\underline{2 重周期領域順圧減衰乱流  2 支配方程式系  1}

2 次元 2 重周期境界領域での順圧流体〜減衰乱流問題

竹広真一, SPMODEL 開発グループ

平成 17 年 10 月 21 日

1 はじめに

この文章では, 2 次元 2 重周期境界領域でのβ面順圧流体モデルの支配方程式を簡単にまとめ, 保存則の定式化とそのスペクトル表現を導出し, 最後に減衰乱流実験の問題設定について述べる.

2 支配方程式系

2.1 支配方程式

x, y 方向に各々 L_{x}, L_{y} の拡がりを持つ矩形領域での 2 次元非圧縮流体を考える. 支配方程式は渦度方程式である^{1}.

\frac{∂ζ}{∂t} + J(ψ, ζ) + β(y)\frac{∂ψ}{∂x} = (−1)^{p+1}ν_{2p}∇^{2p}ζ,  (1)
ζ(x, y, t) = ∇^{2}ψ(x, y, t),  (2)

ここで ζ(x, y, t) は相対渦度, ψ(x, y, t) は流線関数であり, 速度場 (u, v) と

u = −\frac{∂ψ}{∂y} , v = −\frac{∂ψ}{∂x}  (3)

1導出など詳しくは「2 次元 2 重周期境界領域での順圧流体モデルの定式化」を参照のこと plbaro-freedecay.tex  平成 17 年 10 月 21 日 (竹広真一)

\underline{2 重周期領域順圧減衰乱流  3 2 重フーリエ級数展開による表現  2}

なる関係をもつ.

境界条件は

ζ(0, y) = ζ(L_{x}, y), ζ(x, 0) = ζ(x, L_{y}),  (4)
ψ(0, y) = ψ(L_{x}, y), ψ(x, 0) = ψ(x, L_{y}).  (5)

ただし, 与える物理パラメター β(y) は

β(0) = β(L_{y}),  (6)

を満たしていなければならない. β が一定の場合がいわゆる β 面モデルと呼ばれるものである.

2.2 運動エネルギー保存則

2.3 エンストロフィー保存則

3 2 重フーリエ級数展開による表現

3.1 2 重フーリエ展開

スペクトル法による数値計算を行うために, 各物理量を境界条件を満たす函数系である 2 重フーリエ級数展開する. すなわち,

ψ(x, y, t) = ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} ψ̃_{kl}(t) exp (i\frac{2πx}{L_{x}}k) exp (i\frac{2πy}{L_{y}} l) ,  (7)
ψ̃_{kl}(t) = \frac{1}{L_{x}L_{y}} ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} ψ(x, y, t) exp (−i\frac{2πk}{L_{x}} x) exp (−i\frac{2πl}{L_{y}}y) dx dy, (8)

ψ̃_{kl}(t) は流線関数のスペクトルの波数 k, l 成分, K, L はそれぞれ x, y 方向の切断波数である. 渦度 ζ(x, y, t) のスペクトルも同様に ζ̃_{kl}(t) を定義する.

\underline{2 重周期領域順圧減衰乱流  3 2 重フーリエ級数展開による表現  3}

3.2 運動エネルギースペクトル

全運動エネルギー E_{k}(t) = ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} \frac{1}{2} [(\frac{∂ψ}{∂x} )^{2} + (\frac{∂ψ}{∂y} )^{2}] dxdy をスペクトル成分

で表す. k̃ = (2πk/L_{x}), l̃ = (2πl/L_{y}) と置き換え, 第 1 項目だけ取りだして変形すると,

(\frac{∂ψ}{∂x} )^{2} = ( ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} ik̃ψ̃_{kl}(t)e^{ik̃x+il̃y})^{2}
= ( ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} ik̃ψ̃_{kl}(t)e^{ik̃x+il̃y}) · ( ∑_{k′=−K}^{K} ∑_{l′=−L}^{L} ik̃′ψ̃_{k′l′}(t)e^{ik̃′x+il̃y}) .

全領域積分 ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} dxdy を作用させると波数が 0 でない組み合わせの積からの積分が 0 となるので k′ = −k, l′ = −l の寄与のみがのこる. したがって,

∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} (\frac{∂ψ}{∂x} )^{2} dxdy = ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} ik̃ψ̃_{kl}(t)e^{ik̃x+il̃y}(−ik̃)ψ̃_{−k−l}(t)e^{−ik̃x−il̃y}dxdy
= ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} k̃^{2}ψ̃_{kl}ψ̃_{−k−l} ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} dxdy
= L_{x}L_{y} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} k̃^{2}|ψ̃_{kl}|^{2}

ここで ψ(x, y, t) が実数である条件から得られる関係式

ψ̃_{−k−l} = ψ̃_{kl}^{∗}

を用いた^{2}. 上付きのアスタリスクは複素共役を表している. 第 2 項目も同様に計算すると

∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} (\frac{∂ψ}{∂y} )^{2} dxdy = L_{x}L_{y} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} l̃^{2}|ψ̃_{kl}|^{2}.

