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% 学部卒業論文
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% 2018/03/26
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\chapter{一流体モデルにおける Alfv\'{e}n 波}
\markright{一流体モデルにおける Alfv\'{e}n 波}

磁気流体中を伝播する Alfv\'{e}n 波は Hannes Alfv\'{e}n (1942) によって発見された波であり, 波長のスケールが長く周波数が低いことを特徴とする. 自然界では, オーロラや磁気嵐に伴って起こる磁気擾乱の伝播, 太陽コロナにおける磁場変動などとして観測される.

本章では, 一流体モデルの下での Alfv\'{e}n 波を考える.


\section{一流体モデル}

電子とイオンに対する連続の式および運動方程式は
\begin{equation}
  \frac{\partial n_{s}}{\partial t}+\nabla\cdot(n_{s}\bm{v}_{s})=0
\end{equation}
と
\begin{equation}
  m_{s}n_{s}\left\{\frac{\partial\bm{v}_{s}}{\partial t}+(\bm{v}_{s}\cdot\nabla)\bm{v}_{s}\right\}=-\nabla p_{s}+n_{s}q_{s}(\bm{E}+\bm{v}_{s}\times\bm{B})
\end{equation}
である. ここで, 添字 $s$ は電子またはイオンを表し, 電子の場合は $e$, イオンの場合は $i$ を添字として書くことにする.

まず磁気流体では, 電子とイオンの質量比 $m_{e}/m_{i}\ll 1$ とし, 準中性条件 $n=n_{e}=n_{i}$ が成り立つとする. そして, 電子とイオンを合わせた流体の密度を $\rho$ とし, $\rho=m_{e}n_{e}+m_{i}n_{i}=n(m_{e}+m_{i})\approx nm_{i}$ とする. すると, 電子とイオンそれぞれの連続の式の和をとると,
\begin{equation}
  \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla(\rho\bm{v})=0 \label{one-mass}
\end{equation}
を得る. ここで流体の速度 $\bm{v}$ は流体の重心の速度とし, $\rho\bm{v}=\sum_{s}n_{s}m_{s}\bm{v}_{s}\approx nm_{i}\bm{v}_{i}$ である. また $p=p_{i}+p_{e}$, $\bm{J}=\sum_{s}q_{s}n_{s}\bm{v}_{s}$ とすると, 電子とイオンそれぞれの運動方程式の和は
\begin{equation}
  \rho\left\{\frac{\partial \bm{v}}{\partial t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}\right\}=-\nabla p+\bm{J}\times\bm{B} \label{one-motion}
\end{equation}
となる. ここで, $\bm{E}$ の項は電子とイオンの和をとることで打ち消しあう. こうして一流体の連続の式および運動方程式が得られた.
 


\section{基礎方程式系の線形化}

流体は時間と空間に一様で静止した状態 (物理量に添字 $0$ を付けて表す) にあったとする. 今, その状態に時間と空間に依存した微小変動 (物理量に添字 $1$ を付けて表す) が加えられたとして,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \rho&=\rho_{0}+\rho_{1}(r,t) \\
    p&=p_{0}+p_{1}(r,t) \\
    \bm{v}&=\bm{v}_{1}(r,t) \\
    \bm{B}&=\bm{B}_{0}+\bm{B}_{1}(r,t)
  \end{align}
\end{subequations}
とおく. これらを用いて, 基礎方程式(\ref{kiso1}), (\ref{one-mass}), (\ref{one-motion}), (\ref{induction-eq2})を線形化すると,
\begin{equation}
  \nabla\cdot\bm{B}_{1}=0 \label{kiso1_magnet}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial\rho_{1}}{\partial t}+\rho_{0}\nabla\cdot\bm{v}_{1}=0 \label{kiso2_mass}
\end{equation}
\begin{equation}
  \rho_{0}\frac{\partial\bm{v}_{1}}{\partial t}+a^{2}\nabla\rho_{1}+\frac{1}{\mu}\bm{B}_{0}\times(\nabla\times\bm{B}_{1})=0 \label{kiso3_motion}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial\bm{B}_{1}}{\partial t}=\nabla\times(\bm{v}_{1}\times\bm{B}_{0}) \label{kiso4_induction}
\end{equation}
となる\footnote{運動方程式(\ref{kiso3})の線形化は, Lorentz 力 $\bm{J}\times\bm{B}$ を $-\frac{1}{\mu}\bm{B}\times(\nabla\times\bm{B})$ と書き換えたのちに行なった. }. ここで, $a$ は音速である\footnote{状態変化が断熱的であるとすると, $a^{2}=(\partial p/\partial\rho)_{s}$ を用いて
  \begin{subequations}
    \begin{align}
      \nabla p=\left(\frac{\partial p}{\partial\rho}\right)_{s}\nabla\rho=a^{2}\nabla\rho_{1} \notag
    \end{align}
  \end{subequations}
  である. これを(\ref{kiso3})から(\ref{kiso3_motion})を導く際に用いた.}.

