\underline{モデル基礎方程式 i}

モデル基礎方程式

石渡正樹

1993 年 9 月 30 日

model/modelm.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  1 設定  1}

1 設定

大気は乾燥空気, 水蒸気から成るものとする. 大気成分は次のとおりである.

• 非凝結性成分:乾燥空気と呼ぶ. 比熱一定の理想気体.

• 凝結性成分 : 水蒸気と呼ぶ. 比熱一定の理想気体. 簡単のため, 乾燥空気と水蒸気の分子量は等しいものとする. 静水圧平衡を仮定する. 水蒸気が凝結した場合, 一瞬にして地表まで達するものとする. 雨が落下する際, 水蒸気として持っていた運動量, エンタルピー^{1} を運び去ると考える. 惑星の大きさと回転速度は一定とする. 地面は, 常に熱バランスした陸面 (いわゆる swamp 条件) とする.

1雨とともにどのような熱力学量を抜くべきなのか良くわからない. 温度の計算をするためにエンタルピーの式を用いているので, エンタルピーを抜くのが安直で良いのではないかと考えた.

model/junbi.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  2 降水過程を考慮した湿潤大気モデルの支配方程式  2}

2 降水過程を考慮した湿潤大気モデルの支配方程式

降水を考慮した場合の質量保存則, 運動量保存則, エネルギー保存則は次のようになる^{1}. ●質量保存則

乾燥大気\frac{∂ρ^{d}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρ^{d}v_{j}) = 0,  (1)
水蒸気\frac{∂ρ^{v}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρ^{v}v_{j}) = −S[P r],  (2)
全質量保存則\frac{∂ρ}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρv_{j}) = −S[P r].  (3)

水蒸気の式を比湿 q = ρ^{v}/ρ で書き直すと

\frac{∂}{∂t} (ρq) + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρqv_{j}) = −S[P r].  (4)

降水量は

∫ S[P r]dz  (5)

で与えられる. ●運動量保存則

\frac{∂}{∂t} (ρv_{i}) + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρv_{i}v_{j}) − \frac{∂σ_{ij}}{∂x_{j}} − ρg_{i} = −v_{i}S[P r].  (6)

連続の式を用いてラグランジュ形式に書き変えると

ρ\frac{dv_{i}}{dt} − \frac{∂σ_{ij}}{∂x_{j}} − ρg_{i} = 0.  (7)

●エネルギー保存則

\frac{∂}{∂t} [ρ (\frac{1}{2}v^{2} + ε)] + \frac{∂}{∂x_{j}} [ρ (\frac{1}{2}v^{2} + ε) − σ_{ij}v_{i} + q_{j}v_{j}] − ρg_{i}v_{i}

= ρQ_{rad} − (\frac{1}{2}v^{2} + h) S[P r].  (8)

●状態方程式乾燥空気, 水蒸気の状態方程式はそれぞれ

p^{d} = ρ^{d}R^{d}T,  (9)
p^{v} = ρ^{v}R^{v}T  (10)

1kiso.ref/fluid2/multi 湿潤大気-海洋系の支配方程式及び偽湿潤大気モデル参照. ここでは分子レベルの拡散は無視してある.

model/basiceq.tex  93/09/30(石渡正樹)

である. R^{d} ≡ R^{∗}/M_{w}^{d}, R^{v} ≡ R^{∗}/M_{w}^{v} . ただし, R^{∗} = 8.31 J/mol/K は普遍気体定数, M_{w}^{v}, M_{w}^{d} はそれぞれ水蒸気と乾燥空気の分子量である. 混合気体の状態方程式は

p = ρRT  (11)

となる^{2}. R は混合気体の気体定数であり,

R ≡ R^{∗} \{\frac{1}{M_{w}^{v}} \frac{M^{v}}{M^{v} + M^{d}} + \frac{1}{M_{w}^{d}} \frac{M^{d}}{M^{v} + M^{d}} \} .  (12)

ただし, M^{v}, M^{d} はそれぞれ水蒸気の質量, 乾燥空気の質量である. M_{w}^{v} = M_{w}^{d} の時に R は R^{∗}/M_{w}^{v} となり定数となる.

主な記号の定義は次の通りである.

