\chapter{���������Ȥʤ����}    % �� 

%\section{����˴ؤ����Ѹ졢��ǰ}  % ��
                    
\section{��Ψ�ѿ�}
%\subsection{��Ψ�ѿ���ʬ�۴ؿ�����Ψ̩�ٴؿ�}
\subsection{ɸ������ɸ�ܶ���}
Ʊ���ﲼ�Ƿ����֤����¸����뤤�ϴѻ���{\bf ���}�Ȥ�������Ԥη�̤�
���Ƶ����������{\bf ����}�Ȥ������ޤ���
�����ԤˤĤ��ơ��ͤ�����¤�β�ǽ�ʸġ��η�̤�{\bf ɸ����(�ǻ��ݡ�
��������)}\footnote{�������ݡ�����ʾ�٤���ʬ�򤷤ƹͤ����ʤ����ݡ�
�㤨�С������������ꤲ���Ȥ���1���ܤ��Ф뤳�ȡ�}�Ȥ��������Τ褦�ʷ�̤�
����(����\footnote{�������Τ���ޤä�����Ŭ�����Τν��ޤꡣ})��
{\bf ɸ�ܶ���}�Ȥ�����$\Omega$��ɽ�������󤲤�ȡ�1�ĤΥ���������1��
�ꤲ��Ȥ����������ܤ��Ǥ�Ȥ�������$A$ �ϡ�$A=\{2,4,6\}$��ɸ�ܶ��֤ϡ�
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ��ɽ����롣

\vspace{5mm}
���ޡ�������ݤ��б�������ʬ����\footnote{��ʬ���硧2�Ĥν���A��B�ˤ���
�ơ�B�����Ǥ����٤�A�����ǤǤ���Ȥ���B��A����ʬ���硢���뤤��B��A��
�ޤޤ��Ȥ���$B \in A$ �Ƚ񤯡�}��$A$ �Ȥ�����Ԥη��$\omega$ ��$A$ ��
°����1����ɽ���Ȥ������ʤ��
\[  \omega \in A\]
�Ǥ���Ȥ������λ�Ԥǻ���$A$ �������ä��Ȥ������Ȥˤ���С������Ѥ����
�뽸��黻�˼��Τ褦�ʶ���Ū�ʻ���Ū�ʰ�̣���б��Ĥ����롣\\
$~~~~~~A \cup B\cdots\cdots$����$A,B$ �Τ������ʤ��Ȥ�1�Ĥ�������Ȥ���
���ݡ� \\
$~~~~~~A \cap B\cdots\cdots$����$A$ �����$B$ ���Ȥ�˵�����
�Ȥ������ݡ� \\
$~~~~~~A - B\cdots\cdots$����$A$ �������ꡢ$B$ ��������ʤ�
�Ȥ������ݡ�\\
$~~~~~~A^c~~~\cdots\cdots$����$A$ ��������ʤ��Ȥ������ݡ� \\

%�ѿ�\footnote{�ѿ���������ɽ����ʸ��������Ĥ������ͻ����Ƥ���֡�
%����ͤ�������Ȥߤʤ�����������ѿ��Ȥ������ޤ������ʳ��λ���ˤ�
%��ĥ�����Ѥ��롣$\leftrightarrow$ ���}$X$ �ΤȤ�������
%$x_1,x_2,\cdots,x_n$ �ڤ�$X$ ���������ͤ�Ȥ��Ψ
%$p_1,p_2,\cdots,p_n$ ����ޤäƤ���Ȥ����ѿ�$X$ ��{\bf ��Ψ�ѿ�}�Ȥ����� 
%$x_1,x_2,\cdots,x_n$ ��$p_1,p_2,\cdots,p_n$ ���б��ط����Ψ�ѿ�$X$ ��
%{\bf ��Ψʬ��}�Ȥ����������ǡ�$p_1+p_2+\cdots+p_n=1.$

\subsection{$\sigma-$������}
%��Ψ�ѿ������Ū�ˤ�������������ˤϡ���Ψ���������Ϥ��ɬ�פ����롣

���ˤ��λ���$A$ �˳�Ψ�Ȥ������ͤ��б������뤳�Ȥ�ͤ��롣
��Ψ�Ϥ�����ݤ�������ֳΤ��餷���פ�ɽ���¿��ͤǤ��롣
��Ψ���������Ȥ������������ˤ����뽸��²�򤭤���ȷ���ɬ�פ����롣
���ν���²�Ȥ��Ƥϡ����Τ褦��$\mathcal{U}$ (�����{\bf 
$\sigma-$������}�Ȥ������Ȥˤ���)��ͤ��롣
$\mathcal{U}$ �ϼ����������äƤ��롣 $\Omega$ ����ʬ����(A�ʤɡ�������$A \in \Omega$)����ʤ롢
���Ǥʤ�����²�Ǥ��롣
\begin{description}
 \item[$\mathcal{U}$�ξ��1]
        $\Omega$ ����ʬ����(����A�ʤɡ�������$A \in \Omega$)����ʤ롢
       ���Ǥʤ�����²�Ǥ��롣
 \item[$\mathcal{U}$�ξ��2] 
           ����$A$ ��$\mathcal{U}$ ��°����Ȥ����佸��$A^c$ ��ޤ�
            $\mathcal{U}$ ��°���롣 
 \item[$\mathcal{U}$�ξ��3] 
        ����$A_i(i=1,2,\cdots)$ ��$\mathcal{U}$ ��°����Ȥ���\\
             �½���$\cup_{i=1}^{\infty} A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3
	     \cdots$ ��ޤ�$\mathcal{U}$ ��°���롣
\end{description}
�����ξ������������顢Ǥ�դ�$\sigma-$������$\mathcal{U}$ �ϼ��Τ褦
���������ġ�
\begin{description}
 \item[$\mathcal{U}$������1]
        ��˸��ζ���$\Omega$ (�μ¤˵�������ݤΰ�̣�ˤȤ��)��ޤࡣ \\
       �ʤ��ʤ顢$\mathcal{U}$ ��°���Ƥ����Ĥν����$A$ �Ȥ����ȡ�
        $\mathcal{U}$�ξ��2���$A^c \in \mathcal{U}.$
 \item[$\mathcal{U}$������2]
       ��˶�����\footnote{����(�����������ġ��Τ�Ρ����Ȥ⤤��)
       �������ޤޤʤ�����Τ��ȡ�}$\phi$(���������ʤ����ݤΰ�̣)��
       �ޤࡣ\\
       �ʤ��ʤ顢���Ʊ�ͤ�$\mathcal{U}$ ��°���Ƥ����Ĥν����
       $A$ �Ȥ����ȡ�$\mathcal{U}$�ξ��2���$A^c \in \mathcal{U}.$
       �ޤ�$\mathcal{U}$�ξ��3���
     \[ \Omega = A \cup A^c \in \mathcal{U},
        ~~~~\phi=\Omega^c \in \mathcal{U}. \] 
 \item[$\mathcal{U}$������3] 
       $A_1,A_2$ ��$\mathcal{U}$ ��°����Ȥ���
%$A_1 \cup A_2 \in \mathcal{U}$ �Ǥ��뤬��
          $A_1 \cap A_2$ ��ޤ�$\mathcal{U}$ ��°����
       \[ �ʤ��ʤ�A_1 \cap A_2 = (A_1^c \cup A_2^c)^c \in \mathcal{U}. \] 
        
 \item[$\mathcal{U}$������4]
       $A_1,A_2$ ��$\mathcal{U}$ ��°����Ȥ���$A_1-A_2$��ޤ�
       $\mathcal{U}$ ��°����
      \[  �ʤ��ʤ�A_1-A_2=(A_1^c \cup A_2)^c \in \mathcal{U}. \]  
    
 \item[$\mathcal{U}$������5]
       ����Ū�ˡ�$\mathcal{U}$ ��°���뽸��δ֤�$\cup,\cap,-,c$ ��
       ����黻�������̵�²�ۤɤ����������뽸���ޤ�$\mathcal{U}$ 
       ��°���롣
 \end{description}
�����ǡ�$\Omega$��$\mathcal{U}$�����󤲤Ƥ�����1�ĤΥ���������1���ꤲ
�����ͤ���ȡ�
$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ ���Ф��� \\ 
~~~~~~$\mathcal{U}=\{1\},\{2,4\},\{1,2,3,4,5,6\},\{\phi\},\cdots$  \\
�Ȥʤ롣

\subsection{��Ψ����Ψ����}
$\sigma-$������$\mathcal{U}$ �Τ��٤Ƥν���$A$ ���Ф������Ū�������
���ؿ�$P(A)$ �����ξ����������Ȥ���$P(A)$ ��{\bf ����$A$ ��������}
(�ޤ���{\bf ����$A$ ��}){\bf ��Ψ}�Ȥ����� 
\begin{description}
 \item[��Ψ�ξ��1] $P(A)\geq 0,~~~~(A \in \mathcal{U}),$ 
 \item[��Ψ�ξ��2] $P(\Omega)=1,$   
 \item[��Ψ�ξ��3] $A_i \in \mathcal{U},A_i \cap A_j = \phi, (i\neq j)$
              �Ǥ���Ȥ���  \\
   \begin{equation}
     P(\cup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)  
   \end{equation} 
\end{description}


 ���� \\
\begin{enumerate}
  \item ��Ψ�ξ��1�����$P(A)\leq 1$ ���礱�Ƥ���褦�ˤߤ��뤬�������
   ¾��2��郎��������������Ω�ġ� \\
    ����  \\
    \begin{equation}
     \Omega=A \cup A^c ,A \cap A^c=\phi  \nonumber \\ 
    \end{equation}
   ��äƳ�Ψ�ξ��3����ӳ�Ψ�ξ��2���
    \[ P(A)+P(A^c)=P(A \cup A^c)=P(\Omega)=1.   \]
    \[ P(A) \geq 0,~~~~P(A^c) \geq 0   \]
   �ʤΤǡ�   
    \[   0 \leq P(A) \leq 1,~~~~0 \leq P(A^c) \leq 1.~~~~~(���������)    \]
  \item ��Ψ�ξ��3�ϳ�Ψ����$A_1,A_2,\cdots$ �Τɤ�2�Ĥ�ȤäƤ�
        {\bf ��ȿ����}(Ʊ���˵����뤳�Ȥ��������ʤ�����)�Ǥ���Ȥ���
     $A_1,A_2,\cdots$ �Τ������ʤ��Ȥ�1�Ĥλ��ݤ��������Ψ�ϡ��ƻ��ݤ�
     �������Ψ���¤�ɽ�����Ȥ�����̣�Ǥ��롣����� $A_1,A_2,\cdots$ ��
      ͭ�¸Ĥξ���ޤ�Ǥ��롣���ʤ��$n<i$ ���Ф�$A_i=\phi$ �Ȥ�����
       ��Ψ�ξ��3���
      \[ P(\cup_{i=1}^n A_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i).  \]
  \item ��η�̤��̾�{\bf ��Ψ�β�ˡ����}�ȸƤФ���Τǡ�
    �����ǤϾ����ʤ��˸���Ū��Ϳ����줿�����Ǥ��뤬��
    ��Ψ�ξ��1��3������Ф��������ʳ�Ψ�η�̤�Ƴ�����Ȥ��Ǥ��롣
    �㤨�м��ΰ��̲����줿��ˡ�����⼨�����
    \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).  \]
   ��Ψ�β�ˡ�����ξ��� \\
    ����$A \cup B$ �ϼ��Τ褦����Ω��3�Ĥν����ʬ�����롣
   \[ A \cup B = (A-B) \cup (B-A) \cup (A \cap B).  \]
   ��ä�
   \[ P(A \cup B) = P(A-B) + P(B-A) + P(A \cap B). \]
   ������
  \[ P(A)=P(A-B)+P(A \cap B),~~~~P(B)=P(B-A)+P(A \cap B). \]
   �ѷ����ƾ弰�������������������
  \[ P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B). ~~~~~~~(���������) \]
\end{enumerate}

\vspace{5mm}
�ʾ�ˤ�꺣�塢��Ψ�ˤĤ��ƹͤ���Ȥ��ˤϡ�����Ū�ˤϤޤ�������Ф�
����$\Omega$ ����ᡢ������ʬ������ʤ�$\sigma-$������$\mathcal{U}$
���ᡢ���ν����Τ�°����Ǥ�դν�����Ф���Τ褦�ʳ�Ψ$P$ ����������
����Фʤ�ʤ����Ȥˤʤ롣����$\Omega,\mathcal{U},P$ ��ޤȤ��
$(\Omega,\mathcal{U},P)$ �Ƚ񤭡������{\bf ��Ψ����}�Ȥ���\footnote
{ɸ�ܶ���$\Omega$ �θ�$\omega$ ��ɸ�����Ǥ��롣P��$\mathcal{U}$ ���
�������뽸��ؿ��Ǥ��롣}�� 

\vspace{5mm}
��Ȥ��ơ������Ԥε����������̤ο���ͭ�¸Ĥޤ��ϲ�����̵�¸Ĥξ��
\footnote{Ϣ³���Ȳ����֤ˤϤʤ�ʤ���ex.�¿��ͤˤ��ֹ椬�դ����ʤ���}
�γ�Ψ���֤ϼ��Τ褦�������롣
$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n,\cdots\}$ �Ȥ�����$\sigma-$
������$\mathcal{U}$ �Ȥ��Ƥ�$\Omega$ �Τ��٤Ƥ���ʬ����(������$\phi$ ��
�ޤ�)���ʤ뽸��°��ͤ���\footnote{$\mathcal{U}$ ���������Τϡ�
������$\phi$ ��ޤि�ᡢ��긷̩�˳�Ψ������Ǥ��뤫��ȹͤ����롣
$P(A)=0$����������Τ�$\mathcal{U}$ �����뤿�ᡣ��Ψ$P(\mathcal{U})$ ��
����Ǥ��ʤ����Ȥ�����!}��
���˳�Ψ$P$ �ϼ��Τ褦�ʿ���$\{p_i\}$��������롣
\[ P(\omega_i)=p_i,~~~p_i \geq 0,~~~\sum_{i=1}^{\infty} p_i=1.   \]
$\mathcal{U}$ ��°����Ǥ�դν��� 
\[ A_i=\{\omega_{i1}, \omega_{i2}, \cdots, \omega_{ik}\}   \]
���Ф��Ƥ�$P(A_i)=\sum_{l=1}^k p_{il}$ �Ȥ����ä�$P(\phi)=0$ �Ȥ��롣
���Τ褦��������줿$P(A_i)$ �ϡ���Ψ�ξ��$1.\sim 3.$ �����餫��������
\footnote{$A_1=\{\omega_{11},\omega_{12}\},A_2=\{\omega_{21},\omega_{22}\},
B=\{\omega_{11},\omega_{12},\omega_{21},\omega_{22}\},
C=\{\omega_{11},\omega_{22}\}$ �Ȥ��롣���ΤȤ�$P(B)=P(A_1)+P(A_2),
P(C)=P(A_1)+P(C)-p_{11}.$�Ĥޤꡢ��Ω�ʻ��ݤγ�Ψ�Τ�­����Ƥ���
���Ȥˤʤ�Τǡ����3���������Ƥ���ȸ����롣}��

\subsection{��Ψ�ѿ�}
ɸ�ܶ��֤�������ɸ����(��Ԥη��)���б�����������
�¿��ͤ�{\bf ��Ψ�ѿ�}�Ȥ���\footnote{��1)���������ꤲ�ξ�硣
~~~~ɸ������1����6�ޤǤ��ܤ��Ф�Ȥ�����̤γơ�����Ψ�ѿ���1,2,3,4,5,6�� \\
��2)1��Υ������2���ꤲ���Ȥ���ɽ�ο���~~~~ɸ������$s_1=$\{ɽ��ɽ\},
$s_2=$\{ɽ��΢\},$s_3=$\{΢��ɽ\},$s_4=$\{΢��΢\}�γơ���
��Ψ�ѿ�(ɽ�ο�)��$x_1=2,x_2=1,x_3=1,x_4=0$��}��
��Ψ�ѿ����Ȥϳ�Ψ��ɽ����ΤǤϤʤ������������ꤲ����Ǥϡ�1��6�ޤǤ�
�����줫���ܤ��Ф�פȤ�����ǽ����ɽ����Τ˲᤮�ʤ���
�ʲ��Ǥϳ�Ψ�ѿ�$X$ �ο���Ū������򼨤���

\vspace{5mm}
�ޤ���Ψ���֤�$(\Omega,\mathcal{U},P)$ �Ȥ�����$\Omega$ �ξ��������줿
�¿��ʹؿ�\footnote{����Ψ�ѿ�$X$ ��$\mathcal{U}$ ��°���뤳�Ȥǡ�
�ơ���$X$ �ˤĤ��ƤǤϤʤ����ޤȤ�Ƶ������뤳�Ȥ��Ǥ��롣}
$X(\omega),(\omega \in \Omega)$ �����ξ�
��Ǥ�դμ¿�$x$ ���Ф���$X(\omega) \leq x$ ��������$\omega$ �ν��礬
���$\sigma-$ ������ $\mathcal{U}$ ��°����ס�¨��
\[~~~~ \{\omega; X(\omega) \leq x\} \in \mathcal{U}  \]
���������Ȥ�������$X(\omega)$ ��{\bf ��Ψ�ѿ�}�Ȥ�����  

\subsection{��Ψʬ��}
����~~$\{\omega; X(\omega)\leq x\}$ ��$\mathcal{U}$ ��°���Ƥ��뤫�顢
���ν����$\mathcal{U}$ ���Ф����Ψ��Ϳ����졢���Τ褦��
ɽ����롣
\[ P(X\leq x)=P\{\omega; X(\omega) \leq x\} = F(x).   \]
������Ψ�ѿ�$X$ ��{\bf ʬ�۴ؿ�}�Ȥ����� 

\vspace{5mm}
��Ψ�ѿ�$X$ ���Ȥ��ͤ���ۤ��Ƥ���������ϡ������Ψˡ§�ˤ�구�ꤵ��롣
���γ�Ψˡ§��{\bf ��Ψʬ��}�Ȥ������Ȥˤ��롣���γ�Ψʬ�ۤϾ��ʬ�۴ؿ�
��ɽ����Ƥ��뤳�Ȥˤʤ롣
%���ʤ��ʬ�۴ؿ�$F(x)$ ��Ϳ�����Ƥ���С�
%��Ψ�ѿ� $X$ ���㤨�ж��$(a,b]$($a<x\leq b$ ��������$x$ �ν���) ���
%�ɤ줫��$x$ ��Ȥ��Ψ����ʬ�۴ؿ��Ǽ��Τ褦��ɽ����롣
%\[ P(a<X\leq b)=F(b)-F(a).   \]
ʬ�۴ؿ�$F(x)$ �ˤϼ������������롣

\begin{description}
 \item[ʬ�۴ؿ�������1] $0 \leq F(x) \leq 1.$
 \item[ʬ�۴ؿ�������2] $\lim_{x\to -\infty} F(x) = F(-\infty)= 0,~~~
                   \lim_{x\to \infty} F(x) = F(+\infty)= 1.$
 \item[ʬ�۴ؿ�������3] $x < y$ �ʤ��$F(x)\leq F(y).$\footnote{$x<y$ �ʤ��
                          $(-\infty,x)\subset (-\infty,y)$ �Ǥ��롣} 
\end{description}
ʬ�۴ؿ�������3�������餫�ʤ褦�ˡ�ʬ�۴ؿ�$F(x)$ ��$x$ ��ñĴ���ôؿ��Ǥ��롣

\vspace{5mm}
$P(a<X\leq b)$ ��$F(a),F(b)$ �δط��ϰʲ��Τ褦�ˤʤ롣
������$a,b(a<b)$ ��$X$ ���Ѱ������Ĥ��ͤȤ��롣 
\[ P(X\leq b)=P(X\leq a)+P(a<X\leq b)          \]
�Ǥ��뤫�顢$X$ ��$a$ ������$b$ ��Ķ���ʤ���Ψ$P(a<X\leq b)$��
���餫��
\begin{equation}
 P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a)
\end{equation}
�Ǥ��롣

\subsection{�ٿ��ؿ���̩�ٴؿ�}
������Ǥϡ���Ψ�ѿ���ʬ�۴ؿ���Τ������ޤ��Ϥ���������ʬ�ˤ�����
��Ψ��������뤳�Ȥ�ͤ��롣
��Ψ�ѿ���Υ��Ū�ʾ���Ϣ³Ū�ʾ��ˤĤ���ʬ���ƹͤ�������
ʬ����䤹����

\subsubsection{Υ��Ū��Ψ�ѿ��ξ��}
��Ψ�ѿ�$X$ ��Υ����$x_1<x_2<x_3<\cdots$ ��Ȥ�Ȥ����ġ���Υ���̤�
�б������Ψ����ޤ롣Υ��Ū��Ψ�ѿ�$X$ ���������$x_i$ ��Ȥ�
��Ψ��
\[ f(x_i)=P(X=x_i)  \]
�Ǽ����������Υ��Ū��Ψ�ѿ���{\bf �ٿ��ؿ�}�Ȥ�����$f(x)$ ��$X$ ��
�Ѱ���Τ��٤Ƥ��ͤ��Ф��ƹͤ���Ȥ�������$f(x)$ ���ѿ�$X$ ��Υ��Ū
��Ψʬ�ۤ��뤤�ϴ�ñ��{\bf ��Ψʬ��}�Ȥ������ٿ��ؿ������餫�˼���
��������ġ�
\begin{enumerate}
 \item $0 \leq f(x_i) \leq 1.$
 \item $\sum_i f(x_i)=1.$
\end{enumerate}
�դ�Ǥ�դδؿ�$f(x)$ ��$x$ �Τ����Ѱ���Ф��Ƥ�����Ĥξ���ߤ����Ȥ���
���δؿ����ٿ��ؿ��ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣

\vspace{5mm}
�ٿ��ؿ�$f(x)$ ��ʬ�۴ؿ�$F(x)$ �Ȥδط��ϼ����Ǽ�����롣 
��Ψ�ѿ�$X$ ��Υ����$x_1<x_2<x_3<\cdots$ ��Ȥ�Ȥ�������ʬ�۴ؿ�
$F(x)$ ��Υ����$x_1,x_2,x_3,\cdots$ ���Ȥ˾徺���뤬��$x_i$ ��$x_{i+1}$ 
����֤ˤ����Ƥ����ѤǤ��롣�Τ�Υ��Ū��Ψ�ѿ���ʬ�ۤϸġ���Υ���̤�
�б������Ψ�ˤ�ä���ޤ롣  \\
\begin{equation}
    F(x)=P(X\leq x)=\sum_{i;x_i \leq x} f(x_i).
\end{equation}
���� ���α��դ�$x$ ��Ķ���ʤ�$x_i$ �Τ��٤Ƥ��ͤ��Ф���$f(x_i)$ ���ͤ�
���¤��̣���롣���δط����ˤ��ʬ�۴ؿ�$F(x)$ ���ٿ��ؿ�$f(x_i)$ ����
�׻����뤳�Ȥ��Ǥ����դ�$f(x_i)$ ��$F(x)$ ����׻����뤳�Ȥ�Ǥ��롣

%��Υ������Ψ�ѿ��γ�Ψ�������
% \[ P(X=x_i)=p_i,(i=1,2,\cdots)  \]
%������
%\[ p_i\geq 0,\sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1. \]
%���ΤȤ� 
% \[  P(a \leq X \leq b)=\sum_{\{i;(a \leq X \leq b)\}} p_i,
%     (\sum �� a \leq X \leq b ��������i �ˤĤ��ƤΤߤ�p_i ���¤�
%        ɽ��). \]

\subsubsection{Ϣ³Ū��Ψ�ѿ��ξ��}

��Ψ�ѿ���Ϣ³�̤ξ�硢�ѿ���������ͤ��Ф��� non ���� �γ�Ψ������
���ȤϤǤ��ʤ���������ʬ�۴ؿ����Ѱ������ʬ��ǽ�ʾ��(�ʲ����Τ褦��
ʬ�۴ؿ��Τߤ�ͤ���)��Ϣ³Ū��Ψ�ѿ����Ф����Ψ�򼡤Τ褦�ʷ���
���뤳�Ȥ��Ǥ��롣���μ�����������
$f(x)$ ���Ψ�ѿ�$X$ ��{\bf ��Ψ̩��}���뤤��{\bf ̩�ٴؿ�}�Ȥ�����
\[  f(x)=\lim_{h \to 0} \frac{P(X \leq x+h)-P(X \leq x)}{h}  \]
̩�ٴؿ�$f(x)$ �����������ľ����̩�ٴؿ���ʬ�۴ؿ�$F(x)$ �Ȥδط���
�������μ��������롣 \\
\begin{equation}
   f(x)=\frac{dF(x)}{dx}   \label{kakuritsusobun}
\end{equation}
$f(x)dx=dF(x)$ �򤷤Ф���{\bf ��Ψ��ʬ}�Ȥ�������Ψ��ʬ$f(x)dx$ ��
��$x$ ���ն�ˤ������Ψ�Ǥ��롣��̩�ˤ�����Ϣ³�ѿ��ξ��$x$ ��
�����ͤ��Ф��Ƴ�Ψ�ϥ����Ǥ��롣��Ψ��ʬ���ѿ�$X$ �Τ����ƾ�����
��֤��Ф����Ψ(������ɽ�����)�ȹͤ���Ф褤��
\[ \int_x^{x+\mathit{\Delta}x}f(x)dx \cong f(x)\mathit{\Delta}x    \]
(\ref{kakuritsusobun})������ľ�������餫�ʤ褦�� \\
\begin{equation}
  F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt
\end{equation}
�Ǥ��롣�������ä�$a<b$ �ΤȤ���$X$ �����$(a,b)$ ���ͤ�Ȥ��Ψ�� \\
\begin{eqnarray}
    P(a < X \leq b)&=&\int_a^b f(x)dx  \nonumber \\
                   &=&F(b)-F(a)
\end{eqnarray}
�Ǥ���\footnote{��$a,b$ �ˤ����Ƴ�Ψ�ϥ����Ǥ��뤫�顢���$(a,b) [a,b)
 (a,b] [a,b]$ �γ�Ψ�Ϥ������Ʊ����(����( )�ϳ����(ü���ͤ�ޤ�)��
[ ]���Ķ�֤򼨤���)}�� 

\vspace{5mm}
Ϣ³�ؿ��ξ�硢��Ψ̩�ٴؿ��������������Ĥ��Ȥ����餫�Ǥ��롣 
\begin{enumerate}
 \item $f(x) \geq 0.$
 \item $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1.$
\end{enumerate}
1 ��ʬ�۴ؿ�$F(x)$ ���󸺾��Ǥ��뤳�Ȥ������η�̤Ǥ��ꡢ2 ��ʬ�۴ؿ���
����$F(\infty)=1$ ��Ʊ�ͤǤ��롣̩�ٴؿ�$f(x)$ �Ϥ�����Ĥξ���
�ߤ����ʤ���Фʤ�ʤ�����ȿ�Ф�Ǥ�դδؿ�$f(x)$ ������ζ�֤Ǥ���
�����ߤ����Ȥ��������̩�ٴؿ��ȹͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣

%��Ϣ³����Ψ�ѿ��γ�Ψ������ʤɡ�
%Ǥ�դ�$a,b(a<b)$ ���Ф� 
% \[P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dx,
%    (f(x)\geq 0,\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1)  \]
%�Ǥ���$f(x)$ ��¸�ߤ���Ȥ������γ�Ψʬ�ۤ�{\bf Ϣ³����Ψʬ��}�Ȥ�����
%�ޤ�����$f(x)$ ��{\bf ��Ψ̩�ٴؿ�}�Ȥ���\footnote{Ϣ³����Ψʬ�ۤ���
%��Ψ�ѿ�$X$ �ˤĤ��Ƥϡ�$X$ ������1�Ĥ��ͤ�Ȥ��Ψ��0 �ȵ��ꤹ��(�ɤ���
%����̣?)�����ʤ��Ǥ�դμ¿����Ф�$P(X=a)=0.$
%���Τ��Ȥ���$P(a\leq X\leq b)$���ͤ�����Ϥ����Ƥ��Ψ���ͤ��Ѥ��ʤ�}�� 


%\subsection{�����١�������}

\subsection{��Ψ��ʿ�Ѥ����ʬ��}
  �����Ǥϳ�Ψ�ѿ�$X$ ��Ϣ³�ѿ��Ǥ�����ˤĤ��ƽ񤯤���Υ���ѿ���
  ����Ʊ�ͤǤ��롣 \\
  $X$ ����Ψ�ѿ���
  $f(x)$ ������̩�ٴؿ��ΤȤ���
  Ǥ�դμ¿���$a$ �����Ȥ���($k$ ����){\bf ��Ψ}�򼡤μ���������롣
  \[ E\left[(X-a)^k\right]=\int (x-a)^k f(x) dx/ \int f(x) dx  \]
 �����ǡ�$a=0$ �Ȥ��������������Ф���$X$ �� $k$ ����Ψ�����뤤��
 {\bf ������Ψ}�Ȥ���������򵭹�$\mu_k'$ �Ǽ������ޤ���$a=\mu$ �Ȥ����ȡ�
  ʿ�Ѥ��Ф�����Ψ $\mu_k$ ��������졢�����{\bf �濴��Ψ}�Ȥ����� 
\vspace{5mm}

  �켡�θ�����Ψ������ͤ⤷����{\bf ʿ����}�Ȥ��������ʤ����
   \begin{equation}
     \mu_1'=E\left[(X^1)\right]=\int_{-\infty}^{\infty} 
              x f(x)dx/\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx.  \label{eq:e(x)}
   \end{equation}

  $E(X)$ ��ȯ������Ȥ���
  �����ͤ�¸�ߤ��ʤ�\footnote{�Ȥ����餷�����⤷���ϡֹͤ��ʤ��פΤ���
  �פ���}���ʲ���ʿ����$\mu_1'$ �򵭹� $\mu$ �Ǽ������Ȥˤ��롣
  ʿ����$\mu$ ��ʬ�ۤ��濴(���ΤˤϽſ�)�򼨤���
\vspace{5mm}

  �󼡤��濴��Ψ��{\bf ʬ�ۤ�ʬ��}(���뤤��ñ��{\bf ʬ��})�Ȥ�����
 ����$\sigma^2$ �ޤ���$\sigma^2(X)$��$\sigma_X^2,$ ���뤤��
 $var(X)$ �Ǽ��������ʤ��\footnote{Υ���ѿ��ξ���
    $\sigma^2=\sum_i \left(x_i-\mu\right)^2 f(x_i)/\sum_i f(x_i)$}
  \begin{eqnarray}
     \sigma^2&=&\mu_2=E\left[(X-E(X))^2\right]
                       =E\left[(X-\mu)^2\right]   \nonumber \\
             &=&\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx
                   /\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx.  \label{eq:var(x)} 
 \end{eqnarray}
 ʬ��������ʿ������{\bf ɸ���к�}�Ȥ���������$\sigma$ �Ǽ��������ʤ��
 \[ +\sqrt{\sigma^2}=\sigma=+\sqrt{\mu_2}.\]

 ʬ��$\sigma^2=\mu_2$ ��ʬ�ۤ�{\bf �Ф�Ĥ�}���羮�򼨤���
 �������ѿ�$X$ ��Ʊ�����̤ǤФ�Ĥ���
 �羮�򼨤�����ˤ�ʬ����ʿ�����Ǥ���ɸ���к�$\sigma$ �������Ǥ��롣

\vspace{7mm}
 
 Ǥ�դ�$a$ �����Ȥ�������Ψ���󼡤��濴��Ψ�Ȥδ֤ˤϼ��δط�������
 Ω��\footnote{3���ܤ���4���ܤǡ�̩�ٴؿ����������$\int f(x)dx=1$�Ǥ��롣}��
 \begin{eqnarray}
 E\left[(X-a)^2\right]&=&E\left[\{(X-\mu)+(\mu-a)\}^2\right] \nonumber \\
                      &=&E\left[(X-\mu)^2+2(X-\mu)(\mu-a)
                                       +(\mu-a)^2 \right] \nonumber  \\
                      &=&\int\{(x-\mu)^2+2(x-\mu)(\mu-a)+(\mu-a)^2\}f(x) dx
                                 / \int f(x)dx   \nonumber \\
                      &=&\int(x-\mu)^2f(x) dx+2(\mu-a)\int (x-\mu)f(x)dx
                                            +(\mu-a)^2  \nonumber  \\
                      &=&E\left[(X-\mu)^2\right]+2(\mu-a)E(X-\mu)
                                         +(\mu-a)^2 \nonumber \\
                      &=&\mu_2+(\mu-a)^2  \label{eq:nijinosekiritu}
 \end{eqnarray}
   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(�ʤ���
   ��� ~~~~~$E(X-\mu)=0$ )
 \footnote{   \begin{eqnarray}
              E(X-\mu)&=&\int (x-\mu)f(x) dx/\int f(x) dx \nonumber \\
                      &=&(\int xf(x) dx-\mu \int f(x) dx)/ \int f(x)dx 
                               \nonumber  \\
                      &=&(\mu-\mu\cdot 1)/1=0 \nonumber
              \end{eqnarray}  }

  $(\mu-a)^2\geq0$ �Ǥ��뤫�鼡�δط�������Ω�ġ�
 \[ E(X-a)^2\geq\mu_2   \]
 �Τ�����Ψ����ǺǤ⾮������Τ�ʬ���Ǥ��롣
\vspace{5mm}
 
�����ѿ�$X$ �ΰ켡�Ѵ�$Y=aX+b$($a$ ���������ѹ���$b$ �Ϻ�ɸ�������ѹ���
 ����)��ͤ��롣$E(Y)=aE(X)+b$ �Ǥ��뤫��\footnote{\begin{eqnarray}
                 \sigma^2(Y)&=&\int\{y-E(Y)\}^2f(x)dx
                                =\int\{ax+b-E(aX+b)\}^2f(x)dx \nonumber \\
                            &=&\int\{ax+b-aE(X)-b\}^2f(x)dx
                                =a^2\int\{x-E(X)\}^2f(x)dx
                                =a^2\sigma^2(X) \nonumber 
                \end{eqnarray} }��
 \begin{eqnarray}
     \sigma^2(Y)&=&E\left[Y-E(Y)\right]^2  \nonumber \\
                &=&E\left[(aX+b)-\{aE(X)+b\}\right]^2 \nonumber \\
                &=&E\left[a\{X-E(X)\}\right]^2=a^2E[X-E(X)]^2 \nonumber \\
                &=&a^2\sigma^2(X) \label{eq:hensuuhenkan} 
 \end{eqnarray}
�Τ��������ѹ���ʬ�����礭���˴ط����뤬����ɸ�θ������ѹ���ʬ����̵�ط�
�Ǥ���\footnote{�㤨��$y=100x$�ΤȤ�$\int f(y)dy=1$ ������Ω���ʤ���¨��
�Ѵ���ϳ�Ψ̩�ٴؿ��Ȥϸ����ʤ���$\int f'(y)/ dy/100$ ��ͤ��롣}��

\vspace{5mm}

ʬ��(�󼡤���Ψ)�ˤĤ����Τ���������ޤȤ�롣
\begin{description}
 \item[ʬ��������1] $c$ ������Ȥ����\\
    \begin{equation} 
        \sigma^2(c)=0.\footnote{\[ \sigma^2[g(x)]=\int_{-\infty}^{\infty} 
              \{g(x)-E[g(x)]\}^2 f(x) dx\]
�Ǥ��뤫�顢\\
   \[ \sigma^2(c)=\int_{-\infty}^{\infty} \{c-c\}^2 f(x) dx = 0.\]} 
    \end{equation} 
  \item[ʬ��������2]
    \begin{equation}
      \sigma^2(X+c)=\sigma^2(X).\footnote{$X+c$��ʿ�Ѥ�$\mu+c$ �Ǥ��뤫�顢
      \[ \sigma^2(X+c)=\int_\infty^\infty \{(x+c)-(\mu+c)\}^2 f(x)dx 
         = \sigma^2(X). \]}
    \end{equation}   
  \item[ʬ��������3]
    \begin{equation}
     \sigma^2(cX)=c^2\sigma^2(X). 
    \end{equation} 
ʬ��������2��3��(\ref{eq:hensuuhenkan})��ľ�ܤη�̤Ǥ��롣
  \item[ʬ��������4] �󼡤θ�����Ψ���濴��Ψ�Ȥδ֤ˤ�
       ���δط�������Ω��\footnote{Ʊ�ͤ˻������濴��Ψ��
       ���Τ褦�˸�����Ψ�ι�Ǽ������Ȥ��Ǥ��롣
         \begin{equation}
           \mu_3=\mu_3'-3\mu\mu_2'+2\mu^3
         \end{equation}
      ���̤˼���������Ω�ġ�
          \begin{equation}
            \mu_k=\mu_k'-\pmatrix{ k \cr 1 \cr}\mu'_{k-1}\mu+\cdots+(-1)^i
             \pmatrix{ k \cr i \cr}\mu'_{k-i}\mu^i+\cdots+(-1)^{k-1}(k-1)\mu^k
          \end{equation}
      ��������$\pmatrix{ k \cr i \cr}=~_kC_i
                   =\frac{k\cdot(k-1)\cdot\cdots\cdot(k-i+1)}{i !}.$
     �����δط�����Ȥä��濴��Ψ������Ψ����׻����뤳�Ȥ��Ǥ��롣
             �դ˸�����Ψ���濴��Ψ����׻����뼰���뤳�Ȥ�Ǥ��롣}
        \footnote{(\ref{eq:nijinosekiritu})����$a=0$ �Ȥ����ȡ�
                 $\mu_2'=\mu_2+\mu^2=\sigma^2+\mu^2.$}��\\
                   \begin{equation}
                     \sigma^2(X)=\sigma_X^2=\mu_2=\mu_2'-\mu^2 
                   \end{equation}
 \end{description}

�ʾ�Ǥ��濴��Ψ�����ʤ��ʿ���ͤ��Ф�����Ψ$E(X-\mu)^k$ �䡢Ǥ�դθ���
$a$ ���Ф�����Ψ$E(X-a)^k$ ��ͤ�������äȰ���Ū�ˤϡ�
$X$ ��Ǥ�դδؿ�$g(X)$ �ˤĤ��Ƥ���Ψ�򼡤Τ褦������Ǥ��롣
��Ψ�ѿ�$X$ ��Ǥ�դδؿ���$g(X)$ �Ȥ���Ȥ���$g(X)$ ��$k$ ������Ψ��
\footnote{Υ���ؿ��ξ���$\sum_i [\{g(x_i)\}^k] f(x_i).$}
\begin{equation}
 E[\{g(X)\}^k]=\int_{-\infty}^{\infty} [g(x)]^k f(x) dx ~~~~~~(Ϣ³�ؿ�). 
\end{equation}

�ʤ����ͤޤǤˡ�3�����濴��Ψ$\mu_3$ ��ʬ�ۤΤ椬�ߤ��羮�򼨤���4����
 �濴��Ψ$\mu_4$ ��Ʊ�������������羮�򼨤����Ȥ�ä��Ƥ�����

\vspace{5mm}
$X$ ��Υ���ѿ��ξ��ˤĤ����դ��ä��Ƥ�����
\begin{equation}
  E\left[(X-a)^k\right]
     =\sum_i (x_i-a)^k f(x_i) / \sum_i f(x_i).\label{risan-sekiritu} 
\end{equation}
\begin{equation} 
      E(X)=\sum x_i p_i=\mu,~~Var(X)=\sum (x_i-\mu)^2 p_i.
\end{equation}

\subsection{��Ψ��ؿ�}
 ��Ψ�ѿ�����Ψ�����פ���������Ӽºݤǽ��פ������äƤ��롣�����
 �褦����Ψ�ϳ�Ψ�ѿ���ʬ�ۤμ�����������뤳�Ȥ��Ǥ������̤ξ��
 ���٤Ƥ���Ψ��Ϳ������Ф���ǳ�Ψʬ�ۤη������ꤹ��
 \footnote{����ιͤ����Ȼ��Ƥ���Τ����������ºݤ˥���դ������뤫��
 �褯ʬ����ʤ���}�����äƤ��٤Ƥ�
 ��Ψ�����Ū����ɽ����褦�ʴؿ��򸫽Ф����Ȥ��Ǥ�������ѹ��Թ�Ǥ��롣
 ���ΰ�Ĥ�{\bf ��Ψ��ؿ�}�Ǥ��롣��Ψʬ�ۤη��ˤ�äƤϡ���Ψ�������
 �˴�Ť�����Ψ��׻�����Ȥ��ˡ����̤ι��פ򤷤ʤ���Фʤ�ʤ����䡢
 �׻������ݤʾ�礬���뤬����Ψ��ؿ���Ȥ�����Ψ��������ˡ�Ǥ����Ƥ�
 ��ñ�˷׻����뤳�Ȥ��Ǥ��롣
$X$ ���Ψ�ѿ���$t$ ����ѿ��Ȥ���Ȥ�����������������ؿ�
$M_x(t)$ ��$X$ ��{\bf ��Ψ��ؿ�}�Ȥ�����
 \[ M_x(t)=E(e^{tX}). \]
 $X$ ��Υ���ѿ��ʤ��
 \begin{equation}
    M_X(t)=\sum_x e^{tx}f(x),
 \end{equation}
 $X$ ��Ϣ³�ѿ��ʤ��
 \begin{equation}
    M_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx. \label{bokansu}
 \end{equation}
\vspace{2mm}

 �ؿ��ؿ�$e^{tX}$ ��٥������Ÿ��\footnote{����Ū�ʥ٥����Ÿ����
\begin{equation} f(x)=f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots
       + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots.  \label{beki-kyusu}
 \end{equation} 
 ���θ�����$x$ ���б�����Τ�$tX$ �Ǥ��롣}
 ����ȡ���Ψ��ؿ��򼡤Τ褦�ʵ���η��Ǽ������Ȥ��Ǥ��롣
 \begin{eqnarray}
  M_X(t)=E(e^{tX})&=&E(1+tX+\frac{1}{2!}t^2X^2+\cdots+
                          \frac{1}{k!}t^kX^k+\cdots) \nonumber  \\
                  &=&1+tE(X)+\frac{t^2}{2!}E(X^2)+\cdots+
                          \frac{t^k}{k!}E(X^k)+\cdots \nonumber  \\
                  &=&1+\mu_1't+\mu_2'\frac{t^2}{2!}+\cdots+
                          \mu_k'\frac{t^k}{k!}+\cdots \label{bokansuu-kyusu}   
 \end{eqnarray}
 �Τ���Ψ��ؿ��򤳤Τ褦�˥٥�����η���Ÿ�����뤳�Ȥ��Ǥ���С�����Ÿ
 ������$t^k/k!$ �ι�η�����$k$ ���θ�����Ψ$\mu_k'$ ��Ϳ���롣���줬
 $M_X(t)$ ����Ψ��ؿ�(��Ψ�����߽Ф��ؿ�)�ȸƤ���ͳ�Ǥ��롣  \\
\vspace{5mm}

