\chapter{イントロダクション}
\section{はじめに}
大気大循環の研究の始まりは 17 世紀までさかのぼるが, 
数値実験による定量的な大気大循環の研究が始まったのは約半世紀前からである. 
最初の大気大循環の数値実験は, Phillips(1956) によって行われた. 
この数値実験は, 数値予報が実用化され始めた 1950 年代の短期間の数値予報技術の応用である. 

Phillips(1956) では, 簡単な大気大循環の構造をモデル化するために, 南北幅 10000 km の東西方向のチャンネル内の流れを求めた. 
この数値実験は歴史的に「Phillips の数値実験」と呼ばれている.
その際に数値予報モデルとしては, 準地衡予報方程式系を適用した 2 層モデルを利用した. 
この数値予報モデルでは南北加熱差を生じさせるために, 非常に簡単で経験的な非断熱加熱や摩擦の効果を取り入れるが, 
詳細にそのような物理過程%
\footnote{
大気大循環モデルの研究者は習慣的に, 移流項, コリオリ項, 気圧傾度項, 断熱項の計算と時間変化の項の計算を「力学過程」と呼ぶ. 
一方で, 太陽放射や地球放射による加熱, 水の潜熱の放出・吸収, 乱流の熱輸送の収束, 分子粘性による熱拡散などの効果の計算を「物理過程」と呼ぶ. 
}
をモデル化しているわけではない. 
Phillips の実験の概要については, 後ほど述べることにする. 

本研究では, Phillips の数値実験を再現する. 
Phillips の数値実験で用いられた準地衡風予報方程式系の 2 層モデル(さらにチャネルモデル)であれば, 
数値予報モデルの構築は比較的簡単であり, かつ流体の傾圧性を表現することができる. 
それは, 自分の興味の一つである傾圧不安定波の発達の様子を, 2 層モデルという物理的に簡単化されたモデルにおいてではあるが, 
数値シミュレーションすることを可能にする. 
Phillips の数値実験の再現を通して, 中緯度大気循環のより深い理解と数値予報の基本技術の習得が期待される.　

Phillips(1956) を基にした本研究の目的は, 以下の通りである. 
%
\begin{itemize}
\item Phillips(1956) の読書ノートを作成する. したがって, 本論文で使われる表現の一部には, 原文の表現をそのまま和訳したものも含まれる. 
\item Phillips の数値実験で用いられた数値予報モデルを再現する中で, 数値予報モデル作成の基本技術を学ぶ.
 \begin{itemize}
 \item モデル構築の際には, 自作の数値計算ライブラリ「GMathLib」を使用し, その有効性を確認する. 
 また, 実用的に使用する中で改良点を浮き彫りにする.
 \end{itemize}
\item 作成した数値予報モデルの中で表現される大気大循環の構造を解析し, 現実の地球におけるそれと比較する. より具体的には, 
 \begin{itemize}
 \item 2 層モデルの中で発生する傾圧不安定波を研究する. また, そのような波が平均場に及ぼす影響を検証する. 
 \item 系のエネルギーサイクルについて考察を行う.
 \end{itemize}
\end{itemize}
%

\section{Phillips の数値実験の概要}
実際に再現した数値予報モデルの説明に入る前に, Phillips の数値実験の概要を述べたいと思う. 
また, Phillips の数値実験が数値予報の歴史を語る上で重要な出来事であることを説明するために,
この節では最初に数値予報に至るまでの歴史的背景を簡単にまとめることにする% 
\footnote{
この数値予報の歴史的背景は, 書籍\cite{Haltiner_Williams_1979}と書籍\cite{nitta_etal}のイントロダクションをまとめたものである. 
}%
. 