S[P r]  水蒸気の凝結量
g  重力
q  熱流束
ρ^{v}  水蒸気の密度 (絶対湿度)
ρ^{d}  乾燥空気の密度
q ≡ ρ^{v}/ρ  比湿
p^{v}  水蒸気分圧
p^{d}  乾燥空気分圧
ρ ≡ ρ^{d} + ρ^{v} 全密度
σ_{ij}  応力テンソル

等方性流体の場合は

σ_{ij} = −pδ_{ij} + σ′_{ij} = −pδ_{ij} + ζδ_{ij}∇ · v + η (\frac{∂v_{i}}{∂x_{j}} + \frac{∂v_{j}}{∂x_{i}} − \frac{2}{3}δ_{ij}∇ · v)

ε  混合気体の内部エネルギー
h  混合気体のエンタルピー
p = ρ \{1 + (\frac{M_{w}^{d}}{M_{w}^{v}} − 1) \frac{ρ^{v}}{ρ} \} \frac{R^{∗}}{M_{w}^{d}} T  (13)
T_{v} ≡ \{1 + (\frac{M_{w}^{d}}{M_{w}^{v}} − 1) \frac{ρ^{v}}{ρ} \} T  (14)
p = ρR^{d}T_{v}  (15)

2混合気体の状態方程式を ρ^{v}, ρ だけで表現するととなる.

を仮温度という. 仮温度を使うと, 状態方程式はとなる.

model/basiceq.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  3 エネルギー関係式  4}

3 エネルギー関係式

●運動エネルギーの式

運動エネルギー保存則を作る. 運動量保存則に v_{i} をかけると

v_{i} \frac{∂}{∂t} (ρv_{i}) + v_{i} \frac{∂}{∂x_{j}} (ρv_{j}v_{i}) − ρv_{i}g_{i} = +v_{i} \frac{∂σ_{ij}}{∂x_{j}} − v_{i}^{2}S[P_{r}]  (16)

連続の式を用いて左辺を変形すると

\frac{∂}{∂t} (\frac{1}{2}ρv_{i}^{2}) + \frac{∂}{∂x_{i}} (\frac{1}{2}ρv_{j}v_{i}^{2} − v_{j}σ_{ij}) − ρv_{i}g_{i} = p∇ · v − σ′_{ij} \frac{∂v_{i}}{∂x_{j}} − \frac{1}{2}v_{i}^{2}S[P r]  (17)

が得られる.

上式は次の式変形によって得られる.

v_{i} \frac{∂}{∂t} (ρv_{i}) + v_{i} \frac{∂}{∂x_{j}} (ρv_{j}v_{i})  (18)
= \frac{∂}{∂t} (ρv_{i}^{2}) + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρv_{j}v_{i}^{2}) − ρ\frac{∂}{∂t} (\frac{1}{2}v_{i}^{2}) − ρv_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{1}{2}v_{i}^{2})  (19)
= \frac{∂}{∂t} (ρv_{i}^{2}) + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρv_{j}v_{i}^{2}) − \frac{∂}{∂t} (\frac{1}{2}ρv_{i}^{2}) − \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{1}{2}v_{i}^{2}ρv_{i})  (20)
+\frac{1}{2}v_{i}^{2} \frac{∂ρ}{∂t} + \frac{1}{2}v_{i}^{2} \frac{∂}{∂x_{j}} (ρv_{j})  (21)
= \frac{∂}{∂t} (\frac{1}{2}ρv_{i}^{2}) + \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{1}{2}ρv_{j}v_{i}^{2}) + \frac{1}{2}v_{i}^{2} \{\frac{∂ρ}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρv_{j})\}  (22)
= \frac{∂}{∂t} (\frac{1}{2}ρv_{i}^{2}) + \frac{∂}{∂x_{j}} (\frac{1}{2}ρv_{j}v_{i}^{2}) − \frac{1}{2}v_{i}^{2}S[P_{r}]  (23)

●内部エネルギーの式エネルギー保存則から運動エネルギー保存則を引き去ると, 次のように内部エネルギーの式が得られる.

\frac{∂}{∂t} (ρε) + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρεv_{j}) + \frac{∂}{∂x_{j}} [−σ_{ij}v_{i} + q_{j}] = −p\frac{∂v_{j}}{∂x_{j}} − v_{i} \frac{∂σ′_{ij}}{∂x_{j}} + Q_{rad} − εS[P r],  (24)

放射, 熱流, 粘性による加熱をまとめて ρQ とおき, 書き直すと次のようになる.

