% ɽ��: ECCM �β�ˡ(Ǯ�ϳإݥƥ󥷥�� G �κǾ���ˡ)
%
% ����: 2000/08/02 �����̰�ϯ


\chapter{�絤��ʿ�վ��֤ε���}
\label{method}


\section{�絤��ʿ�վ��֤η׻���ˡ}

�絤�β��١����Ϥ�Ϳ�����, Ǯ�ϳشؿ� $G$ �ϰʲ��Τ褦�ˤ�����. 

\begin{eqnarray}
G =\sum \mu_{i} n_{i}.
\Deqlab{2001-02-13-1}
\end{eqnarray}

�Ƚ񤱤�. ������ź�� $i$ ���絤�˴ޤޤ�� $i$ ����($0 \leq i \leq N$)
��ʪ�����̣��,  $\mu_{i}$ �� $i$ ���ܤ�ʪ���β��إݥƥ󥷥���
��̣����. 
�ޤ�ʿ�վ��֤�׻�����ݤ�, �絤��˴ޤޤ�븵���̤�
�Ѳ����ʤ��Ȥ��������դ���. 

\begin{eqnarray}
\sum_{i} a_{ie} n_{i} = B_{e}.
\Deqlab{2} \\
n_{i} \geq 0 
\Deqlab{1-1} 
\end{eqnarray}

������ź�� $e$ �ϷϤ˴ޤޤ�� $e$ ����($0 \leq e \leq M$)
�θ��Ǥ��̣��, 
�ޤ� $a_{ie}$ �� $i$ ���ܤ�ʪ���˴ޤޤ�� $e$ ���ܤθ��Ǥο�, 
 $B_{e}$ �Ϸ����Τ˴ޤޤ�� $e$ ���ܤθ��ǤθĿ����̣����. 
�㤨�и��� H ($e=1$), O ($e=2$) ��ʪ�� H$_{2}$O ($i=1$) ��
�ͤ���� $a_{1,1} = 2$, $a_{1,2} = 1$ �Ȥʤ�. 
\Deqref{1-1} ���ϥ����Ͼ�����ο��Ǥ��뤳�Ȥ��̣����. 
\bigskip

�ܾϤǤ�\Deqref{2001-02-13-1} ���� \Deqref{2} ����ϢΩ��, 
 $G$ �κǾ��ͤ�Ϳ����ʪ��¸���̤ο���Ū�׻���ˡ���������. 


\subsection{�絤�����۵��ΤΤߤ���������}

�絤�����۵��ΤΤߤ����������ͤ���. ���ξ��,  White {\it et
al}. (1958) ��ˤ�äƳ�ȯ���줿��RANDˡ�פ��Ѥ���
(Van Zeggerren and Storey, 1970). 
\bigskip

���η׻���ˡ�ι��Ҥ�, �༡���ˡ�ˤ�ä�Ǯ�ϳشؿ� $G$ ���Ǿ��Ȥʤ�
ʪ��¸���̤���뤳�Ȥˤ���. Ǯ�ϳشؿ� $G$ ��Ŭ����ʪ��¸���̤Τޤ���
 2 ���δؿ��˶����, ���κǾ��ͷ׻�����. ����줿ʪ��¸���̤�
��«����ޤ�Ʊ�ͤ����򷫤��֤�. 
\bigskip


\begin{figure}
\begin{center}
 \Depsf[120mm]{./images/tikuji.ps}
\end{center}
\caption{�༡���ˡ�γ���. Ŭ����ʪ��¸���٤Τޤ���Ǯ�ϳشؿ� $G$ �� 
2 ���ؿ��˶�������ͤ����. ����줿���ͤ�Ȥä�Ʊ�ͤ����򷫤��֤�, 
ʿ�ջ���ʪ��¸���̤����. }
\end{figure}


Ŭ����ʪ��¸���̤� $m_{i}$ �Ȥ���.  $m_{i}$ ����Ǯ����ʿ�դ˶ᤤʪ��¸
���٤� $n_{i} (= m_{i} + \delta m_{i})$ �Ȥ���.  ʿ�ջ���Ǯ�ϳإݥƥ󥷥�
�� $G$ �� $m_{i}$ �Τޤ��ǥơ��顼Ÿ����, $\delta m_{i}$ �˴ؤ��� 2 ��
�������̤ޤǶ���� $Q(n_{i})$ ����.


