
%% % 卒業論文 
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\chapter{支配方程式系と物理的近似}
\markright{第\arabic{chapter}章 支配方程式系と物理的近似} %  節の題名を書き込むこと
% ここから本文を書く
%%%
%%%
\section{支配方程式系}
%%%
海洋力学を支配する方程式は, 連続の式(2.0a), 運動方程式(2.0b), 塩分保存の式(2.0c), 温位の式(2.0d), 状態方程式(2.0e), ポアソン方程式(2.0f), 誘導方程式(2.0g), そして磁気単極子が存在しない条件(2.0h)である (Ingersoll 2005). ここでは, 非弾性近似 (運動方程式から音波を除去する近似) を用いて密度の関数を簡略化し, 線形状態方程式を仮定している. 
\begin{gather}
    \nabla \cdot (\rho_0 \mathbf{u}) = 0, \tag{2.0a} \\
    \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D} t} + 2 \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho_0} \nabla p' + \frac{\rho'}{\rho_0} \mathbf{g} - \nabla \phi' + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \frac{1}{\mu_0 \rho_0} (\nabla \times \mathbf{B}) \times \mathbf{B} - \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\Omega}}{\mathrm{d} t} \times \mathbf{r}, \tag{2.0b} \\
    \frac{\mathrm{D} S'}{\mathrm{D} t} = Q_1, \tag{2.0c} \\
    \frac{\mathrm{D} \theta'}{\mathrm{D} t} = \frac{\theta_0}{T_0} \frac{Q_2}{c_p}, \tag{2.0d} \\
    \rho' = \rho_0 \left( -\alpha \theta' + \beta S' + \frac{1}{\rho_0 c_s^2} p' \right), \tag{2.0e} \\
    \nabla^2 \phi' = 4 \pi \mathcal{G} \rho', \tag{2.0f} \\
    \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{u} \times \mathbf{B}) - \nabla \times \left( \frac{1}{\mu_0 \sigma} \nabla \times \mathbf{B} \right), \tag{2.0g} \\
    \nabla \cdot \mathbf{B} = 0. \tag{2.0h}
\end{gather}
密度 $\rho$, 圧力 $p$, 重力ポテンシャル $\phi$, 塩分 $S$, 温位 $\theta$ は, 既知の基準場 (断熱的・静水圧的, 添字0で表す) と摂動 (プライムで表す) に分けて記述している. $\mathbf{u}$ は流体の速度場, $\mathbf{g}$ は重力加速度, $\boldsymbol{\Omega}$ は衛星の自転角速度ベクトル, $\mathbf{B}$ は磁束密度ベクトル, $\dfrac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}$ は物質微分, $\mathbf{r}$ は位置ベクトル, $\nu$ は動粘性係数である. また, $\mu_0$ は真空の透磁率, $\sigma$ は電気伝導率, $c_p$ は定圧比熱, $\mathcal{G}$ は万有引力定数, $c_s$ は音速, $\alpha$ は熱膨張係数, $\beta$ は塩分収縮係数, $T_0$ は基準温度を表す. また, $Q_1$ および $Q_2$ はそれぞれ塩分と熱の出入りを表す. 