\subsection{数値予報に至るまでの歴史的背景}
人類の活動の上で, 日常の大気現象を把握することはとても重要であるために, 天気予報の歴史はとても長い. 
Reed(1977) は, 天気予報の早期の歴史において, 1643 年の Torricelli による気圧計の発明が科学としての気象学の始まり
であると考られていると述べている. 
しかしながら, 初めて地上天気図が描かれたのは 1820 年である. しかも, それは約 50 年前の観測値を用いたものであった. 
天気予報に対する天気図の可能性はすみやかに認知されたものの, 観測データを迅速に収集する手段が未発達であることが
壁となった.
この問題は 1845 年の電信の発明により解決され, 実況的な総観規模の天気図を作成できるようになった. 
そして, 天気予報や嵐への警戒情報を提供するために, 多くの国で国家事業もまた整備された. 

1850-1920 年の期間における天気予報は, \textbf{経験的}なものであった. 地上気圧の天気図は少し上層の大気の情報を
知るために用いられたが, その手法はまったく経験則による. 
その背後では基礎的な理論研究が続けられていた. 
その中でも 1904 年の V. Bjerknes による認識は, 科学的な天気予報のその後の発展の道筋を決める上で, 重要かつ画期的な出来事であった.
その認識は次のようになる.%
\begin{itemize}
 \item 天気予報は基本的には数学的には初期値問題である. さらに, 解かねばならない基礎方程式系は既に定式化されている. 
 \item その方程式系は高次の非線形偏微分方程式であり, 一般的には解析解を得るのは不可能である. 大幅に簡単化された形式においてはそれは例外となり得るが,
 その結果は天気予報には直接的には使えない.
 \item 初期条件を決める上で観測値をそのまま利用することは不適切である. 
\end{itemize}%
彼自身はその後, 数値予報を実際に行うことはなかった. 
L. F. Richardson は, 第一次世界大戦の間, 手回し計算機を使って方程式系を数学的に解く方法を追い求めていた. 
その先駆的な努力は残念ながら失敗といえる結果に終わった%
\footnote{
Richardson は, 1922年にこの研究内容を書籍\cite{Haltiner_Williams_1979}として出版している. 
その書籍の中で彼はこう述べている.

「いつか遠い将来, 天気の進行よりも早く計算を行うことが可能になり, 気象情報の入手のためのコストも安くなるだろう. しかし, それは夢である」

この言葉から, 数値予報はそれ以降 「リチャードソンの夢」と呼ばれるようなった. 
さまざまな文献にも書かれていることではあるが, 当時の計算機資源や観測網などを考えれば, 結果に関わらず彼の業績は先駆的であり, 
その先見性は今の数値予報の発達の歴史が裏付けるところであるだろう. 
}%
. 計算された圧力の時間変化は, 観測されたものより一つも大きなオーダーとなってしまったのである. 
当時, 彼の行った研究の基礎的な重要性に気づく人は少なく, 
また, その失敗の要因を特定するために数カ月におよぶ計算を再試しようと考える人もいなかった. 
一方で, ラジオゾンデの発明は 1930 年代の上層大気の観測値の広範囲の利用につながり, 急成長する航空産業の応用の増加とともに, 
天気予報における経験則のよりいっそうの改良に導いた.

理論的な研究は, Rossby, Petterssen, J. Bjerknes, Charney, Eady, Eliassen, Fj \o rtoft, Obukhov 他により続けられ, 
実用的な問題に対する応用へと導いた.
より重要なことは, これらの研究が純粋な経験論とは根本的に異なり, 物理学を基礎においている点である. 
しかし, 次の躍進への突破口を開いたのは 1940 年代後半の電子計算機の発明であった. 
電子計算機の発展は, 数値予報に必要な膨大な演算処理を可能にした. 
そのような中で, Charney, Fj\o rtoft, von Neumann (1950) は, Richardson のモデルよりもずっと簡単化された
等価順圧渦度モデルを用いた 500hPa 面の力学的な数値予報を初めて成功させた. 
その精度は, 主観的かつ経験的手法を使う熟年の予報官による予報と比べ得るものであった. 
こうして, 数値的手法による力学的な数値予報の時代が幕を開けたのである. 
一般的には, \textbf{数値天気予報}(numerical weather prediction(NWP))と呼ばれ, 現代の天気予報において数値予報は主要な基盤となった.
なお, 本論文ではこの数値天気予報のことを数値予報と略すことにする. 