 ��Ψ��ؿ�������Ψ��׻����뤿��ˤϼ�����ˡ���Ѥ��뤳�Ȥ�Ǥ��롣
 ��Ψ��ؿ���$t$ �ˤĤ���$k$ ����ʬ�����
  \begin{eqnarray}
    \frac{d^k}{dt^k}M_X(t)&=&E\left[
                                     \frac{d^k}{dt^k}e^{tX}\right] \nonumber \\
                          &=&E(X^ke^{tX})   \nonumber
  \end{eqnarray}
 �Ȥʤ�\footnote{$\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)=\int(\frac{d^k}{dt^k}e^{tx})
 f(x)dx.$�����( )��ˤĤ��Ƥ�ʿ�ѡ�¨��
 $E\left[\frac{d^k}{dt^k}e^{tx}\right]$�Ǥ��롣�ޤ�$e^{tX}$ ��
 $t$ �ˤĤ���$k$ ����ʬ�����$X^ke^{tX}$�Ȥʤ롣}��$t=0$ �Ȥ�����
   \begin{equation}
      M_X^{(k)}(0)=E(X^k)=\mu_k'
   \end{equation}
 �Ȥʤ롣�Τ���ؿ���$k$ ����ʬ����$t=0$ �Ȥ������Ȥˤ��$k$ ���θ�����
 Ψ��������(���η�̤�\ref{bokansuu-kyusu}����ऴ�Ȥ���ʬ����$t=0$ ��
 �����Ƥ�������\footnote{$t$ �ˤĤ���$k$ ����ʬ�����Ȥ���$k-n$ ���ܤ�
 ���$\frac{1}{(k-n)!}t^{k-n}\cdot\mu_{k-n}'$.$k$ ���ܤ�����Ǥ��������
 ʬ�ˤʤ뤿��$0$��$k$ ���ܤ���Ǥ�$t=0$ �����줿�Ȥ���$0$�Ȥʤꡢ
 ���$\mu_k'$�����Ĥ�ʤ���})�� \\
 $X$ ���Ψ�ѿ���$g(X)$ �򤽤δؿ��Ȥ���Ȥ���$g(X)$ ����Ψ��ؿ���
 ���μ���������롣
  \begin{equation}
    M_{g(X)}(t)=E(e^{tg(X)})  \label{g(x)-bokansuu}
  \end{equation}
 $X$ ����Ψ��ؿ�$M_X(t)$ ��٥������Ÿ������(\ref{bokansuu-kyusu})���ǡ�
 $e^{tx}$ ��$e^{tg(X)}$ ���֤�������ȼ��μ��������롣
\[ E(e^{tg(X)})=1+tE\left[g(X)\right]+\frac{t^2}{2!}E\left[g(X)\right]^2
                 +\cdots+\frac{t^k}{k!}E\left[g(X)\right]^k+\cdots  \]
\vspace{2mm}

��Ψ��ؿ��ˤĤ��Ƥ������򼨤��� 
\begin{description}
 \item[��Ψ��ؿ�������1] \label{bokansu-teiri}
       $X$ ���Ψ�ѿ���$g(X)$ ��Ǥ�դδؿ���
                            $c$ ��Ǥ�դ�����Ȥ����

  \begin{equation}
    M_{cg(X)}(t)=M_{g(X)}(ct).  \label{bokansuu-cg(x)}
  \end{equation}