また, 式 (2.0b) において, $\phi'=0$, $\mathbf{B}=0$, $\dfrac{d \mathbf\Omega}{dt} =0 $, $S=0$, ブシネスク近似 (浮力以外の項では, 密度一定と近似) を適用すると, 連続の式と運動方程式は, 以下のように変形される. 
\begin{equation}
  \nabla\cdot(\rho_{0}\mathbf{u})=0
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\mathrm{D} \mathbf{u}}{\mathrm{D}\mathrm{t}} + 2\mathbf{\Omega}\times\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho_{0}}\nabla {p}'+ \frac{\rho'}{\rho_0}\mathbf{g} + \nu\nabla^2\mathbf{u}
  \label{eq:2.2}
\end{equation}
%%%
%%%
%%%
\section{座標系の導入}
%
%
座標系を導入し, 運動方程式の変形を行う. 
図\ref{omega:png}のようにデカルト座標系を考える. $(x, y, z)$ 軸をそれぞれ東, 北, 鉛直上向きを正として, 回転角速度を $\mathbf{\Omega}$, 緯度を $\phi$ とする. このとき, 緯度 $\phi$ を中心とした局所接平面のデカルト座標系では, 衛星の回転ベクトル $\boldsymbol{\Omega}$ は次のように表記される. 
\begin{equation}
  \mathbf\Omega = \Omega
  \begin{pmatrix}
    0 \\ \cos \phi\\ \sin \phi
  \end{pmatrix}
  \label{eq:2.9}
\end{equation}
%%%%

\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{figs/Omega.png}
    \caption{衛星の自転ベクトル $\mathbf{\Omega}$ を, 緯度 $\phi$ におけるデカルト座標系の成分に分解した図. }
    \label{omega:png}
  \end{center}
\end{figure}

%%%
また, 速度 $\mathbf{u}=
\begin{pmatrix}
  u\\v\\w
\end{pmatrix}$
との外積を計算すると, 
\begin{equation}
  \mathbf{\Omega} \times \mathbf{u}=\Omega
  \begin{pmatrix}
    w\cos\phi-v\sin\phi \\ u\sin\phi \\ -u\cos\phi
  \end{pmatrix}
  \label{eq:2.10}
\end{equation}

式 (\ref{eq:2.2}) に式 (\ref{eq:2.10}) を代入して各成分ごとに書き下す. $\mathbf{g}=(0, 0, -g)$ であることに注意して, $b=-\dfrac{\rho'}{\rho_0}g$ とおくと, 
\begin{subequations}
  \label{eq:2.12} 
  \begin{align}
    \frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{Dt}} + \tilde{f}w - f v &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial {p'}}{\partial x} + F^x \label{eq:2.12a} \\
    \frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{Dt}} + f u              &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial y} + F^y \label{eq:2.12b} \\
    \frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{Dt}} - \tilde{f}u   &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial z} + F^z + b \label{eq:2.12c}
  \end{align}
\end{subequations}
となる. なお, 
\begin{equation}
  (F^x, F^y, F^z) = \nu\nabla^2\mathbf{u}
\end{equation}
であり, 粘性項である. 
動粘性係数 $\nu$ の物理的意味は, 流体の隣り合った部分が異なる速度を持つとき, この速度差をなくすように接線応力が現れる性質である.
また, $f=2\Omega\sin\phi$, $\tilde{f}=2\Omega\cos\phi$ であり, 特に$f$ は\textbf{コリオリパラメータ}と呼ばれる. 
%%
%%
\section{伝統的近似}
%%
%%
\textbf{伝統的近似}は, 運動方程式の水平成分では鉛直流速 $w$ がかかった項, 鉛直成分ではコリオリ項をそれぞれ無視する近似である. 伝統的近似は, 地球流体力学でよく使われる近似である. 
 伝統的近似の適用条件は, 現象の水平スケール $L$ が, 現象の鉛直スケール $H$ よりも十分に大きい ($H \ll L$) 場合である. 

地球大気を例にあげ, 運動方程式における各項の大小関係 (スケール解析) を考える. 地球大気 (中緯度) における総観規模のスケールを下表 2.1 に示す. 