\begin{eqnarray}
Q(n_{i}) = G(m_{i}) + \sum_{i} \left( \DP{G}{m_{i}}\right) \delta m_{i}
+ \Dinv{2} \sum_{i} \sum_{j} \left( \frac{\partial^{2}G}{\partial m_{i}\partial m_{l}}\right) \delta m_{i} \delta m_{j}, 
\Deqlab{3.3.24}
\end{eqnarray}

�Ƚ񤱤�. 
���������۵��Τβ��إݥƥ󥷥�����������Ѥ����, 

\begin{eqnarray}
\left(\DP{G}{m_{i}}\right) = \mu_{i} = \mu_{i}^{\circ}(T) 
+ RT \ln{\left( \frac{m_{i}}{m}\right)}p. 
\Deqlab{3.3.25}
\end{eqnarray}

�Ƚ񤱤�. â��

\begin{eqnarray}
m = \sum_{i}m_{i}
\Deqlab{3.3.26}
\end{eqnarray}

�Ȥ����ط�������Ω����. 
\Deqref{3.3.25} �����Ѥ��� \Deqref{3.3.24} ���α����� 2 ��Υ��å����
�񤭲�����, 

\begin{eqnarray}
\left( \frac{\partial^{2}G}{\partial m_{i}\partial m_{l}}\right)
 = RT \left( \frac{\delta_{il}}{m_{i}} - \Dinv{m}\right), 
\Deqlab{3.3.27}
\end{eqnarray}

�Ȥʤ�. 
\bigskip


\Deqref{3.3.25}, \Deqref{3.3.27} ���� 
\Deqref{3.3.24} ����������, $RT$ �ǳ�뤳�Ȥˤ�ä�, 

\begin{eqnarray}
\frac{Q(n_{i})}{RT} = \frac{G(m_{i})}{RT} 
+ \sum_{i} \left[ \frac{\mu_{i}^{\circ}(T)}{RT} + \ln{p} + 
                  \ln{\frac{m_{i}}{m}} \right] \delta m_{i}
+ \Dinv{2} \left[ \sum_{i}\frac{(\delta m_{i})^{2}}{m_{i}}
- \frac{(\delta m)^{2}}{m}\right], 
\Deqlab{3.3.28}
\end{eqnarray}

��Ƴ�����. 
\bigskip

\Deqref{3.3.28} ���� $Q(n_{i})/RT$ �ȼ�����¸§����, 
�饰��󥸥��̤�그��ˡ���Ѥ��ƶ��ͤξ���Ϳ����. 
 $L$ �ϰʲ��Τ褦���������. 

\begin{eqnarray}
L =
\frac{G(m_{i})}{RT} 
+ \sum_{i} \left[ \frac{\mu_{i}^{\circ}(T)}{RT} + \ln{p} + 
                  \ln{\frac{m_{i}}{m}} \right] \delta m_{i}
&+& \Dinv{2} \left[ \sum_{i}\frac{(\delta m_{i})^{2}}{m_{i}} 
   - \frac{(\delta m)^{2}}{m}\right]  \nonumber \\
&-& \sum_{e} \chi_{e} [\sum_{i} a_{i,e}n_{i} - B_{e}]. \nonumber 
\end{eqnarray}

��äƶ��ͤ���ݤ�

\begin{eqnarray}
\DP{L}{n_{i}} = 
\left[ \frac{\mu_{i}^{\circ}(T)}{RT} + \ln{p} + \ln{\frac{m_{i}}{m}}\right] 
+ \left[ \frac{n_{i}}{m_{i}} - \frac{n}{m}\right]
- \sum_{e} \chi_{e} a_{ie} = 0,
\Deqlab{3.2.30}
\end{eqnarray}

����­����. \Deqref{3.2.30} ���� \Deqref{2} ��, $n = \sum n_{i}$ 
��ϢΩ���뤳�Ȥ�, �ѿ� $n_{i}$, $n$, $\chi_{e}$(�饰��󥸥��
̤�그��)�˴ؤ��� N + M + 1 �Ĥ������������������, �������Ϥ��Ĥ���.  
\bigskip


