\renewcommand{\theequation}{B.\arabic{equation}}
\setcounter{equation}{0}
\chapter{幾何モーメントの計算法について}
第4章で示した$k$-exact法に基づく再構築において, 2種類の幾何モーメントが現れる. 
(\ref{eq:geometricMoment_local})によって与えられる幾何モーメントは, 検査セルの中心が積分領域の一部であるため, 
各検査セルに対して局所的である. 
一方で, (\ref{eq:geometricMoment_localNeigh})の第一項目で定義される幾何モーメントは, 
その積分は一つの近傍検査セルにおいてなされ, 検査セル中心は異なるセルに含まれるために, 近傍セル間の関係を表す. 

いずれの幾何モーメントも完全に検査セルの幾何のみに依存するため, 
あらかじめ計算しておき, 後に再利用するために保持しておくことは理論的には可能である. 
しかし, 幾何モーメントの総数は非常に多いため, 大規模計算において全ての幾何モーメントをメモリ上に保持できない場合も考えられる. 
たとえば, $k=2, N_n=8$の場合, 幾何モーメントの総数は各検査セルに対し 54個となる(より高次の再構築ではこの数はずっと大きくなる). 
ただし, 最終的に必要となるのは擬逆行列$\mathbb{A}^{-1}$なので, メモリ容量が許容されるならば, 
幾何モーメントの代わりに擬逆行列を保持しておけば, 非常に効率的に再構築を行うことができる. 
そのため, 本研究では前処理として擬逆行列を計算しておき, メモリに保持する方法を取っている. 

しかし, メモリ容量の制限から擬逆行列$\mathbb{A}^{-1}$を保持できない場合には,  
各時間ステップの各検査セルに対する再構築において, 
係数行列$\mathbb{A}$を求めるために全ての幾何モーメントを再計算しなければならず. 
この計算コストは非常に高い. 
また, 前処理の段階で擬逆行列を保持できる場合でも, 
幾何モーメントの計算の負荷は大きいため, 幾何モーメントを効率的に計算する方法が必要である.  

\citet{IvanPHDTheisis}は, これらの問題を解決するために, 
各検査セルに局所的な幾何モーメントのみメモリ上に保持し, 
残りの幾何モーメントは幾何的な変換によって計算する方法を提案している. 
したがって, (\ref{eq:geometricMoment_local})で与えられる各検査セルに対する局所的な幾何モーメントの計算は前処理で行われ, 
その結果はメモリ上に保持される.  
一方, (\ref{eq:geometricMoment_localNeigh})の第一項目で定義される幾何モーメントは, 局所的な幾何モーメントを用いて, 次のように計算される. 
%%
\begin{equation}
\begin{split}
 (\widehat{\alpha^{p_1} \beta^{p_2}})_{IJ} 
 &=  \left( \dfrac{1}{|Z_J|} \int_{Z_J} (\alpha-\alpha_I)^{p_1} (\beta-\beta_I)^{p_2} \; dV \right)
  - \overline{(\alpha^{p_1} \beta^{p_2})}_I \\
 &= \sum_{l=0}^{p_2}\sum_{q=0}^{p_1} \left[
    {}_{p_1}\mathrm{C}_q \; {}_{p_2}\mathrm{C}_l \;\; ({\Delta \alpha}_{IJ})^q ({\Delta \beta}_{IJ})^l
    \; \overline{(\alpha^{p_1-q} \beta^{p_2-l})}_J
    \right] 
  - \overline{(\alpha^{p_1} \beta^{p_2})}_I. 
\end{split}
\end{equation}
%%
ここで, ${}_{p_1} \mathrm{C}_q, \; {}_{p_2}\mathrm{C}_l$は2項係数であり, 
次の漸化式によって効率的に求められる. 
%%
\begin{equation}
 {}_{n} \mathrm{C}_r = \dfrac{n-r+1}{r} \; {}_{n}\mathrm{C}_{r-1}; \;\;\; {}_{n} \mathrm{C}_0 = 1. 
\end{equation}
%%
また, 2つの近傍セル間の各方向の距離を
${\Delta \alpha}_{IJ}=\alpha_J-\alpha_I, \; {\Delta \beta}_{IJ}=\beta_J-\beta_I$
と表した. 