\begin{table}[h]
\centering
\caption{地球大気における代表的なスケール (中緯度)}
\begin{tabular}{lll}
\toprule
変数 & 記号 & 値 (オーダー)  \\
\midrule
水平スケール & $L \, [\mathrm{m}]$ & $10^{6}$ \\
鉛直スケール & $H \, [\mathrm{m}]$ & $10^{4}$ \\
水平風速 & $U \, [\mathrm{m/s}]$ & $10$ \\
鉛直速度 & $W \, [\mathrm{m/s}]$ & $10^{-2}$ \\
時間スケール & $T \, [\mathrm{s}]$ & $10^{5}$ \\
コリオリパラメータ & $f, \tilde{f} \, [\mathrm{s^{-1}}]$ & $10^{-4}$ \\
気圧変動 & $p' \, [\mathrm{kg \, m^{-1} \, s^{-2}}]$ & $10^{3}$ \\
密度変動 & $\rho' \, [\mathrm{kg \, m^{-3}}]$ & $10^{-2}$ \\
基準密度 & $\rho_0 \, [\mathrm{kg \, m^{-3}}]$ & $1$ \\
重力加速度 & $g \, [\mathrm{m/s^2}]$ & $10$ \\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}

運動方程式をこれらの値でスケール解析し, 各項の大きさを比較すると, 以下のようになる. 

\begin{subequations}
\begin{align}
    &\underbrace{\frac{Du}{Dt}}_{10^{-4}} + \underbrace{\tilde{f}w}_{10^{-6}} - \underbrace{fv}_{10^{-3}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial x}}_{10^{-3}} + F^x \label{eq:2.14a}
    \\
    &\underbrace{\frac{Dv}{Dt}}_{10^{-4}} + \underbrace{fu}_{10^{-3}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial y}}_{10^{-3}} + F^y \\
    &\underbrace{\frac{Dw}{Dt}}_{10^{-7}} - \underbrace{\tilde{f}u}_{10^{-3}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z}}_{10^{-1}} + F^z - \underbrace{\frac{\rho'}{\rho_0}g}_{10^{-1}}
    \label{eq:2.14c}
\end{align}
\end{subequations}

(2.7) 式においては, 右辺の圧力傾度力の項や浮力項に比べ $\tilde{f}u$ が十分小さく, その大小関係はほとんどの $\phi$ で成り立つ. 伝統的近似を適用する場合に無視される, 式(2.7a) の左辺第 2 項と式 (2.7c) の左辺第 2 項は, 合わせて\textbf{非伝統的コリオリ項(non-traditional coriolis terms)} と呼ばれる. 

次に本研究の対象である氷衛星の内部海において, 運動方程式の各項の重要性を評価するためにスケール解析を行う. 本研究では, 最も簡潔な階層構造 (内側からケイ酸塩コア, 内部海, 氷層) を持つと考えられる, エンセラダスを想定する. 地球大気 (中緯度) とエンセラダス内部海におけるスケールを比較したものを下表に示す. 
\clearpage
\begin{table}[h]
\centering
\caption{代表的なスケールの比較 (中緯度)}
\begin{tabular}{llll}
\toprule
変数 & 記号 & 地球大気 & エンセラダスの内部海 \\
\midrule
水平スケール & $L \, [\mathrm{m}]$ & $10^{6}$ & $10^{5}$ \\
鉛直スケール & $H \, [\mathrm{m}]$ & $10^{4}$ & $10^{4}{}^{\star}$ \\
水平風速・流速 & $U \, [\mathrm{m/s}]$ & $10$ & $10^{-2}{}^{\star}$ \\
鉛直速度 & $W \, [\mathrm{m/s}]$ & $10^{-1}$ & $10^{-2}{}^{\star}$ \\
時間スケール & $T = L/U \, [\mathrm{s}]$ & $10^{5}$ & $10^{7}{}^{\dagger}$ \\
コリオリパラメータ & $f, \tilde{f} \, [\mathrm{s^{-1}}]$ & $10^{-4}$ & $10^{-4}$ \\
気圧・圧力変動 & $p' \, [\mathrm{kg \, m^{-1} \, s^{-2}}]$ & $10^{3}$ & $10^{2}{}^{\dagger}$ \\
密度変動 & $\rho' \, [\mathrm{kg \, m^{-3}}]$ & $10^{-2}$ & $10^{-3}{}^{\dagger}$ \\
基準密度 & $\rho_0 \, [\mathrm{kg \, m^{-3}}]$ & $1$ & $10^{3}{}^{\dagger}$ \\
重力加速度 & $g \, [\mathrm{m/s^2}]$ & $10$ & $10^{-1}$ \\
\bottomrule
\multicolumn{4}{l}{\footnotesize 無印：観測値,  $\star$：先行研究の理論値,  $\dagger$：理論値から計算値 (導出は付録参照)}
\end{tabular}
\end{table}