以降は上記の線形化した基礎方程式系を用いて Alfv\'{e}n 波に関する議論を行なう.



\section{簡単化した Alfv\'{e}n 波の波動方程式と伝播メカニズム}

\subsection{波動方程式と Alfv\'{e}n 速度}

ここでは, 非圧縮な運動を伴う波の性質について考察する. そのとき連続の式(\ref{kiso2_mass})は,
\setcounter{equation}{9}
\begin{equation}
  \nabla\cdot\bm{v}_{1}=0 \label{renzoku_hiassyuku}
\end{equation}
となる.

まず運動方程式(\ref{kiso3_motion})を変形し,
\begin{equation}
  \rho_{0}\frac{\partial\bm{v}_{1}}{\partial t}=-\nabla\left\{p_{1}+\frac{1}{\mu}(\bm{B}_{0}\cdot\bm{B}_{1})\right\}+\frac{1}{\mu}(\bm{B}_{0}\cdot\nabla)\bm{B}_{1} \label{eq-of-motion2}
\end{equation}
と書き換える\footnote{(\ref{eq-of-motion2})の詳しい導出は付録 A にて行う.}. そして(\ref{eq-of-motion2})に $\nabla$ をスカラー的にかけると,
\begin{equation}
  \rho_{0}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\bm{v}_{1})=-\nabla^{2}\left\{p_{1}+\frac{1}{\mu}(\bm{B}_{0}\cdot\bm{B}_{1})\right\}+\frac{1}{\mu}(\bm{B}_{0}\cdot\nabla)(\nabla\cdot\bm{B}_{1}) \label{eq-of-motion3}
\end{equation}
となる. ここで(\ref{kiso1_magnet})と(\ref{renzoku_hiassyuku})を用いると, (\ref{eq-of-motion3})は
\begin{equation}
  \nabla^{2}\left\{p_{1}+\frac{1}{\mu}(\bm{B}_{0}\cdot\bm{B}_{1})\right\}=0
\end{equation}
となる. これを積分し, 任意関数をゼロとすると
\begin{equation}
  p_{1}+\frac{1}{\mu}(\bm{B}_{0}\cdot\bm{B}_{1})=0 \label{1}
\end{equation}
とすることができる. (\ref{1})を考慮すると(\ref{eq-of-motion2})は,
\begin{equation}
  \frac{\partial\bm{v}_{1}}{\partial t}=\frac{1}{\mu\rho_{0}}(\bm{B}_{0}\cdot\nabla)\bm{B}_{1} \label{hadou1}
\end{equation}
となる. 

一方, (\ref{kiso4_induction})は, ベクトル解析の公式を用い(\ref{renzoku_hiassyuku})を考慮すると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \frac{\partial\bm{B}_{1}}{\partial t}&=\bm{v}_{1}(\nabla\cdot\bm{B}_{0})-\bm{B}_{0}(\nabla\cdot\bm{v}_{1})+(\bm{B}_{0}\cdot\nabla)\bm{v}_{1}-(\bm{v}_{1}\cdot\nabla)\bm{B}_{0} \notag \\
    &=(\bm{B}_{0}\cdot\nabla)\bm{v}_{1}　\tag{4.16} \label{hadou2}
  \end{align}
\end{subequations}
となる.