�׻��̤򸺤餹����� $\Gamma_{i}$ �Ȥ����̤�Ƴ������. 
 $\Gamma_{i}$ ��ʪ�� $i$ ��Ǯ�ϳشؿ� $G = m_{i} \mu_{i}(T,p)$ ��
 $RT$ �ǵ��ʲ�������, ���ʤ��
 
\begin{eqnarray}
\Gamma_{i}  
\equiv \frac{m_{i} \mu_{i}}{RT} 
= m_{i} \left[ \frac{\mu_{i}^{\circ}}{RT} 
	      + \ln{p} + \ln{\frac{m_{i}}{m}}\right]
\Deqlab{3.3.32}
\end{eqnarray}

�Ȥ����������. 
\bigskip

 $\Gamma_{i}$ ���Ѥ���Ǯ�ϳشؿ� $G$ �����ͤ�Ȥ���ξ�Ｐ
 \Deqref{3.2.30} ���� $n_{i}$ �˴ؤ��뼰�˽�ľ��. 

\begin{eqnarray}
 n_{i} = - \Gamma_{i} + \left( \frac{m_{i}}{m}\right)n 
 + \sum_{e} \chi_{e} a_{ie} m_{i} .
\Deqlab{3.3.31}
\end{eqnarray}

���� \Deqref{3.3.31} ���� $i$ �˴ؤ��� 1 ���� $N$ �ޤǤ��¤�Ȥ��, 

\begin{eqnarray}
\sum_{e}B_{e}\chi_{e} = \sum_{i} \Gamma_{i},
\Deqlab{3.3.33}
\end{eqnarray}

�Ȥʤ�. �ޤ� \Deqref{3.3.31} ����ξ�դ� $a_{if}$ �򤫤��� $i$ �˴ؤ����¤���.

\begin{eqnarray}
\sum_{e} \left\{ \sum_{i} a_{ie} a_{if} m_{i} \right\} \chi_{e}
+ B_{f} \left( \frac{n}{m} - 1 \right) = \sum_{i} a_{if} \Gamma_{i},
\Deqlab{3.3.34}
\end{eqnarray}

�Ǥ���.  $a_{if}$ ��ź�� $f$ ($0 \leq f \leq N$)�ϥ��ߡ����ե��å�����, 
�¼�Ū�ˤ� $e$ ��Ʊ���Ǥ���.
\bigskip

 $\Gamma_{i}$ ��Ƴ���ˤ�ä�����줿
 \Deqref{3.3.33}, \Deqref{3.3.34} ���� $M + 1$ �Ĥ���������������, 
������ϢΩ���뤳�Ȥ� $\chi_{e}$ �� $(n/m - 1)$ ���ͤ���ޤ�. 
��ʪ���Υ��������ˤ�, ����줿 $\chi_{e}$ �� $(n/m - 1)$ ���ͤ�
 \Deqref{3.3.31} ������������ɬ�פ�����. 
\bigskip

$\Gamma_{i}$ ��Ƴ������������, $N+M+1$ �Ĥ���������ϢΩ���٤��Ȥ�����
 $M + 1$ �Ĥ���������ϢΩ�ǺѤޤ��������ˤ���. 
�����ѷ��ˤ�äƵ��Ѵ����������礭���� $M + 1$ �Ȥʤ�Τ�, 
�׻��̤�׻����֤�û�̤Ǥ����Τȴ��Ԥ����. 
\bigskip


���ο��Ͳ�ˡ�ζ���Ū�ʷ׻���������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�
(\Dfigref{2001-02-14-1} ����). 

\begin{screen}
\begin{description}

 \item[(1)] Ŭ����ʪ��¸���� $m_{i}$ ��Ϳ����. �����ͤ�ʪ����¸§��
	    ��­����褦��Ϳ����. 

 \item[(2)] \Deqref{3.3.34} ���η����� $\Gamma_{i}$ ��׻�����. 

 \item[(3)] \Deqref{3.3.33}, \Deqref{3.3.34}����
	    ϢΩ��, $\chi_{e}$ �� $n$ �ˤĤ��Ʋ�.    
	    ����Ū��ϢΩ�켡�������ο��Ͳ�ˡ���Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ���. 

