% 表題: モデル計算
%
% 履歴: 2001/01/30 杉山耕一朗

\chapter{結果}
\label{model}

本章ではモデル計算の結果を示す. 


\section{モデルの信頼性の検証}

外惑星条件でモデルを走らせる前に, よく知られている問題を用いてモデルの信
頼性を確認する. 検証内容としては, 
(1) 熱力学関数 $G$ から得られた物理量がもっともらしいかの検証, 
(2) 地球の乾燥大気を想定した場合に得られる乾燥断熱減率がもっともらしいか
の検証, 
を行う. 

\subsection{$G$ を用いた他の物質量の計算}

熱力学関数 $G$ に関して以下の式が成立する. 

\begin{eqnarray}
\left( \DP{G}{T} \right)_{p, n_{i}} = -S 
\Deqlab{20010131-21}\\
\left( \DP{G}{p} \right)_{T, n_{i}} = V
\Deqlab{20010131-22}
\end{eqnarray}


\Deqref{20010131-21} 式, \Deqref{20010131-22} 式から得られた $S$, $V$ を, 
解析的に計算して得られた $S$, $V$ と比較する. 
\bigskip

モデル大気として \Dtabref{sosei-A} を設定した. モデル大気 A は地球大気を想
定し, 小倉(1999) から引用した. この検証ではモデル大気 A を用いて計算を行
う. 
\bigskip

$S$ の比較を行う. 大気は理想気体であると仮定しているので, $S$ は解析的に

\begin{eqnarray}
s = 
    \int_{T_{0}}^{T} c_p dT +
    R \ln p 
\Deqlab{2001-02-14-41}
\end{eqnarray}

である. 標準状態において \Deqref{20010131-21} 式, 
\Deqref{2001-02-14-41} 式それぞれから得られた $S$ を比較すると, 

\begin{screen}
\begin{description}
 \item[解析的に求めた値:] 21763.16796255409 [J]
 \item[$G$ から求めた値:] 21762.95779971406 [J]
\end{description}
\end{screen}

という結果が得られた. 解析解は平衡時の物質存在量と個々の物質の
比熱, 標準エントロピー, 標準エンタルピーを用いて計算した. 
値としては $10^-4$ の桁でずれる程度で, なかなか良い結果であると考える. 
\bigskip


 $V$ の比較を行う. 理想気体であれば 1 モル当たり 22.4 l 
(= $2.24 \times 10^{-2}$ m$^{3}$) になる. 
標準状態において理想気体の体積 $V$ と
 \Deqref{20010131-22} 式から得られた $V$ を比較すると, 

\begin{screen}
\begin{description}
 \item[理想気体の体積:]  2.463992857238437  [m$^{3}$]
 \item[$G$ から求めた値:] 2.496777103049681 [m$^{3}$]
\end{description}
\end{screen}

という結果が得られた. 解析解の方は平衡時の全物質量(モル)に
 22.4 l を乗じたものである. この結果は $10^{-2}$ の桁まで一致している. 


\begin{table}[h]
\caption{モデル大気 A に含まれる元素とその初期存在量. 
これは地球の乾燥大気を念頭においている. 
添字 $g$ は気相, 
添字 $l$ は液相, 添字 $s$ は固相を意味する. 小倉(1999) を元に作成. 
但し H$_2$O の存在量は地球大気の上限値を与えている.}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|}\hline
物質名         &   初期存在量  \\ \hline  \hline  
N$_{2}$(g)     &  78.088 \\
O$_{2}$(g)     &  20.949 \\
Ar(g)          &  0.93   \\
CO$_2$(g)      &  0.03   \\
CO(g)          &  1.0$\times 10^{-5}$ \\
Ne(g)          &  1.8$\times 10^{-3}$ \\
He(g)          &  5.24$\times 10^{-4}$ \\
CH$_4$(g)      &  1.4$\times 10^{-4}$ \\
Kr(g)          &  1.14$\times 10^{-4}$ \\
N$_{2}$O(g)    &  5.0$\times 10^{-5}$ \\
H$_{2}$(g)     &  5.0$\times 10^{-5}$ \\
H$_{2}$O(g)    &  1.0 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\Dtablab{sosei-A}
\end{table}




\subsection{地球大気の乾燥断熱減率の計算}

大気に含まれる物質が全て気相とした時の断熱温度減率(乾燥断熱減率)を計算する. 
モデル大気 A の乾燥断熱温度減率は地球の経験から良く知られているので, 
モデルの動作を確認する都合良い. 
\bigskip

