\chapter{����Ū��������}
%%%%%%%%% 2.1 ��������  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��������}\footnote{��������1��������֤Ȥϲ���?~2���ֹ�ư��
�֡פ�ɬ�פʤ��ΤǤϡ�~3���콸��ʬ�ۤ���ꤹ�뤳�ȤϤ���Τ���������~4��
�ָ���פǤϤۤȤ�ɤξ�硢�콸��ʬ�ۤ�����ʬ�ۤȲ��ꤹ��Τ���������}
���Ϥޤǡ���Ψ���������顢��¬���פ�������������Τ�ɬ�פʳƼ��
ƻ��Ω�ƤˤĤ��ƽҤ٤Ƥ��������ξϤǤϡ�������ƻ����¬���פ�
������ˤɤ����Ѥ��뤫��ͤ��롣���衢��¬���פ������� ��{\bf �����
����}�� �� ��{\bf ����θ���}�� ����Ĥ�����˽�����������Ƥ�����
�����Ǥ�Ʊ���褦��������ʤ�뤬����������1940ǯ�������󼨤��줿
{\bf ����Ū����}�������ˤĤ��ƴ�ñ���������롣
 
\subsection{���������ΰ���Ū���}
�콸�Ĥ����(���׳ؤǡ��콸�Ĥ�������ɽ�������$\theta$ ��ɽ�����Ȥˤ���)
�ϰ���Ū�������Ǥ��롣�����ǲ桹�ϡ����$\theta$ ������ѻ���ǽ�ʥǡ�
����¨��ɸ�ܤ���Ѥ����Ǥ������Ŭ�ڤʷ���(����ο��ꡦ����θ���)��
�Ԥ����Ȥ��롣���ΤȤ�����Ū���������Ǥϡ����Τ褦��Ƚ�Ǥ�ʤ�롣
\begin{enumerate}
 \item ���$\theta$ ���Ȥꤦ�뤢�����ǽ���ͤν�������롣���ν����
       {\bf �������}�Ȥ���������$\Phi$ �Ǽ�����
 \item ���$\theta$ �γ��ͤ��Ф��Ƥ��줾��Ŭ���ʰ�Ĥι�ư$a$ ���б����롣
       $a$ �ν����{\bf ��ư����}�Ȥ���������$A$ �Ǽ�����
 \item {\bf ����ؿ������} �콸��$f(x;\theta)$ ����Ǥ�դγ�Ψɸ��
       $\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �����ӡ�$a$ ���嵭�ι�ư���֤����ǤȤ���
       �ޤޤ��褦�˼��Τ褦�ʴؿ������롣
       \[  a=d(X_1,X_2,\cdots,X_n)        \]
       ������ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ���ѻ����줿�Ȥ������δؿ���
       ��ä���ޤ��ư$a$ ����ꤹ���ΤȤ��롣���ΤȤ��ؿ�$d$ ��
       {\bf ����ؿ�}�Ȥ���(¨������ؿ���ɸ�ܤȤ�������줿����
       $\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ���ư���֤����Ǥ�ͶƳ����ط����Ǥ���)��
       ����ؿ��Ϥ��������ͤ����뤬�����κݤǤ������
       �褤�����ͤ�Ϳ�����ΤǤʤ��ƤϤʤ�ʤ�\footnote{���η���ؿ���
       ����о줹��»���ؿ��Ȥ��ä���ǰ�ˤ�ꡢ������������������Ū��
       �������Ȥ��Ǥ��롣�ʤ�٤�»���ξ��ʤ�����ؿ������٤С������ͤ�
       ���ޤ�����ΤȤʤ�Ϥ��Ǥ��롣�����ºݤˤ�»���ؿ���ͤ���Ȥ���
       ��ꡢ�褤�����ͤξ��Ȥ��ơ������������������������ʤɤ�ͤ���
       ����ؿ������Ф��褦�Ǥ��롣}��
\end{enumerate}
����Ū�����ϰʾ�Τ褦�ʽ����դ�ǹԤ��롣�����¬���פǼ�갷����
������Ĥ�����򤳤η��������ο������������ƤϤ�Ƥߤ�ȡ�{\bf �������}
������ϡ���ư���֤����Ǥ�̵��(���뤤��Ϣ³)�ξ��η�������Ǥ��ꡢ
{\bf ���⸡��}������ϡ��������������ǧ���뤫���ʤ����Τɤ��餫�Ǥ��뤫
�顢��ư���֤�������Ĥ���������̤ξ��Ǥ��롣���ޤ����ʿ���ͤ˴ؤ���
���ꤪ��Ӹ������ˤȤä���������ȼ����̤�Ǥ��롣