������� (\ref{g(x)-bokansuu})����$g(X)=cg(X)$ �Ȥ��ơ�
 \[ M_{cg(X)}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tcg(X)} f(x)dx. \]
  ~~~~~~~(\ref{g(x)-bokansuu})����$t$ ��$ct$ ���֤�������ȡ�
\[  M_{cg(X)}(t)= M_{g(X)}(ct).\]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)   \\
 (\ref{bokansuu-cg(x)})����$g(X)=X$ �ΤȤ���
  \begin{equation}
    M_{cX}(t)=M_X(ct)
  \end{equation}
 
 \item[��Ψ��ؿ�������2] $X$ ���Ψ�ѿ���$g(X)$ �򤽤δؿ���
                        $c$ ��Ǥ�դ�����Ȥ���� 

 \begin{equation}
   M_{g(X)+c}=e^{ct}M_{g(X)}(t).  \label{bokansuu-g(x)+c}
 \end{equation}
������� 
 \begin{eqnarray}
   M_{g(X)+c}(t)&=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{t(g(x)+c)} f(x)dx  \nonumber  \\
                &=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{tg(x)} \cdot 
                      e^{ct} f(x)dx  \nonumber  \\
                &=&e^{ct} \cdot M_{g(X)}(t).  \nonumber
 \end{eqnarray}
       ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)  
\end{description}

��(\ref{bokansuu-g(x)+c})�� $g(X)=X$ �ΤȤ�
  \begin{equation}
     M_{X+c}(t)=e^{ct}M_{X}(t)
  \end{equation}

 ��(\ref{bokansuu-g(x)+c})�� $g(X)=X,c=-\mu$ �ΤȤ�
  \begin{equation}
    M_{X-\mu}(t)=e^{-\mu t}M_X(t)  \label{chushinbokansuu}
  \end{equation}

$M_{X-\mu}(t)$��{\bf �濴��Ψ��ؿ�}�ȸƤФ졢��Ψ�ѿ���ʿ���ͤ��Ф���
�к�����Ψ��ؿ��ȤʤäƤ��롣�����濴��Ψ��ؿ��ϸ�����Ψ��ؿ���
$e^{-\mu t}$ �򤫤�����Τ���������$M_{X-\mu}(t)$ ��
�٥������Ÿ�����뤫\footnote{(\ref{chushinbokansuu})����
(\ref{bokansuu-kyusu})����������������ѡ��Ĥޤꡢ
\begin{equation}
 M_{X-\mu}(t)=e^{-\mu t} \cdot E(e^{tX})
             =e^{-\mu t} \cdot E(1+tX+\frac{1}{2!}t^2X^2+\cdots) \nonumber 
\end{equation}
�Ȥ���ȡ��ȤäƤ����ݤˤʤ롣���Τ褦�ˤ���Ф�����
\begin{eqnarray}
M_{X-\mu}(t)=E(e^{t(X-\mu)})
         &=&E\{1+t(X-\mu)+\frac{1}{2!}t^2(X-\mu)^2
                   +\cdots+\frac{1}{k!}t^k(X-\mu)^k+\cdots\}  \nonumber  \\
         &=&1+tE(X-\mu)+\frac{1}{2!}t^2E\{(X-\mu)^2\}+\cdots        
\end{eqnarray}
}��
�ޤ���$M_{X-\mu}(t)$ ��$k$ ����ʬ����$t=0$ ��
������$k$ �����濴��Ψ�������롣
 \begin{equation}
\frac{d^k}{dt^k}M_{X-\mu}(t)|_{t=0}= \mu_k.
\footnote{\begin{eqnarray}
 M_{X-\mu}(t)&=&\int_{-\infty}^{\infty} e^{t(x-\mu)} f(x)dx \cdot    
                       \frac{d^k}{dt^k}M_{X-\mu}(t) \nonumber  \\
             &=&\int_{-\infty}^{\infty} e^{t(x-\mu)}(x-\mu)^k 
                  f(x)dx \cdot \frac{d^k}{dt^k}M_{X-\mu}(t)|_{t=0}     
   =\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^k f(x)dx = \mu_k. \nonumber
%    \label{chushinbokansuu}
   \end{eqnarray}}  
\end{equation}

\section{¿�ѿ�ʬ��}\footnote{�������ʬ�ۡ�$t$ ʬ�ۤ��������ݡ�
������¿�ѿ�(���ѿ��ʾ�)�ˤĤ��ƤΡ���Ψ�ѿ����¤�ʬ�ۤ��Τ�ɬ�פ����롣
���ΥΡ��ȤǤϡ���Ψ��ؿ�����������ѿ��ˤĤ��ư�����ΤȤ��롣}
��Ĥޤ�����İʾ�γ�Ψ�ѿ���Ʊ���˹ͤ���ɬ�פ����Ф��е����롣
�����ɸ�ܶ��֤γ�ɸ��������Ĥޤ�����İʾ�μ¿��ͤ���ȼ�ä��б����Ƥ�
����Ȥ����롣�㤨��ɸ����$\omega$ ��Ǥ�դ���Ф��줿����
�Ȥ�������˻��Ĥγ�Ψ�ѿ�$X(\omega),Y(\omega),Z(\omega)$ ���б������롣
$X$ �ϼ�����$Y$ �ϲ�²�οͿ���$Z$ �Ͽ���ȹͤ��Ƥ褤��
���λ��ѿ�����ߤ˴�Ϣ���ʤ����ΨŪ���Ѳ����롣������ˤ�ɸ�ܶ��֤���
��Τ�$n$ �������֤Ǥ��äơ�ɸ������$n$ �Ĥκ�ɸ�ˤ�äƷ��ꤵ��뤽��
������ΰ��������뤳�Ȥ�ͤ����롣�㤨��$2$ ��Υ�������ꤲ���硢
ɽ��$1$��΢��$0$ �Ȥ���ȡ�ɸ������$(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)$ �Ǥ��ꡢ
ɸ�ܶ��֤�$2$ �����Ȥʤ롣

\vspace{5mm}
���Τ褦��$n$ �Ĥκ�ɸ�ˤ�äƷ��ꤵ���ɸ�����ˤĤ��Ƥ��Ψ����ޤ롣
���ξϤǤ����(�ʾ�)�γ�Ψ�ѿ���Ʊ��ʬ�ۤˤĤ��ƹͤ��롣

\subsection{Υ��Ū���ѿ�ʬ��}
%\subsubsection{Υ��Ū���ѿ�ʬ�ۤξ��}
��Ψ�ѿ���������줿ɸ�ܶ��֤�$S$ �Ȥ���$X,Y$ ��$\Omega$ �ξ��
������줿��Ĥ�Υ��Ū��Ψ�ѿ��Ȥ��롣Ǥ�դ�ɸ������$X=x_i,~Y=y_j$ �Ȥ�
���¸��ͤ�Ȥ��Ψ�ϡ����Τ褦���ͤ�Ȥ�ɸ�����γ�Ψ���¤�������������
��Ψ��  \\
\begin{equation}
  f(x_i,y_j)\equiv P(X=x_i,Y=y_j)
\end{equation}
�Ǽ�����
��μ���$i=1,2,\cdots,m,~j=1,2,\cdots,n$ �����ƤˤĤ��ƹͤ���Ȥ���
��������ѿ�$X,Y$ ��{\bf Ʊ���ٿ��ؿ�}�Ȥ��������餫��
\[  f(x_i,y_j)\geq 0,  \]  
\[   \sum_i \sum_j f(x_i,y_j)=1 \]
�Ǥ��롣$X,Y$ ��{\bf Ʊ��ʬ�۴ؿ�}�ϼ��μ����������롣 \\
\begin{equation}
  F(x_i,y_j)=P(X\leq x_i,Y\leq y_j)=\sum_{x\leq x_i} \sum_{y\leq y_j}
                f(x,y).
\end{equation}
 
\vspace{5mm}
����$Y$ ���ͤϲ��Ǥ⤤������Ȥˤ���$x_i$ ���Ǥ��Ψ
$P(X=x_i)(�����g(x_i)$ �Ȥ���)��
\[ g(x_i)=\sum_j f(x_i,y_j)   \]
�Ǥ��롣���η׻���$x_i$ �Τ��٤Ƥ��ͤ��Ф��Ƥ��뤳�Ȥ��Ǥ��뤫�顢 \\
\begin{equation}
  g(x)=\sum_y f(x,y)
\end{equation}
��$X$ �γ�Ψʬ�ۤ򼨤���$g(x)$ ��$X$ ��{\bf �����ٿ�(�ؿ�)}�Ȥ�����Ʊ��
�ˤ���  \\
\begin{equation}
  h(y)=\sum_x f(x,y)
\end{equation}
��$Y$ �μ����ٿ�(�ؿ�)��Ϳ���롣$X,Y$ ��Ʊ��̩�ٴؿ���Ϳ������Ȥ���
���μ����ٿ��ϰ��Ū����ޤ롣

\vspace{5mm}
$Y$ ���ͤ�������(�㤨��$y$)������줿�Ȥ���$X$ �ξ���դ���Ψ�� 
$f(x|y)$ �Ȥ����\footnote{��Ψ�ζ��ʽ�Ǥϡ����Ĥ���Ψ�ϰʲ����ͤ�
�����Ƥ��롣����$A$ �������ä��Ȥ��˻���$B$ ��������Ȥ���
���Ĥ���Ψ��$P_A(B)$ ��ɽ��������$A,B$ ��ɽ������򤽤줾��${\bf A,B}$ �Ȥ���
����$A$ �ε�������ο���$n({\bf A})$ ��ɽ����������$n({\bf A}) \neq 0$ 
�Ȥ��롣�ޤ�ɸ�ܶ��֤�${\bf U}$ �Ȥ��롣
����$A$ ��$B$ �ⵯ�������${\bf A} \cap {\bf B}$ ��ɽ����롣����
${\bf A} \cap {\bf B}$ �Ͻ���${\bf A}$ ����ʬ����Ǥ��롣���äơ�
���Ĥ���Ψ��\\
\begin{equation}
P_A(B)=\frac{n({\bf A} \cap {\bf B})}{n({\bf A})} \label{jokentuki}
\end{equation}
�Ȥʤ롣���Ĥ���Ψ�ξ�硢ʬ�줬$n({\bf A})$ �Ȥʤ뤳�Ȥ����դ��ʤ���
�Фʤ�ʤ���ñ�˻���$A$ ��$B$ �ⵯ����Ȥ�����Ψ�� 
\[P({\bf A} \cap {\bf B})=\frac{n({\bf A} \cap {\bf B})}{n({\bf U})} \]
�Ǥ��롣
(\ref{jokentuki})���α��դ�ʬ�졢ʬ�Ҥ�
$n({\bf U})$ �ǳ��ȡ����Ĥ���Ψ�ϼ��μ���ɽ����롣 \\
\begin{equation}
P_A(B)=\frac{P({\bf A} \cap {\bf B})}{P({\bf A})}.
\end{equation}}  \\
\begin{equation}
  f(x|y)=\frac{f(x,y)}{h(y)}~~~h(y)\neq 0  \label{jokentuki-kakuritu}
\end{equation}
�Ǥ��롣���ޤ⤷$X$ ��$Y$ ���ߤ�����Ω�ʤ��  
\[ f(x|y)=g(x),~~~f(y|x)=h(y)   \]
�Ǥ��뤫��  \\
\begin{equation}
  f(x,y)=g(x)h(y)
\end{equation}
�Ǥ��롣

\subsection{Ϣ³Ū���ѿ�ʬ��}
 $X,Y$ ��ɸ�ܶ���$\Omega$ �ξ��������줿��Ĥ�Ϣ³Ū��Ψ�ѿ��Ȥ���
$A$ ��$xy$ ʿ�̾����$(x,y)$ ��Ǥ�դ���ʬ����Ȥ��롣���ΤȤ�
��$(x,y)$ ��������ʬ�����°���뤳�Ȥ��Ф��ư���γ�Ψ����ޤ�ʤ�С�
���ѿ�$X,Y$ ��Ʊ��ʬ�ۤ����뤳�Ȥ��Ǥ��롣�����Ѱ�$-\infty <x< \infty,
-\infty <y< \infty$ �Τ��٤Ƥ�$x,y$ ���Ф�������δؿ�$f(x,y)$ ��¸�ߤ���
$xy$ ʿ�̾��Ǥ�դ��ΰ�$A$ ���Ф��Ƽ��δط�������Ω�ĤȤ���$f(x,y)$
 �����ѿ�$X,Y$ ��{\bf Ʊ��̩�ٴؿ�}�Ȥ����� \\
\begin{equation}
  P\left[(X=x,Y=y) \in A \right]=\int \int_A f(x,y)dxdy.\footnote{ʬ�۴ؿ��ʤΤǡ����դ��ͤ�0����1�Ǥ��롣}
\end{equation}
���餫�� 
\[ \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dxdy=1  \]
�Ǥ��롣
{\bf Ʊ��ʬ�۴ؿ�}�ϼ��μ����������롣
\begin{eqnarray}
    F(x,y)&=&P(X\leq x,Y\leq y)     \nonumber \\
          &=&\int_{-\infty}^x \int_{-\infty}^y f(x,y)dydx.
\end{eqnarray}
�Τ˰��ѿ��ξ���Ʊ�ͤˤ��ξ���̩�ٴؿ���ʬ�۴ؿ�����ʬ���Ƶ���
���Ȥ��Ǥ��롣  \\
\begin{equation}
  f(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x \partial y}F(x,y).
\end{equation}
Υ���ѿ��ξ���Ʊ�ͤˡ��ѿ�$X,Y$ ��ñ�Ȥ�̩�ٴؿ�(����ʬ�ۤȤ���)��
���μ��ˤ�ä�Ϳ������\footnote{$g(x)$ �ϡ��ޤ�$x=x$ ��
$x$ ���ͤ���ꤷ��$y$ ���ͤˤĤ���­����碌�Ƥ��������θ塢$x$ ���ͤ�
ư���Ƥ⹽��ʤ���}��  
\begin{eqnarray}
  g(x)&=&\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy,  \nonumber \\
  h(y)&=&\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx.
\end{eqnarray}
¨�����ѿ���ʬ�ۤ����ѿ���Ʊ��ʬ�ۤ�⤦�������ѿ�
�˴ؤ�����ʬ���뤳�Ȥˤ�ä�Ƴ����롣

\vspace{5mm}
%�����ѿ�$Y$ �����$(y,y+dy)$ �ˤ���Ȥ���$X$ �����$(x,x+dx)$ �ˤ�����
%��Ψ�ϡ�����դ���Ψ������ˤ��\footnote{1���ܤα��դ��ä�ʬ����ʤ���}  
%\begin{eqnarray}
%  f(x|y)dx&=&\frac{f(x,y)dxdy}{h(y)dy}  \nonumber \\
%          &=&\frac{f(x,y)dx}{h(y)}.  \nonumber
%\end{eqnarray}
����դ���Ψ�ξ���Ʊ�͡�����ʬ�ۤˤĤ��Ƥ�
\begin{equation}
 f(x|y)=\frac{f(x,y)}{h(y)},~~f(y|x)=\frac{f(x,y)}{g(x)}
\end{equation}
������Ω�ġ������μ���������ʬ�ۤ�$Y$(�ޤ���$X$) ���Ф��롢���뤤��
$Y$(�ޤ���$X$) ����Ȥ���$X$(�ޤ���$Y$) ��{\bf ����դ�ʬ��}�Ȥ�����
�弰��$f(x|y),f(y|x)$ �����줾��̩�ٴؿ������뤳�Ȥϼ����̤����餫�Ǥ�
�롣¨��$f(x|y),f(y|x)$ �Ϥ��������Ĥγ�Ψ̩�٤���Ǥ��뤫������Ǥ��롣
�ޤ����餫��  \\
\begin{eqnarray}
  \int_{-\infty}^\infty f(x|y)dx 
       &=&\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x,y)}{h(y)}dx
        =\frac{1}{h(y)}\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx \nonumber \\
       &=&\frac{1}{h(y)}h(y)=1   \nonumber
\end{eqnarray}
�Ǥ��롣

\vspace{5mm}
���ޤ⤷$f(x|y)=f(x,y)/h(y)$ ��$Y$ ��̵�ط��ʤ�С�¨�����μ��α��դ���
������$y$ ��ޤޤʤ����ˤʤ�Ȥ��ϡ�$f(x|y)=g(x)$ �Ǥ��ꡢ���ä�  \\
\begin{equation}
  f(x,y)=g(x)h(y)
\end{equation}
�Ȥʤ롣$f(y|x)=h(y)$ �ΤȤ���Ʊ�ͤǤ��롣���Τ��Ȥϼ��Τ��Ȥ��̣���롣

\begin{description}
 \item[���ѿ�ʬ�ۤ�����1]  $P(X\in A,Y\in B)=P(X\in A)P(Y\in B)$��¨��$X,Y$ ���ߤ���
��Ω�ʤ�С�$X,Y$ ��Ʊ��ʬ�ۤϤ��줾��$X,Y$ �Τߤ�ޤ���ؿ����Ѥη���
ɽ����롣�դ�Ʊ��ʬ�ۤ����줾��$X$ �ޤ���$Y$ �����δؿ����ѤȤ��Ƽ���
���Ȥ��Ǥ������Ĥ��줾����ѿ����Ѱ褬�ߤ���̵�ط��ΤȤ��ϡ����ѿ�$X,Y$ 
�ϸߤ�����Ω�Ǥ��롣
\end{description}
$X,Y$ ���ߤ�����Ω�ʤ�С�����ʬ�۴ؿ��ˤĤ��Ƥ����餫�˼��δط�������Ω
�ġ�  \\
\begin{equation}
   F(x,y)=F(x)F(y).
\end{equation}

\subsection{���ѿ�ʬ�ۤ���Ψ}
���ѿ�ʬ�ۤξ���Ʊ�ͤˤ������ѿ�ʬ�ۤ��Ф��Ƥ��ѿ��δ����ͤ��������롣 
$X,Y$ ����Ĥ�Ϣ³��Ψ�ѿ�������Ʊ��̩�ٴؿ���$f(x,y)$ �Ȥ���$X,Y$ ��
Ǥ�դδؿ���$\phi(X,Y)$ �Ȥ���С��ؿ�$\phi(X,Y)$ ��{\bf ������}�ϼ�����
�������롣  \\
\begin{equation}
 E\left[\phi(X,Y)\right]=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
                         \phi(x,y)f(x,y)dxdy
\end{equation}
$X,Y$ ��Υ���ѿ��ξ�������ͤ򤳤�˽स��������뤳�Ȥ��Ǥ��롣

\vspace{5mm}
��Ĥγ�Ψ�ѿ����ߤ�����Ω�ΤȤ��������Ѥδ����ͤˤĤ��Ƽ�������������
Ω�ġ�
\begin{description}
 \item[���ѿ�ʬ�ۤ�����2] ��Ĥγ�Ψ�ѿ����ߤ�����Ω�ΤȤ��������Ѥδ����ͤ�
  ���ѿ��δ����ͤ��Ѥ���������
\end{description}
������� \\
����$\phi(X,Y)=XY$ �Ȥ���С����ѿ�����$XY$ �δ����ͤ�
\[ E(XY)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
                   xyf(x,y)dxdy   \] 
�������롣�⤷$X,Y$ ���ߤ�����Ω�ʤ�С�$f(x,y)=g(x)h(y)$ �Ǥ��뤫�� 
\begin{eqnarray}
  E(XY)&=&\int_{-\infty}^\infty xg(x)dx 
                  \int_{-\infty}^\infty yh(y)dy \nonumber \\ 
       &=&E(X)E(Y)
\end{eqnarray}
�Ǥ��롣~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(���������)  \\
���������ϻ��ѿ��ʾ�ξ��˳�ĥ����롣

\vspace{5mm}
���ѿ�ʬ�ۤξ���$X,Y$ �Τ��줾��μ���ʬ�ۤ��Ф��Ƥ��줾�����Ψ�����
�뤬������¾��$X,Y$ ��Ʊ��ʬ�ۤ��Ф��Ƥ⼡�Τ褦��{\bf Ʊ����Ψ}�������
��롣$X,Y$ ����Ψ�ѿ��ΤȤ����μ�����ޤ���
\[ E\left[(X-a)^r (Y-b)^s\right]  \]
��$X,Y$ ��$X=a,~Y=b$ ���Ф���$r,s$ ������Ψ�Ȥ���������$a=b=0$ �Ȥ�����
$X,Y$ �θ�����Ψ 
\begin{equation}
 \mu_{rs}'=E(X^r Y^s)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
                       x^r y^s f(x,y) dxdy
\end{equation}
��������졢$a=E(X)=\mu_X,~b=E(Y)=\mu_Y$ �Ȥ������濴��Ψ 
\begin{eqnarray}
  \mu_{rs}&=&E\left[(X-\mu_X)^r (Y-\mu_Y)^s \right] \nonumber \\
           &=&\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
              (x-\mu_X)^r (y-\mu_Y)^s f(x,y)dxdy           
\end{eqnarray}
���������롣�ä�  
\begin{equation}
 \mu_{11}=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
               (x-\mu_X)(y-\mu_Y)f(x,y)dxdy
\end{equation}
��$X,Y$ ��{\bf ��ʬ��}�ȾΤ�������$cov(X,Y)$ ���뤤��$\sigma_{XY}$ �Ǽ�
�������δط����Ͻ��פǤ��롣  
\begin{eqnarray}
  cov(X,Y)&=&\mu_{11}=E\left[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)\right] \nonumber \\
          &=&E\left[XY-\mu_X Y-\mu_Y X+\mu_X \mu_Y \right]  \nonumber  \\
          &=&E(XY)-\mu_X E(Y)-\mu_Y E(X)+\mu_X \mu_Y  \nonumber  \\
          &=&\mu_{11}'-\mu_X \mu_Y  \label{jo-sekiritu}
\end{eqnarray}
$E(XY)=\mu_{11}'$ ��(�������Ф���)$X,Y$ ��{\bf ����Ψ}�Ȥ�����$X,Y$ ����
������Ω�ʤȤ������ѿ�ʬ�ۤ�����2�ˤ��$E(XY)=E(X)E(Y)$��¨��
$\mu_{11}'=\mu_X \mu_Y$ �Ǥ��뤫�顢(\ref{jo-sekiritu})����$0$ �Ȥʤ롣
¨�����ѿ����ߤ�����Ω�ΤȤ������ζ�ʬ����$0$ �Ǥ��롣���������εդ�
ɬ�����⿿�ǤϤʤ���

\vspace{5mm}
�ʤ���Ʊ����Ψ�ε�����Ѥ���$X,Y$ ��ʿ���ͤ�ʬ���򼡤Τ褦��ɽ�����뤳��
���Ǥ��롣(�ʲ�����Ψ�ѿ�ɽ����ź���ˤ��ص��微ʸ�����Ѥ��롣)
\begin{eqnarray}
 E(X)&=&\mu_x=E(X^1 Y^0)=\mu_{10}' \nonumber  \\
 E(Y)&=&\mu_y=\mu_{01}' \nonumber  \\ 
 var(X)&=&\sigma_x^2=E\left[(X-\mu_x)^2\right]=\mu_{20}  \nonumber \\
 var(Y)&=&\sigma_y^2=\mu_{02}  \nonumber   \\
 cov(X,Y)&=&\sigma_{xy}=\mu_{11}  \nonumber
\end{eqnarray}

\vspace{5mm}
��Ȥ������ѿ�$X,Y$ ���¤���Ӻ���ʬ�������ȼ��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{eqnarray}
 var(X \pm Y)&=&E\left[X\pm Y-E(X\pm Y)\right]^2 \nonumber  \\
             &=&E\left[(X-\mu_x)\pm (Y-\mu_y)\right]^2 \nonumber \\
             &=&E\left[(X-\mu_x)^2\right]+E\left[(Y-\mu_y)^2\right]
                 \pm 2E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)\right] \nonumber \\
             &=&\sigma_x^2+\sigma_y^2\pm 2\sigma_{xy} \label{2hensuu-bunsan}
\end{eqnarray}
���ޤ⤷$X,Y$ ���ߤ�����Ω�ʤ�ж�ʬ����$\sigma_{xy}=0$ �Ǥ��롣
��äƤ��ΤȤ���  \\
\begin{equation}
 var(X\pm Y)=\sigma_x^2+\sigma_y^2
\end{equation}
�Ȥʤ롣���ʤ����������������Ω�ġ�
\begin{description}
 \item[���ѿ�ʬ�ۤ�����3] ���ѿ�$X,Y$ ���ߤ�����Ω�ʤ�С�������(�ޤ���
��)��ʬ���ϳ��ѿ���ʬ�����¤��������� \label{nihensu-teiri3}
\end{description}
���������ϻ��ѿ��ʾ�ξ��ˤ��ĥ����롣

\subsection{¿�ѿ�ʬ�ۤ���Ψ��ؿ�}
�����ǤϤޤ������ѿ�ʬ�ۤˤĤ��ƽҤ٤롣
���ѿ�$X,Y$ ��Ʊ��ʬ�ۤ�{\bf ��Ψ��ؿ�}�ϼ����ˤ�ä��������롣
\begin{equation}
 M_{X,Y}(t_x,t_y)=E(e^{t_x X+t_y Y})
\end{equation}
����$X,Y$ �򶦤�Ϣ³�ѿ��Ȥ���С���Ψ��ؿ��ϼ����Ƿ׻�����롣
\begin{equation}
  M(t_x,t_y)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
            e^{t_x x+t_y y} f(x,y)dxdy
\end{equation}
���ѿ��ξ���Ʊ�ͤˡ�������ؿ��ϼ��Τ褦�ʷ��˥٥����Ÿ������롣 \\
\begin{equation}
  M(t_x,t_y)=\sum_{r,s=0}^\infty \mu_{rs}' \frac{t_x^r t_y^s}{r!s!}.\footnote{
\[ M(t_x,t_y)=E(e^{t_x X \cdot e^{t_y Y}})
    =(\sum(t_x x)^r \cdot \frac{1}{r!})(\sum(t_y y)^s \cdot \frac{1}{s!})
    =\sum((t_x x)^r \cdot \frac{1}{r!})((t_y y)^s \cdot \frac{1}{s!}). \]
 $E(1+t_x X+t_y Y+\frac{1}{2!}(t_x X+ t_y Y)^2 \cdots )$
�Ȥ��Ʒ׻����Ƥ⤤���������ѡ��ޤ���
 \[  \mu_{rs}'=E(X^r Y^s)=\int \int x^r y^s f(x,y) dxdy.\]  }
\end{equation}
���ä�Ǥ�դμ�����Ʊ����Ψ�����η׻��ˤ�ä������롣 \\
\begin{equation}
 \mu_{rs}'=\frac{\partial^{r+s}}{\partial t_x^r \partial t_y^s}
           M(t_x,t_y) |_{t_x=0 \atop t_y=0}.\footnote{$r-1,s-1$ �ޤǤι��
   ��ʬ����������$r+1,s+1$ �ʾ�ι��$t_x=0,t_y=0$ �Ǿä��롣}
\end{equation}
Ʊ�ͤˤ���ʿ���ͤ��Ф���{\bf �濴��Ψ��ؿ�}�����Τ褦���������롣\\
\begin{equation}
  M_{X-\mu_x,Y-\mu_y}(t_x,t_y)=\left[e^{t_x(X-\mu_x)+t_y(Y-\mu_y)}\right]
\end{equation}
$X,Y$ ���ߤ�����Ω�ΤȤ���$f(x,y)=g(x)h(y)$ �Ǥ��뤫��
\begin{eqnarray}
 M_{X,Y}(t_x,t_y)&=&\int_{-\infty}^\infty e^{t_x x}g(x)dx
                     \int_{-\infty}^\infty e^{t_y y}h(y)dy \nonumber \\
                 &=&M_X(t_x)\cdot M_Y(t_y)  \label{nihensu-bokansu}
\end{eqnarray}
�Ȥʤ롣��äƼ��������������롣
\begin{description}
 \item[���ѿ�ʬ�ۤ�����4] ���ѿ�$X,Y$ ���ߤ�����Ω�ΤȤ��ϡ�����Ʊ��ʬ�ۤ�
  ��Ψ��ؿ��ϳ��ѿ�����Ψ��ؿ����Ѥ���������
\end{description}

\vspace{5mm}
���ѿ�ʬ�ۤ�����4�ϡ�¿�ѿ�ʬ�ۤˤĤ��Ƽ��Τ褦�˳�ĥ�Ǥ��롣
 \begin{description}
  \item[��Ω�ѿ����¤���Ψ��ؿ�������] 
    ��Ψ�ѿ�$X_1,X_2,\cdots$ ���ߤ�����Ω�Ǥ�����Ψ��ؿ�$M_{X_1}(t),
    M_{X_2}(t),\cdots$ ��ͭ����Ȥ���$Y=X_1+X_2+\cdots$ ����Ψ��ؿ��� \\
   \begin{equation}
    M_Y(t)=M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t) \cdots  \label{sekiritubokansu-x1x2x3}
   \end{equation}
   ��Ϳ�����롣 \\
   ������� Ϣ³�ѿ��ΤФ����ˤĤ��ƹͤ��롣����ˤ�� 
    \begin{eqnarray}
      M_Y(t)&=&E(e^{tY})=E\left[e^{t(X_1+X_2+\cdots)}\right] \nonumber \\
            &=&\int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty
               e^{t(x_1+x_2+\cdots)} f(x_1,x_2,\cdots)
                          dx_1 dx_2 \cdots \nonumber  \\
            &=&\int_{-\infty}^\infty e^{tx_1}f_{X_1}(x_1)dx_1 
                \int_{-\infty}^\infty e^{tx_2}f_{X_2}(x_2)dx_2
                \cdots   \nonumber \\
            &=&M_{X_1}(t) M_{X_2}(t) \cdots \nonumber
    \end{eqnarray}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������) 
\end{description}


\subsection{���ѿ�ʬ�ۤ��ѿ��Ѵ�}\footnote{���ѿ��ξ����ѿ��Ѵ���
\ref{sec-t-bunpu}��$t$ ʬ�ۤ�����Ѥ��롣���ѿ�ʬ�ۤ��ѿ��Ѵ��ϡ�
ľ�ܻȤ����ǤϤʤ��ä���$X,Y$��Ʊ��ʬ�ۤ�Ϳ�����Ƥ��ꡢ$U=X+Y$�ʤɤ�ʬ�ۤ�
�����硢�ѿ��Ѵ��ˤ�äƲ򤯤��Ȥ�Ǥ��롣}
% X+Y �ˤĤ���
������Ǥ�Ϣ³�ѿ��ˤĤ��ƹͤ��롣�ޤ�������ˤ����Ƥϡ���Ψ�ѿ�$X$ ��
̩�ٴؿ���$f_X$ ��ɽ�����롣��Ψ�ѿ�$X$ ��̩�ٴؿ�$f_X(x)$ 
 ��Ϳ����줿�Ȥ���$X$ ��$X$ �δؿ�${\bf Y}={\bf g}({\bf X})$ ���ѿ�
�Ѵ����뤳�Ȥ�ͤ��롣���ΤȤ�$Y$ ��̩�ٴؿ��ϼ����������롣
\begin{equation}
  f_Y(y)=f_X\{g^{-1}(y)\}\left|\frac{dx}{dy}\right|  \label{hensuuhennkan1}
\end{equation}
������$g^{-1}(Y)$ ��$g(X)$ �εմؿ�$(X=g^{-1}(Y))$�Ǥ��ꡢ$g(X)$ �εմ�
����¸�ߤ���Ȥ�(���ѿ�ʬ�ۤξ���$g(X)$ ��ñĴ���ä⤷����ñĴ�����λ�)
�Τߤ�ͤ��롣���ʤ��$Y$ ��̩�ٴؿ���
$f_X(x)$ ��$x$ ��$x=g^{-1}(y)$ ��$y$ �ˤ��������Ƥ����$dx/dy$ (��������)��
������Ф褤�ΤǤ��äơ����ΤȤ�$dx/dy$ ��$X$ �γ�Ψ��ʬ$f(x)dx$ ��$Y$ 
 �γ�Ψ��ʬ$f(y)dy$ ���Ѵ����뤿��δ������Ҥ�Ư���򤷤Ƥ��롣 \\
��(\ref{hensuuhennkan1})���ξ����� \\
�ޤ�$Y=g(X)$ �����ôؿ��ξ��ˤĤ��ƹͤ��롣$g(X)$ ��ñĴ���äǤ��뤫��
�մؿ�$X=g^{-1}(Y)$ ��ñĴ���äǤ��롣����$X$ ��ʬ�۴ؿ���$F_X(x),a$ ��
$X$ ��Ǥ�դ��ͤȤ����
\[  F_X(a)=P(X \le a)=\int_{-\infty}^a f_X(x) dx.   \]
$Y$ ��ʬ�۴ؿ���$F_Y(y)$ �Ȥ����
\[  F_Y\{g(a)\}=P[Y \le g(a)]=P(X \le a)=F_X(a)  \]
�Ǥ��롣��ä�
\[  \int_{-\infty}^{g(a)} f_Y(y) dy=\int_{-\infty}^a f_X(x) dx  \]
���դ�$x=g^{-1}(y),~f_X(x)=f_X\{g^{-1}(y)\},~dx=\frac{d}{dy}g^{-1}(y)
dy$ ���֤��������
\[ \int_{-\infty}^{g(a)} f_Y(y) dy
   =\int_{-\infty}^{g(a)} f_X\{g^{-1}(y)\} \frac{d}{dy}g^{-1}(y) dy  \]
�Ȥʤꡢ���ä�
\[  f_Y(y)=f_X\{g^{-1}(y)\} \frac{d}{dy}g^{-1}(y)     \]
�Ȥʤ롣  \\
$Y=g(X)$ ��$X$ �θ����ؿ��Ǥ���Ȥ��ϡ�
\[  F_Y\{g(a)\}=P[Y \le g(a)]=P(X > a)    \]
�Ǥ��뤫��
\begin{eqnarray}
 \int_{-\infty}^{g(a)} f_Y(y) dy&=&\int_a^\infty f_X(x) dx
         =\int_\infty^a -f_X(x) dx  \nonumber  \\
        &=&\int_{-\infty}^{g(a)} -f_X\{g^{-1}(y)\} 
            \frac{d}{dy}g^{-1}(y) dy \nonumber
\end{eqnarray}
�Ȥʤ롣���ä�
\[  f_Y(y)=-f_X\{g^{-1}(y)\} \frac{d}{dy}g^{-1}(y).    \]
���ΤȤ������ؿ�$g^{-1}(y)$ ��Ƴ�ؿ�����Ǥ��뤫�顢$f_Y(y)$ �����Ǥ��롣
�ʾ�η�̤��碌��ȡ�(\ref{hensuuhennkan1})���Ȥʤ롣~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)


\vspace{5mm}
���ˤ��ιͤ������ĥ�������ѿ�ʬ�ۤξ����ѿ��Ѵ�����ˡ��ͤ��롣�����
��Ψ�ѿ�$X,Y$ ��Ʊ��ʬ��$f_{X,Y}(x,y)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���$X,Y$ ��
Ϳ����줿�ؿ�$U=g(X,Y),~V=h(X,Y)$ ��Ʊ��ʬ��$f_{U,V}(u,v)$ ����뤳��
�Ǥ��롣�������ؿ�$g,h$ ��$X,Y$ ���Ѱ����Ϣ³������ʬ��ǽ�Ȥ��롣���Τ�
��$X,Y$ ��Ʊ��ʬ�ۤγ�Ψ��ʬ$f(u,v)dudv$ ���Ѵ����뤿��δ�������(���ѿ�
�ΤȤ���$dx/dy$ ������������)�ϼ�����Ϳ�����롣
\begin{equation}
 J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}