\frac{∂}{∂t} (ρε) + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρεv_{j}) = −p∇ · v + ρQ − hS[P r]  (25)
ρ\frac{dε}{dt} + ε \{\frac{∂ρ}{∂t} \frac{∂}{∂x_{j}} \} = −p \{−\frac{1}{ρ} \frac{dρ}{dt} − \frac{1}{ρ}S[P r]\} + ρQ − hS[P r]  (26)
ρ\frac{dε}{dt} − εS[P r] = \frac{p}{ρ} \frac{dρ}{dt} + \frac{p}{ρ}S[P r] + ρQ − hS[P r]  (27)
ρ\frac{dε}{dt} = \frac{p}{ρ} \frac{dρ}{dt} + ρQ  (28)

\underline{モデル基礎方程式  3 エネルギー関係式  5}

●理想気体の場合〜温度の式理想気体の関係式

p = ρRT, ε = c_{v}T  (29)

を用いると, ε の式は

\frac{dc_{v}T}{dt} = \frac{p}{ρ^{2}} \frac{dρ}{dt} + Q,  (30)
\frac{d(c_{v}T)}{dt} = \frac{p}{ρ^{2}} \frac{dρ}{dt} + Q  (31)
= \frac{RT}{ρ} \frac{d}{dt} (\frac{ρ}{RT} ) + Q  (32)
= \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} − \frac{d(RT)}{dt} + Q,  (33)
\frac{d(c_{p}T)}{dt} = \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} + Q.  (34)

となる^{4}.

4c_{p}, R がともに定数の場合, エンタルピーの式は温位 θ ≡ T (\frac{p}{p_{0}} )^{−R/c_{p}} を使った表現に書き換えることができる.

\frac{dc_{p}T}{dt} − \frac{RT}{p} \frac{dp}{dt} = Q  (35)
\frac{dT}{dt} − \frac{R}{c_{p}} T \frac{1}{p} \frac{dp}{dt} = \frac{Q}{c_{p}}  (36)
\frac{dT}{dt} p^{−R/c_{p}} + T (−\frac{R}{c_{p}} ) p^{−R/c_{p}−1} \frac{dp}{dt} = p^{−R/c_{p}} \frac{Q}{c_{p}}  (37)
\frac{d}{dt} T p^{−R/c_{p}} = p^{−R/c_{p}} \frac{Q}{c_{p}}  (38)
\frac{d}{dt} T (\frac{p}{p_{0}} )^{−R/c_{p}} = (\frac{p}{p_{0}} )^{−R/c_{p}} \frac{Q}{cp}  (39)
\frac{dθ}{dt} = \frac{θ}{T} \frac{Q}{c_{p}}  (40)

ここで, 基礎方程式をまとめると次のようになる.

\frac{dρ}{dt} = −ρ∇ · v − S[P r],  (41)
\frac{∂ρ^{d}}{∂t} + \frac{∂}{∂x_{j}} (ρ^{d}v_{j}) = 0,  (42)
\frac{dq}{dt} = \frac{q − 1}{ρ}S[P r],  (43)
ρ\frac{dv}{dt} = −∇p + ρg + ρF ,  (44)
\frac{d(c_{p}T)}{dt} = \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} + Q,  (45)
p = ρRT.  (46)

ただし, 粘性による運動量輸送の項を ρF と書き, ρ^{v} を比湿 q = ρ^{v}/ρ で書き直した.

\underline{モデル基礎方程式  4 回転系への移行  7}

4 回転系への移行

静止系での速度 v_{a} (これまでの v) は回転系での速度 v を用いて次のように表すことができる.

v_{a} = v + Ω × r  (47)

これより, 速度の時間微分項は

\frac{dv_{a}}{dt} = \frac{dv}{dt} + 2Ω × v + Ω × (Ω × r)  (48)

と変換される. よって回転系における運動方程式は

\frac{dv}{dt} = −\frac{1}{ρ}∇p − 2Ω × v − Ω × (Ω × r) + g + F  (49)

となる. ここで g − Ω × (Ω × v) をあらためて g とおく. これより, 運動方程式は

\frac{dv}{dt} = −\frac{1}{ρ}∇p − 2Ω × v + g + F  (50)

となる.

スカラー量のラグランジュ微分の形は変わらないので, 連続の式, 内部エネルギーの式の形は変わらない.

model/kaiten.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  5 球面・緯度経度座標への変換  8}

5 球面・緯度経度座標への変換

次の緯度経度座標 (λ, φ) を導入する.

x = r sin θ cos ϕ = r cos φ cos λ,
y = r sin θ sin ϕ = r cos φ sin λ,
z = r cos θ  = r sin φ.