 \item[(4)] \Deqref{3.3.31} �����, $m_{i}$ ����ʿ�դ˶ᤤʪ��¸���̤�
	    ���Ѥ����. 

 \item[(5)] (4)����������줿 $n_{i}$ �� $m_{i}$ �Ȥ�, 
	    (2)--(4)�����򷫤��֤�.

 \item[(6)] (4)����������줿 $n_{i}$ �� $m_{i}$ �˽�ʬ�᤯�ʤä����, 
	    $n_{i}$ ��ʿ�ջ���ʪ��¸���̤Ȥ���. 

\end{description}
\end{screen}
\bigskip


\begin{figure}[h]
\begin{center}
  \Depsf[130mm]{images/equiv.ps}
\end{center}
\caption{�絤��ʿ�շ׻���ή���. ���إݥƥ󥷥���
��Ǯ��˰�¾��������δ�¸�Υǡ�������ͽ��׻����Ƥ���.}
\Dfiglab{2001-02-14-1}
\end{figure}

\newpage
�ǽ�Ū�˲򤯤٤�����ޤȤ��.  

\begin{screen}
���١����ϰ���, ������֤Ǥ�ʪ���Υ��� $m_{i}$, 
���۵��Τ��ꤷ�����, 
ʿ�վ��֤Ǥ�ʪ���Υ����ϰʲ��μ�����������. 

\begin{eqnarray}
 n_{i} = - \Gamma_{i} + \left( \frac{n}{m}\right)m_{i}
 + \sum_{e} \chi_{e} a_{ie} m_{i} .\nonumber
\end{eqnarray}

â��, �弰�˴ޤޤ���ѿ� $\chi_{e}, n$ ��
�ʲ��� 2 ����ϢΩ�����뤳�Ȥ�������. 

\setcounter{equation}{32}
\begin{eqnarray}
&&\sum_{e}B_{e}\chi_{e} = \sum_{i} \Gamma_{i}.
\nonumber \\
&&\sum_{e} \left\{ \sum_{i} a_{ie} a_{if} m_{i} \right\} \chi_{e} 
+ B_{f} \left( \frac{n}{m} - 1 \right) = \sum_{i} a_{if} \Gamma_{i}.
\nonumber 
\end{eqnarray}

��, ��� $\Gamma_{i}$ �ϰʲ�����������. 

\setcounter{equation}{31}
\begin{eqnarray}
\Gamma_{i}  
\equiv m_{i} \left[\frac{\mu_{i}^{\circ}}{RT} 
+ \ln{p} + \ln{\frac{m_{i}}{m}}\right]. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{screen}



\subsection{¿��Ϥؤγ�ĥ}

RAND ˡ����Ϥ���¿��Ϥس�ĥ����(Van Zeggerren and Storey, 1970).  
�������Ω�˰���, ¿��Ϥس�ĥ����.
��ζ��̤�ź�� $\phi$ ($1 \leq \phi \leq \Phi$)��ɽ��, 
���Ϥ�Ƴ�Ф�������񤭴�����. 
\bigskip

�ޤ�ʪ������¸§�ϰʲ��Τ褦�˽񤭴����뤳�Ȥ��Ǥ���. 
\begin{eqnarray}
\sum_{\phi}\sum_{i} a_{ie}^{\phi} n_{i}^{\phi} 
= B_{e}
\Deqlab{20010114-1}
\end{eqnarray}

��, \Deqref{20010114-1} ���� $B_{e}$ �ϳƸ��Ǥ�����ˤ���������
�˳�ĥ����Ƥ���. ¿��Ϥ���¸����Ƥ���Τ�, 
����ˤ錄�븵�Ǥ�¸���̤Ǥ���. 
\bigskip

�������۷ϤǤβ��إݥƥ󥷥���ɽ�����ĥ����. 
\begin{eqnarray}
\mu_{i}^{\phi}(T, p) 
= {\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}(T) 
+ RT \ln\left({\frac{m_{i}^{\phi}}{m^{\phi}}} \right)
+ \alpha RT \ln p
\Deqlab{20010114-2}
\end{eqnarray}

