\chapter*{Appendix B. ����޴ؿ��Ȥ�������}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Appendix B. ����޴ؿ��Ȥ�������}
  ����޴ؿ��ϼ��μ����������롣������$n$ ��Ǥ�դ����μ¿��Ǥ��롣
\[ \Gamma (n)=\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n-1}dx.\]
  ���˥���޴ؿ��Τ����Ĥ��������ˤĤ��ƽҤ٤롣
\begin{enumerate}
  \item $\Gamma (n)=(n-1)\Gamma(n-1)$\\ 
  ������� $\Gamma (n)$����ʬ��ʬˡ�ˤ�ä���ʬ�����
   \begin{eqnarray}
      \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n-1}dx&=&\left[-e^{-x}x^{n-1}\right]
                         _{0}^{\infty} +(n-1)\int_{0}^{\infty} 
                                         e^{-x} x^{n-2}dx \nonumber \\
                                        &=&(n-1)\int_{0}^{\infty} e^{-x} 
                                           x^{n-2}dx.\nonumber \\
\end{eqnarray}

����޴ؿ�������Ѥ����
\[ \Gamma (n)=(n-1)\Gamma (n-1).\]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)
 \item $n>0$ �������ΤȤ�$\Gamma (n)=(n-1)!$  \\
   ������� 1.�򷫤��֤����֤��������
     \[ \Gamma (n)=(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1 \cdot \Gamma (1) \]
    �Ȥʤ롣������
     \[ \Gamma (1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x} dx 
                = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty}=1  \]
    �Ǥ��뤫��
     \[ \Gamma (n)=(n-1)!.\]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~($n=1$�ΤȤ���$0!=1$������Ω��)
   (���������) 
 \item $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$  \\
    ������� $x=y^{2}$ �Ȥ�����
       \begin{equation}
            \Gamma (n)=\int_{0}^{\infty}e^{-x} x^{n-1} dx 
               =2 \int_{0}^{\infty}y^{2n-1} e^{-y^2} dy.
       \end{equation}
     �Τˡ�
     \[ \Gamma (\frac{1}{2})=2 \int_{0}^{\infty}e^{-y^2} dy,\]
     \[ \left[\Gamma (\frac{1}{2})\right]^2 
         = 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(y^2+z^2)} dydz.\]
     �˺�ɸ�Ѵ�����$(0<r<\infty,0<\theta<\frac{\pi}{2})$
   \begin{eqnarray}
     \left[\Gamma (\frac{1}{2})\right]^2
     &=&4\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi} \int_{0}^{\infty} 
              e^{-r^2} r drd\theta \nonumber   \\
     &=&4\left[\theta\right]_{0}^{\frac{1}{2}\pi} 
        \cdot \left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_{0}^{\infty}\nonumber  \\
     &=&4 \cdot \frac{1}{2}\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi.\nonumber  \\
   \end{eqnarray}
   �Τ� 
       \[\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.  \]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������) 
 \item $n$�Τ����Ĥ����ͤ��Ф���$\Gamma (n)$��׻�����ȼ��ΤȤ���Ǥ���
    \footnote{$n=0$�ΤȤ�$\Gamma (n)=\infty$�Ǥ��뤬�����ξ������񤷤�}��
      \begin{center}
        \begin{tabular}{lccccccr} \hline
           $n$    & $\frac{1}{2}$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  \\
   $\Gamma (n)$   & $\sqrt{\pi}$  & 1 & 1 & 2 & 6 & 24  \\ \hline
        \end{tabular}
      \end{center}
\end{enumerate}