モデルの設定は以下の通り. 

\begin{screen}
\begin{description}
\item[初期温度:] 288.15 K
\item[初期圧力:] 1.0$\times 10^{5}$ Pa (1 気圧)
\item[鉛直変化($dp$): ] -$5.0 \times 10^{2}$ Pa
\item[温度変化($dT$): ] $1.0 \times 10^{-3}$ T
\item[鉛直プロット数: ] 100 点
\end{description}
\end{screen}
\smallskip


モデルの出力結果を \Dfigref{tera-1} に示す. 
\Dfigref{tera-1} は圧力と温度の関係をプロットしたものである.  
 500 hPa 変化すると 4.2 K 温度が下がることが示される. 
\bigskip

\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\Depsf[130mm]{../doc/2001-01-31/tera-4.ps}
\Depsf[130mm]{./images/tera4.ps}
\end{center}
\caption{モデル大気 A (地球大気, 凝縮成分無し)での温度変化.}
\Dfiglab{tera-1}
\end{figure}


理想気体と静水圧平衡を仮定した場合, 乾燥断熱減率はおおざっぱに計算して, 

\begin{eqnarray}
\DP{T}{p} = - \frac{R_{d}T}{p c_{\rm p}} 
\sim \frac{300 \cdot 300}{10^{5} \cdot 10^{4}} 
\sim - 1.0 \times 10^{-4}
\end{eqnarray}

となり, 500 hPa 下降すると 5 K 下降することになる. 
但し, $R_{d}$ は地球大気の気体定数で 300 J K$^{-1}$ kmol$^{-1}$, 
 $C_{p}$ は地球大気の比熱で 1000 J K$^{-1}$ kg である. 
この値はモデルの結果と整合的である. 



\section{地球大気の断熱温度減率と凝縮物質の鉛直分布}

大気成分気体やその凝縮成分を全て理想気体/ 液体と仮定し, 本手法に則って
地球大気の断熱温度減率と凝縮物質の鉛直分布を計算する. 
地球を想定してモデル大気 B を設定した. これは小倉 (1999) を元に作成した. 
但し H$_2$O の存在量は地球大気の上限値として与えてある. 
この手法の特徴は, 大気に含まれる物質の化学ポテンシャルさえ与えられれば
木星大気でも地球大気でも同様に計算することができることにある. 
\bigskip

モデルの設定は以下の通り. 

\begin{screen}
\begin{description}
\item[初期温度:] 288.15 K
\item[初期圧力:] 1.0$\times 10^{5}$ Pa (1 気圧)
\item[鉛直変化($dp$): ] -$5.0 \times 10^{2}$ Pa
\item[温度変化($dT$): ] $1.0 \times 10^{-3}$ T
\item[鉛直プロット数: ] 100 点
\end{description}
\end{screen}
\smallskip

米国標準大気モデルでは, 1013 hPa から 540 hPa までの間で温度が
 32.47 K 変化する. 本手法を用いて計算した結果では, 同一区間での
温度変化は約 36 K であった. 計算結果は実際の地球大気と整合的であるといえ
る. 
また計算結果によると, 凝縮が生じていない領域での温度減率は -9 K/ 100
hPa, 凝縮が生じている領域での温度減率は -6 k / 100 hPa であった. 
地球大気の乾燥断熱減率と湿潤断熱減率の比は約 10 : 6 である. 
そのため計算結果は凝縮が生じるような領域でも正しく計算できているといえる. 


\begin{table}[h]
\caption{モデル大気 B に含まれる元素とその初期存在量. 
これは地球の乾燥大気を念頭においている. 
添字 $g$ は気相, 
添字 $l$ は液相, 添字 $s$ は固相を意味する. 小倉(1999) を元に作成. 
但し H$_2$O の存在量は地球大気の上限値を与えている.}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|}\hline
物質名         &   初期存在量  \\ \hline \hline  
N$_{2}$(g)     &  78.088 \\
O$_{2}$(g)     &  20.949 \\
Ar(g)          &  0.93   \\
CO$_2$(g)      &  0.03   \\
CO(g)          &  1.0$\times 10^{-5}$ \\
Ne(g)          &  1.8$\times 10^{-3}$ \\
He(g)          &  5.24$\times 10^{-4}$ \\
CH$_4$(g)      &  1.4$\times 10^{-4}$ \\
Kr(g)          &  1.14$\times 10^{-4}$ \\
N$_{2}$O(g)    &  5.0$\times 10^{-5}$ \\
H$_{2}$(g)     &  5.0$\times 10^{-5}$ \\
H$_{2}$O(g)    &  1.0 \\ \hline
H$_{2}$O(l)    &  1.0$\times 10^{-8}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\Dtablab{sosei-A}
\end{table}