\subsubsection{(1) ���������}
�콸��ʬ��$f(x;\theta)$ ��ʿ����$\mu$ ������ʬ�ۤȤ��롣
ʿ����$\mu$ ����ꤹ���硢���$\theta=\mu$ �Ǥ��롣
����Ū���������˽����ȡ��������μ��ϼ��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{enumerate}
 \item  �ޤ���������֤���롣�¿��ϰϤ�����С�
       \[  \Phi=\{\mu; -\infty<\mu<\infty \}    \]
     �Ȥʤ롣
 \item ���ΤȤ���ư�ϡ�$\mu$ �ο�����$\hat{\mu}$ ����ꤹ�뤳�ȤǤ��롣
       ������$\hat{\mu}$ ��ޤ��¿��ϰϤǹͤ����뤫�顢��ư���֤�
     \[  A=\{\hat{\mu}(����ꤹ��); -\infty<\hat{\mu}<\infty \}       \]
      �Ȥʤ롣
 \item ����ؿ���������롣$\hat{\mu}$ ����ꤹ�뤿��ˡ��礭��$n$ ��
       ��Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ��ѻ����ơ��㤨�Ф���ʿ����
     \[  \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i         \]
      ������ͤȤ���������Ȥ��롣����Ϸ���ؿ��򼡤η��Ƿ�᤿���Ȥ�
      ��̣���롣
      \[  a=d(X_1,X_2,\cdots,X_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.       \]
   �����ǡ�����ؿ��Ȥ��ƤϤ���¾���㤨��
    \[ a'=d'(X_1,X_2,\cdots,X_n)
        =\left(\prod_{i=1}^n X_i\right)^{\frac{1}{n}}~~~~(����ʿ��)   \]
   ���뤤��
   \[ a''=d''(X_1,X_2,\cdots,X_n)
        =X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}~~~~(�᥸����)      \]
�����֤��Ȥ�ͤ����롣���κݤǤ�������褤�����ͤ�Ϳ����褦�ʷ���ؿ�
�����֤٤����ȤϤ����ޤǤ�ʤ���
\end{enumerate}