  =\left| \pmatrix{ 
      \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \cr
      \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \cr  }
      \right|   \label{yakobian}
\end{equation}
���δ������Ҥ�($U,V$ �˴ؤ���$X,Y$ ��){\bf �䥳���ӥ���}�Ȥ�����\\
��䥳���ӥ���˴ؤ��������� 

 ���Ȥ��ѿ�$U,V$ ��¾�ΰ��Ȥ��ѿ�$X,Y$ �δؿ��Ȥ��Ƽ��μ�
\begin{equation}
  U=g(X,Y),~~~V=h(X,Y) \label{u-v}
\end{equation}
��ɽ����Ƥ��ơ�$g$ �����$h$ ��Ϣ³�Ǥ�����ʬ�Ǥ����ΤȤ��롣�⤷
$X$ �˰�����ͤ�Ϳ����С��������Ĥμ�����$Y$ ��õ��$U$ �����
$V$ �����դ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣������Ū�ˤϡ�$X=$const ��$UV$ ʿ�̾��
��Ĥζ�����ɽ����Ʊ�ͤ�$Y=$const ��ޤ���Ĥζ�����ɽ����¨��
$X=c_1,X=c_2,\cdots$ ���ϰ췲�ζ�����$Y=k_1,Y=k_2,\cdots$ ����¾��
�췲�ζ�����ɽ�����⤷��(\ref{u-v})�εմؿ�������Ȥ��Ϥ����
\begin{equation}
 X=G(U,V),~~~Y=H(U,V)  \label{x-y}
\end{equation}
�Ȥ���$G$ �����$H$ ��Ϣ³�Ǥ�����ʬ�Ǥ����ΤȤ��롣����ʿ�̾��
������$X$ �򲣼���$Y$ ��ļ��ˤȤ�С�$U=a_1,U=a_2,\cdots$ �����
$V=l_1,V=l_2,\cdots$ ���Ϥ��줾���������ɽ�����Ȥˤʤ롣
(\ref{u-v})��(\ref{x-y})�����������
\[  X=G(g(X,Y),h(X,Y)),~~~Y=H(g(X,Y),h(X,Y))     \]
�������롣�����򤽤줾��$X$ �����$Y$ �˴ؤ�����ʬ����С�
\begin{eqnarray}
     1&=&\left.\frac{\partial G}{\partial U}\right|_V 
        \left.\frac{\partial g}{\partial X}\right|_Y 
       +\left.\frac{\partial G}{\partial V}\right|_U 
        \left.\frac{\partial h}{\partial X}\right|_Y,
   ~~~0=\left.\frac{\partial G}{\partial U}\right|_V
        \left.\frac{\partial g}{\partial Y}\right|_X
       +\left.\frac{\partial G}{\partial V}\right|_U
        \left.\frac{\partial h}{\partial Y}\right|_X, \nonumber \\
    0&=&\left.\frac{\partial H}{\partial U}\right|_V
        \left.\frac{\partial g}{\partial X}\right|_Y
       +\left.\frac{\partial H}{\partial V}\right|_U
        \left.\frac{\partial h}{\partial X}\right|_Y,
   ~~~1=\left.\frac{\partial H}{\partial U}\right|_V
        \left.\frac{\partial g}{\partial Y}\right|_X
       +\left.\frac{\partial H}{\partial V}\right|_U
        \left.\frac{\partial h}{\partial Y}\right|_X. \nonumber
\end{eqnarray}
�椨��
\begin{equation}
 J=\frac{\partial G}{\partial U} \frac{\partial H}{\partial V}
   -\frac{\partial G}{\partial V} \frac{\partial H}{\partial U} 
  =\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v}
   - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}
\end{equation}
��$0$ �Ǥʤ����\footnote{
\begin{equation}
 \pmatrix{x \cr y \cr}=\pmatrix{a & b \cr c & d \cr}
    \pmatrix{u \cr v \cr}    \nonumber
\end{equation}
�Ǥ���Ȥ���ȡ�
\begin{equation}
 \pmatrix{u \cr v \cr}=\frac{1}{ad-bc}\pmatrix{ d & -b \cr -c &  a \cr}
      \pmatrix{x \cr y \cr}.    \nonumber
\end{equation}
��ɡ�$J=ad-bc \ne 0$ �ϵչ���¸�ߤ��뤿��ξ�
}��
\[ \frac{\partial g}{\partial X}=\frac{1}{J}\frac{\partial H}{\partial V},
~~\frac{\partial g}{\partial Y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial G}{\partial V},
~~\frac{\partial h}{\partial X}=-\frac{1}{J}\frac{\partial H}{\partial U},
~~\frac{\partial h}{\partial Y}=\frac{1}{J}\frac{\partial G}{\partial U}   \]
�������롣�ʾ��ꡢ
\[J=\left| \pmatrix{ 
      \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \cr
      \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \cr  }
      \right|
   =\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}.  \]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)    

\vspace{5mm}
(\ref{hensuuhennkan1})�����б�����
���ѿ�ʬ�ۤ��ѿ��Ѵ��ˤĤ��Ƥϼ�������������Ω�ġ�
\begin{description}
 \item[���ѿ�ʬ�ۤ�����5] $X,Y$ ��Ʊ��̩�ٴؿ���$f_{X,Y}(x,y)$ ��Ϳ����
	 �졢�ؿ�$U=g(X,Y),~V=h(X,Y)$ ��$X,Y$ ���Ѱ����Ϣ³������ʬ��ǽ
	 �ʤȤ���$U,V$ ��Ʊ��̩�ٴؿ��ϼ�����Ϳ�����롣 
   \begin{equation}
     f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}\{G(u,v)H(u,v)\}
         \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|  \label{2hensuu-5}
  \end{equation}
	    ������$G(u,v),H(u,v)$ ��$g(x,y),h(x,y)$ �εմؿ��Ǥ��롣
\end{description}
�������  \\
�䥳���ӥ���$X,Y$ ���Ѱ����$0$ �Ǥʤ����$X,Y$ �εմؿ�
\[   X=G(U,V),~~~~Y=H(U,V)  \]
�����Ū����ޤ롣��ä�$xy$ ʿ�̾��Ǥ�դ��ΰ�$R$ �˴ޤޤ����$(x,y)$ 
��$uv$ ʿ�̾�Τ�����б������ΰ�$S$ ��ΰ���$(u,v)$ �Ȱ��а���б����롣
���ΤȤ���$(x,y)$ ������$R$ ��°�����Ψ����$(u,v)$ ������$S$ ��°����
��Ψ����������¨��
\[ P[(u,v) \in S]=P[(x,y) \in R]   \]
�Ǥ��롣���δط�����
\[ \int \int_S f_{U,V}(u,v)dudv 
         =\int \int_R f_{X,Y}(x,y)dxdy  \]
������Ω�ġ�������
\[   X=G(U,V),~~~~Y=H(U,V)  \]
�ˤ���ѿ��Ѵ���ͤ��롣$XY$��ɸ�Ϥˤ����ơ��٥��ȥ�$(dx,0),(0,dy)$
�֤����Ѥ�
\[  \left|(dX,0) \times (0,dY)\right|
    = \left|
      \begin{array}{@{\,}cc@{\,}}
       dX & 0  \\
       0  & dY 
       \end{array}
       \right|= dXdY        \]
�Ȥʤ롣�Ȥ����ǡ�
\begin{eqnarray}
  dX&=&\frac{\partial G}{\partial U}dU
            + \frac{\partial G}{\partial V}dV, \nonumber \\
  dY&=&\frac{\partial H}{\partial U}dU
            + \frac{\partial H}{\partial V}dV \nonumber
\end{eqnarray}
�Ǥ��뤫�顢����$UV$��ɸ�Ϥˤ�����٥��ȥ롢
$(\frac{\partial G}{\partial U}dU,\frac{\partial G}{\partial V}dV),
(\frac{\partial H}{\partial U}dU,\frac{\partial H}{\partial V}dV)$
�֤����Ѥϼ��Τ褦�ˤʤ롣
\[ \left|(\frac{\partial G}{\partial U}dU,\frac{\partial G}{\partial
V}dV) \times (\frac{\partial H}{\partial U}dU,\frac{\partial H}
 {\partial V}dV) \right|=   
  \left|
  \begin{array}{@{\,}cc@{\,}} 
 \frac{\partial G}{\partial U}dU & \frac{\partial H}{\partial U}dU  \\ 
 \frac{\partial G}{\partial V}dV  & \frac{\partial H}{\partial V}dV  
  \end{array}
  \right|
    =  J dUdV.                \]
��ä�
\begin{eqnarray}         
  \int \int_S f_{U,V}(u,v)dudv 
  &=&\int \int_R f_{X,Y}(x,y)dxdy \nonumber     \\
  &=&\int \int_S f_{X,Y}\{G(u,v)H(u,v)\}
           \left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| dudv \nonumber
\end{eqnarray}
�Ȥ����ط���Ƴ����롣���δط���$uv$ ʿ�̾�ΤɤΤ褦�ʽ���$S$ �ˤĤ���
������Ω�Ĥ��顢���ѿ�ʬ�ۤ�����5������Ω�ġ�~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)

\vspace{5mm}
¨��$U,V$ ��Ʊ��̩�ٴؿ�����뤿��ˤ�$X,Y$ ���Ѵ���$U=g(X,Y),~V=h(X,Y)$
 ��$X,Y$ �ˤĤ��Ʋ򤤤Ƥ����$X,Y$ ��Ʊ��̩�ٴؿ�$f_{X,Y}(x,y)$ ����������
$U,V$ �˴ؤ���$X,Y$ �Υ䥳���ӥ���������ͤ��Ψ��ʬ���Ѵ����ҤȤ��Ƥ���
��Ф������������ѿ�$U,V$ ���Ѵ���$X,Y$ ���Ѱ��$U=g(X,Y),~V=h(X,Y)$ ��
�ط����餽�줾��ξ��ˤĤ����ꤵ��롣�ʤ��䥳���ӥ���μ�(\ref{yakobian})
�η׻��ˤĤ��Ƥ�
\[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}
     =\left[ \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\right]^{-1}
     = \left| \pmatrix{ 
      \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \cr
      \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \cr  }
      \right|^{-1}         \]
�Ǥ��뤫�顢���դ��ⱦ�դ������׻����䤹���Ȥ��ˤϤ�����ˡ�Ƿ׻������
�褤��

\begin{description}
 \item[������1] $X,Y$ ��Ʊ��ʬ�ۤ�$f(x,y)=e^{-(x+y)},~x>0,~y>0$ ��Ϳ����
	�졢$U=X+Y,~V=X/Y$ ����᤿�Ȥ���$f(u,v)$ ����衣 \\
      $U,V$ �εմؿ���
     \[ X=\frac{UV}{1+V},~~~Y=\frac{U}{1+V}   \] 
   �Ǥ��뤫���ѿ��Ѵ��Υ䥳���ӥ����
  \[ J=\left| \pmatrix{ 
      \frac{v}{1+v} & \frac{u}{(1+v)^2} \cr
      \frac{1}{1+v} & \frac{-u}{(1+v)^2} \cr  }
      \right| = \left|\frac{-u}{(1+v)^2}\right|  \]  
   �Ȥʤ롣(���������ξ����Ѵ����򤽤Τޤ޻Ȥäƥ䥳���ӥ���εտ���
   ���������׻��ϴ�ñ�Ǥ��롣¨��
  \[ J^{-1}=\left| \pmatrix{ 
                  1 & 1 \cr
      \frac{1}{y} & -\frac{x}{y^2} \cr  }
      \right|=\left|\frac{-(x+y)}{y^2}\right|
          =\left|\frac{-(1+v)^2}{u}\right|  \]
    �Ȥʤ롣)��ä�$U,V$ ��Ʊ��ʬ�ۤ�
  \[  f_{U,V}(u,v)=e^{-u}\left|\frac{-u}{(1+v)^2}\right|  \]
                  
     �������롣$u,v$ ���Ѱ��$x>0,~y>0$ �Ǥ��뤫��$u=x+y>0,~v=x/y>0$
    �Ǥ��롣��ä�
\[      f_{U,V}(u,v)=\frac{ue^{-u}}{(1+v)^2} \] 
\end{description}
  
\vspace{5mm}
$X,Y$ ��Ʊ��ʬ��$f(x,y)$ ��Ϳ�����Ƥ��Ƥ������ѿ���Ϳ����줿��ؿ�
$g(X,Y)$ ��ʬ�ۤ����Ȥ���ʾ����ˡ����Ѥ��Ʒ׻����뤳�Ȥ��Ǥ��롣
¨��$U=g(X,Y),~V=X$ �ޤ���$V=Y$ �Ȥ�����$f_{X,Y}(x,y) \to f_{U,V}(u,v)$    
 ���Ѵ���Ԥʤ���$f_U(u)=\int f_{U,V}(u,v)dv$ �Ǥ��뤫��$f_{U,V}$ ��
$V=X$ �ޤ���$V=Y$ ���Ѱ�ˤĤ�����ʬ����Ф褤��������ϼ����̤�Ǥ��롣

\begin{description}
 \item[������2]  $f(x,y)=e^{-(x+y)},~x>0,~y>0$ �ΤȤ�$U=X+Y$ ��ʬ�ۤ�
  ���衣
 \[ U=X+Y,~~~~V=Y  \]
 �Ȥ����С��մؿ���
 \[ X=U-V,~~~~Y=V        \]
 �Ǥ��롣��ä�
\[  J=\left| \pmatrix{ 1 & -1 \cr 0 & 1 \cr }\right|=1,  \]
\[  f_{U,V}(u,v)=e^{-u} \cdot 1=e^{-u}  \]
�Ǥ��롣$y>0$ �Ǥ��뤫��$v>0$ �Ǥ��뤬��$x=u-v>0$ �Ǥ��뤫��$u>v$ �Ǥ��롣
��ä�$V$ ���Ѱ��$0<v<u$ �Ȥʤ롣���ä�$U=X+Y$ ��ʬ�ۤ�
\begin{eqnarray}
 f_U(u)&=&\int_0^u f_{U,V}(u,v)dv=\int_0^u e^{-u} dv \nonumber \\
       &=&ue^{-u}~~~~u>0.  \nonumber
\end{eqnarray}
\end{description}
 
\subsubsection{��Ψ��ؿ��ˤ���ѿ��Ѵ�}\footnote{���ľ�ܻȤ��櫓�ǤϤ�
       ����}
���ѿ�ʬ�ۤξ���Ʊ�ͤˡ����ѿ�ʬ�ۤξ��ˤ���Ψ��ؿ���Ȥä�
�ѿ��Ѵ��ΤǤ����礬���롣����$X,Y$ ��Ʊ��ʬ�ۤ�$f(x,y)$ �Ȥ���
$U=g(X,Y)$ ��$X,Y$ ��Ǥ�դδؿ��Ȥ��롣���ΤȤ�$U$ ����Ψ��ؿ���¸��
����ʤ�С������  
\[ M_U(t)=E(e^{tU})=\int \int e^{tg(x,y)}f(x,y)dxdy    \]
��Ϳ������\footnote{
\[ M_U(t)=E(e^{tU})=\int e^{tU}f(u)Jdu
      =\int \int e^{tg(x,y)}f(x,y)dxdy  \]
�Ȥ������ȡ�}���⤷���δؿ������Τγ�Ψ�ѿ�����Ψ��ؿ���Ʊ���ˤʤ�ʤ�С�
$U$ �Ϥ����Ʊ������ʬ�ۤ��Ĥ��Ȥˤʤ롣������ˡ��$X,Y$ �ΰۤʤä�
��Ĥδؿ�$g(X,Y),~h(X,Y)$ ��Ʊ��ʬ�ۤ������(���̤�$X,Y$ �δؿ���
�����Ĥ���Ʊ��ʬ�ۤ������)�ˤ��ĥ���뤳�Ȥ��Ǥ��롣



\section{ɸ��ʬ��}
%����Ĵ����Ԥʤ��ݡ�Ĵ���оݤȤ��Ƥ����礭�ʽ��ޤ�� {\bf �콸��}�ȸƤ֡�
%�콸�Ĥ򤹤٤�Ĵ���Ǥ��ʤ��Ȥ��ˡ��콸�Ĥΰ�������Ф�������Ĵ����
%�Ԥʤ��롣���ΰ�����¬��ǡ�����{\bf ɸ��}�ȸƤ֡�
%�콸�Ĥ�ʿ���ͤ�ʬ��(ɸ���к�)�ͤ�ʬ���äƤ��ʤ��Τ����̤Ǥ��뤫�顢
%ɸ�ܤ����������콸�Ĥ���������ꤹ�뤳�Ȥ���ߤ���ΤǤ��롣

\subsection{ɸ�ܡ���Ψɸ��}
����줬�и������Ǹ��¤����̤����Ψ�ѿ�������ɤΤ褦��ʬ�ۤ�ͭ���뤫��
�̾����餫�ǤϤʤ������Τ褦�ʤȤ������Ϥ���ʬ�ۤˤĤ��Ƥξ��������
����ˡ����γ�Ψ�ѿ��ˤĤ��ƤλŪ�ѻ��򲿲󤫻�ߤ롣���Τ褦�˳�Ψ��
���ˤĤ��Ƽºݤ˴ѻ���Ԥʤ����Ȥ�{\bf ɸ�ܴѻ�}�Ȥ���������ɸ�ܴѻ���
�оݤȤ������Ф����Τν����{\bf ɸ��}�Ȥ�����������Ф���ɸ�ܴѻ�
�ˤ�äƾ�������褦�Ȥ����Ψ�ѿ����������Ƥ���ɸ�ܶ��֤򡢤���ɸ�ܤ�
{\bf �콸��}�Ȥ��������ײ��Ϥ��濴����ΰ�Ĥϡ�ɸ�ܴѻ��η�̤ˤ�ä�
�콸�Ĥ˴ؤ������򤵤��뤳�ȤǤ��롣�������콸�Ĥ˴ؤ������Ȥϡ�
�콸�Ĥ���Ψ�ѿ��˴ؤ��ƤɤΤ褦��ʬ�ۤ�ͭ��������ʬ�ۤ��ɤΤ褦���ͤ�
����ˤ�ä������Ƥ��뤫�Ȥ������ȤǤ��롣�����Ϥ��Τ褦�������
�����ͤ�ɸ�ܴѻ��η�̤���׻����褦�Ȥ��롣

\vspace{5mm}
�콸�Ĥ����ΨŪ�����Ф줿�ġ��δѻ��оݤ�$\omega$ �Ȥ���$i$ ���ܤ�
���Ф줿$\omega_i$ �ˤĤ��ƴѻ����줿��̤�$X_i=X(\omega_i)$ �Ȥ��롣
$X_i$ �ϳ�Ψ�ѿ��Ǥ��롣$n$ ��δѻ���̤�$n$ �Ĥγ�Ψ�ѿ��ν���
\[ \{X_1,X_2,\cdots,X_n\} \]
���롣������콸��$X$ �����{\bf �礭��}$n$ �Ĥ�ɸ�ܤȸƤ֤��Ȥˤ��롣
������$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �ϳ�Ψ�ѿ�(�ġ��λ�Ԥη�̤ˤ���¿��ͤ�
Ϳ����롼�롢���뤤�ϤɤΤ褦���ͤ��ͤ����뤫�򽸤᤿
��ǽ�������Τ褦�ʤ�Ρ�
ľ�ܡ���Ψ��ɽ�����ǤϤʤ�����Ψ����������Ȥ������󤬤������
�Ѥ����롢�����ѿ���)�ν���Ȥ��Ƥ�ɸ�ܤ��̣����
�ºݤ�ɸ�ܴѻ��η�̤Ȥ�������줿���ͤν��ޤ�$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$
�Ȥ϶��̤���Ƥ��롣

\vspace{5mm}
ɸ�ܴѻ����оݤλ�����Ū°���ޤ��ϼ�Ū°���ˤĤ��ƹԤʤ��롣��Ū°����
�ѻ���̤�ľ���˳�Ψ�ѿ��Ȥ��Ƽ�갷���롣��Ū°���ξ��������������
���Ĥ��ݤ��ˤ�ä�$(0,1)$ �ѿ���ɽ�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣�㤨�����ʤι��
�Թ�ʤδѻ��ǡ���ʤ�1���Թ�ʤ�0�Ȥ���С�$n$ �Ĥ�ɸ�ܴѻ��η�̤�
�㤨��
\[ \{1,1,0,1,0,1,\cdots\}  \]
�Ǽ�����롣���ξ�硢��Ψɸ��$X$ �ζ���Ū�ʿ��ͤ�
$x_1=1,x_2=1,x_3=0,\cdots$ �Ȥʤ롣

\vspace{5mm}
�콸��$X$ ��ʬ�ۤ�$f(x)$ ��Ϳ����졢$n$ �Ĥ��оݤ�Ʊ�줫�����ѤΤ���
�콸�Ĥ���ߤ�����Ω��ȴ�������Ȥ������Ȥ�ɸ�ܴ�¬��
$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ ���������Ψ���뤤�ϳ�Ψ̩�٤�
\[  f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)  \]
�Ǥ��롣 

\vspace{5mm}
ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �γ�Ψ�ޤ��ϳ�Ψ̩�٤�  \\
\begin{equation}
   f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)   \label{kakuriruhyohon}
\end{equation}
��Ϳ������Ȥ���$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ���ٿ��ؿ����뤤��̩�ٴؿ�
$f(x)$ ��ͭ�����콸��$X$ ������礭��$n$ �Ĥ�{\bf ��Ψɸ��(̵���ɸ�ܡ�
ɸ��)}�Ȥ��������(\ref{kakuriruhyohon})������Ω�Ĥ���ˤ�
$X_1,X_2,\cdots$ �ϸߤ�����Ω�Ǥʤ���Фʤ�ʤ���

\vspace{5mm}
��Ψɸ�ܤˤĤ��Ƥ����դ�󤲤Ƥ�����
��Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �ϡ������ʬ��$F$ ����
�ߤ�����Ω�ʳ�Ψ�ѿ����ȤǤ��ꡢ��ɡ���Ψɸ�ܤȤ��콸�Ĥ���ߤ���
��Ω��ȴ�����줿(̵�����Ф��줿)ɸ�ܤǤ���Ȥ����롣����˲ä���ȡ�
��Ψɸ��$X$�Ͻ���ǤϤʤ����ޤ�$f(x_1)$ �ϳ�Ψ�⤷���ϳ�Ψ̩�٤ʤΤǡ�
$X_1\neq f(x_1).$ 

% �������ꤲ��ͤ���ȡ��콸�ĤϤ��顢����ơ�ɸ�ܽ��ĤϤ��顢����ơ�
%�콸�Ĥ�����ʬ�ۤ򤹤�ʤ顢�콸�Ĥ�̵�¡�

%+++++++�ʲ������񤫤�+++++++ \\
%���̤ˡ����������̤γ�Ψʬ�ۤ�{\bf ɸ��ʬ��}�Ȥ����������ʬ��$F$ ����
%�ߤ�����Ω�ʳ�Ψ�ѿ�����$X_1,X_2,\cdots,X_n$ ��ʬ��$F$ �����{\bf ̵���
%ɸ��}({\bf ��Ψɸ�ܡ�ɸ��})�Ȥ������ܹ��ܤǤϼ�Ȥ�������ʬ�ۤ����
%̵���ɸ�ܤˤ�ȤŤ�������$Y=f(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ ��ɸ��ʬ�ۤˤĤ���
%�Ҥ٤롣\\
%{\bf 1��������ʬ�ۤ����ɸ��} \\
%��Ψ�ѿ�$X_1,X_2,\cdots,X_n$ ���ߤ�����Ω�ˤ��줾������ʬ��
%$N(\mu_1,\sigma_1^2),\cdots,N(\mu_n,\sigma_n^2)$ �˽��ä�ʬ��
%����Ȥ���������1����$\sum a_iX_i$ ��$N(\sum a_i\mu_i,\sum
%a_i^2\sigma_i^2)$ �˽�����  \\
%$X_1,X_2,\cdots,X_n$ ������ʬ��$N(0,1)$ �����̵���ɸ�ܤǤ���Ȥ���
%������$Y=\sum X_i^2$ ��ʬ�ۤ�{\bf ��ͳ��}$n$ ��{\bf $\chi^2$(����2��)ʬ��}
%�Ȥ���������̩�ٴؿ��ϡ�$0<y<\infty$ �ˤ�����
%\[ f_n(y)=2^{-n/2}(\Gamma(n/2))^{-1} y^{n/2-1} e^{-y/2}  \]
%�Ǥ���($\Gamma$ ��$\Gamma$ �ؿ�)������ʬ�ۤ� $\chi^2(n)$ �Ƚ񤯤��Ȥˤ�
%�롣

%��Ψ�ѿ�$X,Y$ ���ߤ�����Ω�ˤ��줾��$N(\delta,1),\chi^2(n)$ �˽����Ȥ���
%$T=X/\sqrt{Y/n}$ ��ʬ�ۤ�ͳ��$n$ ������� $\delta$ ����$t$ ʬ��
%�Ȥ�����̩�ٴؿ��ϡ�$-\infty<t<\infty$ �ˤ�����
%\[ f_{n,\delta}(t)=\sum_{k=0}^\infty e^{-\delta^2/2}\delta^k
%   \frac{2^{k/2}}{k!}\frac{\Gamma((n+k+1)/2)}{\sqrt{\pi n}\Gamma(n/2)}
%   \cdot \frac{(t/\sqrt{n})^k}{(1+t^2/n)^{(n+k+1)/2}}   \] 
%�Ǥ��롣����ʬ�ۤ�$t(n,\delta)$ �Ƚ񤯡��ä�$\delta=0$ �ΤȤ��ϡ�
%��ͳ��$n$ ��$t$ ʬ�ۤȤ���������̩�ٴؿ���
%\[f_n(t)=\frac{\Gamma((n+1)/2)}{\sqrt{\pi n}\Gamma(n/2)}
%      (1+\frac{t^2}{n})^{-(n+1)/2}   \] 
%�Ȥʤ롣����ʬ�ۤ�$t(n)$ �Ƚ񤯡�

%$X_1,\cdots,X_n$ ������ʬ��$N(\mu,\sigma^2)$ �����̵���ɸ�ܤȤ��롣
%ɸ��ʬ��$S^2=\sum(X_i-\bar{X})^2/(n-1)$ ��$\mu=\mu_0$ ��Ϳ����줿�Ȥ���
%$t$ ������$T=\sqrt{n}(\bar{X}-\mu_0)/\sqrt{S^2}$ �����Τ�ʬ�ۤ�Student
%�ˤ�ä����Τ�Ϳ����줿�����ʤ����$(n-1)S^2/\sigma^2$ ��$\chi^2(n-1)$
%�ˡ��ޤ�$T$ ��$t(n-1)$ �ˤ��줾�콾����


\subsection{ɸ��ʬ��}
 �콸��$f(x)$ ����\footnote{��Ψɸ�ܤγơ�����Ʊ���ʬ�ۤ˽���(���뤤��
�����Ĥ��콸�Ĥ���$n$ �Ĥγ�Ψɸ�ܤ����֤�ȴ�������)�Ȥ����Τ�
�ݥ���ȤΤ褦�Ǥ��롣}ȴ�����줿�礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�$\{X_1,X_2,\cdots,
X_n\}$ �Ȥ����  \\
\begin{equation}
   f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)   
\end{equation}
�Ϥ��Τ褦��ɸ�ܤ��������Ψ���뤤��̩�ٴؿ��Ǥ��롣���Τ褦���ٿ�
�ؿ����뤤��̩�ٴؿ�������ʬ�ۤ�{\bf ɸ��ʬ��}�Ȥ���\footnote
{������$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ���礭��$n$ ��ɸ�ܤ����ν����������
��Ψ���뤤�ϳ�Ψ̩�٤Ǥ��롣���̤�ɸ�ܤϴѻ�ñ�̤ν���Ť���줿
����Ǥ���\footnote{��̣������������֤Ǵѻ����줿����Ȥ������Ȥ���
�ͤ�����}��}��

\subsection{�����̡������̤�ʬ��}
$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ����Ψ�ѿ��򼨤��Ȥ������Τ��Τ��Τδѻ��ͤ�
��Ω�ѿ��Ȥ���ؿ�
\[ Y=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)   \]
��{\bf ������}�Ȥ����������̤����餫�˳�Ψ�ѿ��Ǥ��롣

\vspace{5mm}
�����̤�������ˤ��콸�ĤΥѥ�᡼����(���)�ϴޤޤ�Ƥ��ʤ����Τˤ����
�콸�Ĥ��μ��ʤ���ɸ�ܴѻ��ͤΤߤ���׻��Ǥ��롣�㤨��ɸ�ܤˤĤ���
�ѻ����줿ʿ���ͤ�ʬ����
\[ \bar{X}=\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots+X_n), \] 
\[ s^2=\frac{1}{n}[(X_1-\bar{X})^2+(X_2-\bar{X})^2+\cdots+(X_n-\bar{X})^2] \]
�Ϥ�����������̤Ǥ��롣 

\vspace{5mm}
��Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �Ϥ����콸��ʬ�ۤˤ�ä���ޤ�����
ɸ��ʬ��  \\
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ����ġ�������������
$Y=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ ������ؿ��Ǥ���С�$Y$ ��ʬ�ۤϤ����������
�Ѵ����Ȥ��ơ�Ϳ����줿ɸ��ʬ��$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ����Ƴ�����Ȥ�
�Ǥ��롣������$Y$ ��ʬ�ۤ�{\bf ɸ��ʬ��}�Ȥ������Ȥ⤢�롣 


\vspace{5mm}
�����̤���ˤϡ�{\bf ���������}�Ȥ�����Τ����ꡢ�ʲ��Τ褦�ʤ�ΤǤ��롣
ɸ�ܴѻ��ͤ�ѻ����줿����ǤϤʤ��礭���ν������ľ����
\[ X_{(1)},X_{(2)},\cdots,X_{(n)} \]
(������$X_{(1)}<X_{(2)}<\cdots<X_{(n)}$)�Ȥ��롣���Τ褦��
�¤٤�줿�٥��ȥ롢���뤤�Ϥ��Υ٥��ȥ�˴�Ť���������줿�̤�
��������̤Ǥ��롣�㤨�Х᥸����(�����)�����(�ϰ�)
$R=X_{(n)}-X_{(1)}$ �ʤɤϽ�������̤Ǥ��롣������ɸ�������̤�
�Ф��Ƥ�Ʊ�ͤ�ɸ��ʬ�ۤ��ͤ����롣 

\vspace{5mm}
�����̤�ʬ��(ɸ��ʬ��)���콸��ʬ�ۤ���ꤹ�뤿��˽��פǤ��롣
�콸��ʬ�ۤη�$f(x;\theta)$(������$x$ �ϳ�Ψ�ѿ���
$\theta$ �����(�콸��ʬ�ۤη������ѥ�᡼��)�򼨤�)��Ϳ�����Ƥ��뤬�����$\theta$ ���ͤ�
̤�ΤΤȤ��������콸�Ĥ������Ф줿ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ 
�˴�Ť���$\theta$ ���ͤ���ꤹ�뤳�ȤǤ��롣
ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ���콸��ʬ��$f(x;\theta)$ �����
$\theta$ �˴ؤ�������ޤ�Ǥ���Ϥ��Ǥ��뤫�顢������
$Y=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ ��Ʊ�ͤ�$\theta$ �˴ؤ�������ޤ�Ǥ��ꡢ
���η���Ŭ�������٤����$\theta$ ���ͤ򤳤������̤ˤ�äƿ��ꤹ��
���Ȥ��Ǥ���Ǥ����������ΤȤ�������$Y$ ��ɸ��ʬ�ۤ����$\theta$ ��
�ɤΤ褦�ʴط��ˤ��뤫���Τ뤳�Ȥ��Ǥ���С�$Y$ ������̤Ȥ����Ѥ���
�Ȥ��ο�������Τ��ˤĤ������Τ�Ƚ�Ǥ򲼤����Ȥ��Ǥ��롣�Τˡ����
���������ϡ������̤Ȥ����Ѥ����������̤�ɸ��ʬ�ۤ�����˵��夹�롣

%\vspace{5mm}
%++++�ʲ���������++++++++ \\
%{\bf ������}�Ȥϡ�����Ū����β����Ǵ�¬��(���ʤ��ɸ����)��
%�ؿ��Ȥ���ɽ������̤򤤤���������Ū�ˤϡ�$1^\circ$ɸ�ܴ�¬�ͤ�
%ʬ�ۤ���ħ�Ť���$2^\circ$ɸ�ܤ����������콸������ˤĤ��Ƥ�
%��������󡢤�2�̤����롣

%ɸ��Ū�����Ԥʤ��Ȥ��˴��äȤʤ복ǰ���콸�Ĥ�ɸ�ܤȤǤ��롣������
%��Ψ���δ��äξ�˼��Τ褦�˷���������롣
%$({\bf \Omega},\mathcal{U},P)$ ���Ψ���֡�$P$ ��$\mathcal{U}$ 
%��γ�Ψ¬�٤Ȥ��롣��Ψ�ѿ�$X$ �ϡ�1������Ψʬ��
%${\bf \Phi}(A)=P\{\omega|X(\omega)\in A\}$ (������$A$ ��Borel ����)
%����ᡢ1������Ψ����$({\bf R},\mathcal{U}^1,{\bf \Phi})$��ͶƳ���롣
%��������${\bf R}$ �ϼ¿������Ρ�$\mathcal{U}^1$ ��1����Borel ���������
%�Ȥ��롣���ޡ�$X_1,\cdots.X_n$ ��Ʊ���1������Ψʬ��${\bf \Phi}$ ����
%�ߤ�����Ω�ʳ�Ψ�ѿ��Ȥ��롣���ΤȤ���$n$ ������Ψ�ѿ�
%$X=(X_1,\cdots,X_n)$ ���콸��$({\bf \Omega},\mathcal{U},P)$ �����
%{\bf �礭��}$n$ ��{\bf ̵���ɸ��}({\bf ��Ψɸ�ܡ�ɸ��})(random sample)
%�Ȥ��������̤�$X$ ������$n$ ������Ψʬ�ۤ�${\bf \Phi}_n$ �Ȥ���
%$n$ ������Ψ����$({\bf R}^n,\mathcal{U}^n,{\bf \Phi}_n)$($\mathcal{U}^n$
% ��$n$ ����Borel ���������)��{\bf $n$ ����ɸ�ܶ���} �Ȥ��������ξ�硢
%${\bf \Phi}_n$ ��$n$ �Ĥ�1������Ψʬ�� ${\bf \Phi}$ ��ľ��¬�٤Ǥ��롣
%ɸ��$X$ �Ȥ������ˤϡ�$X$ �ϳ�Ψ�ѿ��Ǥ��뤬���ºݤ˴�¬�����ͤ�ͤ���
%���⤢�롣��Ԥ򼨤��Ȥ��ˤ�{\bf ɸ����} �ȸƤӡ���ʸ��$x$ ��ɽ����
%���ʤ����ɸ���ͤ�$x=X(\omega)(\omega \in {\bf \Omega})$ ��ɽ�����Ȥ��
%���뤷���ޤ���ɸ�ܶ��֤���({\bf ɸ����})�Ȥߤʤ����Ȥ�Ǥ��롣

%�콸�ĤϽ���${\bf \Omega}$ �ˤ�ä�ɽ������Ƥ��뤬������ϴ�¬�ͤ�
%���߽Ф�ʪ��Ū��¤���б������Τȹͤ����롣����������Ū������
%���٤�ɸ�ܤ��̤��ƹԤʤ���Τǡ��դĤ�${\bf \Omega}$ ���Ȥ�ľ�ܤ�
%��갷���ʤ���ɸ��$X$ ������1������Ψʬ��${\bf \Phi}$ ���ޤ���
%$n$ ������Ψʬ��${\bf \Phi}_n$ �ϡ��콸�Ĥˤ������Ψ¬�٤���ͶƳ�����
%����Τǡ����줾��1���������$n$ ����ɸ�ܶ��֤ˤ�����{\bf �콸��ʬ��}