(51)

(θ, ϕ, r) は普通の極座標. 緯度経度座標における scale factor は

h_{λ} = r cos φ, h_{φ} = r, h_{r} = 1  (52)

である. 自転角速度ベクトルの表現は次のようになる.

2Ω = 2Ω(e_{φ} cos φ + e_{z} sin φ) × (ue_{λ} + ve_{φ} + we_{z})  (53)
= (2Ω cos φw − fv)e_{λ} + fue_{φ} − 2Ω cos φue_{z}  (54)

ただし, f = 2Ω sin φ とおいた. 運動方程式の緯度経度座標における表現は

\frac{du}{dt} = −\frac{1}{ρr cos φ} \frac{∂p}{∂λ} + 2vΩ sin φ − 2wΩ cos φ + \frac{uv}{r} tan φ − \frac{uw}{r} + F_{λ},  (55)
\frac{dv}{dt} = −\frac{1}{ρr} \frac{∂p}{∂φ} − 2Ωu sin φ + \frac{u^{2}}{r} tan φ − \frac{vw}{r} + F_{φ},  (56)
\frac{dw}{dt} = −\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂r} − g + 2Ωu cos φ + \frac{u^{2}}{r} + \frac{v^{2}}{r} + F_{r}.  (57)

となる. 連続の式は

\frac{∂ρ}{∂t} + \frac{1}{r cos φ} \frac{∂}{∂λ} (ρu) + \frac{1}{r cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φρv) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}ρw) = −S[P r].  (58)

エンタルピーの式は

\frac{d}{dt} (c_{p}T) = \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} + Q.  (59)

状態方程式は

p = ρRT.  (60)

model/sph-cood.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  6 薄い球殻・静水圧近似  9}

6 薄い球殻・静水圧近似

次のステップに従って, w の式の項を落す^{1} 1. \frac{dw}{dt} を落す.

2. 運動エネルギーが保存するように項を落す. u, v, w の式にそれぞれ u, v, w をかけ

て足すと

u\frac{dy}{dt} + v \frac{dv}{dt} + w\frac{dw}{dt}

= −\frac{1}{ρr cos φ}u\frac{∂p}{∂λ} − \frac{1}{ρr}v \frac{∂p}{∂φ} − \frac{1}{ρ}w\frac{∂p}{∂r}

+2Ωuv sin φ + \frac{u^{2}v}{r} tan φ − 2Ωuw cos φ − \frac{u^{2}w}{r}

−2Ωuv sin φ − \frac{u^{2}v}{r} tan φ − \frac{v^{2}w}{r}

2Ωuw cos φ + \frac{u^{2}w}{r} + \frac{v^{2}w}{r}

+uF_{λ} + vF_{φ} + wF_{r}

+uS_{u} + vS_{v} + wS_{w}  (61)

この式を見ながら, u の式と v の式の項も落していく.

(a) w の式の 2Ωu cos φ を落す. 対応して, u の式の 2Ωw cos φ を落す.

(b) w の式の u^{2}/r を落す. 対応して, u の式の uw/r を落す.

(c) w の式の v^{2}/r を落す. 対応して, v の式の vw/r を落す.

3. w の式の摩擦項を落す. 静水圧平衡の近似を導入すると次のようになる.

\frac{du}{dt} = \frac{uv tan φ}{r} + fv − \frac{1}{ρr cos φ} \frac{∂p}{∂λ} + F_{λ}  (62)
\frac{dv}{dt} = −\frac{u^{2} tan φ}{a} − fu − \frac{1}{ρr} \frac{∂p}{∂φ} + F_{φ}  (63)
0 = −\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂z} − g  (64)

●薄い近似大気は薄いと考え, r は全て惑星半径 a におきかえる. この近似のもとで基礎方程式は次のようになる.

1大気力学入門参照 model/hydro.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  6 薄い球殻・静水圧近似  10}

\frac{dρ}{dt} = −ρ∇ · v − S[P r],  (65)
\frac{dq}{dt} = \frac{q − 1}{ρ}S[P r],  (66)
\frac{du}{dt} = \frac{uv tan φ}{a} + fv − \frac{1}{ρa cos φ} \frac{∂p}{∂λ} + F_{λ},  (67)
\frac{dv}{dt} = −\frac{u^{2} tan φ}{a} − fu − \frac{1}{ρa} \frac{∂p}{∂φ} + F_{φ},  (68)
0 = −\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂z} − g,  (69)
\frac{d}{dt} (c_{p}T) = \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} + Q.  (70)

(71)

model/hydro.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  7 鉛直座標変換  11}

7 鉛直座標変換

鉛直座標として

σ ≡ \frac{p}{p_{s}}  (72)

をとる. p_{s} は地表面気圧. σ の定義より

\frac{∂p}{∂σ} = p_{s}  (73)

が成り立つ. 鉛直座標変換ノート^{4} より, 次のような変換則が得られる.

