\section{�߿�������θ���������絤��ǥ�λ���������}

  
  �߿���θ�������μ�����¸§, ��ư����¸§, ���ͥ륮����¸§��
  ���Τ褦�ˤʤ�\footnotemark[1].
  \footnotetext[1]{kiso.ref/fluid2/multi �����絤-���ηϤλ��������� �ڤ�
                   �������絤��ǥ� ����. 
                    �����Ǥ�ʬ�ҥ�٥�γȻ���̵�뤷�Ƥ���.}

  �� ������¸§
    \begin{eqnarray}
        & {\mbox �����絤} & 
        \DP{\rho^d}{t}
      + \DP{}{x_j} ( \rho^d v_j )
      = 0,   \\
        & {\mbox �����} &
        \DP{\rho^v}{t} + \DP{}{x_j}( \rho^v v_j ) = -S[Pr],  \\
        & {\mbox ��������¸§} & 
        \DP{\rho}{t}
      + \DP{}{x_j}( \rho v_j )
      = -S[Pr].
    \end{eqnarray}
    ������μ����漾 $q=\rho^v / \rho$ �ǽ�ľ����
    \begin{equation}
      \DP{}{t} ( \rho q ) + \DP{}{x_j} ( \rho q v_j) = - S[Pr].
    \end{equation}
    �߿��̤�
    \begin{equation}
       \int S[Pr] dz
    \end{equation}
    ��Ϳ������.
    
  �� ��ư����¸§
    
    \begin{equation}
        \DP{}{t}(\rho v_i)
      + \DP{}{x_j}( \rho v_i v_j )
      - \DP{\sigma_{ij}}{x_j}
      - \rho g_i 
     = - v_i S[Pr] .
    \end{equation}
    Ϣ³�μ����Ѥ��ƥ饰��󥸥�����˽��Ѥ����
    \begin{equation}
        \rho \DD{v_i}{t}
      - \DP{\sigma_{ij}}{x_j}
      - \rho g_i 
     = 0.
    \end{equation}
    
  �� ���ͥ륮����¸§

    \begin{eqnarray}
       & &     \DP{}{t} 
             \left[ \rho 
                   \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                          + \varepsilon \right) \right]
         + \DP{}{x_j} \left[ 
             \rho 
               \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}^2 
                    + \varepsilon \right)  - \sigma_{ij}v_i  + q_j 
             v_j \right]
         - \rho g_i v_i     \nonumber \\
      & = &  \rho Q_{rad} - \left(   \frac{1}{2} \Dvect{v}{}^2 
                    + h \right) S[Pr].
    \end{eqnarray}

   �� ����������

    �������, ������ξ����������Ϥ��줾��
    \begin{eqnarray}
       p^d & = & \rho^{d} R^d T, \\
       p^v & = & \rho^{v} R^v T
    \end{eqnarray}
    �Ǥ���.
    $R^d \equiv R^*/M_w^d$, $R^v \equiv R^*/M_w^v$ .
    ������, $R^* = 8.31$ J/mol/K �����׵������, 
    $M^v_w$, $M^d_w$ �Ϥ��줾�������ȴ��������ʬ���̤Ǥ���.
    ���絤�Τξ�����������
    \begin{equation}
      p = \rho R T
    \end{equation}
    �Ȥʤ�\footnotemark[2].
    $R$ �Ϻ��絤�Τε�������Ǥ���, 
    \begin{equation}
      R \equiv R^* \left\{ \frac{1}{M_w^v} \frac{M^v}{M^v + M^d}
               + \frac{1}{M_w^d} \frac{M^d}{M^v + M^d} \right\}.
    \end{equation}
    ������, 
    $M^v$, $M^d$ �Ϥ��줾�������μ���, ��������μ��̤Ǥ���.
    $M_w^v = M_w^d$ �λ��� $R$ �� $R^*/M^v_w$ �Ȥʤ�����Ȥʤ�.
    \footnotetext[2]{���絤�Τξ����������� $\rho^v$, $\rho$ 
                     ������ɽ�������
                     \begin{equation}
                         p = \rho \left\{ 1 + \left( 
                               \frac{M_w^d}{M_w^v} -1 \right) 
                             \frac{\rho^v}{\rho} \right\}
                             \frac{R^*}{M_w^d} T
                     \end{equation}
                     �Ȥʤ�.
                     \begin{equation}
                          T_v \equiv \left\{ 1 + 
                              \left( \frac{M_w^d}{M_w^v} -1 \right) 
                           \frac{\rho^v}{\rho} \right\}        T
                     \end{equation}
                     �򲾲��٤Ȥ���.
                     �����٤�Ȥ���, ������������
                     \begin{equation}
                       p = \rho R^d T_v
                     \end{equation}
                     �Ȥʤ�.}

   \vspace{5mm}

    ��ʵ��������ϼ����̤�Ǥ���.

    \begin{tabular}{ll}
      $S[Pr]$ & ������ζŷ��� \\
      $\Dvect{g}$ & ����    \\    
      $\Dvect{q}$ & Ǯή«  \\
      $\rho^v$ & �������̩��(���м���) \\
      $\rho^d$ & ���������̩�� \\
      $q \equiv \rho^v/\rho$ & �漾 \\
      $p^v$    & �����ʬ�� \\
      $p^d$    & �������ʬ�� \\
      $\rho \equiv \rho^d + \rho^v$ & ��̩��  \\
      $\sigma_{ij}$ & ���ϥƥ󥽥� \\
                    & ������ή�Τξ��� \\
                    & $\sigma_{ij} = -p \delta_{ij} + \sigma_{ij}'
                      = -p \delta_{ij} + \zeta \delta_{ij} \Ddiv{\Dvect{v}}
                        + \eta \left( \DP{v_i}{x_j} + \DP{v_j}{x_i}
                        - \frac{2}{3} \delta_{ij} \Ddiv{\Dvect{v}}
                      \right)$ \\
      $\varepsilon$ & ���絤�Τ��������ͥ륮�� \\
      $h$ & ���絤�ΤΥ��󥿥�ԡ� \\
    \end{tabular}
