\section{エネルギー関係式}

● 運動エネルギーの式
\vspace{5mm}

運動エネルギー保存則を作る.
運動量保存則に $v_i$ をかけると
\begin{equation}
      v_i \DP{}{t} ( \rho v_i )
    + v_i \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i )
    - \rho v_i g_i
  = + v_i \DP{\sigma_{ij}}{x_j} 
    - v_i^2 S[P_r]
\end{equation}
連続の式を用いて左辺を変形すると
\begin{equation}
      \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right) 
    + \DP{}{x_i} \left( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 - v_j \sigma_{ij} \right)
    - \rho v_i g_i 
  =   p \Ddiv \Dvect{v}
    - \sigma'_{ij} \DP{v_i}{x_j}
    - \frac{1}{2} v_i^2 S[Pr]
\end{equation}
が得られる.

\vspace{5mm}

\begin{footnotesize}
上式は次の式変形によって得られる.
\begin{eqnarray}
 & &       v_i \DP{}{t} ( \rho v_i )
         + v_i \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i ) \\ 
  & = &   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 )
         + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )
         - \rho \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  v_i^2 \right)
         - \rho v_j \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \right) \\
  & = &   \DP{}{t} ( \rho v_i^2 )
         + \DP{}{x_j} ( \rho v_j v_i^2 )
         - \DP{}{t} \left( \frac{1}{2}  \rho v_i^2 \right)
         - \DP{}{x_j} \left( \frac{1}{2} v_i^2 \rho v_i \right) \\
  &   &      + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{\rho}{t}
         + \frac{1}{2} v_i^2 \DP{}{x_j} ( \rho v_j )  \\
  & = &   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)
         + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 )
         + \frac{1}{2} v_i^2 
           \left\{ \DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} ( \rho v_j ) \right\} \\
  & = &   \DP{}{t} \left( \frac{1}{2} \rho v_i^2 \right)
         + \DP{}{x_j} ( \frac{1}{2} \rho v_j v_i^2 )
         - \frac{1}{2} v_i^2 S[P_r]
\end{eqnarray}
\end{footnotesize}

\vspace{5mm}

● 内部エネルギーの式

エネルギー保存則から運動エネルギー保存則を引き去ると, 
次のように内部エネルギーの式が得られる.
\begin{equation}
       \DP{}{t} ( \rho \varepsilon )
     + \DP{}{x_j} ( \rho \varepsilon v_j )
     + \DP{}{x_j} \left[ - \sigma_{ij}v_i + q_j \right] 
   = - p \DP{v_j}{x_j} 
     - v_i \DP{\sigma'_{ij}}{x_j}
     + Q_{rad}
     - \varepsilon S[Pr], 
\end{equation}
放射, 熱流, 粘性による加熱をまとめて $\rho Q$ とおき, 
書き直すと次のようになる.
\begin{eqnarray}
& &       \DP{}{t} (\rho \varepsilon )
    + \DP{}{x_j} (\rho \varepsilon v_j )
  = -p \Ddiv \Dvect{v} + \rho Q
    - h S[Pr]    \\
& &   \rho \DD{\varepsilon}{t} 
    + \varepsilon \left\{ \DP{\rho}{t} \DP{}{x_j} \right\}
  = -p \left\{ - \frac{1}{\rho} \DD{\rho}{t} 
               - \frac{1}{\rho} S[Pr]
       \right\}
    + \rho Q - h S[Pr]   \\
& &   \rho \DD{\varepsilon}{t} 
    - \varepsilon S[Pr]
  =   \frac{p}{\rho} \DD{\rho}{t} 
    + \frac{p}{\rho} S[Pr]
    + \rho Q - h S[Pr]    \\
& &   \rho \DD{\varepsilon}{t} 
  =   \frac{p}{\rho} \DD{\rho}{t} 
    + \rho Q
\end{eqnarray}

● 理想気体の場合 〜 温度の式

\vspace{5mm}

理想気体の関係式
\begin{equation}
  p = \rho R T, \ \ \ \varepsilon = c_v T
\end{equation}
を用いると, $\varepsilon$ の式は
\begin{eqnarray}
        \DD{c_v  T}{t}
  & = & \frac{p}{\rho^2} \DD{\rho}{t} + Q,   \\
        \DD{(c_v T)}{t} 
  & = & \frac{p}{\rho^2} \DD{\rho}{t} + Q \\
  & = & \frac{R T}{\rho} \DD{}{t} \left( \frac{\rho}{R T} \right)
        + Q \\
  & = & \frac{1}{\rho} \DD{p}{t} - \DD{(R T)}{t} + Q, \\
  \DD{(c_p T)}{t} & = & \frac{1}{\rho} \DD{p}{t} + Q.
\end{eqnarray}
となる\footnotemark[4].

\footnotetext[4]{$c_p$, $R$ がともに定数の場合, エンタルピーの式は
温位 $\theta \equiv T \left( \frac{p}{p_0} \right)^{-R/c_p}$ を
使った表現に書き換えることができる.
\begin{eqnarray}
  & \DD{c_p T}{t} - \frac{R T}{p} \DD{p}{t} = Q \\
  & \DD{T}{t} - \frac{R}{c_p} T \frac{1}{p} \DD{p}{t} = \frac{Q}{c_p} \\
  & \DD{T}{t} p^{- R/c_p} 
    + T \left(- \frac{R}{c_p} \right) p^{-R/c_p -1} \DD{p}{t}
    = p^{-R/c_p} \frac{Q}{c_p} \\
  & \DD{}{t} Tp^{-R/c_p} = p^{-R/c_p} \frac{Q}{c_p} \\
  & \DD{}{t} T \left( \frac{p}{p_0} \right)^{-R/c_p}
    = \left( \frac{p}{p_0} \right)^{-R/c_p} \frac{Q}{cp} \\
  & \DD{\theta}{t} = \frac{\theta}{T} \frac{Q}{c_p}
\end{eqnarray}
}

\newpage

ここで, 基礎方程式をまとめると次のようになる.
\begin{eqnarray}
&  &   \DD{\rho}{t} = - \rho \Ddiv \Dvect{v} -S[Pr], \\
&  &   \DP{\rho^d}{t} + \DP{}{x_j} ( \rho^d v_j ) = 0,   \\
&  &   \DD{q}{t}  = \frac{q-1}{\rho} S[Pr],  \\
&  &   \rho \DD{\Dvect{v}}{t} = - \Dgrad p + \rho \Dvect{g} 
        + \rho \Dvect{F}, \\
&  &   \DD{(c_p  T)}{t} = \frac{1}{\rho} \DD{p}{t} + Q, \\
&  &   p = \rho R T.
\end{eqnarray}

ただし, 粘性による運動量輸送の項を $\rho \Dvect{F}$ と書き, 
$\rho^v$ を比湿 $q = \rho^v/\rho$ で書き直した.