â��, $m^{\phi} = \sum_{i} m_{i}^{\phi}$ ��
�� $\phi$ ��¸�ߤ���ʪ����(����)���¤Ǥ���. 
�ޤ����� $\alpha$ �ϵ���ʤ�� 1, ���ꡦ����ʤ�� 0 �ˤʤ�. 
\bigskip

���Ϥ���ˡ��¿��Ϥ˳�ĥ�������������Ф���Ŭ�Ѥ���. 
Ŭ����ʪ��¸���� $m_{i}^{\phi}$ �Τޤ��� 2 ���Υơ��顼Ÿ����Ԥ�, 
���ζ��ͤ����. 
($m_{i}^{\phi}$ �ˤ����Ƥ������¸����­���Ƥ���Ȳ��ꤹ��.)

\begin{eqnarray}
Q(n_{i}^{\phi}) 
= G(m_{i}^{\phi}) 
+ \sum_{\phi} \sum_{i} 
  \underbrace{
    \left( \DP{G}{m_{i}^{\phi}}\right)
  }_{A} 
  \delta m_{i}^{\phi}
+ \Dinv{2} \sum_{\phi} \sum_{i} \sum_{j} 
  \underbrace{
  \left( 
     \frac{\partial^{2}G}{\partial m_{i}^{\phi} \partial m_{l}^{\phi}}
  \right)
  }_{B}  
  \delta m_{i}^{\phi} \delta m_{j}^{\phi}, 
\Deqlab{20010114-3}
\end{eqnarray}

�Ƚ񤱤�. 
������ \Deqref{20010114-3} ���� A ��� \Deqref{20010114-2} �����Ѥ��뤳
�Ȥˤ�ä�, 

\begin{eqnarray}
\left(\DP{G}{m_{i}^{\phi}}\right) 
\equiv \mu_{i}^{\phi}
= {\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}(T) 
+ RT \ln{\left( \frac{m_{i}^{\phi}}{m^{\phi}}\right)}
+ \alpha RT \ln{p}. 
\Deqlab{20010114-4}
\end{eqnarray}

�Ƚ񤱤�. �ޤ� \Deqref{20010114-3} ���� B ��� 
\Deqref{20010114-2} �����Ѥ��ƽ񤭲�����,

\begin{eqnarray}
\left( \frac{\partial^{2}G}{\partial m_{i}^{\phi}\partial m_{l}^{\phi}}\right)
 = RT \left( \frac{\delta_{il}}{m_{i}^{\phi}} - \Dinv{m^{\phi}}\right), 
\Deqlab{20010114-6}
\end{eqnarray}

�Ȥʤ�. 
\bigskip


\Deqref{20010114-4}, \Deqref{20010114-6} ���� 
\Deqref{20010114-3} ����������, $RT$ �ǳ�뤳�Ȥˤ�ä�, 

\begin{eqnarray}
\frac{Q(n_{i}^{\phi})}{RT} 
= \sum_{\phi}\frac{G(m_{i}^{\phi})}{RT} 
+ \sum_{\phi} \sum_{i} 
  \left[ 
     \frac{{\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}(T)}{RT} + \alpha \ln{p} + 
     \ln{\frac{m_{i}^{\phi}}{m^{\phi}}} 
  \right] 
  \delta m_{i}
+ \Dinv{2} \sum_{\phi}
  \left[ 
     \sum_{i}\frac{(\delta m_{i}^{\phi})^{2}}{m_{i}^{\phi}}
     - \frac{(\delta m^{\phi})^{2}}{m^{\phi}}
  \right], 
\Deqlab{20010114-7}
\end{eqnarray}

��Ƴ�����. 
\bigskip

\Deqref{20010114-7} ���� $Q(n_{i})/RT$ �ȼ�����¸§����, 
�饰��󥸥��̤�그��ˡ���Ѥ��ƶ��ͤξ���Ϳ����. 
 $L$ ��ʲ��Τ褦���������. 