ψ(x, y, t)^{∗} = ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} ψ̃_{kl}^{∗} exp (−i\frac{2πx}{L_{x}}k) exp (−i\frac{2πy}{L_{y}} l) ,  (9)
= ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} ψ̃_{−k−l}^{∗} exp (i\frac{2πx}{L_{x}}k) exp (i\frac{2πy}{L_{y}} l) ,  (10)

2ψ が実数であるから ψ = ψ^{∗} より各フーリエ成分を比較すると ψ̃_{−k−l}^{∗} = ψ̃_{kl}, すなわち, ψ̃_{−k−l} = ψ̃_{kl}^{∗} が得られる.

plbaro-freedecay.tex  平成 17 年 10 月 21 日 (竹広真一)

したがって全領域積分した運動エネルギーは

E_{k}(t) = ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} \frac{1}{2} [(\frac{∂ψ}{∂x} )^{2} + (\frac{∂ψ}{∂y} )^{2}] dxdy
= L_{x}L_{y} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} \frac{1}{2}(k̃^{2} + l̃^{2})|ψ̃_{kl}|^{2}
= L_{x}L_{y} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} \frac{1}{2} [(\frac{2πk}{L_{x}} )^{2} + (\frac{2πl}{L_{y}} )^{2}] |ψ̃_{kl}|^{2}.

(11)

この式から, 各波数でのエネルギー密度, すなわちエネルギースペクトルを次のように定義できる.

E(k, l, t) ≡ \frac{1}{2}(k̃^{2} + l̃^{2})|ψ̃_{kl}|^{2} = \frac{1}{2} [(\frac{2πk}{L_{x}} )^{2} + (\frac{2πl}{L_{y}} )^{2}] |ψ̃_{kl}|^{2}.  (12)

このとき全運動エネルギーは

E_{k}(t) = L_{x}L_{y} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} E(k, l, t).  (13)

3.3 エンストロフィースペクトル

全エンストロフィーQ(t) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} ζ(x, y, t)^{2}dxdy = \frac{1}{2} ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}}[∇^{2}ψ(x, y, t)]^{2}dxdy

をスペクトル成分で表す.

[∇^{2}ψ(x, y, t)]^{2} = ( ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L}(k̃^{2} + l̃^{2})ψ̃_{kl}e^{ik̃x+il̃y})^{2}
= ( ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L}(k̃^{2} + l̃^{2})ψ̃_{kl}e^{ik̃x+il̃y}) · ( ∑_{k′=−K}^{K} ∑_{l′=−L}^{L}(k̃′^{2} + l̃^{2})ψ̃_{k′l′}e^{ik̃′x+il̃′y}) .

全領域積分 ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} dxdy を作用させると波数が 0 でない組み合わせの積からの積分が 0 となるので k′ = −k, l′ = −l の寄与のみがのこる. したがって,

Q(t) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}}[∇^{2}ψ(x, y, t)]^{2}dxdy
= \frac{1}{2} ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} ( ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L}(k̃^{2} + l̃^{2})ψ̃_{kl}e^{ik̃x+il̃y}(k̃^{2} + l̃^{2})ψ̃_{−k−l}e^{−ik̃x−il̃y}) dxdy

\underline{2 重周期領域順圧減衰乱流  4 実験設定  5}

= \frac{1}{2} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L}(k̃^{2} + l̃^{2})^{2}ψ̃_{kl}ψ̃_{−k−l} ∫_{0}^{L_{x}} ∫_{0}^{L_{y}} dxdy

= L_{x}L_{y} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} \frac{1}{2}(k̃^{2} + l̃^{2})^{2}|ψ̃_{kl}|^{2}

= L_{x}L_{y} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} \frac{1}{2} [(\frac{2πk}{L_{x}} )^{2} + (\frac{2πl}{L_{y}} )^{2}]^{2} |ψ̃_{kl}|^{2}.

したがって波数ごとのエンストロフィー密度 Q(k, l, t) が定義できて,

Q(k, l, t) = \frac{1}{2}(k̃^{2} + l̃^{2})^{2}|ψ̃_{kl}|^{2} = \frac{1}{2} [(\frac{2πk}{L_{x}} )^{2} + (\frac{2πl}{L_{y}} )^{2}]^{2} |ψ̃_{kl}|^{2}.  (14)

このとき全エンストロフィーは

Q(t) = L_{x}L_{y} ∑_{k=−K}^{K} ∑_{l=−L}^{L} Q(k, l, t).  (15)

4 実験設定