最後に, (\ref{hadou1})と(\ref{hadou2})から $\bm{v}_{1}$ を消去すれば,
\begin{equation}
  \frac{\partial^{2}\bm{B}_{1}}{\partial t^{2}}=\frac{B^{2}_{0}}{\mu\rho_{0}}\frac{\partial^{2}\bm{B}_{1}}{\partial z^{2}} \label{hadou-eq1}
\end{equation}
が得られる\footnote{(\ref{hadou-eq1})の詳しい導出は付録 A にて行なう.}. また, (\ref{hadou1})と(\ref{hadou2})から $\bm{B}_{1}$ を消去すれば,
\begin{equation}
  \frac{\partial^{2}\bm{v}_{1}}{\partial t^{2}}=\frac{B^{2}_{0}}{\mu\rho_{0}}\frac{\partial^{2}\bm{v}_{1}}{\partial z^{2}} \label{hadou-eq1-1}
\end{equation}
が得られる. (\ref{hadou-eq1})と(\ref{hadou-eq1-1})はともに $z$ 方向に伝播する波の波動方程式であり, これらの方程式で表される波がシアー Alfv\'{e}n 波である. この波は磁気張力を復元力とし, 磁場の変動や流体の速度の変動は磁力線に沿って伝わる. また, 速度の微小変動について(\ref{renzoku_hiassyuku})より横波である.

(\ref{hadou-eq1})や(\ref{hadou-eq1-1})で表される波の速度は
\begin{equation}
  v_{A}=\frac{B_{0}}{\sqrt{\mu\rho_{0}}} 
\end{equation}
であり, $v_{A}$ を Alfv\'{e}n 速度と呼ぶ. 


\subsection{伝播メカニズム}

簡単化した Alfv\'{e}n 波の伝播のメカニズムを以下に示す.

$\bm{B}_{0}$ の方向を $z$ 方向とし, $y$ 方向に速度場の擾乱 $\bm{v}_{1}$ が生じたとする. すると $\bm{v}_{1}\times\bm{B}_{0}$ の方向, つまり $x$ 方向に電場が生じ, その方向に電流 $\bm{J}_{1}$ が生じる. この電流により $\bm{J}_{1}\times\bm{B}_{0}$ の方向, つまり $-y$ 方向 ($\bm{B}_{1}$ と逆方向) に力 (磁気張力) が生じ, その磁気張力により $\bm{v}_{1}$ は $-y$ 方向に引き戻される (図 \ref{cood3}).

このようにして振動が生じ波として伝播する. Alfv\'{e}n 波は磁気張力を復元力とする波である. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{CO3-2.png}
  \caption{\footnotesize{
      非圧縮性流体におけるシアー Alfv\'{e}n 波の伝播の略図.
  }} \label{cood3}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Alfv\'{e}n 波のより一般的な考察}

微小振幅の波を考える. まず波の解を仮定する. 微小変動 $\bm{v}_{1}, \bm{B}_{1}, \rho_{1}$ を, 
\begin{equation}
  \bm{v}_{1}, \bm{B}_{1}, \rho_{1}\propto\mathrm{exp}(i(\bm{k}\cdot\bm{r}-\omega t)) 
\end{equation}
を満たす平面波とする. これらを(\ref{kiso2_mass}), (\ref{kiso3_motion}), (\ref{kiso4_induction})に代入すると,
\begin{equation}
  \rho_{1}=\frac{\rho_{0}}{\omega}(\bm{k}\cdot\bm{v}_{1})　\label{kiso2_mass-2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \bm{v}_{1}=\frac{a^{2}\rho_{1}}{\omega\rho_{0}}\bm{k}+\frac{1}{\mu\rho_{0}\omega}\bm{B}_{0}\times(\bm{k}\times\bm{B}_{1}) \label{kiso3_motion-2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \bm{B}_{1}=\frac{1}{\omega}\bm{k}\times(\bm{B}_{0}\times\bm{v}_{1}) \label{kiso4_induction-2}
\end{equation}
が得られる. (\ref{kiso2_mass-2})と(\ref{kiso4_induction-2})を用いて(\ref{kiso3_motion-2})から $\rho_{1}$ と $\bm{B}_{1}$ を消去すると,
\begin{equation}
  \omega^{2}\bm{v}_{1}=a^{2}(\bm{k}\cdot\bm{v}_{1})\bm{k}+\frac{1}{\mu\rho_{0}}[\bm{k}\times\{\bm{k}\times(\bm{v}_{1}\times\bm{B}_{0})\}]\times\bm{B}_{0} \label{hadou3}
\end{equation}
が得られる. そして(\ref{hadou3})の右辺第二項をベクトル解析の公式を用いて変形し, そのあと式全体を整理すると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \left\{\frac{1}{\mu\rho_{0}}(\bm{B}_{0}\cdot\bm{k})^{2}-\omega^{2}\right\}&\bm{v}_{1}+\left\{\left(\frac{\bm{B}^{2}_{0}}{\mu\rho_{0}}+a^{2}\right)\bm{k}-\frac{1}{\mu\rho_{0}}\bm{B}_{0}(\bm{B}_{0}\cdot\bm{k})\right\}(\bm{k}\cdot\bm{v}_{1}) \notag \\
    &-\frac{1}{\mu\rho_{0}}(\bm{B}_{0}\cdot\bm{k})(\bm{B}_{0}\cdot\bm{v}_{1})\bm{k}=0 \tag{4.25} \label{hadou4}
  \end{align}
\end{subequations}
となる\footnote{(\ref{kiso3_motion-2})から(\ref{hadou4})を導出する過程は, 付録 A にて詳述する.}. 

