
%% % 卒業論文 
%% % タイトル「未定」      
%% %
%% % 20XX/XX/XX 修正
%% % 20XX/XX/XX 作成
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%% \Dauthor{惑星太郎}        % ゼミ担当者の名前
%% \Ddate{2019/02/08}        % ゼミの日時 (毎回変更すること)
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%% \begin{document}
\chapter{テイラー柱の計算 (実験 $1$)}    % 章の始めからの場合はこのコマンドを使用する

%\section{エクマン層}      % 節の始めからの場合はこのコマンドを使用する
\markright{第\arabic{chapter}章 テイラー柱の計算} %  節の題名を書き込むこと
%%%
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%%%
\section{実験 1 の設定} 
% 初期条件
% どんな座標
実験 $1$ では, Bire et al.~(2022) を参考として実験を行う. 特に, Bire et al.~(2022) 内の 〇 の条件を模倣する. これは, 氷衛星であるエンセラダスの値を用いた実験である. $0 \le x \le 50$ [km], $-395 \le y \le 395$ [km], $-60 \le z \le 0$ [km] の領域を対象とした計算を行う. 
初期温度は, 平均温度 $T=0$, 速度 $\mathrm{u}=0$ として, 温度場に一定の擾乱を与えた. 
与える定数値は, 
自転速度 $\Omega = 5.3 \times 10^{-5}$ [$\mathrm{s^{-1}}$], 
衛星半径 $R = 251 \times 10^3$ [m], 
重力加速度 $g=0.1$ [$\mathrm{m/s^2}$], 
$z=-60$ [km] の面からの加熱 $Q = 10$ [$\mathrm{W/m^2}$]
であり, これらは全て Bire et al.~(2022) と同じ値である. 
なお, Bire et al.~(2022) では, $\Delta x = \Delta y = \Delta z=0.3 $ [km] で行っているが, 本研究では計算資源不足のため, $\Delta x = \Delta y = \Delta z=2 $ [km] と解像度を粗くして計算を行っている. 
またそれに伴い, 式 (2.5) の式にスケール解析を行い, 格子スケールの現象の緩和時間を一致させるために動粘性係数を $\nu = 0.89\,[\mathrm{m^2/s}]$ にしている.\footnote{動粘性係数を $0.89\,[\mathrm{m^2/s}]$ にした手順は, 付録を参照のこと. } 

