% 表題   AGCM5 第1部 数理モデル Yamada-Mellor のクロージャーモデル
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% 履歴 
\Drireki{93/03/18  沼口敦・保坂征宏}
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\section{Yamada-Mellor のクロージャーモデル}

Yamada-Mellor のクロージャーモデルとは, 
格子点間隔以下のスケールの運動による
運動量・熱・水蒸気の鉛直方向の輸送を
以下のように評価するモデルである. 
\begin{itemize}
   \item 大規模場の量の鉛直拡散で評価する.
   \item 鉛直拡散係数も大規模場の量から決定する.
         係数の決め方は基本的には乱流理論に基づく. 
         その際に
         高次の相関係数を低次の相関係数で評価し\footnotemark, 
              \footnotetext{
                    一般にある次数の相関係数を計算するためには
                    より高次の相関係数が必要である. 
                    したがって, 
                    相関係数を厳密に乱流理論に基づいて
                    決定することはできない. 
                    高次の相関係数を低次の相関係数で評価することによっ
                    てある次数で係数の計算を打ち切る(クロージャー)こと
                    ができる. }
         さらに地球大気近似を行なう.
   \item 鉛直拡散係数の評価方法として簡易な『レベル 1』 から複雑な『レ
         ベル 4 』までの 4 種類が存在する.
\end{itemize}

以下では各レベルの鉛直拡散係数の決定法を記す. 

\subsection{Yamada-Mellor レベル 1}


\subsection{Yamada-Mellor レベル 2}


拡散係数 $K_M, K_T, K_q$ は成層状態に依存し, 
$u,v,T$の関数として次のように与えられる\footnotemark.
   \footnotetext{ 数理モデルと離散化とが混在している. } 
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\begin{eqnarray}
K_M       & = & l^2 \frac{\Delta |\Dvect{v}|}{\Delta z} S_M  \\
K_T = K_q & = & l^2 \frac{\Delta |\Dvect{v}|}{\Delta z} S_H 
\end{eqnarray}

$l$ は混合距離であり, Blakadar(1962)に従って,
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\begin{equation}
l = \frac{kz}{1+kz/l_0}
\end{equation}
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ととる. $l_0=$300m である.

$S_M, S_H$は Richardson 数の関数として求められる.
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まず, バルクRichardson数 $R_{iB}$ は
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\begin{equation}
R_{iB} = \frac{\displaystyle 
               \frac{q}{\theta_s} \frac{\Delta \theta}{\Delta z} }
              {\displaystyle
                  \left( \frac{\Delta u}{\Delta z} \right)^2 
                + \left( \frac{\Delta v}{\Delta z} \right)^2      }
\end{equation}
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で定義される.
ここで, $(\Delta A)_{k-1/2}$ は $A_{k} - A_{k-1}$ を表す.

これから, フラックスRicahrdson数 $R_f$ は,
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\begin{equation}
R_f = \frac{1}{2 \beta_2}
      \left[ \beta_1 + \beta_4 R_{iB}
              - \sqrt{ ( \beta_1 + \beta_4 R_{iB} )^2 
                       - 4 \beta_2 \beta_3 R_{iB} }
              \right] ,
\end{equation}
%
ただし, 
\begin{eqnarray}
\alpha_1 & = & 3 A_2 \gamma_1  \\
\alpha_2 & = & 3 A_2 (\gamma_1+\gamma_2) \\
\beta_1  & = & A_1 B_1 ( \gamma_1 - C_1 ) \\
\beta_2  & = & A_1 [ B_1 ( \gamma_1 - C_1 ) + 6 A_1 + 3 A_2 ] \\
\beta_3  & = & A_2 B_1 \\
\beta_4  & = & A_2 [ B_1 ( \gamma_1 + \gamma_2 ) - 3 A_1 ] ,
\end{eqnarray}
%
\begin{equation}
(A_1, B_1, A_2, B_2, C_1 ) = ( 0.92, 16.6, 0.74, 10.1, 0.08 ) ,
\end{equation}
%
\begin{equation}
\gamma_1 = \frac{1}{3} - \frac{2 A_1}{B_1}\, , \, \, \, 
\gamma_2 = \frac{B_2}{B_1} + 6\frac{A_1}{B_1} .
\end{equation}

さらに,
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\begin{equation}
\widetilde{S_H} = \frac{ \alpha_1-\alpha_2 R_f }{ 1-R_f }
\end{equation}
%
\begin{equation}
\widetilde{S_M} = \frac{ \beta_1-\beta_2 R_f }{ \beta_3-\beta_4 R_f } 
                  \widetilde{S_H} ,
\end{equation}
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を用いて,
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\begin{eqnarray}
S_M & = & B_1^{1/2} ( 1- R_f )^{1/2} 
          \widetilde{S_M}^{3/2} \\
S_H & = & B_1^{1/2} ( 1- R_f )^{1/2} 
          \widetilde{S_M}^{1/2} \widetilde{S_H} .
\end{eqnarray} 

\subsection{Yamada-Mellor レベル 3}

\subsection{Yamada-Mellor レベル 4}