%\begin{figure}
%\begin{center}
%  \Depsf[120mm]{../}
%\end{center}
%\caption{モデル大気 B (地球大気)での断熱温度減率.}}
%\end{figure}



\begin{figure}[h]
\begin{center}
\Depsf[130mm]{./images/tera-moist1.ps}
\end{center}
\caption{モデル大気 B (地球大気, 凝縮成分有り)での断熱温度減率.
横軸は温度(K), 縦軸は圧力 (Pa)}
\Dfiglab{tera-1}
\end{figure}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
\Depsf[130mm]{./images/tera-moist2.ps}
\end{center}
\caption{モデル大気 B (地球大気, 凝縮成分有り)での凝縮物質の鉛直分布.
 凝縮物質は H$_2$O のみ.
横軸は温度(K), 縦軸は圧力 (Pa)}
\Dfiglab{tera-1}
\end{figure}


\section{木星条件での計算}

大気成分気体やその凝縮成分を全て理想気体/ 液体と仮定し, 本手法に則って
木星大気の断熱温度減率と凝縮物質の鉛直分布を計算する. 
木星大気を想定してモデル大気 C を設定した. この大気組成はボイジャーの
観測記録から予想されるもので, 
Weidenschilling and Lewis (1973) が計算に用いた値を引用した. 
\bigskip

モデルの設定は以下の通り. 

\begin{screen}
\begin{description}
\item[初期温度:] 340.0 K, 350.0 K (2 回分計算)
\item[初期圧力:] 1.0$\times 10^{6}$ Pa (10 気圧)
\item[鉛直変化($dp$): ] -$9.7 \times 10^{3}$ Pa
\item[温度変化($dT$): ] $1.0 \times 10^{-3}$ T
\item[鉛直プロット数: ] 100 点
\end{description}
\end{screen}
\smallskip

木星深部の温度構造は未だ 1 点でしか観測されていないので, 
計算開始温度を 340.0 K と 350.0 K にした時の 2 回分計算した. 
初期温度 340 K はガリレオプローブの観測記録をもとに与えた. 
初期温度 350 K は Atreya and Romani (1985) の計算結果をもとに与えた. 
本研究の計算結果を 
\Dfigref{jupiter-340} から\Dfigref{jupiter-350-2} までに示す. 
但し計算結果をガリレオの観測とAtreya and Romani (1985) の結果と比較
しやすくするために, 図の鉛直軸の幅を変化させている. 
\Dfigref{jupiter-340}, \Dfigref{jupiter-340-2} は 10 bar 面高度から
 0.3 bar 面高度までプロットしてある. 
\Dfigref{jupiter-350}, \Dfigref{jupiter-350-2} は 5 bar 面高度から
 0.3 bar 面高度までプロットしてある. 
\bigskip


ガリレオプローブによって観測された木星大気の鉛直温度分布を
 \Dfigref{seiff} に示す(Seiff {\it et al.}, 1998). 
ガリレオプローブによって 10 bar 面高度で気温が 340 K であることが示され
た. 
ガリレオプローブの落下点は雲の少ない乾燥領域であったので, 
落下点の大気組成はモデル大気 C に比べて可凝縮気体の存在量が極端に少ない. 
そのため凝縮の生じていない圧力領域において
 \Dfigref{seiff} と \Dfigref{jupiter-340} を比較することは意味がある. 
\Dfigref{seiff} と \Dfigref{jupiter-340} を比較すると, 
凝縮の生じない 10 bar 面高度から 5 bar 面高度の温度は等しい. 
例えば 5 bar 面高度の温度は 275 K と等しい. 
したがって木星大気の乾燥断熱温度減率は正しく計算されていることが示唆され
る. 
\bigskip

