\section{テストケース2: 内部重力波}
本テストケースでは,非回転系における内部重力波の伝播を調べる. 
このテストは, \citet{SkamarockKlemp1994}の 2 次元領域非静力学モデルにおけるテストを全球領域に拡張したものである.   
前ケースの音波とは異なり, 内部重力波は温位の初期擾乱によって引き起こされる. 

基本場は, 一定のBrunt-V\"ais\"al\"a 振動数$\mathcal{N}$をもつ静止大気によって構成する. 
このとき, 圧力の基本場は次のように与えられる. 
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\begin{equation}
 p(z) = p_0 \left[ 
   \left( 1-\dfrac{S}{T_0} \right) + \dfrac{S}{T_0} \exp{\left( -\dfrac{\mathcal{N}^2 z}{g} \right)} 
  \right]^{c_p/R_d}. 
\end{equation}
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ここで, $p_0=1000$ hPa, $T_0=300$ K, $S=g^2/(c_p \mathcal{N}^2)$は静的安定度である. 
温位の場$\theta$は, 静水圧バランスにある基本場$\overline{\theta}^h$と擾乱場$\theta'$に分割される. 
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\begin{equation}
 \theta(\lambda, \phi, z) = T_0 \exp{\left( \dfrac{\mathcal{N}^2 z}{g} \right)}
  + \Delta \theta f(\lambda, \phi) g(z)
\end{equation}
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ここで, $\Delta \theta=10$ Kは温位擾乱の最大値である. 
$f(\lambda, \phi), g(z)$はそれぞれ擾乱の水平, 鉛直分布を決める関数であり,
(\ref{eq:perturbation_horizontalDistFunc}), (\ref{eq:perturbation_verticalDistFunc})によって与える. 
ただし, コサインベルの半径は$R=a/3$, 鉛直モード数は$n_z=1,2$とする. 

本テストケースでは, 全部で 4 つのサブテストを行う. 
サブケース 4-1, 4-2, 4-3 では, 浮力振動数$\mathcal{N}$や鉛直モード数$n_v$を変化させて, 
モデルが内部重力波の伝播や場の分布を正しく表現できるかを検証する(\citet{Tomita2004}のテストケース2に対応する). 
具体的には, サブケース 4-1, 4-2, 4-3 においてそれぞれ, $(\mathcal{N}, n_v)=(0.01,1), (0.01,2), (0.01,3)$と設定する. 
ただし, $N$の単位は秒である. 
モデルの解像度や時間ステップはテストケース 1 と同様に, 
水平解像度c48(水平格子間隔約200 km), 鉛直層数全20層, 時間ステップを450 sとした. 
一方, サブケース 4-4 では, サブケース4-1の水平解像度をc90(水平格子間隔約100km), 時間ステップを225 sに設定して計算を行う(\citet{Jablonowski2008_TestCase}のテストケース6-0-0に対応する).  
そして, \citet{Jablonowski2008_TestCase}のテストケース6-0-0に対する他の全球非静力学モデルの計算結果と比較する. 

サブケース2-1, 2-2, 2-3 における2日後の赤道上の温位擾乱の鉛直分布を図\ref{fig:testcase2-1,2,3_Temp}に示す. 
内部重力波の線形理論によれば, 一定のBrunt-V\"ais\"al\"a 振動数$\mathcal{N}$で成層している基本場において,  
鉛直モード数$n_v$の内部重力波の位相速度は, 
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\begin{equation}
 c_g = \dfrac{Nz_T}{\pi n_v}
\end{equation}
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によって与えられる. 
ただし, 水平波数は鉛直波数に対して十分小さいことを仮定した. 
したがって, サブケース2-1, 2-2, 2-3 において推定される内部重力波の位相速度は, 31.8, 63.7, 15.9 ms$^{-1}$と求められる. 
一方, 図\ref{fig:testcase2-1,2,3_Temp}から読み取れる内部重力波の位相速度は, 
線形理論による推定値と比較して, サブケース2-1, 2-2 では 10\%, サブケース2-3 では20\%ほど速い. 
この要因は温位擾乱の振幅が大きい($\Delta \theta=10$K)ためであり, 
振幅を小さくすれば内部重力波の位相速度は線形論の値に近づく. 