その後, 数値予報が天気予報技術として業務化されていく中で, 数値予報モデルは少しづつ高度化・精密化されていく. 
もちろんその背景には, 計算機や観測手法の発展が密接に関わっている. 
現在の予報精度に至るまでの, 数値予報モデルの発展の歴史はここでは触れないことにする% 
\footnote{ 
その歴史に興味をもたれた方は, 書籍\cite{nitta_etal}等を参考にしていただきたい. 
}%
. 
ところで, Phillips の数値実験が行われた 1950 年代中期は数値予報業務化への準備段階にあった.
当時業務化された数値予報は, 数日先までの天気予報を目的としており,  
数日程度であれば, 初期に与えたエネルギーで運動を維持したり低気圧を生み出せるので, 外部からエネルギーの補給のないモデルでも良かった. 
一方で, Phillips の数値実験でも用いられた大気大循環モデルは, 当時の短期間予報用のモデルとは異なる特徴を持っている.
大気大循環モデルは, それ自身に熱源・冷源を備えており, モデルの中で循環を持続させる機構を持たせることで,
循環の統計的振る舞いを再現することを目的としているのが特徴である. 
なお, 現在では数値予報モデルの物理過程の精密化に伴って, 予報モデルと大気大循環モデルの違いはほとんどなくなっている. 

\subsection{Phillips の数値実験の概要}
1956 年, Phillips は, 静止した大気を初期状態として 2 層準地衡風モデルを用いた(当時としては)長期間の数値予報を行った. 
支配方程式には, 摩擦および緯度に対して線形的な非断熱な効果が含まれている. 
この実験において, 原理的な経験的要素は, 加熱強度・鉛直安定度の値・摩擦による散逸の種類の 3 点である. 
低緯度に対応する場所では熱源, 高緯度では冷源を与えるような非断熱加熱をモデルに設定することにより, 
ランダムな微小運動を初期値として時間積分を進める中で, 現実の大気に見られるような発達を伴う流れのパターンが数値的に実現された. 
その流れのパターンには, 大規模な擾乱の成長やそのような傾圧不安定波の作用による中緯度帯の西風ジェット, 
地表の西風領域が含まれていた. 

この数値実験は, 簡単な熱源や冷源を与えることにより, 対流圏大気の特徴である中緯度の西風ジェット, 中緯度の地表の偏西風帯
の存在や, ３つの子午面循環(ハドレー循環, フェレル循環, 極夜循環)などといったそれまでに知られていた大気大循環の
基本的な特徴を数値的に再現した最初の実験である. 
この実験は, 大気大循環に関する最初の\textbf{数値的実験}とされている. 

Phillips はこの実験で約 1 カ月間の時間積分を行ったが, 非線形不安定によりエネルギーが少しずつ増大し, 平衡状態に至るまで
時間積分を行うことができなかった. 要因は, 格子点法を用いる際に, エリアシングによる非線形不安定への配慮を行っていなかった
からだとされる(Phillips, 1959)%
\footnote{
非線形項の存在は, より高波数の波を表す項を生み出す.
例えば$\psi_1=\sin mx$と$\psi_2=\sin nx$で作られる非線形項を考えるとき,   
%
\begin{equation*}
 \psi_1 \DP{\psi_2}{x} 
  = \dfrac{n}{2} \left\{ \sin[(m+n)x] + \sin[(m-n)x] \right\} 
\end{equation*}
%
となり, 非線形項はもとの波より高波数な波数$(m+n)$の波を生み出すことになる. 
しかしながら, 格子点法を用いる場合, 格子幅で決定される最大波数までしか分解できず, 
それよりも高波数な波は, 実際よりも小さな波数の波として見なされてしまう.  
このことをエリアシングと呼ぶ. 

また, このエリアシングを原因として生じる計算の不安定性は, 非線形不安定と呼ばれる. 
 
この非線形不安定を防ぐためには, 支配方程式系の差分表現においてもエネルギーやエンストロフィが保存するようにする必要がある. 
なお, スペクトル法を用いる場合は, エリアシングが生じないように非線形項をスペクトル切断することによって, 非線形不安定を回避できる. 
}
. 