上記の氷衛星におけるスケールを用いて運動方程式を評価すると, 各項のオーダーは以下の通りとなる. なお, 粘性項は他の項に比べてスケールが小さいため, 無視している. 

\begin{subequations}
\begin{align}
    &\underbrace{\frac{Du}{Dt}}_{10^{-9}} + \underbrace{\tilde{f}w}_{10^{-6}} - \underbrace{fv}_{10^{-6}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial x}}_{10^{-6}} + F^x 
    \label{eq:2.15a}
    \\
    &\underbrace{\frac{Dv}{Dt}}_{10^{-9}} + \underbrace{fu}_{10^{-6}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial y}}_{10^{-6}} + F^y \\
    &\underbrace{\frac{Dw}{Dt}}_{10^{-10}} - \underbrace{\tilde{f}u}_{10^{-6}} = \underbrace{-\frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial z}}_{10^{-5}} + F^z - \underbrace{\frac{\rho'}{\rho_0}g}_{10^{-7}}
\end{align}
\end{subequations}

注目すべきは, 式 (2.8c) において $\tilde{f}u$ ($10^{-6}$) の項が浮力項 (右辺第 3 項) よりも大きいことである. 特に, コリオリ力が浮力よりも大きい場合, 左辺のコリオリ力が右辺の圧力傾度力とつり合う. 
よって本研究では, 伝統的近似を適用せず, 非伝統的コリオリ項を保持した方程式で計算する.
%%
%%
\section{$\beta$ 平面近似}
$\beta$ 平面近似とは, コリオリパラメータ $f$ が緯度によって変化することを, 局所的な平面上で一次関数として近似する方法である. 
%%
%%
$\bm{f}=2\mathbf{\Omega}$と定義すると, 式 (\ref{eq:2.9}) と $f$, $\tilde{f}$ の関係式は, 
\begin{equation}
  \bm{f} =
  2\mathbf{\Omega}=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ 2\Omega \cos \phi \\ 2\Omega \sin \phi
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0 \\ \tilde{f} \\ f 
  \end{pmatrix} 
\end{equation}
と表される. 
ここで, ある緯度 $\phi_0$ から $\Delta\phi$ だけ離れた近傍を考える. 図 \ref{omega:png} のように緯度 $\phi$ における接平面で直線直交座標系を定めると, 
\begin{align}
  \phi &= \phi_0 + \Delta \phi \notag \\
       &\simeq \phi_0 + \frac{y}{R} 
\end{align}
なので, 
\begin{align}
  \sin \phi &\simeq \sin \Bigl( \phi_0 + \frac{y}{R} \Bigr) \notag \\
  \cos \phi &\simeq \cos \Bigl( \phi_0 + \frac{y}{R} \Bigr) \notag 
\end{align}
と表される. 
$1$ 次のテイラー展開を行うと, 
\begin{align}
  \sin \Bigl( \phi_0 + \frac{y}{R} \Bigr) \simeq \sin \phi_0 + \cos\phi_0 \cdot \frac{y}{R} \notag \\
  \cos \Bigl( \phi_0 + \frac{y}{R} \Bigr) \simeq \cos \phi_0 - \sin\phi_0 \cdot \frac{y}{R} \notag
\end{align}
である. よって, 式 (2.9) は, 
\begin{align}
  \bm{f}=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ \tilde{f} \\ f 
  \end{pmatrix}
  \simeq
  \begin{pmatrix}
  0 \\[8pt]
  2\Omega \cos \phi_0 - 2\dfrac{y}{R} \Omega \sin \phi_0 \\[10pt]    
  2\Omega \sin \phi_0 + 2\dfrac{y}{R} \Omega \cos \phi_0 
  \end{pmatrix}
  \label{eq:2.16}
\end{align}
と書き直すことが出来る. 
ここで, $f_0=2\Omega \sin \phi_0$, $\tilde{f_0}=2\Omega \cos \phi_0$, $\beta = \dfrac{2\Omega \cos \phi_0}{R}$, $\gamma' = \dfrac{2\Omega \sin \phi_0}{R}$ とおくと, 
\begin{align}
  \bm{f}=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ \tilde{f_0} - \gamma' y  \\ f_0 + \beta y
  \end{pmatrix}
  \label{eq:2.17}
\end{align}
と変形される. 
式の形を見ると, 接平面上におけるコリオリパラメータ $\bm{f}$ に緯度依存性が追加されていることが分かる. 
%%
%%
なお伝統的近似を適用して $\beta$ 平面近似を行う場合は, 式 (2.8) が近似され, $\tilde{f}$ の項が消えてしまうため, 自転の角速度ベクトルの水平成分を無視することになる. すなわち, $\tilde{f_0}-\gamma'y$ の項を $0$ に置き換えた形で, 
\begin{equation}
  \bm{f}=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ 0 \\ f_0 + \beta y
  \end{pmatrix}
  \label{eq:2.18}
\end{equation}
である. 