(\ref{hadou4})から波の分散関係を得ることができる. 以下では(\ref{hadou4})を用いて, 速度の微小変動 $\bm{v}_{1}$ の方向によって波を三つのモードに分類する.



\section{$\bm{v}_{1}$ が $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ に垂直である場合}

このとき,
\begin{equation}
  (\bm{k}\cdot\bm{v}_{1})=0, \,\,\,\,(\bm{B}_{0}\cdot\bm{v}_{1})=0
\end{equation}
であるので, (\ref{hadou4})より
\begin{equation}
  \frac{1}{\mu\rho_{0}}(\bm{B}_{0}\cdot\bm{k})^{2}-\omega^{2}=0 \label{sol1}
\end{equation}
を得る. この場合(\ref{kiso2_mass-2})から $\rho_{1}=0$ となるため, 波に伴う運動は非圧縮である. 以下, $\bm{B}_{0}$ を $z$ 方向にとり, $\bm{k}$ は $xz$ 平面上にあるとする (図 \ref{cood1}). 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{CO1.png}
  \caption{\footnotesize{
      $\bm{B}_{0}$ は $z$ 方向, $\bm{k}$ は$xz$ 平面上にある. $\bm{v}_{1}$ は $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ に垂直である.
  }} \label{cood1}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{分散関係と位相速度, 群速度}

波の分散関係は, (\ref{sol1})から,
\begin{equation}
  \omega=\frac{(\bm{B}_{0}\cdot\bm{k})}{\sqrt{\mu\rho_{0}}} \label{dispersion1}
\end{equation}
であるとわかる. この分散関係で表される波は, シアー Alfv\'{e}n 波と呼ばれる.

次に位相速度を求める.  $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ のなす角を $\theta$ とすると, 位相速度 $v_{p}$ は
\begin{equation}
  v_{p}=\frac{\omega}{k}=\frac{B_{0}}{\sqrt{\mu\rho_{0}}}\cos{\theta}=v_{A}\cos{\theta}
\end{equation}
と求められる. したがって, 位相速度は磁場の方向に最大値 $v_{A}$ となり, 磁場と垂直な方向には波は伝播しないことがわかる. 

最後に群速度を求める. $k_{x}$, $k_{y}$, $k_{z}$ を それぞれ波数の $x,y,z$ 成分とし, また $\bm{\mathrm{e}}_{x}$, $\bm{\mathrm{e}}_{y}$, $\bm{\mathrm{e}}_{z}$ をそれぞれ $x, y, z$ 方向の単位ベクトルとすると, 群速度 $\bm{v}_{g}$ は,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \bm{v}_{g}=\frac{\partial\omega}{\partial\bm{k}}&=\frac{\partial\omega}{\partial k_{x}}\bm{\mathrm{e}}_{x}+\frac{\partial\omega}{\partial k_{y}}\bm{\mathrm{e}}_{y}+\frac{\partial\omega}{\partial k_{z}}\bm{\mathrm{e}}_{z} \notag \\
    &=\frac{B_{0}}{\sqrt{\mu\rho_{0}}}\bm{\mathrm{e}}_{z} \notag \\
    &=v_{A}\bm{\mathrm{e}}_{z} \tag{4.30}
  \end{align}
\end{subequations}
となる. したがって, 波は $z$ 方向, つまり磁場の方向にのみエネルギーを伝播するとわかる. 