(\frac{d}{dt} )_{z} = (\frac{d}{dt} )_{σ} = (\frac{∂}{∂t} )_{σ} + v_{H} · ∇_{σ} + σ̇ \frac{∂}{∂σ}
= (\frac{∂}{∂t} )_{σ} + \frac{u}{a cos φ} (\frac{∂}{∂λ} )_{σ} + \frac{v}{a} (\frac{∂}{∂φ} )_{σ} + σ̇ \frac{∂}{∂σ}  (74)
(\frac{∂f}{∂λ} )_{z} = (\frac{∂f}{∂λ} )_{σ} − \frac{∂f}{∂σ} \frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}  (75)
(\frac{∂f}{∂φ} )_{z} = (\frac{∂f}{∂φ} )_{σ} − \frac{∂f}{∂σ} \frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂φ} )_{σ}  (76)
(∇ · v)_{z} = \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φv + \frac{∂w}{∂z}
= \frac{1}{a cos φ} [(\frac{∂u}{∂λ})_{σ} − \frac{∂u}{∂σ} \frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}]

+\frac{1}{a cos φ} [\frac{∂}{∂φ} (v cos φ) − \frac{∂}{∂σ} (v cos φ)\frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}] + \frac{∂w}{∂σ} \frac{∂σ}{∂z}

= \frac{1}{a cos φ} [(\frac{∂u}{∂λ})_{σ} − \frac{∂u}{∂σ} \frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}]

+\frac{1}{a cos φ} [\frac{∂}{∂φ} (v cos φ) − \frac{∂}{∂σ} (v cos φ)\frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}] + \frac{∂}{∂σ} (\frac{dz}{dt} ) \frac{∂σ}{∂z}

= \frac{1}{a cos φ} (\frac{∂u}{∂λ})_{σ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂σ} \frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}

+\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂σ} (v cos φ)\frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}

+\frac{∂σ}{∂z} \frac{∂}{∂σ} [(\frac{dz}{dt} )_{σ} + \frac{u}{a cos φ} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ} + \frac{v}{a} (\frac{∂z}{∂φ} )_{σ} + σ̇ \frac{∂z}{∂σ} ]

= \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) + \frac{∂σ}{∂z} \frac{∂}{∂σ} \frac{dz}{dt} + \frac{∂σ̇}{∂σ}  (77)

4kiso.ref/gfd/formula/vertical 鉛直座標変換 ( σ 座標系参照 model/sigma.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  7 鉛直座標変換  12}

静水圧平衡, 運動方程式, 連続の式, 温度の式は次のようになる.

• 静水圧平衡式

p_{s} \frac{∂σ}{∂z} = −ρg.  (78)

ジポテンシャル Φ ≡ gz を用いると

\frac{∂Φ}{∂σ} = −\frac{RT}{σ}  (79)

となる.

• 運動方程式

圧力勾配の項を, (75), (76) により変換する.

(\frac{du}{dt})_{σ} − fv = \frac{uv tan φ}{z} − \frac{1}{ρa cos φ} \{(\frac{∂p}{∂λ} )_{σ} − p_{s} \frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}\} + F_{λ}, (80)
(\frac{dv}{dt} )_{σ} + fu = −\frac{u^{2} tan φ}{a} − \frac{1}{ρa} \{(\frac{∂p}{∂φ} )_{σ} − p_{s} \frac{∂σ}{∂z} (\frac{∂z}{∂φ} )_{σ}\} + F_{φ}.  (81)

(78) を用いると

(\frac{du}{dt})_{σ} − fv = −\frac{1}{ρa cos φ} \{(\frac{∂p}{∂λ} )_{σ} + ρg (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ}\} + F_{λ},  (82)
(\frac{dv}{dt} )_{σ} + fu = −\frac{1}{ρa} \{(\frac{∂p}{∂φ} )_{σ} + ρg (\frac{∂z}{∂φ} )_{σ}\} + F_{φ}  (83)