\begin{eqnarray}
L =
\sum_{\phi}\frac{G(m_{i}^{\phi})}{RT} 
+ \sum_{\phi}\sum_{i} 
    \left[ 
      \frac{{\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}(T)}{RT} + \alpha \ln{p} + 
      \ln{\frac{m_{i}^{\phi}}{m^{\phi}}} 
    \right] 
  \delta m_{i}
&+& \Dinv{2} \sum_{\phi}
    \left[ 
      \sum_{i}\frac{(\delta m_{i}^{\phi})^{2}}{m_{i}^{\phi}} 
      - \frac{(\delta m^{\phi})^{2}}{m^{\phi}}
    \right]  \nonumber \\
&-& \sum_{e} \chi_{e} \sum_{\phi}
    \left[
       \sum_{i} a_{i,e}^{\phi} n_{i}^{\phi} - B_{e}^{\phi} 
    \right]. \nonumber 
\end{eqnarray}

���ͤ�Ȥ���� $\partial L / \partial n_{i}^{\phi} = 0$ �ʤΤ�, 

\begin{eqnarray}
 \left(
     \frac{{\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}(T)}{RT} + \ln{p} + 
     \ln{\frac{m_{i}^{\phi}}{m^{\phi}}} 
 \right) 
+ 
 \left(
    \frac{n_{i}^{\phi}}{m_{i}^{\phi}} - \frac{n^{\phi}}{m^{\phi}}
 \right)
- \sum_{e} \chi_{e} a_{ie}^{\phi} = 0,
\Deqlab{20010114-9}
\end{eqnarray}

�Ǥ���. \Deqref{20010114-9} ���� \Deqref{20010114-1} ��, 
$n^{\phi} = \sum n_{i}^{\phi}$ 
��ϢΩ���뤳�Ȥ�, �ѿ� $n_{i}^{\phi}$, $\chi_{e}$
(�饰��󥸥��̤�그��)�˴ؤ��� $\Phi N + M $ �Ĥ�
�����������������, �������Ϥ��Ĥ���.  
\bigskip



������ $\Gamma_{i}^{\phi}$ �Ȥ����̤�Ƴ������. 
����� \Deqref{3.3.32} ���� $\Gamma_{i}$ ��¿��Ϥ˳�ĥ������ΤǤ���. 

\begin{eqnarray}
\Gamma_{i}^{\phi}
\equiv m_{i}^{\phi} \frac{\mu_{i}^{\phi}}{RT} 
= m_{i}^{\phi} \left( \frac{{\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}}{RT} 
	      + \ln{\frac{m_{i}^{\phi}}{m^{\phi}}} + \alpha \ln{p} \right)
\Deqlab{20010114-10}
\end{eqnarray}

�Ȥ����������. 
\bigskip



 \Deqref{20010114-9} ���� $n_{i}^{\phi}$ �˴ؤ������������, 

\begin{eqnarray}
n_{i}^{\phi} = 
- \Gamma_{i}^{\phi}
+ \left( \frac{n^{\phi}}{m^{\phi}}\right) m_{i}^{\phi}
+ \sum_{e} \chi_{e} a_{ie}^{\phi} m_{i}^{\phi}. 
\Deqlab{20010123-2}
\end{eqnarray}

���� \Deqref{20010123-2} ���� $i$ �˴ؤ��� 1 ���� $N$ �ޤǤ��¤�Ȥ��, 

\begin{eqnarray}
\sum_{e} a_{i, e}^{\phi} m_{i}^{\phi} \chi_{e} = 
\sum_{i} \Gamma_{i}^{\phi}
\Deqlab{20010123-3}
\end{eqnarray}

�Ȥʤ�. �ޤ� \Deqref{20010123-3} ����ξ�դ� $a_{if}^{\phi}$ �򤫤���
 $i$ �� $\phi$ �˴ؤ����¤���.

\begin{eqnarray}
\sum_{e} 
  \left\{ 
    \sum_{i} \sum_{\phi} a_{ie}^{\phi} a_{if}^{\phi} m_{i}^{\phi}
  \right\} 
  \chi_{e}
+ \sum_{\phi} \sum_{i} a_{if}^{\phi} m_{i}^{\phi}
  \left( 
     \frac{n^{\phi}}{m^{\phi}}
  \right) 
= \sum_{i}\sum_{\phi} a_{if}^{\phi} \Gamma_{i}^{\phi} + B_{f}
\Deqlab{3.3.34}
\end{eqnarray}

�Ǥ���.  $a_{if}$ ��ź�� $f$ ($0 \leq f \leq M$)�ϥ��ߡ����ե��å�����, 
�¼�Ū�ˤ� $e$ ��Ʊ���Ǥ���.
\bigskip