\section{$\bm{v}_{1}$ が $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ が作る平面上にある場合}

前節と同様に $\bm{B}_{0}$ の方向は $z$ 方向, $\bm{k}$ は $xz$ 平面上にあり,  $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ のなす角を $\theta$ とする (図 \ref{cood2}). 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{CO2.png}
  \caption{\footnotesize{
      $\bm{B}_{0}$ は $z$ 方向, $\bm{k}$ は$xz$ 平面上にある. $\bm{v}_{1}$ は $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ が作る平面上にある.
  }} \label{cood2}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{分散関係}

今, 流体は圧縮性である. まず図 \ref{cood4} のように $\bm{v}_{1}$ を $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ の方向に分解すると,
\begin{equation}
  \bm{v}_{1}=v_{1z}\bm{\mathrm{e}}_{z}+v_{1k}\bm{\mathrm{e}}_{k} \label{2-1}
\end{equation}
である. ここで, $v_{1z}, v_{1k}$ をそれぞれ $\bm{v}_{1}$ の $z, \bm{k}$ 成分とし, $\bm{\mathrm{e}}_{z}, \bm{\mathrm{e}}_{k}$ をそれぞれ $z, \bm{k}$ 方向の単位ベクトルとした.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=10cm]{CO4.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{1}$ を $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ の方向に分解する. 
  }} \label{cood4}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

また,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \bm{B}_{0}\cdot\bm{k}&=B_{0}k\cos{\theta} \label{2} \\
    \bm{B}_{0}\cdot\bm{v}_{1}&=B_{0}(v_{1z}+v_{1k}\cos{\theta}) \label{3} \\
    \bm{k}\cdot\bm{v}_{1}&=k(v_{1z}\cos{\theta}+v_{1k}) \label{4}
  \end{align}
\end{subequations}
である. (\ref{hadou4})に(\ref{2-1}) $\sim$ (\ref{4})を代入し $v^{2}_{A}=B^{2}_{0}/\mu\rho_{0}$ を用いると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    (v^{2}_{A}k^{2}&\cos^{2}{\theta}-\omega^{2})(v_{1z}\bm{\mathrm{e}}_{z}+v_{1k}\bm{\mathrm{e}}_{k})+\{(v^{2}_{A}+a^{2})k^{2}\bm{\mathrm{e}}_{k} \notag \\
    &-v^{2}_{A}k^{2}\cos{\theta}\bm{\mathrm{e}}_{z}\}(v_{1z}\cos{\theta}+v_{1k}) \notag \\
    &-v^{2}_{A}k^{2}\cos{\theta}(v_{1z}+v_{1k}\cos{\theta})\bm{\mathrm{e}}_{k}=0 \tag{4.33}
  \end{align}
\end{subequations}
となり, この式を $\bm{\mathrm{e}}_{z}, \bm{\mathrm{e}}_{k}$ でまとめると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    (\omega^{2}&v_{1z}+k^{2}v^{2}_{A}\cos{\theta}v_{1k})\bm{\mathrm{e}}_{z} \notag \\
    &+(a^{2}k^{2}\cos{\theta}v_{1z}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})k^{2}-\omega^{2}\}v_{1k})\bm{\mathrm{e}}_{k}=0 \tag{4.34}
  \end{align}
\end{subequations}
となる. これを満たす解として,
\begin{equation}
  \omega^{2}v_{1z}+k^{2}v^{2}_{A}\cos{\theta}v_{1k}=0 \label{5}
\end{equation}
かつ
\begin{equation}
  a^{2}k^{2}\cos{\theta}v_{1z}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})k^{2}-\omega^{2}\}v_{1k}=0 \label{6}
\end{equation}
が存在する. (\ref{5})と(\ref{6})を $v_{1z}$ と $v_{1k}$ に関する連立方程式とみなすと
\begin{equation}
  \left(
  \begin{array}{rr}
    \omega^{2} & k^{2}v^{2}_{A}\cos{\theta} \\
    a^{2}k^{2}\cos{\theta} & (v^{2}_{A}+a^{2})k^{2}-\omega^{2} \\
  \end{array}
  \right)
  \left(
  \begin{array}{r}
    v_{1z} \\
    v_{1k} \\
  \end{array}
  \right)=0
\end{equation}
とできるので, ゼロでない解を持つとすると,
\begin{equation}
  \left|
\begin{array}{rr}
  \omega^{2} & k^{2}v^{2}_{A}\cos{\theta} \\
  a^{2}k^{2}\cos{\theta} & (v^{2}_{A}+a^{2})k^{2}-\omega^{2} \\
\end{array}
\right|=0
\end{equation}
であることが必要である. この式から
\begin{equation}
  \omega^{4}-k^{2}(v^{2}_{A}+a^{2})\omega^{2}+k^{4}a^{2}v^{2}_{A}\cos^{2}{\theta}=0 \label{dispersion2}
\end{equation}
を得ることができ, これが分散関係である. この分散関係で表される波を圧縮モード Alfv\'{e}n 波といい, プラズマおよび磁場の圧力と磁気張力を復元力とする. 


