\section{������ʬˡ}
��ʿ��������Ū�ʻ�����ʬ�ȱ�ľ�����α�Ū�ʻ�����ʬ��, �������٤�ʬ�˰ݻ����ʤ����Ȥ߹�碌�뤿���, 
%\citet{Ullrich2012AMS} ����������Ƥ��� 
Strange-carryover ˡ��Ŭ�Ѥ���. 
��ʿ��������Ū�ʻ�����ʬ�ˤ� 4 ���� Runge-Kutta ˡ���Ѥ���. 
Strange-carryover ˡ�ˤ�ä�, ��Ū�ʻ�����ʬ�ȱ�Ū�ʻ�����ʬ�η�̤��Ȥ߹�蘆���Ȥ�, 
���ΤȤ���, ���֤ˤĤ��� 2 �����٤�ã�������. 

���ֺǽ�λ��֥��ƥåפˤ�����, 
�ޤ�$\Delta t /2$������Ū�ʻ�����ʬ��Ԥ�, $\Dvect{q}^{(1)}$��������. 
%%
\begin{equation}
 \dfrac{\Dvect{q}^{(1)} - \Dvect{q}^n}{(\Delta t/2)} - \Dvect{V}(\Dvect{q}^{(1)}) = 0. 
 \label{eq:VerticalTimeIntegStep1}
\end{equation}
%%
������������(\ref{eq:VerticalTimeIntegStep1})��, �˥塼�ȥ�ˡ���Ѥ��ƿ���Ū�˲򤫤��. 
�˥塼�ȥ�ˡ�γ����׻��ˤ����Ƥ�, ���η�����������������򤯤��Ȥˤʤ�. 
%%
\begin{equation}
 \left[ \dfrac{\mathbb{I}}{2\Delta t}  - \DP{\Dvect{V}}{\Dvect{q}}(\Dvect{q^{(1), m}}) \right] (\Delta \Dvect{q}^{(1)})^m 
 = \Dvect{R}(\Dvect{q}^{(1),m}) \equiv \dfrac{\Dvect{q}^{(1),m} - \Dvect{q}^n}{\Delta t/2} +  \Dvect{V}(\Dvect{q}^{(1), m})
\end{equation}
%%
������, 
$\mathbb{I}$�ϥ��$5N_r$��ñ�̹���, 
$m$�ϥ˥塼�ȥ�ȿ���β����ɽ��ź��, 
$(\Delta \Dvect{q}^{(1)})^m = \Dvect{q}^{(1),m+1} - \Dvect{q}^{(1),m}$�Ǥ���. 
�˥塼�ȥ�ˡ�ˤ�����䥳�ӥ���$\DP{\Dvect{V}}{\Dvect{q}}$��, �ܸ���Ǥϲ���Ū�˷׻������. 
���ξ��, ��ľ�����ο���ή«��ɾ���������������줿 AUSM$^{+}$-up ����������Ѥ��뤿��, 
���Ū�ưפ�$\DP{\Dvect{V}}{\Dvect{q}}$����뤳�Ȥ��Ǥ���.  
���⼡�κƹ��ۤ�ʣ���ʶ�����郎Ϳ��������ˤ�, ���Υ䥳�ӥ�������Ū��Ϳ���뤳�ȤϺ���Ǥ��뤿��, 
����Ū��Ϳ����ɬ�פ�����. 
DECAMO �Ǥ������������β�ˡ�Ȥ���, ľ�ܲ�ˡ���뤤�� Krylov ��ʬ����ȿ��ˡ�ΰ�ĤǤ�����̲��Ǿ��ĺ�ˡ(Generalized Minimal RESidual method : GMRESˡ)���Ѥ���. 
�ʤ�, ����Υƥ��ȷ׻��Ǥϱ�ľ�ʻ�ʬ������������Τ�, ξ�Ԥη׻���Ψ�κ��Ͼ�����. 
�������ä�, ���Ԥ���ˡ��Ȥä���5�Ϥο��ͼ¸���Ԥä�. 
�۲�ˡ�ȱ���ˡ�λ�����ʬ�η�̤��Ȥ߹�碌�뤿���, �����α�Ū Rosenbrock ˡ���Ѥ����뤬, 
���μ�ˡ�ˤ����ƥ˥塼�ȥ�ȿ������������«����ʤ�. 
%�����ä���, ����Ū�ˤ�, ȿ������ϰ����ɤ��Ȥ����. 
�������ä��ܸ���Ǥ�, �˥塼�ȥ�ȿ���ϴ���Ū�˰��٤����Ԥ�. 
�ʤ�, �����ʼ�«���, ȿ���׻��򤵤�˿��٤����Ԥ��������뤳�Ȥ��ǧ���Ƥ���. 

��Ū�ʻ�����ʬ�θ�, ���η��$\Dvect{q}^{(1)}$��Ȥä���Ū�ʻ�����ʬ��¹Ԥ���. 
��Ū�ʻ�����ʬ�Ȥ��� 4 ���� Runge-Kutta ˡ�Ѥ�����, 
��Ū�ʥ��ƥåפ�, 
%%
\begin{equation}
\begin{split}
 \Dvect{q}^{(2)} &= \Dvect{q}^{(1)} + \dfrac{\Delta t}{2} \Dvect{H}(\Dvect{q}^{(1)}), \\
 \Dvect{q}^{(3)} &= \Dvect{q}^{(1)} + \dfrac{\Delta t}{2} \Dvect{H}(\Dvect{q}^{(2)}), \\
 \Dvect{q}^{(4)} &= \Dvect{q}^{(1)} + \dfrac{\Delta t}{2} \Dvect{H}(\Dvect{q}^{(3)}), \\
 \Dvect{q^*} &= -\dfrac{1}{3} \Dvect{q}^{(1)} + \dfrac{1}{3} \Dvect{q}^{(2)} + \dfrac{2}{3} \Dvect{q}^{(3)} + \dfrac{1}{3} \Dvect{q}^{(4)}
                + \dfrac{\Delta t}{6} \Dvect{q}^{(4)}
\end{split}
\end{equation}
%%
�Ȥʤ�. 
�Ǹ��, ��Ū�ʻ�����ʬ�ǵ���줿$\Dvect{q}^*$���Ѥ���, 
��Ū�ʻ�����ʬ��$\Delta t/2$�����ʤ��. 
%%
\begin{equation}
 \dfrac{\Dvect{q}^{n+1} - \Dvect{q}^*}{(\Delta t/2)} - \Dvect{V}(\Dvect{q}^{n+1}) = 0.
 \label{eq:VerticalTimeIntegStep2}
\end{equation}
%%
�����ʳ���, ��Ū�ʻ��֥��ƥåפˤ�붯���Ȥ���, 
%%
\begin{equation}
 \mathcal{G}= \Dvect{q}^{n+1} - \Dvect{q}^* 
\end{equation}
%%
���ݻ����Ƥ���. 
������, ���λ��֥��ƥåפ���Ū�ʻ�����ʬ�Υ���ץåȤˤ�����, 
���ζ�����ä���. ���ʤ��, 
%%
\begin{equation}
 \Dvect{q}^{(1)} = \Dvect{q}^n + \mathcal{G}. 
\end{equation}
%%
�������ä�, Strange-carryover ˡ��, 
���ֺǽ�λ��֥��ƥåװʳ���, 
���֥��ƥåװ����Ф�, ��Ū�ʻ�����ʬ��������Ԥ����ɤ��褦�˸�����. 
 
