + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
%       +   \frac{v}{a} \DP{}{\varphi}
%       + \dot{\sigma} \DP{}{\sigma} \right)_{\sigma} \DP{z}{\sigma} \right]
%       \nonumber \\
   &=&  ( \Ddiv{\Dvect{v}_H})_{\sigma} + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma} 
       + \DP{\sigma}{z}
         \left( \DD{}{t} \DP{z}{\sigma} \right)_{\sigma}.
\end{eqnarray}
������, 
\begin{equation}
   \Ddiv{\Dvect{v}_H} 
     \equiv \frac{1}{a \cos \varphi}
           \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
         + \frac{1}{a \cos \varphi} \left( \DP{}{\varphi} (v \cos
           \varphi ) \right)_{\sigma}.
\end{equation}
�椨��, $z$- ��ɸϢ³�μ��ϼ��Τ褦���Ѵ������. 
\begin{eqnarray}
 \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_z
   + \left( \Ddiv{\Dvect{v}} \right)_z
 & = &  \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_{\sigma}
   + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
   + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
   + \DP{\sigma}{z} \left( \DD{}{t} \DP{z}{\sigma} \right)_{\sigma}
   \nonumber \\
 & = & \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_{\sigma}
   + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
   + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
   + \frac{\rho}{p_s} \left( \DD{}{t} \frac{p_s}{\rho} \right)_{\sigma}
   \nonumber \\
 & = & \left( \DD{\ln p_s}{t} \right)_{\sigma} 
   + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
   + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}. 
\end{eqnarray}
�������ä� $\pi \equiv \ln p_s$ ���Ѥ��Ƶ��Ҥ���м��Τ褦�ˤʤ�. 
      \begin{equation}
      \label{Ϣ³�μ�}
            \DD{\pi}{t}
          + \Ddiv{\Dvect{v}_H} 
          + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
        = 0.
      \end{equation} 

\subsubsection{Ǯ�ϳؤμ�}

�� ( \ref{zǮ��} ) �α�����1��ϼ��Τ褦���Ѵ������. 
      \begin{eqnarray}
     \frac{1}{c_p^d \rho} \DD{p}{t} 
        & = &   \frac{1}{c_p^d \rho} \left\{ \DP{p}{t}
              + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} p 
              + \dot{\sigma}  \DP{p}{\sigma} \right\}
                                             \nonumber \\
       & = &    \frac{1}{c_p^d \rho} \left\{ \sigma \DP{p_s}{t}
              + \sigma \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} p_s 
              + \dot{\sigma}  p_s \right\}
                                              \nonumber \\
       & = &    \frac{R^d T_v}{c_p^d} \left\{   \DP{\pi}{t} 
              + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} \pi
              + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma} \right\}.
      \end{eqnarray}
      ������,
      \begin{equation}
            \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} 
        =   \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
          + \frac{v}{a} \DP{}{\varphi}.
      \end{equation}
�������ä�, Ǯ�ϳؤμ��ϤĤ��Τ褦�ˤʤ�. 
      \begin{equation}
                \DD{T}{t} 
        =     \frac{R^d T_v}{c_p^d}
                \left\{   \DP{\pi}{t} 
                        + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} \pi
                        + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma} \right\}
                        + \frac{Q^*}{c_p^d}.
      \end{equation}

\subsection{�������}

������, $\sigma$ ��ɸ�ˤ����붭�����ˤĤ��ƽҤ٤�. 

\subsubsection{��ɽ�̹���}
\begin{equation}
  \Phi = \Phi_s (\lambda, \varphi)   \ \ \ \ {\rm at} \ \ \sigma=1.
\end{equation}
���ʤ��, $\Phi_s$ ��ɽ���Ϸ���ɽ��. ���ζ��������Ѥ���, ���ϳ�ʿ��
�μ����ľ��ʬ���뤳�Ȥ�, Ǥ�դ� $\sigma$ �ˤ�������� $\Phi$ �����
���Ȥ��Ǥ���. 
%
\subsubsection{$\sigma$ ��ɸ��ľ®��}
\begin{equation}
  \dot{\sigma} = 0  \ \ \ at \ \ \sigma = 0, \ 1.
\end{equation}
%
\subsubsection{��ʿή�����Ǯ�ϳ��ѿ�}
�����ǤϽҤ٤ʤ�.

\subsection{����������}

Ϣ³�μ����ľ������ $\sigma=0$ ���� $\sigma=1$ �ޤ���ʬ��,
$\dot{\sigma}$ �˴ؤ��붭�������Ѥ����, �����������Ȥ�Ф�� $\pi$ 
�λ����Ѳ��˴ؤ��뼰��������.
\begin{equation}
   \frac{\partial \pi}{\partial t}
   = - \int_{0}^{1} \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma
     - \int_{0}^{1} D  d \sigma.
\end{equation}
���μ����Ѥ����, $\dot{\sigma}$ �ξ��󤬤ʤ��Ƥ���ɽ�̵����λ����Ѳ�
����뤳�Ȥ��Ǥ���. �ʤ�, �����Ǥϸ�Τ��Ȥ�ͤ��� 
$\Ddiv{\Dvect{v}_H}$ �� $D$ ��ɽ�����Ƥ���. $D$ �ˤĤ��Ƥϼ���ǲ����
�������.

��ľ®��$\dot{\sigma}$��, Ϣ³�μ����ľ������ $\sigma=0$ ���� 
$\sigma=\sigma$ �ޤ���ʬ���뤳�Ȥǿ���Ū��������. 
\begin{equation}
   \dot{\sigma} 
   = - \sigma 
     \frac{\partial \pi}{\partial t}
     - \int_{0}^{\sigma} D d \sigma
     - \int_{0}^{\sigma} 
         \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma.
\end{equation}