過去の木星大気の断熱温度減率と凝縮物質の鉛直分布を計算した代表例として
 Atreya and Romani (1985)の結果(\Dfigref{atreya} 参照)を示す. 
彼らも木星の大気組としてボイジャーの観測記録から予想されるものを用いた. 
 \Dfigref{atreya} と \Dfigref{jupiter-350-2} を比較すると, 
凝縮物質の種類とそのピークの存在高度は等しい. 
また大気上部(1 bar 付近)の温度も等しい. したがって本手法を用いた計算結果は, 
今までの木星大気断熱温度減率と物質存在量の鉛直分布に関する計算結果と
整合的である. 
\bigskip




\begin{table}[h]
\caption{モデル大気 C に含まれる元素とその初期存在量. 
これは木星大気を念頭においている. Weidenschilling and Lewis (1973) より
 作成. 
添字 $g$ は気相, 
添字 $l$ は液相, 添字 $s$ は固相を意味する.}
\begin{center}
\begin{tabular}{|r|r|}\hline
物質名         &   初期存在量  \\ \hline  \hline  
H$_2$(g)       &  8.86$\times 10^{-1}$        \\
Ar(g)          &  1.12$\times 10^{-1}$        \\
H$_2$O(g)      &  1.05$\times 10^{-3}$ \\
CH$_4$(g)      &  6.30$\times 10^{-4}$ \\
NH$_3$(g)      &  1.52$\times 10^{-4}$ \\
H$_{2}$S(g)    &  2.90$\times 10^{-5}$ \\ \hline
H$_2$O(l)      &  1.0$\times 10^{-8}$ \\
CH$_4$(l)      &  1.0$\times 10^{-8}$ \\
NH$_3$(l)      &  1.0$\times 10^{-8}$ \\
H$_{2}$S(l)    &  1.0$\times 10^{-8}$ \\ \hline
H$_2$O(s)      &  1.0$\times 10^{-8}$ \\ 
NH$_3$(s)      &  1.0$\times 10^{-8}$ \\
NH$_{4}$SH(s)  &  1.0$\times 10^{-8}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\Dtablab{sosei-C}
\end{table}



\begin{figure}[h]
	\begin{center}
	\Depsf[120mm]{/home/sugiyama/work/reviews/S.I.1998/src/ps/SKK1998f34.ps}
	\end{center}
	\caption{ガリレオプローブによって観測された木星大気の鉛直温度分
 布.
(Fig. 34 of Seiff {\it et al}. 1998, {\it J. Geophys. Res.}, {\bf 103},
 p.22878)．}
\Dfiglab{seiff}
\end{figure}



\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\Depsf[110mm]{../doc/2001-02-17/temp-340.eps}
\Depsf[110mm]{./images/temp-340.eps}
\end{center}
\caption{モデル大気 C (木星大気)での断熱温度減率.
横軸は温度(K), 縦軸は圧力 (Pa). 
計算開始温度は 340 K. 実験の初期値は Seiff {\it et al} (1998) の観測結果
 から与えた. 
}
\Dfiglab{jupiter-340}
\end{figure}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\Depsf[110mm]{../doc/2001-02-17/condence-340.eps}
\Depsf[110mm]{./images/condence-340.eps}
\end{center}
\caption{モデル大気 C (木星大気)での凝縮物質の鉛直分布.
実線は H$_2$O(s), 点線は NH$_4$SH(s), 破線は NH$_3$(s).
横軸はモル分率, 縦軸は圧力 (Pa). 計算開始温度は 340 K.
実験の初期値は Seiff {\it et al} (1998) の観測結果
 から与えた. }
\Dfiglab{jupiter-340-2}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\Depsf[110mm]{../doc/2001-02-15/shuuron-350_2.eps}
\Depsf[110mm]{./images/shuuron-350_2.eps}
\end{center}
\caption{モデル大気 C (木星大気)での断熱温度減率.
横軸は温度(K), 縦軸は圧力 (Pa). 計算開始温度は 350 K.
実験の初期値は Atreya and Romani (1985) より与えた. 
}
\Dfiglab{jupiter-350}
\end{figure}


\begin{figure}[h]
\begin{center}
%\Depsf[110mm]{../doc/2001-02-15/shuuron-350_1.eps}
\Depsf[110mm]{./images/shuuron-350_1.eps}
\end{center}
\caption{モデル大気 C (木星大気)での凝縮物質の鉛直分布.
実線は H$_2$O(s), 点線は NH$_4$SH(s), 破線は NH$_3$(s).
横軸はモル分率, 縦軸は圧力 (Pa). 計算開始温度は 350 K. 
実験の初期値は Atreya and Romani (1985) より与えた. 
横軸が Atreya and Romani (1985) の図と異なることに注意. }
\Dfiglab{jupiter-350-2}
\end{figure}



\begin{figure}[h]
\begin{center}
\Depsf[110mm]{./images/AR1985f14.ps}
\end{center}
\caption{木星大気の凝縮物質の鉛直分布
(Fig.14 of Atreya and Romani 1973, In {\it Planetary
 Meteorology},Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK. 17, p.53).}
\Dfiglab{atreya}
\end{figure}