\Deqref{20010123-3}, \Deqref{3.3.34} ���� $M + \Phi$ ���������Ǥ���, 
�ޤ��ѿ��ο��� $\chi_{e}$ (M ��) �� $n^{\phi}$ ($\Phi$ ��)�ʤΤ�, 
���� 2 ����ϢΩ���뤳�Ȥˤ�ä����������Ĥ���. 
\bigskip

�Ǹ�˲򤯤٤����ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�. 



\begin{screen}
���١����ϰ���, ������֤Ǥ�ʪ���Υ��� $m_{i}$, 
���۵��Τ��ꤷ�����, ʿ�վ��֤Ǥ�ʪ���Υ����ϰʲ��μ�����������. 

\begin{eqnarray}
n_{i}^{\phi} = 
- \Gamma_{i}^{\phi}
+ \left( \frac{n^{\phi}}{m^{\phi}}\right) m_{i}^{\phi}
+ \sum_{e} \chi_{e} a_{ie}^{\phi} m_{i}^{\phi}. \nonumber
\end{eqnarray}

â��, �弰�˴ޤޤ���ѿ� $\chi_{e}, n^{\phi}$ ��
�ʲ��� 2 ����ϢΩ�����뤳�Ȥ�������. 


\begin{eqnarray}
&&\sum_{e} a_{ie}^{\phi} m_{i}^{\phi} \chi_{e} 
= \sum_{i} \Gamma_{i}^{\phi}
\nonumber \\
&&
\sum_{e} 
  \left\{ 
    \sum_{i} \sum_{\phi} a_{ie}^{\phi} a_{if}^{\phi} m_{i}^{\phi}
  \right\} 
  \chi_{e}
+ \sum_{\phi} \sum_{i} a_{if}^{\phi} m_{i}^{\phi}
  \left( 
     \frac{n^{\phi}}{m^{\phi}}
  \right) 
= \sum_{i}\sum_{\phi} a_{if}^{\phi} \Gamma_{i}^{\phi} + B_f
\nonumber 
\end{eqnarray}

��, ��� $\Gamma_{i}^{\phi}$ �ϰʲ�����������. 

\begin{eqnarray}
\Gamma_{i}^{\phi}
= m_{i}^{\phi}
  \left[
    \frac{{\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}}{RT} 
    + \ln{\frac{m_{i}^{\phi}}{m^{\phi}}} 
    + \alpha \ln{p} 
  \right]. \nonumber
\end{eqnarray}
\end{screen}




\subsection{¿��Ϥؤγ�ĥ2 (��ΰ�����ʪ���ΰ㤤�Ȥ�����)}

\Deqref{20010123-2}, \Deqref{20010123-3}, \Deqref{3.3.34} ���Ǥ�
��ζ��̤�ź�� $\phi$ �ˤ�ä�ɽ������. 
������ˡ�Ǥ�ź���ο���¿���ʤ��˻��Ǥ���, �ޤ���������¸�ߤ���ʪ����
���������ͤ��ͤФʤ餺̵�̤�¿��. 
�㤨�� H$_{2}$ �α���������̾�ͤ���ɬ�פ��ʤ�. 
�����ǳ�ʪ������ζ��̤� $i$ �˲����Ĥ��뤳�Ȥˤ���.  �Ĥޤ꺣�ޤǤ�ɹ�ȿ�
�ȿ������Ʊ��ʪ��($i$ ���ͤ�Ʊ��)�� $\phi$ �ˤ�äƶ��̤��Ƥ�����, ��
�줫���ɹ�ȿ�ȿ�������̡���ʪ��($i$ ���ͤ��ۤʤ�)�ȹͤ���. 
�����Ǥ�, �����ʪ�����ֹ�� $1 \leq i \leq N1$, 
�����ʪ�����ֹ�� $N1+1 \leq i  \leq N2$, 
�����ʪ�����ֹ�� $N2+1 \leq i  \leq N$ �Ȥ���. 
\bigskip


�ޤ� \Deqref{20010123-2} ����񤭴�����. 