\subsubsection{(2) ���������}
����Ʊ�ͤ��콸��$f(x;\theta)$ ��ʿ����$\mu$ ������ʬ�ۤȤ��롣
����Ȥ��㤨�м��Τ褦����Ĥι�ư�Τ����ɤ����Ȥ뤫�Ȥ��������
�Ԥ����ȤǤ��롣��Ĥι�ư�Ȥ�¨����$\mu<k$ ($k$ �Ͻ�Ϳ�����)��Ƚ��
���뤫��$\mu \ge k$ ��Ƚ�Ǥ��뤫(���뤤�ϲ���$\mu<k$ ��Ȥ뤫��
ȿ�Фβ���$\mu \ge k$ ��Ȥ뤫)�Ǥ��롣����������Ʊ�͡�����Ū
���������Ǥϡ��ʲ��μ���Ƚ�Ǥ�Ԥ���
\begin{enumerate}
 \item ������֤�$\Phi=\{\mu; -\infty<\mu<\infty\}$ �����롣 
 \item ��ư���֤�������롣�������ˡֹ�ư�פϡ�$\mu<k$ ��Ƚ�Ǥ���
       ����($a_1$ �Ǽ���)��$\mu \ge k$ ��Ƚ�Ǥ��뤳��($a_2$ �Ǽ���)�Ȥ��롣
       ���ΤȤ���ư���֤ϡ�����ξ��Ȱۤʤꡢ��������$a_1,a_2$ �ν���
            \[ A=\{a; a=a_1,a_2\}     \]
       �Ǥ��롣
 \item ����ؿ�����롣�礭��$n$ �Ĥγ�Ψɸ�ܤ�ѻ���������ʿ����
       ���鼡�Τ褦�˷��ꤹ���ΤȤ��롣¨��
    \begin{eqnarray}
      \bar{X}&<&k~~~~~~�ʤ��a_1 ��Ȥꡢ  \nonumber \\
      \bar{X}&\ge&k~~~~~~�ʤ��a_2 ��Ȥ롣\nonumber
    \end{eqnarray}
    ���ΤȤ�����ؿ��ϼ����Ǽ�����롣
    \begin{eqnarray}
        a=d(X_1,X_2,\cdots,X_n)&=&a_1~~~~~~~\bar{X}<k, \nonumber  \\
                         &=&a_2~~~~~~~\bar{X}\ge k. \nonumber
     \end{eqnarray}
\end{enumerate}
������󤳤�ʳ��η���ؿ��η������ͤ����롣����˴ؤ��Ƥ����С�
ɸ�ܤ���׻������ָ��������̡פˤ�뤳�Ȥ�¿����
�ɤΤ褦�˷���ؿ������Τ��褤����ͤ���Τ���������������Ǥ��롣

\vspace{5mm}
��¬���פ�����Ǥϰʾ����Ĥ��෿�����ƤϤ����ʤ��褦��
����⾯�ʤ��ʤ�\footnote{¨����ư���֤�ͭ�¸Ĥ�¿�������Ǥ�ޤ�Ȥ���
�㤨�м¸��ǻ��İʾ�ν�����ˡ���ߤƤ��θ��̤ν�̤���ꤹ������
�Ǥ���Ȥ����ѻ��η�̤˴�Ť��ƻ��İʾ�β�ǽ�ʹ�ư�Τ����ΰ�Ĥ�
���򤹤�褦�����ꡣ}��������������Ū����������ϡ����������������
����������Ū�˰�����ΤǤ��롣

\subsection{»���ؿ��������ؿ�}
���������ˤĤ��Ƥΰʾ�����������餫�ʤ褦�ˡ�����ؿ��η�����Ϥ����Ĥ�
�ͤ����롣����ʣ���η����������椫��Ǥ�Ŭ�ڤȻפ����Τ����ӽФ�
����ˤϡ��ƹ�ư�η�̤ˤĤ��Ƥ�ɾ����ɬ�פȤʤ롣�����Ƿ��������Ǥϡ�
»���ؿ��Ȥ�����ǰ��Ƴ������롣

\vspace{5mm}
{\bf »���ؿ������}~~ �����$\theta$ �ΤȤ���$a$ �Ȥ�����ư��Ȥ�
���Ȥˤ�ä�������»����$l(a;\theta)$ �Ǽ����������{\bf »���ؿ�}�Ȥ�����
»���ؿ�������μ´ؿ��ǡ�$a$ ��$\theta$ �ˤȤäƺ�Ŭ�Ǥ����硢
$l(a;\theta)=0$ �Ǥ�������롣

