\chapter*{Appendix C. �١����ؿ��Ȥ�������}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Appendix C. �١����ؿ��Ȥ�������}
  ����޴ؿ���̩�ܤʴط�����ĥ١����ؿ������μ����������롣

\begin{equation}
  B(m,n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx  \label{beta-func}
\end{equation}
��������$m>0,n>0$ �Ǥ��롣�١����ؿ��ϼ��Τ褦����������äƤ��롣 

\begin{enumerate}
 \item �١����ؿ����ѿ�$m,n$ ���Ф����оΤǤ��롣¨��������Ĥ��ѿ���
  �򴹤��Ƥ�ؿ����ͤ��Ѥ��ʤ���(\ref{beta-func})���� $x=1-z$ ��
  �ִ������
   \[  B(m,n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx
        =\int_0^1 z^{n-1}(1-z)^{m-1}dz=B(n,m)     \]
  �Ȥʤ롣 
 \item �١����ؿ��ϼ��Τ褦�˥���޴ؿ��Ǽ������Ȥ��Ǥ��롣
  \begin{equation}
      B(m,n)=(\Gamma(m)\Gamma(n))/ \Gamma(m+n)
   \end{equation}
�������  \\
�ޤ�������޴ؿ��ϼ��η��ǵ��ҤǤ��롣
\begin{equation}
 \Gamma(n)=\int_0^\infty e^{-x}x^{n-1}dx
     =2\int_0^\infty y^{2n-1}e^{-y^2}dy    \label{gamma-x-y}
\end{equation}
$\Gamma(m)$,$\Gamma(n)$ ��(\ref{gamma-x-y})�η��ǽ񤱤�
\begin{equation}
    \Gamma(m)\Gamma(n)=4\int_0^\infty \int_0^\infty x^{2m-1}y^{2n-1}
          e{-(x^2+y^2)} dxdy. 
\end{equation}
�˺�ɸ���Ѵ������\footnote{�˺�ɸ�Ѵ��ϰʲ��Τ褦�ˤʤ롣�ޤ�$xy$ ��ɸ�Ϥ�
$x$,$y$ ��$r\theta$ ��ɸ�ϤǤ�
  $x=r\cos\theta,$~$y=r\sin\theta$ �Ǥ��뤫�顢
\[  dx=\cos\theta dr-r\sin d\theta,
 ~~dy=-\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta. \]
������$xy$ ��ɸ�Ϥˤ�����٥��ȥ�$(dx,0)$,$(0,dy)$ �֤����Ѥ�ͤ���ȡ�
 \[ |(dx,0)\times(0,dy)|=dxdy.  \nonumber   \]
������$r\theta$�Ϥˤ�����٥��ȥ�$(\cos\theta dr,-r\sin d\theta)$,
$(-\sin\theta dr,r\cos\theta d\theta)$ �֤����Ѥ�
\[  |(\cos\theta dr,-r\sin d\theta)\times(-\sin\theta dr,r\cos\theta d\theta)
      = rdrd\theta.    \]
�ʾ��ꡢ$dxdy=rdrd\theta$ �Ȥʤ롣�ޤ���$\theta$ �˴ؤ�����ʬ��֤�
$0$��$\pi/2$�Ȥʤ�Τϡ�
�Ϥ������ʬ��֤�$x,y$ �Ȥ��$0$��$\infty$���Ĥޤ�$x>0$,~$y>0$ 
���ä�����Ǥ��롣}
\[ ~~~~~~=4\int_0^{\pi/2} \int_0^\infty r^{2(m+n-1)}
          e^{-r^2}r\sin^{2n-1}\theta \cos^{2m-1}\theta drd\theta  \]
\[ ~~~~~~=\left[2\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-1}\theta 
                   \cos^{2m-1} \theta d\theta \right]
          \left[2\int_0^\infty r^{2(m+n)-1} e^{-r^2} dr \right]  \]
���μ��������$\sin^2 \theta=z$ ���Ѵ������
\[   \int_0^1 (1-z)^{m-1}z^{n-1} dz=B(m,n)     \]
�Ȥʤꡢ�ޤ�������(\ref{gamma-x-y})���ˤ��$\Gamma(m+n)$ �Ǥ��롣��ä�
\[  \Gamma(m)\Gamma(n)=B(m,n)\Gamma(m+n)      \]
�Ȥʤ롣~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)
\end{enumerate}