%�Ȥ�����

%������$Y$ �Ȥϡ�ɸ�ܶ���$({\bf R}^n,\mathcal{U}^n,{\bf \Phi}_n)$ ����
%��¬����$({\bf R},\mathcal{U}^1)$ �ؤβ�¬�ؿ�$f$ �ˤ�ä�$Y=f(X)$ ��
%ɽ������Ψ�ѿ��򤤤���ɸ��$X$ ��ɸ����$x$ ���б�����������$Y$ ��
%�ͤ�$y=f(x)$ ��ɽ����롣(�Ȥꤢ�������ʲ���ά)

%������  ɸ����Ψ  ��������������������
\subsection{ɸ����Ψ}
 
 ${X_1,X_2,\cdots,X_n}$ ���礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤȤ���Ȥ���$k$ ��
 ��{\bf ����ɸ����Ψ}�ϼ��μ����������롣 \\
 \begin{equation}
   m_k'=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i^k 
 \end{equation} 
ɸ��ʿ���͡�ɸ��ʬ���Ϥ�����Ψ����Ǥ��줾�켡�ΤȤ���˼�����롣
 \begin{equation}
    \bar{X}=m_1',   \\
    ~~~~~s^2=m_2'-m_1'^2.  \\
 \end{equation}
����ɸ����Ψ��Ʊ�ͤ�{\bf �濴ɸ����Ψ}�⼡�ΤȤ����������롣 \\
  \begin{equation}
     m_k=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1} (X_i-\bar{X})^k  
  \end{equation}
\vspace{2mm}
 
ɸ����Ψ��ɸ�ܴѻ��ͤ������뤫�������̤Ǥ��äơ��콸�Ĥ˴ؤ�������
�ޤࡣ�������˴ؤ��Ƽ��ν������Ͻ��פǤ���\footnote{
%�����͡�Υ��Ū��Ψ��
%���ΤȤ��ͤˡ��б������Ψ�򤽤줾�줫���Ʋä����͡�¨��$\sum x_i p_i.$
�����ͤȤ����Ѹ�ΰ�̣�ϡ�
�ֺǤ���Ԥ��줽�����͡פǤ��ꡢ�ʲ��������Ǥϵ���$E(~ )$ �ȶ��˻Ȥ��롣
ʿ���ͤ�Ʊ���ǻȤ����Ȥ⤢�뤬�����դ�ɬ�פǤ��롣
ɸ�ܤˤĤ��Ƥϡ�ʿ���ͤȴ����ͤ���������$(x_1+x_2+\cdots+x_n)/n$�Ǥ��롣 
������Ф����콸�ĤˤĤ��Ƥϳ�Ψ��ʬ���äƤ��ʤ���Фʤ�ʤ���
¨�����콸��ʬ�ۤ�Υ��Ū�ʾ�硢
��ʿ�Ѥδ����ͤ� $E(X)=\sum^n x_i p_i$�Ǥ��ꡢ��ʿ�Ѥ�ʬ���� $var(X)=\sum^n
(x_i-\mu)^2 p_i$ �Ǥ��롣 ��ʿ���ͤ�ʬ����ʤ���礬���̤Ǥ���Τǡ�
ɸ��ʿ���ͤ�$n$ ���礭���ʤ����ʿ�Ѥδ����ͤ˶��դ��Ȥ��ä�������
���Ѥ��ơ��콸�ĤˤĤ��ƴ����ͤ����ΤǤ��롣}��

\begin{description}
 \item[����1] $k$���θ���ɸ����Ψ�δ����ͤ��콸�Ĥθ�����Ψ���������� \\
  ������� 
    \begin{eqnarray}
       E(m_k')=E(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i^k)
                         &=&\frac{1}{n}E(\sum X^k) \nonumber \\
                         &=&\frac{1}{n}\sum\left[E(X^k)\right] \nonumber  
    \end{eqnarray}
     �������Ψ�ΰ������(�콸�Ĥ���Ψ�����)�ˤ�ꡢ$E(X^k)=\mu_k'$
     �Ǥ��뤫��\footnote{��Ψ�ѿ�$X_1,X_2,\cdots,X_n$ �Ϥ��줾����Ω��
     Ʊ��ʬ�ۤ򤷤Ƥ����콸�Ĥ�����Ф��Τǡ������ͤʤɤ��������ʤ롣}��
       \begin{equation}
             E(m_k')=\frac{1}{n}\sum^n \mu_k'=\frac{1}{n}n\mu_k'=\mu_k'
        \end{equation}
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)  \\
���������濴��Ψ$m_k$ �ˤĤ��Ƥ�ɬ�����⤳���Ʊ���ط�������Ω���ʤ���

ɸ��ʿ���ͤδ����ͤ��콸��ʿ���ͤ������������ʤ��
 \begin{equation}
   E(\bar{X})=\mu_1'=\mu
 \end{equation}
������ʬ���ˤĤ��ƤϤ��δط�������Ω���ʤ���

 \item[����2] ɸ��ʿ���ͤ���Ψ��ؿ����콸��ʬ�ۤ���Ψ��ؿ��Ǽ��ΤȤ���
       ������롣  
      \begin{equation}
         M_{\bar{X}}(t)=\left[M_X(\frac{t}{n})\right]^n
       \end{equation}
    ������� $X_1,X_2,\cdots$ �ϸߤ�����Ω�Ǥ��뤫��
       \begin{eqnarray}
        M_{\bar{X}}(t)&=&E(e^{t\bar{X}})
                        =E\left[e^{t(X_1+X_2+\cdots+X_n)/n}\right] \nonumber \\
                      &=&E(e^{\frac{t}{n}X_1})E(e^{\frac{t}{n}X_2}) 
                       \cdots E(e^{\frac{t}{n}X_n})  \nonumber  \\
                 &=&\left[M_X(\frac{t}{n})\right]^n
         \end{eqnarray}
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)

 \item[����3] �콸��ʬ��(��ʬ��)$\sigma^2$ ��ͭ���ͤΤȤ���ɸ��ʿ���ͤ�ʬ����
   \begin{equation}
     var(\bar{X})=\sigma_{\bar{X}}^2=\frac{\sigma^2}{n}
   \end{equation}
   ��Ϳ�����롣  \\
  ������� 
 \begin{eqnarray}
var(\bar{X})&=&E\left[\bar{X}-E(\bar{X})\right]^2
             =E\left[(\bar{X}-\mu)^2\right]
             =E\left[(\frac{1}{n}\sum X_i-\mu)^2\right] \nonumber \\
            &=&E\left[(\frac{1}{n}\sum X_i-\frac{1}{n}\sum \mu)^2\right]
           =E\left[\left(\frac{1}{n}\sum(X_i-\mu)\right)^2\right] \nonumber  \\
            &=&\frac{1}{n^2}E\left[\left(\sum (X_i-\mu)\right)^2
                                                  \right]  \nonumber  \\
            &=&\frac{1}{n^2}E\left[ \{(X_1-\mu)+\cdots+(X_n-\mu)\} 
                     \{(X_1-\mu)+\cdots+(X_n-\mu)\}\right] \nonumber\\ 
            &=&\frac{1}{n^2}E\left[\sum_i (X_i-\mu)^2
                   +\sum_{i\neq j}(X_i-\mu)(X_j-\mu)\right] \nonumber  \\
            &=&\frac{1}{n^2}\left(E\left[\sum_i (X_i-\mu)^2\right]
                   +E\left[\sum_{i\neq j} (X_i-\mu)(X_j-\mu)\right]\right)
                         \nonumber  
  \end{eqnarray}
�����
      \[ E \left[ \sum (X_i-\mu)^2\right]=\sum^n \left[ E(X_i-\mu)^2 \right]
                                   =n\sigma^2.\footnote{$X_i$ ��$i$ �ϲ����ܤλ�Ԥ��Ȥ������ȡ��Ƴ�Ψ�ѿ���Ʊ���콸��ʬ�ۤ�����Ω��ȴ���Ф�����ΤʤΤǡ��ɤ�$i$ �ˤĤ��Ƥ�$\left[ E(X_i-\mu)^2 \right]=\sigma^2$ �Ȥʤ롣}   \]
  \begin{eqnarray}
      E \left[ \sum_{i\neq j} (X_i-\mu)(X_j-\mu) \right]&=&
            \sum \left[ E(X_i-\mu)(X_j-\mu) \right]  \nonumber \\
            &=&\sum \left[ E(X_i-\mu)E(X_j-\mu) \right] \nonumber
     \end{eqnarray}
	    ($X_i,X_j$ �ϸߤ�����Ω�Ǥ��ꡢ���ѿ�ʬ�ۤ�����4
      (\ref{nihensu-bokansu}���򻲾�)
     ����Ĥγ�Ψ�ѿ����ߤ�����Ω�ΤȤ���
    �����Ѥδ����ͤϳ��ѿ��δ����ͤ��Ѥ��������פ�����Ω�ĤΤǡ�) \\
�����ǡ�  
  \[  E(X_i-\mu)=\sum(x_i-\mu)p_i=\sum x_i p_i-\mu \sum p_i
         =\mu -\mu \cdot 1=0.  \] 
��äơ� 
\[ E \left[ \sum_{i\neq j} (X_i-\mu)(X_j-\mu) \right]
       =\sum \left[ E(X_i-\mu)E(X_j-\mu) \right]
       =\sum (0 \cdot 0)=0  \]
�Τ�
  \begin{equation}
    var(\bar{X})=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n} \nonumber
  \end{equation}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)
 \item[����4] ɸ��ʬ��$s^2=\frac{\sum(X-\bar{X})^2}{n}$ �δ����ͤ�
           $\frac{n-1}{n}\sigma^2$ �Ǥ���
	    \footnote{$s^2=\frac{\sum(X-\bar{X})^2}{n-1}$?}�� 
            \label{hyouhonsekirituteiri4} \\
   ������� 
   \begin{eqnarray}
 E(s^2)&=&E\left[\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar{X})^2\right]
        =E\left[\frac{1}{n}\sum (X_i-\mu-(\bar{X}-\mu))^2\right] \nonumber  \\
       &=&E\left[\frac{1}{n}\{\sum(X_i-\mu)^2-2\sum(X_i-\mu)(\bar{X}-\mu)
                   +\sum(\bar{X}-\mu)^2)\}\right] \nonumber  \\ 
       &=&E\left[\frac{1}{n}\{\sum(X_i-\mu)^2-2(n\bar{X}-n\mu)(\bar{X}-\mu)
                   +n(\bar{X}-\mu)^2)\}\right] \nonumber  \\
       &=&E\left[\frac{1}{n}\{\sum(X_i-\mu)^2-2n(\bar{X}-\mu)^2
                   +n(\bar{X}-\mu)^2)\}\right] \nonumber  \\ 
       &=&E\left[\frac{1}{n}\sum (X_i-\mu)^2
                   -(\bar{X}-\mu)^2\right] \nonumber  \\
          &=&\frac{1}{n}\sum^n\left[E(X_i-\mu)^2\right]
                    -E(\bar{X}-\mu)^2  \nonumber  \\
          &=&\frac{1}{n}n\sigma^2-\sigma_{\bar{X}}^2
                =\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n}  \nonumber  \\
          &=&\frac{n-1}{n}\sigma^2.
      \end{eqnarray}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)
\end{description}

�Τ�ɸ��ʬ����ʿ�Ѥ���Ȱ��̤���ʿ�Ѥ��⾮������ʬ�����󼡤��濴
��Ψ�Ǥ��뤬�����Τ褦���濴��Ψ�ξ�硢ɸ����Ψ�δ����ͤ�ɬ������
�콸����Ψ���������ʤ�ʤ���

% ���������� ����ʬ��     ������������������������ 
\section{����ʬ��}
\subsection{����ʬ��} 
  ��Ψ̩�ٴؿ��� 
    \[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
    ~~~~~~~~-\infty< x < +\infty,~~\sigma>0 \] 
    
 �Ȥʤ�ʬ�ۤ�{\bf ����ʬ��}�ȸƤ֡��ʲ��˼����褦������ʬ�ۤ�ʿ���ͤ�$\mu$��
 ʬ����$\sigma^2$ �Ȥʤ롣
 ʿ���ͤ�$\mu$ �� ʬ����$\sigma^2$ ������ʬ�ۤ�
 N$\left( \mu , \sigma^2 \right)$ ��ɽ�����Ȥ����롣
 �äˡ�N$(0,1^2)$ �ξ���{\bf ɸ������ʬ��}�ȸƤ֡� 

\begin{figure}
     \begin{center}
       \resizebox{120mm}{!}{\includegraphics{seiki-bunpu.eps}}
       \caption{ɸ������ʬ�ۤΥ����}
       \label{seiki-bunpu-zu}
     \end{center}
   \end{figure}

 ����ʬ�ۤ����콸�ĤǤϡ�$\mu \pm \sigma$ ���ϰϤ�$68\%$��
 $\mu \pm 1.65\sigma$ ���ϰϤ�$90\%$��$\mu \pm 1.96\sigma$ ���ϰϤ�
 $95\%$ �ι������Ǥ��ޤޤ�Ƥ��롣

 
\subsubsection{$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\mu$ �ξ���} 
     ����ʬ�ۤγ�Ψ̩�ٴؿ��� 
   \[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
    ~~~~~~~~-\infty< x < +\infty \]
  �Ǥ��롣��Ψ�ѿ�$X$��ʿ�Ѥ�(\ref{eq:e(x)})����ɽ����뤫�顢
 \begin{eqnarray} 
  E(X)&=&\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx \nonumber  \\ 
      &=&\int_{-\infty}^{\infty} x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~
                              e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx. 
 \end{eqnarray}

  ������$y=x-\mu$�Ȥ����ȡ�
   \begin{eqnarray} 
   E(X)&=&\int_{-\infty}^{\infty}~(y+\mu)
          \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~
                   e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy \nonumber \\
       &=&\int_{-\infty}^{\infty}~y
         \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy + 
               \int_{-\infty}^{\infty}~\mu
               \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2}
               {2\sigma^2}} dy. \label{eq:seikibunpu}
  \end{eqnarray} 
  ��������1��ϡ�$z=\frac{y}{\sqrt{2}\sigma}$ �Ȥ����ơ�  \\
  \begin{eqnarray} 
  (\ref{eq:seikibunpu})����1��&=&\int_{-\infty}^{\infty}~\sqrt{2}\sigma z 
            \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-z^2}~\sqrt{2}\sigma dz   
        =\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
               \int_{-\infty}^{\infty}~z e^{-z^2} dz  \nonumber \\
    &=&\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{0}~ 
   z e^{-z^2} dz + \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}~
   z e^{-z^2} dz.  \nonumber 
  \end{eqnarray}
 
  �����$z^2=a$�Ȥ�����$2zdz=da$�Ǥ��뤫�顢
  \begin{eqnarray}
 (\ref{eq:seikibunpu})����1��&=&\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
                                      \int_{\infty}^{0}~\frac{1}{2}
                                    e^{-a} da + \frac{\sqrt{2}\sigma}
                                 {\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}~
                                   \frac{1}{2} e^{-a^2} da  \nonumber \\
                            &=&\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
                                 \left[-e^{-a}\right]_\infty^0 
                               + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
                                 \left[-e^{-a}\right]_0^\infty  \nonumber \\  
                            &=&\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
                               (-1+0+0+1) = 0. \nonumber
  \end{eqnarray}

  ��2��ˤĤ��Ƥϡ�������$\mu$�ϤȤꤢ�����̤ˤ���
   (\ref{eq:seikibunpu})������2��=$\mu \cdot A$�Ȥ�����������
  \[A = \int_{-\infty}^{\infty}~
  \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy.\]
  $z=y/\sigma$���ѿ��Ѵ������
  \[A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}~
  e^{-\frac{1}{2}z^2} dz  \]
  �Ȥʤ롣��ʬ�ѿ��������Ǥ�դǤ��뤫�顢
  \[A^2 = A \cdot A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}~
  e^{-\frac{1}{2}z^2} dz \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
  \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-\frac{1}{2}a^2} da  \]
  \[= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}~\int_{-\infty}^{\infty}~
   e^{-\frac{1}{2}(z^2+a^2)} dzda   \]
  $z=r \sin \theta ,a=r \cos \theta$ �Ƕ˺�ɸ���Ѵ�����С�
   \begin{eqnarray}
   A^2&=& \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}~\int_{0}^{\infty}~
                e^{-\frac{1}{2}r^2}~rdrd\theta  \nonumber \\
      &=&\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}~d\theta~\int_{0}^{\infty}~
           re^{-\frac{1}{2}r^2}~dr  \nonumber  \\
      &=&\frac{1}{2\pi}\left[\theta \right]_0^{2\pi} \cdot 
           \left[-e^{-\frac{1}{2}r^2}\right]_0^\infty \nonumber \nonumber  \\
      &=&\frac{1}{2\pi}2\pi(-0+1)=1  \nonumber  
  \end{eqnarray}
   ������$A^{2}$�ˤĤ��Ʒ׻������Τǡ�$A$������ͤ��롣
   $\sigma>0$�ΤȤ����餫��$A>0$�Ǥ��뤫�顢$A=1$�Ǥ��롣
   �ʾ��ޤȤ��С�\\
   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$E(X) = 0 + \mu \cdot 1 = \mu$ 
   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)

 \subsubsection{$var(X)=\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx=\sigma^2$�ξ���}
  
  ����ʬ�ۤ򤹤��Ψ�ѿ�$X$��ʬ����(\ref{eq:var(x)})����ɽ����뤫�顢
 \[ var(X)
%=\int_{-\infty}^{\infty}~(x-\mu)^2 f(x)dx 
   = \int_{-\infty}^{\infty}~(x-\mu)^2 
       \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \]

 ������$y=\frac{x-\mu}{\sigma}$�Ȥ����ȡ�
\[var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}~\sigma^2 y^2 
    \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{1}{2}y^2}\cdot \sigma dy 
  =\int_{-\infty}^{\infty}~\sigma^2 
    \frac{1}{\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{1}{2}y^2} y^2 dy.\]
 ��ʬ����ؿ��϶��ؿ��ʤΤǡ�
\[var(X)=2 \int_{0}^{\infty}~\sigma^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}} 
    ~ e^{-\frac{1}{2}y^2}y^2 dy.\]  
 �����ǡ�����ʬ�θ���
\[\int_{0}^{\infty}~e^{-ax^2} x^{2n} dx =
\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1}{2^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}} \]
 ���Ѥ��ơ�$a=1/2~,~n=1$�λ���ͤ���ȡ�  
\[var(X)=2\cdot \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{4} \cdot
    \sqrt{8\pi}=\sigma^2.  \]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~(���������)


\subsection{����ʬ�ۤ��콸�ĤȤ���ɸ�ܽ��Ĥ�����} \label{seiki-hyouhon-dis}
 ʿ���� $\mu$ ��ʬ�� $\sigma^2$ ������ʬ�ۤ򤷤Ƥ����콸�Ĥ����礭�� $n$ ��
 ����ץ��������ȴ����ä���硢ɸ�ܽ��Ĥ������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{description}
 \item[����1] �콸�Ĥ�ʿ����$\mu$ ��ʬ��$\sigma^2$ ������ʬ�ۤ򤹤�Ȥ���
�礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �Ȥ���С�
ɸ��ʿ���� $\bar{X}$ ��ʿ����$\mu$ ��ʬ��$\sigma^2/n$ ������ʬ�ۤ��롣\\
������� $X_i$ ������ʬ���ѿ��Ǥ��뤫�顢������Ψ��ؿ��ϰʲ��Τ褦�ˤ�
	    �롣 \\
 \begin{eqnarray}
   M_X(t)&=&\int_{-\infty}^\infty e^{tx} \cdot 
             \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} 
                   e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx  
         = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty 
            e^{tx-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx \nonumber \\
        &=&\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty 
            e^{-\frac{(x^2-2(\sigma^2t+\mu)x+\mu^2}{2\sigma^2}} dx \nonumber \\
        &=&\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty 
            e^{-\frac{\{x-(\sigma^2 t+\mu)\}^2-(\sigma^4 t^2+2\sigma^2 t \mu)}
                  {2\sigma^2}} dx \nonumber \\
        &=&\frac{e^{\frac{1}{2}\sigma^2 t^2 + t \mu}}
            {\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty 
          e^{-\frac{\{x-(\sigma^2 t +\mu)\}^2}{2\sigma^2}} dx.  \nonumber 
  \end{eqnarray}
  ������$y=x-(\sigma^2 t+\mu)$ �Ȥ����ȡ�
 \[ M_X(t)=\frac{e^{\frac{1}{2}\sigma^2 t^2 + t \mu}}
            {\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty  
             e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy. \] 
 �ޤ���$A=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy$ �Ȥ�����
 $z=y/ \sigma$ ���ѿ��Ѵ�����ȡ�
\[  A=\sigma \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{z^2}{2}} dz. \]
��ʬ�ѿ��������Ǥ�դǤ��뤫�顢 \\
\begin{eqnarray}
 A^2=A \cdot A&=&\sigma^2 \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{z^2}{2}} dz 
         \cdot \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac{a^2}{2}} da  \nonumber \\
              &=&\sigma^2 \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
                 e^{-\frac{1}{2}(z^2+a^2)} dz da. \nonumber
\end{eqnarray}
$z=r\sin \theta,a=r\cos \theta$ �Ƕ˺�ɸ�Ѵ�����ȡ� \\
\begin{eqnarray}
  A^2&=&\sigma^2 \int_{0}^{2\pi} \int_0^\infty e^{-\frac{1}{2} r^2}
             r dr d\theta \nonumber \\ 
     &=&\sigma^2 \left[ \theta \right]_0^{2\pi} \cdot 
               \left[ -e^{-\frac{1}{2}r^2} \right]_0^\infty
          =\sigma^2 \cdot 2\pi(-0+1)=\sigma^2 2\pi  \nonumber    
\end{eqnarray}
 ������$A^2$ �ˤĤ��Ʒ׻������Τ�$A$ ������ͤ��롣$f(x)>0$ �Ȥʤ뤿��
	    ��$\sigma>0$ �ʤΤǡ�$A>0.$ ��äơ�$A=\sigma \sqrt{2\pi}$ 
  �Ǥ��롣�ʾ��ꡢ 
 \[ M_X(t)=\frac{e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2 t^2}}{\sigma \sqrt{2\pi}}
     \cdot \sigma \sqrt{2\pi} =e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2 t^2}. \]
ɸ��ʿ���ͤ� \\
\[  \bar{X}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i
         =\frac{X_1}{n}+\frac{X_2}{n}+\cdots +\frac{X_n}{n}  \]
�Ǥ��뤫�顢�ޤ�$X/n$ ����Ψ��ؿ�������(\ref{bokansuu-cg(x)})�����
\[ M_{X/n}(t)=M_X(\frac{t}{n})=e^{\mu\frac{t}{n}
                        +\frac{1}{2}\frac{\sigma^2 t^2}{n^2}}  \]
�Ȥʤ롣$X_i$ �ϸߤ�����Ω�Ǥ��뤫��(\ref{sekiritubokansu-x1x2x3})��ꡢ
 \begin{eqnarray}
 M_{\bar{X}}(t)&=&M_{X_1/n}(t) \cdot M_{X_2/n}(t) 
                               \cdots M_{X_n/n}(t)  \nonumber \\    
%&=&M_{\sum X/n}(t)=M_{X_1/n+X_2/n+\cdots+X_n/n} \nonumber  \\
%       =e^{\sum^n(\mu \frac{t}{n}+\frac{1}{2} \frac{\sigma^2 t^2}{n^2})}
      &=&\left[M_X(\frac{t}{n})\right]^n   
               =e^{\mu t+\frac{1}{2}(\frac{\sigma^2}{n})t^2}  \nonumber \\
 \end{eqnarray}
�Ȥʤ롣�����ʿ����$\mu$ ��ʬ�� $\sigma^2/n$ ������ʬ�ۤ���Ψ��ؿ��Ǥ�
�롣(���������)

 \item[����2] �ϰ� R\footnote{�ϰ�R��ɸ���ͤκ����ͤȺǾ��ͤȤκ������ʤ��
   \[ R=x_n-x_1.\]} �ϡ�ʿ���ͤ���Ȥ��콸�Ĥ�ɸ���к�������ܡ��Ĥޤ�
     $d_{2\sigma}$ �ǡ�ɸ���к�����Ȥ��콸�Ĥ�ɸ���к�������ܡ�
     �Ĥޤ� $d_{3\sigma}$ ������ʬ�ۤ򤹤롣��� $d_2$ �� $d_3$ ��
     ����ץ���礭�� $n$ �ˤ�äƷ�ޤä��ͤ�Ȥ�(����ɽ�ˤΤäƤ���)��
     (�����Ͼ�ά)
 \item[����3] �к�ʿ���� S ��ʿ���ͤϡ���Ȥ��콸�Ĥ�ʬ��$\sigma^2$ �� 
      $(n-1)$�ܤȤʤ롣(�����Ͼ�ά) 
\end{description}

%�������� ��������ʬ�� ��������
\section{�����ʬ��}
��Ψ�ѿ�$X$ �γ�Ψ̩�٤����μ���������Ȥ���$X$ �򥬥���ѿ�������
ʬ�ۤ�{\bf �����ʬ��}�Ȥ�����  \\
\begin{equation}
 f(x)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}e^{-\lambda x}x^{n-1}~~~~x>0 \label{gamma}
\end{equation}
��������$\lambda,n$ ��ʬ�ۤ�����Ǥ��äơ�$\lambda>0,~n>0$ �Ǥ��롣
$\Gamma(n)$ �ϥ���޴ؿ����ܤ�����Appendix A �򻲾ȡ�
\begin{figure}
     \begin{center}
       \resizebox{120mm}{!}{\includegraphics{gamma-bunpu.eps}}
       \caption{�����ʬ�ۤΥ����}
       \label{gamma-bunpu-zu}
     \end{center}
   \end{figure}

\vspace{5mm}
$n=1$ �ΤȤ�������ʬ�ۤϻؿ�ʬ�ۤȤ�Ф�롣$n \leq 1$ �ʤ�Х����ʬ�ۤ�
���ϵ�$J$ �����ˤʤ�(��1.2����)\footnote{$n>1$ �ΤȤ���$X=(n-1)/
\lambda$ ���⡼�ɤǤ��롣�⡼�ɤȤ��ٿ�ʬ�ۤˤ����ơ��ٿ��κ����ͤ��б�
�����͡��Ĥޤ�����ͤǤ��롣���ξ��Ǥ�ʬ�۴ؿ��ζ����ͤ��б�����(¨��
$f'(x)=0$ �ΤȤ���)$X$ ���ͤǤ��롣}��

\vspace{5mm}
(\ref{gamma})����̩�ٴؿ��ξ��$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=1$ ��ߤ���
���Ȥϼ����̤��������롣
\[ \int_0^\infty f(x)dx=\frac{\lambda}{\Gamma(n)}\int_0^\infty
          e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n-1} dx.   \]
$y=\lambda x$ �Ȥ������Ѵ�����С�
\[ \frac{\lambda}{\Gamma(n)} \cdot \frac{1}{\lambda}
   \int_0^\infty e^{-y}y^{n-1}dy
      =\frac{\lambda}{\Gamma(n)}\frac{1}{\lambda} \Gamma(n)=1. \]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)

\vspace{5mm}
�����ʬ�ۤ�ʬ�۴ؿ��ϼ�����Ϳ�����롣  \\
\begin{equation}
  F(x)=\frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} \int_0^x 
         e^{-\lambda x}x^{n-1} dx.   
\end{equation}

\vspace{5mm}
����޴ؿ�����Ψ��ؿ��ϼ��Τ褦�˷׻�����롣  \\
\begin{eqnarray}
  M(t)&=&\int_0^\infty e^{tx} \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)}
        e^{-\lambda x} x^{n-1} dx  \nonumber  \\
      &=&\frac{\lambda^n}{(\lambda-t)^n}\int_0^\infty
         \frac{(\lambda-t)^n}{\Gamma(n)}e^{-(\lambda-t)x}
                   x^{n-1} dx, \nonumber \\
��ʬ��y=(\lambda-t)x ���Ѵ�����  \nonumber  \\
      &=&\frac{\lambda^n}{(\lambda-t)^n} \frac{1}{\Gamma(n)}\int_0^\infty
         e^{-y}y^{n-1}dy=(\frac{\lambda}{\lambda-t})^n. \nonumber
\end{eqnarray}
��äƥ����ʬ�ۤ���Ψ��ؿ���  \\
\begin{equation}
  M(t)=(1-\frac{t}{\lambda})^{-n}  \label{gamma-sekiritubokansu}
\end{equation}
��Ϳ�����롣������ؿ��ϼ��Τ褦�˵��Ÿ�������
\footnote{(\ref{beki-kyusu})����$x$ ��$t$ ���б�������Ф褤��}��
\[ M(t)=1+\frac{n}{\lambda}t+\frac{n(n+1)}{\lambda^2}\frac{t^2}{2!}+
         \frac{n(n+1)(n+2)}{\lambda^3}\frac{t^3}{3!}+ \cdots   \]
����Ÿ�������饬���ʬ�ۤ�ʿ���͡�ʬ����ľ���˼����̤���ޤ롣 
\begin{equation}
  E(X)=\frac{n}{\lambda}  
\end{equation}
\[  E(X^2)=\frac{n^2+n}{\lambda^2} \]
\begin{equation}
  var(X)=E(X^2)-\left[E(X)\right]^2=\frac{n}{\lambda^2}
\end{equation}


%�������� �������ʬ�� ��������
\section{�������ʬ��}   \label{sub-chi}
  ��ͳ�٤�$k$��{\bf �������ʬ��}�γ�Ψ̩�ٴؿ��� \\
\begin{equation}
    f(x)= \left\{
              \begin{array}{@{\,}ll}
                 \frac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma(\frac{k}{2})} 
                  x^{\frac{k}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}  & \mbox{($x > 0$)}  \\
                             0  & \mbox{($x \leq 0$)}
              \end{array}
            \right.    \label{chi-nijo-bunpu} 
\end{equation}
   ��ɽ����롣�������ʬ�ۤ�ɸ��ʬ�ۤ������ǽ��פ�������ʬ�ۤΰ��
   �Ǥ��롣�ʲ��˼����褦�ˡ��������ʬ�ۤ�ʿ�Ѥ� $k$ ��ʬ���� $2k$ �Ȥʤ롣
   �ޤ��������ʬ�ۤϥ����ʬ�ۤ��ü�ʾ��Ǥ��롣(\ref{gamma})
   ����$n=k/2,\lambda=1/2$ ����������Ф褤��
\begin{figure}
     \begin{center}
       \resizebox{120mm}{!}{\includegraphics{chi-nijo-bunpu.eps}}
       \caption{�������ʬ�ۤΥ����}
       \label{chi-nijo-bunpu-zu}
     \end{center}
   \end{figure}

��ä���Ψ��ؿ���
\begin{equation}
  M(t)=(1-2t)^{-\frac{k}{2}} 
\end{equation}
�Ȥʤ�(\ref{gamma-sekiritubokansu}���򻲾�)��
������Ψ��ؿ��ϼ��Τ褦�˵��Ÿ�����뤳�Ȥ��Ǥ��롣
\[ M(t)=1+kt+k(k+2)\frac{t^2}{2!}+k(k+2)(k+4)\frac{t^3}{3!}+\cdots  \]
��ä�  
\begin{eqnarray}
  \mu_1'&=& k.  \nonumber  \\
  \mu_2'&=& k(k+2).  \nonumber  \\
  \mu_3'&=& k(k+2)(k+4). \nonumber   
\end{eqnarray}
���̤�  
\begin{equation}
  \mu_i'=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2i-2)
\end{equation}
�Ǥ��롣���η�̤��饫�����ʬ�ۤ�ʿ���ͤ�ʬ���ϼ��Τ褦�������롣
\begin{equation}
  E(\chi^2)=\mu_1'=k.   
\end{equation}
\begin{equation}
  var(\chi^2)=\mu_2'-\mu_1'^2=2k.
\end{equation}

\subsubsection{�����ѿ��������¤�ʬ�ۤ��������ʬ�ۤˤʤ뤳��}
����$X_i(i=1,2,\cdots)$ ��ʿ����$\mu_i$��
ʬ��$\sigma_i^2$ �������ѿ��Ǥ��äơ��ߤ�����Ω�ΤȤ���  \\
\begin{equation}
   Z_i=\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}  \label{hyoujunseikihensuu}
\end{equation}
��ɸ������ʬ���ѿ��Ǥ��롣������  \\
\begin{equation}
  \chi^2=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_k^2
\end{equation}
�����롣���餫��$\chi^2$ ��$X_i$ �δؿ��Ǥ��롣����$\chi^2$ ��
ʬ�ۤ���Ψ��ؿ��ˤ�äƼ����̤�Ƴ����롣$Z_1,Z_2,\cdots,Z_k$ ��
Ʊ��̩�ٴؿ���\footnote{$\prod$ ��$n$ �Ĥο��ˤĤ��Ƥ������
(2�İʾ�ο���ݤ���碌��������)��}  \\
\begin{eqnarray}
  f(z_1,z_2,\cdots,z_k)&=&\prod_{i=1}^{k}
                 \left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-z_i^2/2}\right]  \nonumber \\
              &=&(\frac{1}{2\pi})^{\frac{k}{2}}e^{-\sum z_i^2/2} \nonumber
\end{eqnarray}
�Ǥ��롣���ä�$\chi^2=Z_1^2+Z_2^2+\cdots+Z_k^2$ ����Ψ��ؿ��ϼ���
�̤�ˤʤ롣   \\
\begin{eqnarray}
  M_{\chi^2}(t)=E(e^{t\chi^2})&=&\int \cdots \int e^{t \chi^2}
           f(z_1,z_2,\cdots,z_k)dz_1 dz_2 \cdots dz_k \nonumber   \\
   &=&(\frac{1}{2\pi})^{\frac{k}{2}} \int_{-\infty}^\infty \cdots
        \int_{-\infty}^\infty  e^{t \sum z^2} e^{-\sum z^2/2}
        dz_1 \cdots dz_k   \nonumber  \\
   &=&\prod_{i=1}^k \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty}
       e^{-\frac{1}{2}(1-2t)z_i^2} dz_i  \nonumber
\end{eqnarray}
�Ȥ�����$\frac{\sqrt{1-2t}}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(1-2t)z^2}$
��ʬ��$\frac{1}{1-2t}$ ������ʬ�ۤ�̩�ٴؿ��Ǥ��뤫��
\[ \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(1-2t)z^2} dz
         = \frac{1}{\sqrt{1-2t}}   \]
�Ǥ��롣��ä�
\[ M_{\chi^2}(t)=(\frac{1}{1-2t})^{\frac{k}{2}}~~~~t<\frac{1}{2}  \]
�Ǥ���\footnote{$\chi^2$ �Ϥ����1�Ĥ�ʸ����Ʊ�������򤹤롣}��
���äơ�$k$ �Ĥ������ѿ�������¤�ʬ�ۤϼ�ͳ��$k$ �Υ������ʬ�ۤȤʤ롣

\vspace{5mm}
�ʾ�η�̤�Ȥä�$k \to \infty$ �ΤȤ��������ʬ�ۤ�����ʬ�ۤ˶��դ�
���Ȥ򼡤Τ褦�˾������뤳�Ȥ��Ǥ��롣 
\subsubsection{$k \to \infty$ �ΤȤ��������ʬ�ۤ�����ʬ�ۤ˶��դ����Ȥξ���}
�嵭�Τ褦�˥�������ѿ���ʿ���ͤ�$k$ ��ʬ����$2k$ �Ǥ��뤫�顢
$K=(\chi^2-k)/ \sqrt{2k}$ ��ɸ�������ѿ�$Z=(X-\mu)/ \sigma$ �˸��礦
�ͤǤ��롣$\chi^2$ ����Ψ��ؿ���$M_{\chi^2}(t)=(1-2t)^{-k/2}$ �Ǥ���
���顢����Ѵ�����$K$ ����Ψ��ؿ������ȼ��η�̤�������
\footnote{p.\pageref{bokansu-teiri}����Ψ��ؿ��ˤĤ��Ƥ�
����1��2���Ѥ��롣}�� \\
\begin{eqnarray}
 M_K(t)&=&E(e^{\frac{\chi^2-k}{\sqrt{2k}}t})
        =e^{-\frac{kt}{\sqrt{2k}}}
             (1-\frac{2t}{\sqrt{2k}})^{-\frac{k}{2}}  \nonumber \\
      &=&\left[e^{t\sqrt{2/k}}
            (1-\sqrt{\frac{2}{k}}t)\right]^{-\frac{k}{2}} \nonumber \\
      &=&\left[(1+\sqrt{\frac{2}{k}}t+\frac{1}{2!}
           \left(\sqrt{\frac{2}{k}}t\right)^2+\cdots)
           (1-\sqrt{\frac{2}{k}}t)\right]^{-\frac{k}{2}}  \nonumber \\
      &=&\left[1-\frac{t^2}{k}
           -\left(\frac{2}{k}\right)^{\frac{3}{2}}\frac{t^3}{3}
           +\cdots \right]^{-\frac{k}{2}}  \nonumber
\end{eqnarray}
$k \to \infty$ �ΤȤ�����������3�����2�����⼡��̵�¾��Ȥʤ뤫�顢
���μ��϶��Ū�˼��η��Ǽ�����롣
\[ M_K(t) \cong \left[1-\frac{t^2}{k}\right]^{-\frac{k}{2}}.   \]
$k \to \infty$ �ΤȤ������դ�$e^{\frac{t^2}{2}}$ �˼�«����\footnote{
\[ \lim_{n \to \infty} (1+\frac{a}{n})^n = e^a \]
�Ǥ��뤫�顢
\[ \lim_{k \to \infty} \left\{(1+\frac{-t^2}{k})^k \right\}^{-\frac{1}{2}}
   =(e^{-t^2})^{-\frac{1}{2}}=e^{\frac{t^2}{2}}. \]}��
�����ɸ������ʬ�ۤ���Ψ��ؿ��Ǥ��롣
��äƥ������ʬ�ۤ�$k \to \infty$ �ΤȤ�����ʬ�ۤ˶��դ���~~~(���������)

\vspace{5mm}
����ɸ��ʬ���ξ��ˤĤ��ƹͤ��롣����Ū�˻����äǤ��롣
            
\subsubsection{�콸��ʬ�ۤ�����ʬ�ۤλ�������ɸ��ʬ����
�������ʬ�ۤ򤹤뤳��}  \label{hyohonbunsan-chi}

�콸��ʬ�ۤ�ʿ����$\mu$��ʬ��$\sigma^2$ ������ʬ�ۤȤ���
�礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤ���׻�����ɸ��ʿ���͡�ɸ��ʬ��\footnote{
���̤�$s^2=(\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2)/(n-1)$ �ξ�礬¿���Ȼפ���
��ǧ���ơ�ɬ�פ��ä���ľ�����ȡ�}�򤽤줾��
$\bar{X},s^2$ �Ȥ��롣
\[ s^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{n}.    \]
$s^2$ �μ��򼡤Τ褦���ѷ����롣
\[ s^2=\frac{1}{n}\sum (X-\mu)^2-(\bar{X}-\mu)^2.  \]
ξ�դ�$n/ \sigma^2$ �򤫤��ưܹह���  \\
\begin{equation}
  \sum(\frac{X-\mu}{\sigma})^2=\frac{ns^2}{\sigma^2}
       +\frac{(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2 /n}. \label{sum-x-mu-sigma}
\end{equation}
¨����$\sum (\frac{X-\mu}{\sigma})^2$ ��$s^2$ �ι��$\bar{X}$ �ι��
ʬ�򤵤줿���Ȥˤʤ롣$X$ ������ʬ���ѿ��ΤȤ�������$\bar{X}$ ��$s^2$ ��
�ߤ�����Ω�Ǥ��뤳�Ȥ����������\footnote{�����׿�������٤ǤϾ�������ά
����Ƥ��롣}������(\ref{sum-x-mu-sigma})
���򼡤ε���Ǽ������Ȥˤ��롣
\[ R=P+Q  \]
ξ�դ���Ψ��ؿ���ͤ����
\[ M_R(t)=M_P(t)\cdot M_Q(t)  \]
�Ȥʤ롣�Ȥ�����$R=\sum^n (\frac{X-\mu}{\sigma})^2$ �ϼ�ͳ��$n$ ��
��������ѿ��Ǥ��롣���ä�
\[ M_R(t)=(1-2t)^{-\frac{n}{2}} \]
�Ǥ��롣�ޤ�$\sqrt{Q}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}$ ��ɸ������
�ѿ��Ǥ��뤫�顢��$X$ ��ʿ����0��ʬ��1 ��ɸ�������ѿ��ΤȤ���$X^2$ 
�ϼ�ͳ��1�Υ������ʬ�ۤ򤹤�פȤ���������ꡢ$Q$ �ϼ�ͳ��1�Υ��������
���Ǥ��롣��ä�
\[ M_Q(t)=(1-2t)^{-\frac{1}{2}}   \]
�Ȥʤ롣���ä�$P=ns^2/ \sigma^2$ ����Ψ��ؿ��ϼ����̤�ˤʤ롣
\[ M_P(t)=(1-2t)^{-\frac{n-1}{2}}    \]
����ϼ�ͳ��$n-1$ �Υ������ʬ�ۤ���Ψ��ؿ��Ǥ��롣��äƼ���������
��Ω���롣 \\
\begin{description}
 \item[����]   �콸�Ĥ�ʬ��$\sigma^2$ ������ʬ�ۤ�
����Ȥ���$s^2$ ���礭��
$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�ɸ��ʬ���Ȥ���С�$ns^2/ \sigma^2$ �ϼ�ͳ��
$n-1$ �Υ������ʬ�ۤ򤹤롣  \label{teiri-5.11}
\end{description}
$s^2=\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2/n$ �Ǥ��뤫��
\[ \frac{ns^2}{\sigma^2}=\sum_{i=1}^n 
     \left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}\right)^2 \]
�Ǥ��롣���μ���$R=\sum_{i=1}^n (\frac{X_i-\mu}{\sigma})^2$ ��
��ʿ��$\mu$ ������ɸ��ʿ��$\bar{X}$ ��Ȥä���ΤǤ��롣������⥫��
����ѿ��Ǥ��뤬����Ԥμ�ͳ�٤�$n$ �Ǥ���Τ��Ф������Ԥμ�ͳ�٤�$n-1$ 
�Ǥ��롣���ΤȤ�$\sum (\frac{X-\bar{X}}{\sigma})^2$ �ϡ�ʿ���ͤ�����к�
������¤η׻��ˡ���ʿ�Ѥ�����ɸ��ʿ�Ѥ���Ѥ������Ȥˤ�äƼ�ͳ�٤�
��ļ��ä������뤤��ʿ���ͤο���Τ���˼�ͳ�٤�1�Ļ��Ѥ����Ȥ�����

\vspace{5mm}
����$ns^2/ \sigma^2$ �μ�ͳ�٤�$n-1$ �Ǥ��뤳�Ȥ����դ��ơ��������ʬ��
��̩�ٴؿ� (\ref{chi-nijo-bunpu})����$x=ns^2/ \sigma^2$ ���ѿ��Ѵ�
����С�ɸ��ʬ��$s^2$ ��ʬ�ۤ����μ��������롣  \\
\begin{equation}
  f(s^2)=\left(\frac{n}{2\sigma^2}\right)^{\frac{n-1}{2}} (s^2)^{\frac{n-3}{2}}
          e^{-\frac{ns^2}{2\sigma^2}}/ \Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right).
\end{equation}

%%������ t ʬ�� ��������������������
\section{$t$ ʬ��}  \label{sec-t-bunpu}
  ��ͳ�٤�$n$��{\bf $t$ ʬ��}�γ�Ψ̩�ٴؿ��� \\
    \begin{equation}
      f(t)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}
      {\sqrt{n\pi} \Gamma (\frac{n}{2})(1+\frac{t^2}{n})^{\frac{n+1}{2}}}
      ~~~~,-\infty<t<\infty  \label{t-distribution}
    \end{equation}
  ��ɽ����롣$t$ ʬ�ۤ�ʿ�Ѥ�$0$��ʬ���� $n/(n-2)$ (������$n \ge 2$
  \footnote{$n=1$ �ΤȤ���
\[ ʿ��~~\int_{-\infty}^\infty tf(t)dt
    =\int_{-\infty}^\infty \frac{t}{\pi(1+t^2)}dt.  \]
 ��ؿ��ʤΤ�ʿ��$=0$��
\begin{eqnarray} 
    ʬ��~~\int_{-\infty}^\infty t^2f(t)dt
    &=&\int_{-\infty}^\infty \frac{t^2}{\pi(1+t^2)}dt 
     =[t-1 \times \arctan t ]_{-\infty}^\infty  \nonumber  \\
    &=& \infty-\arctan \infty -((-\infty)-\arctan(-\infty))  \nonumber  \\
    &=& \infty -(n\pi+\frac{\pi}{2})+(n\pi-\frac{\pi}{2})=\infty \nonumber
\end{eqnarray}  
})
  �Ǥ��롣

\begin{figure}
     \begin{center}
       \resizebox{120mm}{!}{\includegraphics{t-bunpu.eps}}
       \caption{$t$ ʬ�ۤΥ����}
       \label{t-bunpu-zu}
     \end{center}
   \end{figure}

\vspace{5mm}
  \ref{seiki-hyouhon-dis}�������1�ˤ��С������콸�Ĥγ�Ψɸ�ܤ���׻�
  ���줿$Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma / \sqrt{n})$ ��ʿ����0��ʬ��1��ɸ������
ʬ�ۤ򤹤롣���Τ��Ȥ�ɸ��ʿ����$\bar{X}$ �θ�����ͤ���Ȥ��δ��ܸ�����
���ƽ��פʰ�̣����Ĥ������μ��˴ޤޤ�����$\sigma$ �ϰ��̤�̤�ΤǤ��롣
��ä�$\sigma$ ���ͤ򲿤餫����ˡ�ǿ��ꤷ�ƻȤ������ʤ���������$\sigma$ 
�򤽤ο����͡��㤨��ɸ��ɸ���к�$s$ ���֤�������ȡ�$n$ ���ˤ����Ǥʤ�
�¤�$Z$ �Ϥ�Ϥ������ѿ��ǤϤʤ��ʤ롣������$\sigma$ �ο����ͤȤ��Ʋ���
Ŭ���Ǥ��뤫�����ΤȤ����ο����ͤ�Ȥä������������̤��ɤΤ褦��ʬ�ۤ�
���뤫������Ȥʤ롣�������о줹��Τ�$t$ ʬ�ۤǤ��롣

\vspace{5mm}
$t$ʬ�ۤϼ��Τ褦��ʬ�ۤǤ��롣$X$ ��ɸ������ʬ�ۤ����Ψ�ѿ���$Y$ ��
��ͳ��$n$ �Υ������ʬ�ۤ򤹤뤽�줾����Ω�ʳ�Ψ�ѿ��Ȥ��롣���ΤȤ���
$t=X / \sqrt{Y/n}$ �ϼ�ͳ��$n$ ��$t$ʬ�ۤ򤹤롣

�������  \label{t-shoumei}   \\
$X$��$Y$ ��̩�ٴؿ���ʬ���äƤ���Τǡ�$t$ ��̩�ٴؿ��ϼ��Τ褦��
Ƴ����롣$X$��$Y$ ����Ω�Ǥ��뤫�顢����Ʊ��̩�ٴؿ���
\[ f(x,y)=f_X(x) \cdot f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} 
           \cdot y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}y} 
           / 2^{\frac{n}{2}}\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)        \]
�Ǥ��롣���μ����ѿ�$X$ ��$t=X/ \sqrt{Y/n}$ ��$t$ ���Ѵ������ \\
\begin{eqnarray}
f(t,y)&=&f\{x(t),y\}\bigl| \frac{dx}{dt} \bigr|  \nonumber \\
      &=&\frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(t^2)\frac{y}{n}}
            y^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{1}{2}y}} 
       {2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})}
      \left(\frac{y}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \nonumber \\
      &=&\frac{y^{\frac{1}{2}(n-1)} e^{-\frac{1}{2}y(1+\frac{t^2}{n})}}
             {(2\pi n)^{\frac{1}{2}}2^{\frac{n}{2}}
          \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}        \nonumber 
\end{eqnarray}
�Ȥʤ롣������ѿ�$Y$ ��$Z=\frac{Y}{2}(1+\frac{t^2}{n})$ ��$Z$ ��
�Ѵ������  \\
\begin{eqnarray}
f(t,z)&=&f\{t,y(z)\}\bigl| \frac{dy}{dz} \bigr|  \nonumber \\
      &=&\frac{2^{\frac{1}{2}(n-1)} e^{-z} z^{\frac{1}{2}(n-1)}}
           {(1+\frac{t^2}{n})^{\frac{1}{2}(n-1)}(2\pi n)^{\frac{1}{2}}
           2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\frac{n}{2})} \cdot 
                 2\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-1} \nonumber \\
      &=&\frac{z^{\frac{1}{2}(n-1)}e^{-z}}{\sqrt{\pi n}(1+\frac{t^2}{n})
            ^{\frac{1}{2}(n+1)}\Gamma(\frac{n}{2})} \nonumber 
\end{eqnarray}
�Ȥʤꡢ�����$Z$ �ζ��$(0,\infty)$ �ˤĤ�����ʬ����С�$t$ ��ʬ�ۤ�
�����̤�׻�����롣
\begin{eqnarray}
f(t)&=&\int_0^\infty f(t,z) dz  \nonumber \\
    &=&\frac{1}{\sqrt{\pi n}(1+\frac{t^2}{n})^{\frac{1}{2}(n+1)}
         \Gamma(\frac{n}{2})}\int_0^\infty z^{\frac{n+1}{2}-1} e^{-z} dz
          \nonumber \\
    &=&\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi n}
        (1+\frac{t^2}{n})^{\frac{1}{2}(n+1)}\Gamma(\frac{n}{2})}. \nonumber   
\end{eqnarray}

 \subsubsection{$t$ ʬ�ۤ�ʿ�Ѥ�ʬ���ξ���}

$t$ ʬ�ۤ�$t=0$ ���Ф����оΤǤ��뤫�顢���������Ψ�Ϥ��٤�$0$ �Ǥ��롣
��ä�ʿ���ͤ�$0$ �Ǥ��롣�ʲ���ʬ���ˤĤ��ƾ������롣\\
$t$ ʬ�ۤ�$t=0$ �ˤĤ����оΤǤ��뤫�顢
 \[  var(t)=2\int_0^\infty t^2f(t)dt
    =\frac{2\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
      \int_0^\infty t^2 \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}dt  \]
$u=\frac{t^2}{n+t^2}$ �Ȥ����С�
$dt=\frac{n^{\frac{1}{2}}u^{-\frac{1}{2}}}
 {2(1-u)^{\frac{3}{2}}}du$ �Ǥ��뤫�顢 \\
\begin{eqnarray}
 var(t)&=&\frac{2\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
    \int_0^1\frac{nu}{(1-u)^{\frac{1-n}{2}}}
   \frac{n^{\frac{1}{2}}u^{-\frac{1}{2}}}{2(1-u)^{\frac{3}{2}}}du \nonumber \\
       &=&\frac{n\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
           \int_0^1 u^{\frac{1}{2}}(1-u)^{\frac{n-2}{2}-1}du  \nonumber  \\
       &=&\frac{n\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
           B\left( \frac{3}{2},\frac{n-2}{2} \right)   \nonumber  \\
       &=&\frac{n\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
           \frac{\Gamma(\frac{3}{2})\Gamma(\frac{n-2}{2})}
               {\Gamma(\frac{n+1}{2})}
          =\frac{\frac{1}{2}n\sqrt{\pi}}{\frac{n-2}{2}\sqrt{\pi}}
          =\frac{n}{n-2} \nonumber \\
\end{eqnarray}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(��
�������)\footnote{$B(m,n)$ �ϥ١����ؿ��Ǥ��롣�١����ؿ��ˤϼ���������
���롣��������$m>0,n>0$ �Ǥ��롣 
\begin{enumerate}
 \item $B(m,n)=\int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx
        =\int_0^1 z^{n-1}(1-z)^{m-1}dz=B(n,m)$ 
 \item $B(m,n)=(\Gamma(m)\Gamma(n))/ \Gamma(m+n)$
\end{enumerate}
�١����ؿ��������ξ����ϡ�Appendix B �򻲾ȤΤ��ȡ�}


\subsubsection{$n \to \infty$ �λ���$t$ʬ�ۤ�����ʬ�ۤ˶��դ����Ȥξ���} 
����(\ref{t-distribution})����  \\
\begin{equation}
           f(t)=C\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}(n+1)}  \nonumber \\
������~~~~~C=\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) / \sqrt{\pi n} 
             \Gamma\left(\frac{n}{2}\right) 
                          \nonumber  \\
\end{equation}
�Ȥ���������׻��Υ�������󥰤θ����ϰ��̤˥���޴ؿ�$\Gamma(n+1)$ ��
�Ф���($n$ �������Ǥ���Ȥʤ��Ȥ˴ؤ�餺)$n$ ���礭���Ȥ�������Ω��
�����
\footnote{\[  \Gamma(n+1) \cong \sqrt{2\pi}n^{n+\frac{1}{2}}e^{-n}. \]
 ~~~~~ $n$ �����������ʤ��$\Gamma(n+1)=n!$}�Ǥ��롣
��ä�$C$ �򤳤ζ�����Ƿ׻������
\begin{eqnarray}
 C&=&\frac{\sqrt{2\pi}\left(\frac{n-1}{2}\right)^{\frac{n}{2}} 
         e^{-\frac{1}{2}(n-1)}}
     {\sqrt{2\pi}\left(\frac{n}{2}-1\right)^{\frac{1}{2}(n-1)} 
           e^{-(\frac{n}{2}-1)}\sqrt{\pi n}} 
       = \frac{(n-1)^{\frac{n}{2}} (n-2)^{-\frac{1}{2}(n-1)}}
                 {2^{\frac{1}{2}} e^{\frac{1}{2}}\sqrt{\pi n}} \nonumber \\    
  &=&e^{-\frac{1}{2}}(\pi n)^{-\frac{1}{2}}
           \left(\frac{n-1}{n-2}\right)^{\frac{1}{2}(n-2)}
       \left(\frac{n-1}{n-2}\right)^{\frac{1}{2}}  
       \left(\frac{n-1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\nonumber \\ 
\end{eqnarray}
�Ȥʤ롣$n \to \infty$ �ΤȤ�\footnote{
\[  \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{a}{n}\right)^n=e^a   \]}
\[  \left(\frac{n-1}{n-2}\right)^{\frac{1}{2}(n-2)}
     =\left(1+\frac{1}{n-2}\right)^{(n-2) \cdot \frac{1}{2}} 
              \to e^{\frac{1}{2}}  \]
\[  \left(\frac{n-1}{n-2}\right)^{\frac{1}{2}} \to 1 ,
    ~~~~~~\left(\frac{n-1}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \to 1 \]
�Ǥ��뤫�顢
\[  C \to (2\pi)^{-\frac{1}{2}}      \]
�Ȥʤ롣�ޤ�$f(t)$ �λĤ����ʬ��
\[ \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}(n+1)}
  =\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{n}{2}}
    \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}}  \]
�ǡ�$n \to \infty$ �ΤȤ�\footnote{$h=n/t^2$ �Ȥ����С�$n \to \infty$ �ΤȤ�
$h \to \infty$ �Ǥ��뤫�顢
\[ \lim_{n \to \infty}(1+\frac{t^2}{n})^n
       =\lim_{h \to \infty}(1+\frac{1}{h})^{ht^2}
       =e^{t^2}        \]}
\[  \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^n \to e^{t^2},
        \left(1+\frac{t^2}{n}\right) \to 1 \]
�Ǥ��뤫��
\[ \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-\frac{1}{2}(n+1)} \to e^{-\frac{1}{2}t^2}  \]
�Ȥʤ롣��ä�$n \to \infty$ �ΤȤ�
\[ f(t) \to \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}t^2}     \]
�Ȥʤ롣���դ�ɸ������ʬ�ۤ�̩�ٴؿ��Ǥ��롣(���������)

