\chapter{エントロピーの計算方法}
\label{entropy}

空気塊が断熱的に変化するということは, 空気塊のエントロピーが一定である
ことを意味する. 断熱の条件をエントロピーを使って表現すると, 

\begin{eqnarray}
  dS = 0
\Deqlab{20010128-1}
\end{eqnarray}

と書くことができる. エントロピーは熱力学関数 $G$ を用いて, 

\begin{eqnarray}
\left( \DP{G}{T} \right)_{p, n_{i}} = -S
\Deqlab{20010128-2}
\end{eqnarray}

と書ける. 
\bigskip



 

\Deqref{20010128-2} 式を数値的に扱うには, それを差分形式で書き換える
必要がある. 今回は差分方法として中央差分を採用した. 
中央差分の取り方は \Dfigref{20010128-3} に示される. 
圧力 $p$ を固定し, 温度を $\pm dT$ だけずらした点 $T \pm dT$ での
熱力学関数 $G$ をそれぞれ $G(T - dT), G(T + dT)$ とする. 
そのとき温度 $T$, 圧力 $p$ での $G$ の差分は以下のようになる. 

\begin{eqnarray}
\DP{G(T, p)}{T} 
  = \frac{\Delta G}{\Delta T} 
  \simeq \frac{G(T + dT, p) - G(T - dT, p) }{2 dT}. 
\Deqlab{20010128-4}
\end{eqnarray}

この差分の誤差は $(dT)^{2}$ 程度である. 尚, このままでは各物質の保存とい
う \Deqref{20010128-2} 式の条件に関しては何も語っていない. 
計算を行う上で各物質の存在量の変化率が非常に小さくなっていることを
常に調べる必要がある. 


\begin{figure}
\begin{center}
 \Depsf{./images/sabun.ps}
\end{center}
\caption{中央差分の模式図. ×印の点での差分を求めるために, 
その前方の点と後方の点の値を用いる. }
\Dfiglab{20010128-3}
\end{figure}