\begin{table}[htbp]
  \centering
  \caption{実験 1 の計算設定と先行研究 (Bire et al.~, 2022) との比較}
  \label{tab:exp1_parameters}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.2}
  \begin{tabular}{lccc} \toprule
    項目 & パラメータ & 本研究 (実験 1) & Bire et al. (2022) \\ \midrule
    \multicolumn{4}{l}{\textbf{共通の設定}} \\
    \quad 計算領域 ($x$) & $L_x$ & \multicolumn{2}{c}{$0 \sim 50$ km} \\
    \quad 計算領域 ($y$) & $L_y$ & \multicolumn{2}{c}{$-395 \sim 395$ km} \\
    \quad 計算領域 ($z$) & $L_z$ & \multicolumn{2}{c}{$-60 \sim 0$ km} \\
    \quad 自転角速度 & $\Omega$ & \multicolumn{2}{c}{$5.3 \times 10^{-5}$ s$^{-1}$} \\
    \quad 衛星半径 & $R$ & \multicolumn{2}{c}{$251$ km} \\
    \quad 重力加速度 & $g$ & \multicolumn{2}{c}{$0.1$ m/s$^{2}$} \\
    \quad 底面加熱 & $Q$ & \multicolumn{2}{c}{$10$ W/m$^{2}$} \\
    \quad 初期温度 & $T|_{t=0}$ & \multicolumn{2}{c}{$0$ ($\text{微小な摂動を与える}$)} \\
    \quad 初期流速 & $\mathbf{u}|_{t=0}$ & \multicolumn{2}{c}{$\mathbf{0}$} \\
    \quad 塩分濃度 & $S$ & \multicolumn{2}{c}{$0\,\mathrm{g/m^3}$} \\
    \quad 熱膨張係数 & $\alpha$ & \multicolumn{2}{c}{$1.67 \times 10^{-4}\,\mathrm{K^{-1}}$} \\
    \quad 海水密度 & $\rho$ & \multicolumn{2}{c}{$1024\,\mathrm{kg/m^3}$} \\
    \quad 海水の比熱容量 & $C_p$ & \multicolumn{2}{c}{$4000\,\mathrm{J/(kg \cdot K)}$} \\
    \midrule
    \multicolumn{4}{l}{\textbf{変更した設定}} \\ 
    \quad 格子間隔 & $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ & $2\,\mathrm{km}$ & $0.3\,\mathrm{km}$ \\
    \quad 動粘性係数 & $\nu$ & $0.89\,\mathrm{m^2/s}$ & $0.02\,\mathrm{m^2/s}$ \\
    \quad 時間刻み & $\Delta t$ & $100\,\mathrm{s}$ & (記載なし) \\
    \quad CFL数 & $\text{CFL}$ & $0.2$ & (記載なし) \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}
\clearpage
\section{計算の結果}
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表 \ref{tab:exp1_parameters} の設定をもとに計算を行った結果が, 以下である. 
はじめに東西風について, 図 4.1 の右の結果が得られた. 
$y=0$ を軸とする放射線状の縞模様が確認でき, 先行研究の東西風パターンを定性的に再現している. 一方, 先行研究と比べて東西風の速度の絶対値が小さく, 中緯度帯・高緯度帯での模様は不明瞭である. 
%
\begin{figure}[hbtp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=15cm]{figs/3-1.png}
    \label{fig:4-1}
  \caption{内部海における $x=25$ km 子午面断面での, 東西向きの速度分布. 東向きの風を正, 西向きの風を負の値で表現している. 黄色の線は, ケイ酸塩コアに接する接線円筒であり, 回転軸と平行である. 両図では, カラーバーの示す値が異なることに注意. 左図は, Bire et al. (2022) より引用. }
  \end{center}
\end{figure}
\clearpage
次に, 計算した値をそのまま用いて球殻領域へマッピングしたところ, 以下の図のようになった.これを見ると, 極付近でのテイラー柱が自転角速度ベクトルの向き (図における黄色線の向き) から傾いている. 

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\begin{figure}[hbtp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=15cm]{figs/3-2.png}
    \label{fig:4-2}
  \caption{直交座標系で計算した東西風 $u$ の分布を, 球殻領域にマッピングした図. 両図では, カラーバーの示す値が異なることに注意. 左図は, Bire et al. (2022) より引用. }
  \end{center}
\end{figure}
%
\clearpage
また, 温度分布は以下の図 4.3 の通りとなった. 温度分布を色付けすると, 低緯度において $y=0$ を軸とした放射状の縞模様となることを再現している. しかし先行研究に比べると, 領域内の温度差が小さく, z 軸方向の温度勾配が小さい. 
%
\begin{figure}[hbtp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=15cm]{figs/3-3.png}
    \label{fig:4-3}
  \caption{$x=25$ kmでの断面における温度分布. 相対的に高温の領域を赤, 低温の領域を青で表現している. 両図では, カラーバーの示す値が異なることに注意. 左図は, Bire et al.(2022) より引用. }
  \end{center}
\end{figure}
%%%
\clearpage
東西風の場合と同様に, 計算した値を球殻領域へマッピングしたところ, 以下の図のようになった.
%%%
\begin{figure}[hbtp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=15cm]{figs/3-4.png}
    \label{fig:3-4}
  \caption{直交座標系で計算した温度 $T$ の分布を, 球殻領域にマッピングした図. 両図では, カラーバーの示す値が異なることに注意. 左図は, Bire et al.(2022) より引用. }
  \end{center}
\end{figure}

\clearpage
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\section{考察}
\subsection{高緯度におけるテイラー柱の傾き}

本研究で用いたコリオリ力の形は, 局所的なコリオリ力を示す形であり, 近似した形となっている. そのため, 今回のような全球を対象とした計算においては, 基準緯度 $\phi_0$ からずれた緯度では不正確なコリオリ力となった. 