となる. p = p_{s}σ より

(\frac{∂p}{∂λ} )_{σ} = σ (\frac{∂p_{s}}{∂λ} )_{σ} , (\frac{∂p}{∂φ} )_{σ} = σ (\frac{∂p_{s}}{∂φ} )_{σ} ,  (84)

Φ = gz より

− g (\frac{∂z}{∂λ} )_{σ} = −\frac{∂Φ}{∂λ}, −g (\frac{∂z}{∂φ} )_{σ} = −\frac{∂Φ}{∂φ},  (85)

などを用いると (82), (83) は

\frac{du}{dt} − fv − \frac{uv}{a} tan φ = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂Φ}{∂λ} − \frac{RT}{a cos φ} \frac{∂π}{∂λ} + F_{λ},  (86)
\frac{dv}{dt} + fu + \frac{u^{2}}{a} tan φ = −\frac{1}{a} \frac{∂Φ}{∂φ} − \frac{RT}{a} \frac{∂π}{∂φ} + F_{φ}.  (87)

ここで, π ≡ ln p_{s} とおいた.

\underline{モデル基礎方程式  7 鉛直座標変換  13}

• 連続の式 (74), (77) より

\frac{1}{ρ} (\frac{dρ}{dt})_{σ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) + \frac{∂σ̇}{∂σ} + \frac{∂σ}{∂z} (\frac{d}{dt} \frac{∂z}{∂σ} )_{σ} = −\frac{S[P r]}{ρ}. (88)

(78) より

\frac{1}{ρ} (\frac{dρ}{dt})_{σ} + \frac{∂σ}{∂z} (\frac{d}{dt} \frac{∂z}{∂σ} )_{σ} = \frac{1}{ρ} (\frac{dρ}{dt})_{σ} + \frac{ρ}{p_{s}} \frac{d}{dt} \frac{p_{s}}{ρ} = \frac{d}{dt} ln p_{s}  (89)

なので

\frac{dπ}{dt} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) + \frac{∂σ̇}{∂σ} = −\frac{S[P r]}{ρ}.  (90)

• 熱輸送の式 c_{p} が一定の場合には次のようになる.

c_{p} \frac{dT}{dt} = \frac{1}{ρ} \frac{dp}{dt} + Q  (91)
\frac{∂T}{∂t} + v∇_{σ}T + σ̇ \frac{∂T}{∂σ} = \frac{1}{c_{p}ρ} \{\frac{∂p}{∂t} + v∇_{σ}p + σ̇ \frac{∂p}{∂σ} \} + \frac{Q}{c_{p}}
= \frac{1}{c_{p}ρ} \{σ \frac{∂p_{s}}{∂t} + σv∇_{σ}p_{s} + σ̇p_{s}\} + \frac{Q}{c_{p}}
= \frac{RT}{c_{p}} \{\frac{∂π}{∂t} + v∇_{σ}π + \frac{σ̇}{σ} \} + \frac{Q}{c_{p}}  (92)

ただし,

v∇_{σ} = \frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} .  (93)

\underline{モデル基礎方程式  8 基礎方程式 (最終バージョン)  14}

8 基礎方程式 (最終バージョン)

\frac{∂π}{∂t} + \frac{u}{a cos φ} \frac{∂π}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂π}{∂φ} + σ̇ \frac{∂π}{∂σ} = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) − \frac{∂σ̇}{∂σ} − \frac{S[P r]}{ρ}, (94)

\frac{∂q}{∂t} + \frac{u}{a cos φ} \frac{∂q}{∂λ} + \frac{∂v}{∂a} \frac{∂q}{∂φ} + σ̇ \frac{∂q}{∂σ} = \frac{q − 1}{ρ}S_{q},  (95)

\frac{∂u}{∂t} + \frac{u}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂u}{∂φ} + σ̇ \frac{∂u}{∂σ} − fv − \frac{uv}{a} tan φ = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂Φ}{∂λ} − \frac{RT}{a cos φ} \frac{∂π}{∂λ} + F_{λ}, (96)
\frac{∂v}{∂t} + \frac{u}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂v}{∂φ} + σ̇ \frac{∂v}{∂σ} + fu + \frac{u^{2}}{a} tan φ = −\frac{1}{a} \frac{∂Φ}{∂φ} − \frac{RT}{a} \frac{∂π}{∂φ} + F_{φ},  (97)
\frac{∂Φ}{∂σ} = −\frac{RT}{σ} ,  (98)