\subsection{位相速度}

(\ref{dispersion2})を $\omega^{2}$ の 2 次方程式とみなすと, その判別式 $D$ は,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    D&=k^{4}(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4a^{2}v^{2}_{A}k^{4}\cos^{2}{\theta} \notag \\
    &=k^{4}(v^{2}_{A}-a^{2})^{2}+4a^{2}v^{2}_{A}k^{4}\sin^{2}{\theta}>0 \tag{4.40}
  \end{align}
\end{subequations}
となり, また $k^{2}(v^{2}_{A}+a^{2})>0,\, k^{4}a^{2}v^{2}_{A}\cos^{2}{\theta}>0$ であるので, (\ref{dispersion2})は異なる二つの正の実数解を持ち, その解は,
\begin{equation}
  \omega^{2}_{f}=\frac{1}{2}k^{2}[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}]
\end{equation}
と
\begin{equation}
  \omega^{2}_{s}=\frac{1}{2}k^{2}[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}]
\end{equation}
である. そのため, 圧縮モード Alfv\'{e}n 波はさらに二つのモードに分解することができる.

位相速度の大きい方を $v_{pf}$, 小さい方を $v_{ps}$ とすると,
\begin{equation}
  v^{2}_{pf}=\left(\frac{\omega_{f}}{k}\right)^{2}=\frac{1}{2}[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}], \label{pf}
\end{equation}
\begin{equation}
  v^{2}_{ps}=\left(\frac{\omega_{s}}{k}\right)^{2}=\frac{1}{2}[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}] \label{ps}
\end{equation}
である. 位相速度 $v_{pf}$ で伝播する波を速進波 (fast mode), 位相速度 $v_{ps}$ で伝播する波を遅進波 (slow mode) という.

これらの波は $v_{A}$ と $a$ の大小関係によって位相速度が異なる. (\ref{pf})と(\ref{ps})は $\theta=0$ において,
\[
v^{2}_{pf}=\frac{1}{2}[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}-a^{2})^{2}\}^{1/2}]=\begin{cases}
  v^{2}_{A} & (v_{A}>a) \\
  a^{2}     & (v_{A}<a) 
\end{cases} \tag{4.45}
\]
\[
v^{2}_{ps}=\frac{1}{2}[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}-a^{2})^{2}\}^{1/2}]=\begin{cases}
  a^{2}     & (v_{A}>a) \\
  v^{2}_{A} & (v_{A}<a) 
\end{cases} \tag{4.46}
\]
となる. $\theta=0$ のとき, 位相速度が $v_{A}$ になるものを変形 Alfv\'{e}n 波 (modified Alfv\'{e}n wave), $a$ になるものを変形音波 (modified sound wave) という. また, $\theta=\pi/2$ のとき(\ref{pf})は
\setcounter{equation}{46}
\begin{equation}
  v^{2}_{pf}=\frac{1}{2}[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}\}^{1/2}]=v^{2}_{A}+a^{2}
\end{equation}
となる. したがって, 速進波は $\theta=\pi/2$ において, つまり磁場に垂直な方向には速度 $(v^{2}_{A}+a^{2})^{1/2}$ で伝播する. この波を磁気音波 (magnetosonic wave) という. 圧縮性流体では連続の式(\ref{kiso2_mass})より速度の微小変動について $\nabla\cdot\bm{v}_{1}\neq 0$ であるので, 変形音波と磁気音波は縦波である.