なお, 先行研究である Bire et al. (2022) では, コリオリパラメータを以下の式で取り込んでいる. 
\begin{equation}
  \bm{f_B}=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ \tilde{f_B} \\ f_B
  \end{pmatrix}
  =
   \begin{pmatrix}
  0 \\[8pt]
  2\Omega \cos \left( \dfrac{y}{R} \right) \\[10pt]    
  2\Omega \sin \left( \dfrac{y}{R} \right)
  \end{pmatrix}
\end{equation}
ここで $y$ 軸が球殻の表面に沿うような向きであることを考えると, この式の形は, 緯度 $\phi$ の位置での正確な $2\mathbf{\Omega}$ の水平・鉛直成分である. 
しかしこの式は, Oceananigans.jl で標準機能となっておらず, 計算資源の不足により本研究では用いることが出来なかった.
本研究でのコリオリパラメータは, 
\begin{equation}
    \bm{f}=
  \begin{pmatrix}
    0 \\ \tilde{f} \\ f
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    0 \\[8pt]
    2\Omega \left( 1 - \dfrac{z}{R}\right) \\[10pt]    
    2\Omega \dfrac{y}{R} 
  \end{pmatrix}
  \tag{\ref{eq:coriolis}}
\end{equation}
である. 式 (4.1) と式 (3.4) の y における値を代入して計算する.

\begin{table}[htbp]
    \centering
    \caption{コリオリパラメータの比較 ($z = 0$ km, $R = 251$ km, $\Omega = 5.3 \times 10^{-5}$ rad/s)}
    \begin{tabular}{c|cc|cc|c}
        \toprule
        $y$ [km] & $\tilde{f}_B$ (4.1) & $\tilde{f}$ (3.4) & $f_B$ (4.1) & $f$ (3.4) & 備考 \\ \midrule
        0   & $1.1 \times 10^{-4}$ & $1.1 \times 10^{-4}$ & $0$ & $0$ & 赤道 \\
        130 & $9.2 \times 10^{-5}$ & $1.1 \times 10^{-4}$ & $5.3 \times 10^{-5}$ & $5.5 \times 10^{-5}$ & 低緯度 \\
        260 & $5.4 \times 10^{-5}$ & $1.1 \times 10^{-4}$ & $9.1 \times 10^{-5}$ & $1.1 \times 10^{-4}$ & 中緯度 \\
        394 & $1.1 \times 10^{-7}$ & $1.1 \times 10^{-4}$ & $1.1 \times 10^{-4}$ & $1.7 \times 10^{-4}$ & 北極点付近 \\ \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

$y=394km$ は概ね北極点を示し, $\tilde{f_B}$は十分に小さくほぼ 0 である. 特に高緯度において, 本研究におけるコリオリパラメータ $\tilde{f}$ の値が先行研究でのコリオリパラメータ $\tilde{f}_B$ より大きい.
この状態を図示すると, 以下の図のようになる. 
\begin{figure}[hbtp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=11cm]{figs/coriolis.png}
    \label{fig:coriolis}
  \caption{各研究での北極点における $\bm{{f}_B}$, $\bm{f}$ を表した図. 黒色矢印は, 本来の自転角速度ベクトルの向きを示す. オレンジ色の実線の矢印は, 各研究において設定した角速度ベクトルの方向である.  左図は先行研究, 右図は本研究. }
  \end{center}
\end{figure}

$\bm{f}$ は $2 \bm{\Omega}$ である. そのため, $\bm{f}$ と $\bm{\Omega}$ の方向は一致する. 
しかし本研究では, $\tilde{f}$ の値が緯度に依らず一定であり, 北極点付近でも $\tilde{f}$ の値が 0 ではない. そのため, 結果的に $\bm{f}$ の向きが $\bm{\Omega}$ と一致していない. 
ここでテイラー柱について思い出すと, 以下の方程式が成り立つ. 
\begin{equation}
    \boldsymbol{f} \cdot \nabla \mathbf{u} = 0
    \tag{\ref{eq:taylor}}
\end{equation}
$f$ の向きとテイラー柱の伸びる方向が一致する.
本研究における $\Omega$ の方向は図 4.5 のように左に傾いている. よって, テイラー柱の伸びる方向も左に傾いたと考えられる. 
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\subsection{粗い格子点間隔}
表\ref{tab:exp1_parameters}で述べた通り, 本研究では, Bire et al.~(2022) よりも約 $7$ 倍大きい空間格子間隔を用いて計算している. その影響で, 対流が駆動されるまでの時間が遅くなり, 温度場・速度場ともに十分な計算ができていない可能性がある.



%\end{document}
%%%%%%%%              Text Enzd                  %%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