\frac{∂T}{∂t} + \frac{u}{a cos φ} \frac{∂T}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂T}{∂φ} + σ̇ \frac{∂T}{∂σ} = \frac{RT}{c_{p}} \{\frac{∂π}{∂t} + \frac{u}{a cos φ} \frac{∂π}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂π}{∂φ} + \frac{σ̇}{σ} \} + \frac{Q}{c_{p}}.(99)

model/modeleq.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  9 渦度と発散による表現  15}

9 渦度と発散による表現

運動方程式から水平渦度ζ ≡ \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) と発散 D ≡ \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ}+\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) の式を導く. ●渦度方程式 u の式に\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ を作用し, v の式に\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} を作用し差をとって変形すると次のような渦度方程式が得られる.

\frac{∂ζ}{∂t} = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (ζv cos φ) − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (ζu)

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} [σ̇ \frac{∂v}{∂σ} + \frac{RT}{ap_{s}} \frac{∂p_{s}}{∂φ} − F_{φ} + fu]

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} [− cos φσ̇ \frac{∂u}{∂σ} + \frac{RT}{ap_{s}} \frac{∂p_{s}}{∂λ} − F_{λ} cos φ + fv cos φ]  (100)

●発散方程式 u の式に\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} を作用し, v の式に\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ を作用し和をとって変形すると次のような渦度方程式が得られる.

\frac{∂D}{∂t} = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (ζv) − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (ζu cos φ)

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} [σ̇ \frac{∂u}{∂σ} + \frac{RT}{ap_{s}} \frac{∂p_{s}}{∂λ} − F_{λ} − fv]

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} [cos φσ̇ \frac{∂v}{∂σ} + \frac{RT}{ap_{s}} \frac{∂p_{s}}{∂φ} cos φ − F_{φ} cos φ + fu cos φ]

−∇_{σ}^{2}(Φ + E)  (101)

ただし,

∇_{σ}^{2} = \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{∂}{∂φ})  (102)
K = \frac{u^{2} + v^{2}}{2}  (103)

model/uzudo.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  10 物理過程  16}

10 物理過程

• 鉛直拡散 : Yamada-Mellor

• 積雲対流なし

• 地表フラックス : バルク係数一定?

• 重力波抵抗なし

• 放射 : とりあえずそのまま

model/buturi.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  A 微分公式  17}

A 微分公式

●直交座標系

∇A = (\frac{1}{h_{1}} \frac{∂A}{∂x_{1}} , \frac{1}{h_{2}} \frac{∂A}{∂x_{2}} , \frac{1}{h_{3}} \frac{∂A}{∂x_{3}} ) ,  (104)
∇ · F = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} [\frac{∂}{∂x_{1}} (h_{2}h_{3}F_{1}) + \frac{∂}{∂x_{2}} (h_{1}h_{3}F_{2}) + \frac{∂}{∂x_{3}} (h_{1}h_{2}F_{3})] ,  (105)
∇^{2}A = \frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}} [\frac{∂}{∂x_{1}} (\frac{h_{2}h_{3}}{h_{1}} \frac{∂A}{∂x_{1}} ) + \frac{∂}{∂x_{2}} (\frac{h_{1}h_{3}}{h_{2}} \frac{∂A}{∂x_{2}} ) + \frac{∂}{∂x_{3}} (\frac{h_{1}h_{2}}{h_{3}} \frac{∂A}{∂x_{3}} )] ,  (106)

∇×F = (\frac{1}{h_{2}h_{3}} [\frac{∂(h_{3}F_{3})}{∂x_{2}} − \frac{∂(h_{2}F_{2})}{∂x_{3}}] , \frac{1}{h_{3}h_{1}} [\frac{∂(h_{1}F_{1})}{∂x_{3}} − \frac{∂(h_{3}F_{3})}{∂x_{1}}] , \frac{1}{h_{1}h_{2}} [\frac{∂(h_{2}F_{2})}{∂x_{1}} − \frac{∂(h_{1}F_{1})}{∂x_{2}}]) ,

(107)

\frac{dA}{dt} = \frac{∂A}{∂t} + \frac{v_{1}}{h_{1}} \frac{∂A}{∂x_{1}} + \frac{v_{2}}{h_{2}} \frac{∂A}{∂x_{2}} + \frac{v_{3}}{h_{3}} \frac{∂A}{∂x_{3}} ,  (108)
\frac{dv}{dt} = ∑_{j=1}^{3} [(\frac{∂v_{j}}{∂t} + ∇v_{j}) + ∑_{i=1,i=j}^{3} (\frac{v_{j}}{h_{j}} \frac{v_{i}}{h_{i}} \frac{∂h_{j}}{∂x_{i}} − \frac{v_{i}}{h_{i}} \frac{v_{i}}{h_{j}} \frac{∂h_{i}}{∂x_{j}} )] e_{j}.  (109)