\section{テイラー柱}

式 (2.2) において, コリオリ力と圧力傾度力が釣り合っている場合を考える. 
\begin{equation}
    2\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho_0} \nabla p
\end{equation}
に対して, 両辺の回転 ($\nabla \times$) を取ると, 
\begin{equation}
    \nabla \times (2\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{u}) = \nabla \times \left( -\frac{1}{\rho_0} \nabla p \right)
\end{equation}
となる. スカラー場 $\phi$ に関して $\nabla \times \nabla \phi = 0$ が成り立つため, 右辺は $0$ となる. 

ここで, 以下のベクトル公式
\begin{equation*}
    \nabla \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} - (\mathbf{A} \cdot \nabla)\mathbf{B}
\end{equation*}
を用い, 非圧縮の条件 ($\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$) および自転角速度ベクトル $\boldsymbol{\Omega}$ が場所に依らない定数であることを考慮すると, 次式が導かれる. 
\begin{equation}
    \left(2\boldsymbol{\Omega} \cdot \nabla\right) \mathbf{u} = \mathbf{0}
    \label{eq:taylor}
\end{equation}
回転軸に平行なz軸をおくと, $\mathbf{\Omega}=\left(0,0,\Omega\right)$ と表されるため, 
\begin{equation}
    \Omega\dfrac{\partial \mathbf{u}}{\partial z} = \mathbf{0}
\end{equation}
と変形できる. 
これは, 速度の各成分について回転軸方向の微分が $0$ になることを意味し, 自転角速度ベクトル $\Omega$ と速度勾配が必ず垂直であることを示す. つまり, 運動が $\boldsymbol{\Omega}$ 方向に一様である. 
特に高速回転する球殻流体においては, この定理に従って回転軸に平行な円筒状の流体構造である\textbf{テイラー柱} (Taylor column) が形成される. 本研究では自転する氷衛星を考え, 内部海においてテイラー柱の出現を確認する. 

\begin{figure}[hbtp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=8cm]{figs/taylor.png}
    \caption{高速回転する球殻流体におけるテイラー柱の様子. Busse(1970) より引用. }
    \label{taylor:png}
  \end{center}
\end{figure}
%%%　なぜ地球ではβ平面近似の話と, 今回β平面近似しない理由と, Dellar(2011)での補正項の話
%%
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%%%
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% ここで本文おしまい
%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
