
%% % 卒業論文 
%% % タイトル「未定」
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%% % 20XX/XX/XX 修正
%% % 20XX/XX/XX 作成
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%% \Dauthor{惑星太郎}        % ゼミ担当者の名前
%% \Ddate{2019/01/08}        % ゼミの日時 (毎回変更すること)
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%% \begin{document}
\setcounter{chapter}{2}
\chapter{モデルの構築と方程式}
\markright{第\arabic{chapter}章 モデルの構築と方程式} %  節の題名を書き込むこと
\section{モデルの説明}
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氷衛星を, 以下の図 \ref{model:png} のようなモデルで表現する.
(a) は, 氷衛星の断面を表している. 
灰色の領域は半径 $R$ のケイ酸塩コアを表し, 青色で示された深さ $H$ の液体海洋に包まれている. 
氷殻は外部の白色領域であり, 図示されていない. 
放射状に外側を指す赤い矢印は, 海洋底での加熱による強制浮力フラックス $B$ を表す. 
上境界は氷殻と接しているため, 温度は 0${}^\circ$C に設定している.
平衡状態では, 底面から発生する熱流は上面を通じて失われる. 
システム全体の回転軸は $\bf{\Omega}$ に沿う. 
ここで $R$, $H$ はそれぞれ内半径と外半径である. $2$ 本の黄色点線は接円筒を示す.
この接円筒は, 半径 $R$ の球の外側に接する円筒である. 
(b) は, 北極から南極までの球殻の断面において, 内部海を平面と仮定した直線直交座標系である (図 3.1).  
極は, 物質の出入りが無い壁とし, 東西方向の流れは周期的である. 
示されているように, 球殻の接円筒は, 直線直交座標系において放物線状の面となる. 
\begin{figure}[hbtp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=15cm]{figs/baumu.png}
    \caption{球殻ジオメトリからデカルト座標系への近似. 黄・赤・白の線は, 自転軸に平行な線}
    \label{baumu:png}
  \end{center}
\end{figure}
\begin{figure}[hbtp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=15cm]{figs/model.png}
    \caption{(a) 氷衛星の断面のモデル. $R$ はケイ酸塩コアの半径, $H$ は内部海の深さである. 赤い矢印は浮力フラックス, 黄色い破線は接円筒. 
             (b) 極と極をつなぐ 深部 $\beta$ 平面モデル. 左側の x-y 面から加熱される. 右側の x-y 面は $T=0$ である. 図は (Bire et al., 2022) より引用. 
             }
    \label{model:png}
  \end{center}
\end{figure}
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\section{実験で使用する数値モデル}
本研究では, 海洋シミュレーション用に開発されたオープンソースソフトウェアである Oceananigans.jl (Ramadhan et al., 2020, 2021) を使用する. 
このソフトウェアは, マサチューセッツ工科大学 (MIT) を中心とした Climate Modeling Alliance (CliMA) によって, 従来の Fortran ベースのモデルが抱える計算コストや実装の複雑さを解消し, 現代的な計算環境へ適応させることを目的として開発された. 
Oceananigans.jl は, Julia プログラミング言語で書かれており, CPU・GPU 両方での計算が可能である. 
鉛直対流や小規模な乱流を扱うための非静力学モデル (NonhydrostaticModel) と, 全球・広域スケールの計算に適した静力学面自由モデル (HydrostaticFreeSurfaceModel) の両方をサポートしている. 本研究の氷衛星内部海のような, 鉛直運動が重要な系では非静力学モードを選択できる点が大きな利点である. 