\subsubsection{ɸ��ʿ���ͤ�ʬ��}  \label{t-hyouhon}
   \ref{seiki-hyouhon-dis}��Ǹ����褦�ˡ�����ʬ�ۤ�
   �콸�ĤȤ���ɸ�ܤˤĤ��Ƥ�������
\[ Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma / \sqrt{n})  \] 
   ��ʬ�ۤ�ɸ������ʬ�ۤȤʤ�\footnote{������$\bar{X}$ �������콸�Ĥ���
  ���Ф����礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�ʿ���͡�$\mu$ ��
  �콸��ʿ���ͤǤ��롣}����������ʬ�� $\sigma^2$ ��̤�Τʾ�礬¿���Τǡ�
   $\sigma^2$ ������
   ɸ��ʬ�� $s^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2/n$ 
   ���Ѥ���\footnote{$\sigma^2=(n/n-1)s^2$ �Ȥ����ط����Ѥ��롣}
\begin{equation}
     t=  \frac{\bar{X}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n-1}}} \label{t-s} 
\end{equation}
     ���ɤΤ褦��ʬ�ۤ˽�����Ĵ�٤Ƥ����ȡ� $\mu$ �ζ�ֿ�����Թ礬�褤��
     (\ref{t-s})���ϼ��Τ褦�˽񤭲���뤳�Ȥ��Ǥ��롣
 \[  t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}/
 \sqrt{\frac{\frac{ns^2}{\sigma^2}}{(n-1)}} \]
  ���μ���ʬ�Ҥ�ɸ������ʬ���ѿ��Ǥ��ꡢʬ���$\frac{ns^2}{\sigma^2}$ ��
  ��ͳ��$(n-1)$ �Υ�������ѿ��Ǥ���
 \footnote{p.\pageref{hyohonbunsan-chi} �� �콸��ʬ�ۤ�����ʬ�ۤλ���
    $\cdots$�򻲾ȤΤ���}��
  ��ä�(\ref{t-s})����$t$ �ϼ�ͳ��$(n-1)$ ��$t$ ʬ�ۤ򤹤�\footnote
  {p.\pageref{t-shoumei} ��$t$ ʬ�ۤˤĤ��Ƥξ����򻲾ȤΤ��ȡ�}��
  ����ʬ�ۤ�$\sigma$ ������$s$ ���Ѥ���
  ʿ���ͤ�0��ɸ���к���1��Ĵ�ᤷ����ΤȤ�����롣