\begin{eqnarray}
&& 1 \leq i \leq N1, \hspace{10mm} 
n_{i} = - \Gamma_{i}
 + \left( \frac{n_{g}}{m_{g}}\right)m_{i}
 + \sum_{e} \chi_{e} a_{ie} m_{i},  \\
&& N1 + 1 \leq i \leq N2, \hspace{10mm} 
n_{i} = - \Gamma_{i}
 + \left( \frac{n_{l}}{m_{l}}\right)m_{i}
 + \sum_{e} \chi_{e} a_{ie} m_{i},  \\
&& N2 + 1 \leq i \leq N, \hspace{10mm} 
n_{i} = - \Gamma_{i}
 + \left( \frac{n_{s}}{m_{s}}\right)m_{i}
 + \sum_{e} \chi_{e} a_{ie} m_{i}, 
\Deqlab{20010129-1}
\end{eqnarray}

������, $m_{g}, m_{l}, m_{s}$ �ϰʲ��Τ褦���������. 

\begin{eqnarray}
 m_{g} = \sum_{i=1}^{N1} m_{i}, \hspace{10mm}
 m_{l} = \sum_{i=N1+1}^{N2} m_{i},  \hspace{10mm}
 m_{s} = \sum_{i=N2+1}^{N} m_{i} 
\end{eqnarray}

\bigskip


���� \Deqref{20010123-3} ����񤭴�����. ���μ��� $\phi$ �ܤ�
������������äƤ����Τ�, ����, ����, ����� 3 �ܤμ���ɬ�פȤʤ�. 

\begin{eqnarray}
&&\sum_{e} 
\left\{ 
  \sum_{i = 1}^{N1} a_{ie} m_{i} 
\right\} \chi_{e} 
= \sum_{i = 1}^{N1} \Gamma_{i}.  \\
&&\sum_{e} 
\left\{ 
  \sum_{i = N1 + 1}^{N2} a_{ie} m_{i} 
\right\} \chi_{e} 
= \sum_{i = N1 + 1}^{N2} \Gamma_{i}.  \\
&&\sum_{e} 
\left\{ 
  \sum_{i = N2 + 1}^{N} a_{ie} m_{i} 
\right\} \chi_{e} 
= \sum_{i = N2 + 1}^{N} \Gamma_{i}.
\Deqlab{hashimoto-1}
\end{eqnarray}

\bigskip


�Ǹ�� \Deqref{3.3.34} ����񤭴�����. 

\begin{eqnarray}
&&\sum_{e} \left\{ \sum_{i=1}^{N}
a_{ie} a_{if} m_{i} \right\} \chi_{e}
+ \sum_{i = 1}^{N1} a_{if} m_{i} \left(\frac{n_{g}}{m_{g}} \right) 
+ \sum_{i = N1 + 1}^{N2} a_{if} m_{i} \left(\frac{n_{l}}{m_{l}}  \right)
\nonumber \\
&&+ \sum_{i = N2 + 1}^{N} a_{if} m_{i} \left(\frac{n_{c}}{m_{c}}  \right)
= \sum_{i=1}^{N} a_{if} \Gamma_{i} -B_{e}. 
\Deqlab{hashimoto-2}
\end{eqnarray}



��� $\Gamma_{i}$ �ϰʲ��Τ褦�˽񤱤�. 

\begin{eqnarray}
&& 1 \leq i \leq N1, \hspace{10mm} 
\Gamma_{i}
= m_{i} 
\left[
 \frac{\mu_{i}^{\circ}}{RT} 
+ \ln{\frac{m_{i}}{m_{g}}}
+ \alpha \ln{p}
\right] \\
&& N1 + 1 \leq i \leq N2, \hspace{10mm} 
\Gamma_{i}
= m_{i} 
\left[
 \frac{\mu_{i}^{\circ}}{RT} 
+ \ln{\frac{m_{i}}{m_{l}}}
+ \alpha \ln{p}
\right]  \\
&& N2 + 1 \leq i \leq N, \hspace{10mm} 
\Gamma_{i}
= m_{i} 
\left[
 \frac{\mu_{i}^{\circ}}{RT} 
+ \ln{\frac{m_{i}}{m_{c}}}
+ \alpha \ln{p}
\right]
\Deqlab{hashimoto-7}
\end{eqnarray} 

�Ȥʤ�. 