\subsection{群速度}

圧縮モード Alfv\'{e}n 波の群速度は, シアー Alfv\'{e}n 波の群速度と同様に, 定義により, 
\begin{equation}
  \frac{\partial\omega}{\partial\bm{k}}=\frac{\partial\omega}{\partial k_{x}}\bm{\mathrm{e}}_{x}+\frac{\partial\omega}{\partial k_{y}}\bm{\mathrm{e}}_{y}+\frac{\partial\omega}{\partial k_{z}}\bm{\mathrm{e}}_{z}
\end{equation}
である. ここで, $\bm{k}=(k_{x},k_{y},k_{z})=(k\sin{\theta},0,k\cos{\theta})$ である. 群速度の各成分は, $k$ と $\theta$ の各成分に分けて考えると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \frac{\partial\omega}{\partial k_{x}}&=\frac{\partial k}{\partial k_{x}}\frac{\partial\omega}{\partial k}+\frac{\partial\theta}{\partial k_{x}}\frac{\partial\omega}{\partial\theta} \notag \\ 
    &=\sin{\theta}\frac{\partial\omega}{\partial k}+\frac{\cos{\theta}}{k}\frac{\partial\omega}{\partial\theta} \\
  \frac{\partial\omega}{\partial k_{y}}&=0 \\
  \frac{\partial\omega}{\partial k_{z}}&=\frac{\partial k}{\partial k_{z}}\frac{\partial\omega}{\partial k}-\frac{\partial\theta}{\partial k_{z}}\frac{\partial\omega}{\partial\theta} \notag \\
    &=\cos{\theta}\frac{\partial\omega}{\partial k}+\frac{\sin{\theta}}{k}\frac{\partial\omega}{\partial\theta} 
  \end{align}
\end{subequations}
と表される. 速進波に対して,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \frac{\partial\omega_{f}}{\partial k}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}\right]^{1/2} \\
    \frac{\partial\omega_{f}}{\partial\theta}&=\frac{\sqrt{2}kv^{2}_{A}a^{2}}{[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}]^{1/2}}\sin{\theta}\cos{\theta}
    \end{align}
\end{subequations}
であり, 遅進波に対して,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \frac{\partial\omega_{s}}{\partial k}&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}\right]^{1/2} \\
    \frac{\partial\omega_{s}}{\partial\theta}&=-\frac{\sqrt{2}kv^{2}_{A}a^{2}}{[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}]^{1/2}}\sin{\theta}\cos{\theta}
  \end{align}
\end{subequations}
である. したがって, 速進波の群速度を $\bm{v}_{gf}$, 遅進波の群速度を $\bm{v}_{gs}$ とすると, $\bm{v}_{gf}$ の各成分は
\begin{subequations}
  \begin{align}
    (\bm{v}_{gf})_{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}&\left[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}\right]^{1/2}\sin{\theta} \notag \\
    &+\frac{\sqrt{2}v^{2}_{A}a^{2}}{[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}]^{1/2}}\sin{\theta}\cos^{2}{\theta} \\
    (\bm{v}_{gf})_{y}=0\,\,\,\,\,\,&\, \\
    (\bm{v}_{gf})_{z}=\frac{1}{\sqrt{2}}&\left[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}\right]^{1/2}\cos{\theta} \notag \\
    &-\frac{\sqrt{2}v^{2}_{A}a^{2}}{[v^{2}_{A}+a^{2}+\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}]^{1/2}}\sin^{2}{\theta}\cos{\theta} 
  \end{align}
\end{subequations}
と求められ, $\bm{v}_{gs}$ の各成分は
\begin{subequations}
  \begin{align}
    (\bm{v}_{gs})_{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}&\left[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}\right]^{1/2}\sin{\theta} \notag \\
    &-\frac{\sqrt{2}v^{2}_{A}a^{2}}{[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}]^{1/2}}\sin{\theta}\cos^{2}{\theta} \\
    (\bm{v}_{gs})_{y}=0\,\,\,\,\,\,&\, \\
    (\bm{v}_{gs})_{z}=\frac{1}{\sqrt{2}}&\left[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}\right]^{1/2}\cos{\theta} \notag \\
    &+\frac{\sqrt{2}v^{2}_{A}a^{2}}{[v^{2}_{A}+a^{2}-\{(v^{2}_{A}+a^{2})^{2}-4v^{2}_{A}a^{2}\cos^{2}{\theta}\}^{1/2}]^{1/2}}\sin^{2}{\theta}\cos{\theta} 
  \end{align}
\end{subequations}
と求められる.



\section{位相速度および群速度に関する考察}

\subsection{位相速度}

これまで求めてきた式からわかるように, シアー Alfv\'{e}n 波と圧縮モード Alfv\'{e}n 波の位相速度はともに $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ のなす角 $\theta$ に依存する. つまり, 磁場に対して波が伝播する方向によって位相速度は変化する. その様子を図 \ref{PV1} から図 \ref{V2} に示す.