●緯度経度座標におけるベクトル演算子の表現

∇A = (\frac{1}{r cos φ} \frac{∂A}{∂λ}, \frac{1}{r} \frac{∂A}{∂φ}, \frac{∂A}{∂r}) ,  (110)
∇ · F = \frac{1}{r^{2} cos φ} [r\frac{∂F_{1}}{∂λ} + r\frac{∂}{∂φ} (cos φF_{2}) + cos φ\frac{∂}{∂r} (r^{2}F_{3})] ,  (111)
∇^{2}A = \frac{1}{r^{2} cos φ} [\frac{∂}{∂λ} (\frac{1}{cos φ} \frac{∂A}{∂λ}) + \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{∂A}{∂φ}) + \frac{∂}{∂r} (r^{2} cos φ\frac{∂A}{∂r})] ,  (112)

∇×F = (\frac{1}{r} [\frac{∂F_{3}}{∂φ} − \frac{∂}{∂r} (rF_{2})] , \frac{1}{r cos φ} [\frac{∂}{∂r} (r cos φF_{1}) − \frac{∂F_{3}}{∂λ} ] , \frac{1}{r cos φ} [\frac{∂F_{2}}{∂λ} − \frac{∂}{∂φ} (cos φF_{1})]) ,

(113)

\frac{dA}{dt} = \frac{∂A}{∂t} + \frac{u}{r cos φ} \frac{∂A}{∂λ} + \frac{v}{r} \frac{∂A}{∂φ} + w\frac{∂A}{∂r},  (114)

model/bibun.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  B 理想気体の熱力学  18}

B 理想気体の熱力学

●内部エネルギー

dE = \frac{∂E}{∂T} V dT + \frac{∂E}{∂V} T dV = C_{V} dT + \{T \frac{∂p}{∂T} v − p\} dV  (115)

より, 理想気体の場合

dE = C_{V} dT  (116)

よって

E = C_{v}(T − T_{0}) + E(T_{0})  (117)

●エンタルピー

H = E + pV  (118)

より

H = C_{p}T + E(T_{0}) − C_{v}T_{0}  (119)

●エントロピー

dS = \frac{∂S}{∂T} V dT + \frac{∂S}{∂V} T dV = \frac{C_{v}}{T} dT + \frac{∂p}{∂T} V dV  (120)

より, 理想気体の場合,

dS = \frac{C_{v}}{T} dT + \frac{nR}{V}dV  (121)
S = C_{v} ln \frac{T}{T_{0}} + nR ln \frac{V}{V_{0}} = ln (\frac{T}{T_{0}} )^{C_{v}} (\frac{V}{V_{0}} )^{nR}  (122)

●比熱の関係式

C_{p} − C_{V} = nR  (123)

●音速

c^{2} = γ \frac{RT}{M_{w}} = γ \frac{p}{ρ}  (124)

ただし,

γ ≡ \frac{C_{p}}{C_{v}}  (125)

●乾燥断熱減率

\frac{∂T}{∂p} S = \frac{∂(T, S)}{∂(p, S)} = \frac{∂(S, T)}{∂(p, T)} \frac{∂(p, T)}{∂(S, p)} = − \frac{\frac{∂S}{∂p} T}{\frac{∂S}{∂T} p}  (126)

Maxwell の関係式, 比熱の定義式より

\frac{∂S}{∂T} p = −\frac{∂V}{∂T} p  (127)
\frac{∂S}{∂T} p = \frac{C_{p}}{T}  (128)
model/netu.tex  93/09/30(石渡正樹)

\underline{モデル基礎方程式  B 理想気体の熱力学  19}

だから

\frac{∂T}{∂p} S = \frac{T \frac{∂V}{∂T} p}{C_{p}}  (129)

●状態方程式

pV = nR^{∗}T = \frac{M}{M_{w}} R^{∗}T  (130)
p = \frac{1}{M_{w}} \frac{M}{V} R^{∗}T = ρ\frac{R^{∗}}{M_{w}} T  (131)

ちなみに, n = M/M_{w} はモルである.

model/netu.tex  93/09/30(石渡正樹)