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\section{本研究で用いる方程式}
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% 使用している方程式
本研究で用いる方程式は, 以下のとおりである. 
非圧縮流体を考えるため, 式 (2.1) において $\rho_0$ が定数であると仮定して,  
\begin{equation}
  \nabla\cdot\mathbf{u} = 0
\end{equation}
を用いる. 
また, 運動方程式として, 既出の
\begin{subequations}
    \begin{align}
    \frac{\mathrm{D}u}{\mathrm{Dt}} + \tilde{f}w - f v &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial x} + F^x \tag{\ref{eq:2.12a}} \\
    \frac{\mathrm{D}v}{\mathrm{Dt}} + f u              &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial y} + F^y \tag{\ref{eq:2.12b}} \\
    \frac{\mathrm{D}w}{\mathrm{Dt}} - \tilde{f}u   &= -\frac{1}{\rho_0} \frac{\partial p'}{\partial z} + F^z + b \tag{\ref{eq:2.12c}}
  \end{align}
\end{subequations}
を用いる. 浮力項 $b$ を表す方程式は, 
\begin{equation}
  b = \alpha g (T-T_0)
\end{equation}
としている. これは線形の状態方程式から導かれ, $\alpha$ は熱膨張係数である. $T_0$ は参照温度であり, 浮力が $0$ になる温度である.

\noindent
コリオリパラメータ $f$, $\tilde{f}$ は, Oceananigans.jl に備え付けられた関数を, を基準緯度 $\phi_0=0^{\circ}$ として使用する. 
\begin{equation}
    \bm{f}=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ \tilde{f} \\ f
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0 \\[8pt]
    2\Omega \left( 1 - \dfrac{z}{R}\right) \\[10pt]    
    2\Omega \dfrac{y}{R} 
  \end{pmatrix}
  \label{eq:coriolis}
\end{equation}
式(\ref{eq:2.16})の非伝統的 $\beta$ 平面近似において基準緯度 $\phi_0=0^{\circ}$ とした場合と比較すると, $z$ 依存性が追加されている. これは, デカルト座標系において曲率項 (メトリック項) を無視しつつ, エネルギーおよび角運動量の保存則を満たすために必要な幾何学的補正である (Dellar, 2011). 
この式は, 基準緯度 $\phi_0$ (本研究では赤道) 近傍においてのみ成り立つ式である.  

温度場の時間変化の式は, 
\begin{equation}
  \frac{\mathrm{D}T}{\mathrm{D}t} = \kappa \nabla^2 T - \delta_\mathrm{top} \frac{T-T_0}{\tau} + \frac{\delta_{\mathrm{bottom}}}{\Delta z}  \frac{Q}{\rho_{\mathrm{ref}} C_p}
  \label{eq:temp}
\end{equation}
としている. 
右辺第 1 項は熱拡散, 右辺第 2 項は冷却, 右辺第 3 項は加熱を示す. ここで, $\kappa$ は熱拡散係数, $T_0$ は参照温度, $\Delta z$ は鉛直格子間隔, $\tau$ は緩和時間, $Q$ は加熱量, $\rho_{ref}$ は参照密度, $C_p$ は比熱容量である. 
また, $\delta_\mathrm{bottom}, \delta_\mathrm{top}$ に関して, 
\[
\begin{aligned}
\delta_{\mathrm{top}} &= 
\begin{cases} 1 & (z = 0\,[\mathrm{km}]) \\ 0 & (z \neq 0\,[\mathrm{km}]) \end{cases} \\
\delta_{\mathrm{bottom}} &= 
\begin{cases} 1 & (z = -60\,[\mathrm{km}]) \\ 0 & (z \neq -60\,[\mathrm{km}]) \end{cases}
\end{aligned}
\]
である. この項を用いることにより, 加熱は底面のみ, 冷却は上面のみではたらく. 
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\section{実験設定}
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本研究で行う全ての実験において, 境界条件は, 東西方向は周期的, 南北・底面は滑りなしの壁, 天井面は自由滑りの壁とする. 
数値計算では, 5次の WENO スキーム\footnote{Weighted Essentially Non-Oscillatory の略. }, $3$ 次のルンゲクッタ法を用いて計算した.
WENO スキームは空間を離散化するスキーム, ルンゲクッタ法は時間積分を滑らかに行うためのスキームである. 
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%\end{document}
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