図 \ref{PV1}, \ref{PV3}, \ref{PV2} では, 横軸を $\theta$, 縦軸を各モードの位相速度としている. $\bm{B}_{0}$ と $\bm{k}$ が平行であるところから垂直であるところに向かって, $v_{pf}$ は増加し $v_{p}$ と $v_{ps}$ は減少していることがわかる. 図 \ref{V1}, \ref{V3}, \ref{V2} では, 横軸を位相速度の $x$ 成分, 縦軸を位相速度の $z$ 成分としており, また $\bm{B}_{0}$ の方向を縦軸にとっている. 動径の絶対長さは特定の角度における位相速度の値である. これらの図は原点に点源があるときの瞬間的な波面の形と考えることができる. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{PV1.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{A}>a$ の場合の $v_{p}, v_{pf}, v_{ps}$. ここで $v_{A}=\sqrt{2}a$ とした. 
  }} \label{PV1}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{PV3.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{A}=a$ の場合の $v_{p}, v_{pf}, v_{ps}$. 
  }} \label{PV3}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{PV2.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{A}<a$ の場合の $v_{p}, v_{pf}, v_{ps}$. ここで $a=\sqrt{2}v_{A}$ とした.
  }} \label{PV2}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{V1.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{A}>a$ の場合の $v_{p}, v_{pf}, v_{ps}$. ここで $v_{A}=\sqrt{2}a$ とした. 
  }} \label{V1}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{V3.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{A}=a$ の場合の $v_{p}, v_{pf}, v_{ps}$.
  }} \label{V3}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{V2.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{A}<a$ の場合の $v_{p}, v_{pf}, v_{ps}$. ここで $a=\sqrt{2}v_{A}$ とした. 
  }} \label{V2}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


図 \ref{PV1} $\sim$ 図 \ref{V2} より, $\theta=\pi/2$, つまり波の伝播方向が磁場に対して垂直であるとき, シアー Alfv\'{e}n 波と遅進波はともに位相速度がゼロでありその方向には伝播しないことがわかる. 一方, そのとき速進波は磁気音波として最大の位相速度 $(v^{2}_{A}+a^{2})$ で伝播する. また, $\theta=0$, つまり波の伝播方向が磁場に平行であるとき, $v_{A}>a$ ならば シアー Alfv\'{e}n 波と速進波は等しい位相速度で伝播し, $v_{A}<a$ ならばシアー Alfv\'{e}n 波と遅進波が等しい位相速度で伝播することがわかる. 


\newpage
\subsection{群速度}

シアー Alfv\'{e}n 波と圧縮モード Alfv\'{e}n 波の群速度も, 位相速度と同様に $\theta$ によって変化する. その様子を図 \ref{GV1} $\sim$ 図 \ref{GV2} に示す. それらの図において横軸を群速度の $x$ 成分, 縦軸を群速度の $z$ 成分としており, また $\bm{B}_{0}$ の方向を縦軸にとっている. 図中の $v_{T}$ は Tube velocity と呼ばれ,
\begin{equation}
  v_{T}=\frac{v_{A}a}{\sqrt{v^{2}_{A}+a^{2}}}
\end{equation}
である.

これらの図より, 速進波は磁場に垂直な方向に最大の速さでエネルギーを輸送することがわかる. また, 遅進波は磁場に沿ってエネルギーを輸送するとき, 円錐形の方向に輸送することがわかる.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{GV1.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{A}>a$ の場合の $v_{g}, v_{gf}, v_{gs}$. ここで $v_{A}=\sqrt{2}a$ とした.
  }} \label{GV1}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{GV3.png}
  \caption{\footnotesize{
       $v_{A}=a$ の場合の $v_{g}, v_{gf}, v_{gs}$. 
  }} \label{GV3}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}[htpb]
  \centering
  \includegraphics[width=12cm]{GV2.png}
  \caption{\footnotesize{
      $v_{A}<a$ の場合の $v_{g}, v_{gf}, v_{gs}$. ここで $a=\sqrt{2}v_{A}$ とした.
  }} \label{GV2}
\end{figure}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{figure}[htpb]
%  \centering
%  \includegraphics[width=12cm]{fig6-1.png}
%  \caption{\footnotesize{

%  }} 
%\end{figure}

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%\newpage
%\appendix
%\section*{付録 A }
%\markright{付録 A}
%\def\thepage{443-\arabic{page}}
%\def\theequation{\arabic{equation}}
%\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}

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% ここで本文おしまい
\end{document}