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\begin{figure}[t]
\begin{center}
%\hspace{-10mm}
	\includegraphics[width=15cm,height=13.5cm,clip]{chapter5/case2/internalGravWave_N_nv.eps}
	\caption{\footnotesize{
	48時間後の赤道上での温度摂動の鉛直分布. 単位は K.
	(a)はサブケース2-1($N=0.01 \;\text{s}^{-1}, \; n_v=1$), 
	(b)はサブケース2-2($N=0.02 \;\text{s}^{-1}, \; n_v=1$)
	(c)はサブケース2-3($N=0.01 \;\text{s}^{-1}, \; n_v=2$)の結果を示している. 	
	}}
	\label{fig:testcase2-1,2,3_Temp}
\end{center}
\end{figure}
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サブケース2-4における4日後の赤道上の温位擾乱の鉛直分布を図\ref{fig:testcase2-4_PTempCompari} (A)の(a)に示す. 
また, 図\ref{fig:testcase2-4_PTempCompari}には, 
地球流体電脳倶楽部で開発されているDIGMO(Dennou Icosahedral Grid MOdel)%
\footnote{
http://www.gfd-dennou.org/member/ykawai/work/IGModel.htm
} %
および
NCAR で開発されているコミュニティ大気モデル群%
\footnote{
http://www.cesm.ucar.edu/models/atm-cam/
} %
CAM-EUL, CAM-FV, CAM-SEの各力学コアを用いた場合のテスト結果\citep{Ullrich2012}を一緒に示す. 
DIGMOは, 筆者が\citet{Tomita2004}に基づいて実装した有限体積法による正二十面格子大気モデルである.  
また, CAM-EULはスペクトル変換法に基づく力学コア, CAM-FVは有限体積法, セミラグラジアン法に基づく力学コア,  
CAM-SEはスペクトル要素法による力学コアである. 
CAM-EUL に関しては, 陽な拡散を加えない場合と4次の超粘性($K_4=5\times10^{14}$m$^{4}$s$^{-1}$)を加えた場合の両方の結果を示している. 
また, CAM-FV に関しては divergence damping を無効にしてあり,  
CAM-SE の結果は4次の超粘性($K_4=9.6\times10^{14}$m$^{4}$s$^{-1}$)を加えた結果を示している. 
DIGMO, CAM-FV, CAM-SE の解像度は約1$^\circ \times$約1$^\circ$ L20, CAM-EULはそれと同等なT106 L20に設定されている. 
図\ref{fig:testcase2-4_PTempCompari}より, DECAMOの結果は他のモデルの結果と競合的であることが分かる. 
DECAMO の結果は, DIGMO(図\ref{fig:testcase2-4_PTempCompari}(A)の(b)), 超粘性ありのCAM-EUL(図\ref{fig:testcase2-4_PTempCompari}(B)の(b))やCAM-FV(図\ref{fig:testcase2-4_PTempCompari}(B)の(c))の結果と比較して, 
拡散がより小さいことが分かる.  
また, 拡散なしのCAM-EUL(図\ref{fig:testcase2-4_PTempCompari}(B)の(a))やCAM-SE(図\ref{fig:testcase2-4_PTempCompari}(B)の(d))に見られるように, 
重力波の先端部に急勾配を維持することに成功している. 
加えて, DECAMO の結果から読み取れる重力波の伝播速度は, 他のモデルと一貫性があることも確認できた. 
なお DECAMO の結果において, 重力波が伝播する前の領域で見られるノイズは立方格子の不規則性によって生じるものである.  
しかしながら, そのノイズの大きさは非常に小さく, 卓越的な構造が一度現れれば見えなくなる程度のものである. 


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\begin{figure}[t]
\begin{center}
%\hspace{-13mm}
	\includegraphics[width=15.5cm,height=14.5cm,clip]{chapter5/case2/internalGravWave_ModelComparison.eps}
	\caption{\footnotesize{
	96時間後の赤道上における温位摂動の鉛直分布と各数値モデル間での結果の比較. 単位は K.
	(A)-(a)は DECAMO, (A)-(b)は DIGMO(\citet{Tomita2004}と同様の定式化と数値手法を用いている)の結果を示している.  
	また, (B)-(a)は CAM-EUL(拡散なし), (B)-(a)は CAM-EUL(拡散あり),
	(B)-(c)は CAM-FV(拡散なし), (B)-(d)は CAM-SE(拡散あり) の結果を示している. 	
	なお, (B) の図は\citet{Ullrich2012}の図10を引用している. 
	}}
	\label{fig:testcase2-4_PTempCompari}
\end{center}
\end{figure}
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