\vspace{5mm}
������Ϳ����줿�Դ����ʾ���¨���ѻ��η��
$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ �˴�Ť��ƹ�ư�򼡤Τ褦�˷��ꤹ�롣
\[   a_0=d(x_1,x_2,\cdots,x_n).        \]
$X_i$ �ϳ�Ψ�ѿ��Ǥ��뤫�顢����˴�Ť��Ʒ��ꤵ�줿��ư$a$ ��ޤ�
��Ψ�ѿ��Ǥ��롣���äƹ�ư$a_0$ ��ȼ��»��
\[   l(a_0;\theta)=l\{d(x_1,x_2,\cdots,x_n);\theta\}   \]
��ޤ���Ψ�ѿ��Ǥ��롣���ä�»���򾮤�������Ȥ������Ȥϡ�����»���ؿ�
�δ����ͤ򾮤�������Ȥ������Ȱʳ��˹ͤ��褦���ʤ���

\vspace{5mm}
{\bf ����(�ؿ�)�����}~~  »���δ����ͤ��ư��{\bf ����(�����ؿ�)}�Ȥ�����
$R(d;\theta)$ �Ǽ�����¨��
\begin{eqnarray}
  R(d;\theta)&=&E[l(a;\theta)]  \nonumber  \\
             &=&\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^\infty
 l\{d(x_1,x_2,\cdots,x_n);\theta\} f(x_1;\theta)f(x_2;\theta) \nonumber \\
 &~&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cdots f(x_n;\theta)dx_1dx_2\cdots dx_n. \nonumber
\end{eqnarray}
����$R(d;\theta)$ �Ϸ���ؿ�$d$��»���ؿ�$l$����������$\theta$ �˰�¸
���Ƥ��뤬���ºݤˤɤΤ褦�ʾ���(ɸ��)���ѻ����줿���ˤ�̵�ط��Ǥ��롣
�ɹ��ʷ���ؿ������������Τ��٤Ƥ�$\theta$ ���Ф��Ƥ��δ����ؿ�$R$ ��
�Ǿ��Ǥ��뤳�Ȥ�˾�ޤ����������������ؿ��Ϲ�ư$a$ �δؿ��Ǥ����Ʊ����
���$\theta$ �δؿ��Ǥ⤢�롣���äƤ��٤Ƥ�$\theta$ ���Ф���$R$ �����ͤ�
�Ǿ��ˤʤ�褦�ʷ���$d$ ��¸�ߤ���Ȥϸ¤�ʤ���
��������������Ϥ��Τ褦�ʤȤ����ɤΤ褦�ʸ����˴�Ť��Ʒ�������������
���뤫�Ȥ������ȤǤ��롣

\vspace{5mm}
�������˴ؤ��Ƥ���Ĥθ������Τ��Ƥ��롣��Ĥ� Bayes �θ����Ȥ���
�Τ��Ƥ����Τǡ��⤦��Ĥ� Wald �ˤ�ä��󾧤��줿�ߥ˥ޥ���������
����\footnote{����ؿ�(»���ؿ�)��ͤ���(ʣ���Ĥ���) �� ���긶�� �� 
�������ؿ�(�ʤ�٤�������»���ؿ�)�˷�ޤ롢�Ȥ������Ȥ���}��

\vspace{5mm}
{\bf �٥����θ���}�����$\theta$ �˴ؤ��������Ψ��¨�����ο���ˤĤ���
�ɤΤ褦�ʾ��֤��ɤ����ٲ�ǽ�Ǥ��뤫�Ȥ������Ȥ����餫�����Τ��Ƥ��뤫��
���뤤�Ͽ����ǽ�Ǥ��뤳�Ȥ�����Ȥ��ơ������ؿ���¨��»���δ����ͤ�Ǿ�
�ˤ���褦�ʷ���ؿ�����롣���������θ����ϻ�����Ψ�ˤĤ��Ƥޤä���
���������ʤ����ˤϻȤ��ʤ������κ�����򤱤뤿��˥��ɤϡ����ο�
��Τ�����˴ؤ�餺��ͽ�ۤ�������$R$ ����κ���Τ�Τ��Ǿ��Ǥ���褦
�ʷ������������֤���({\bf �ߥ˥ޥ�������})���󾧤���������������ȡ�����
���꤬����ԤˤȤäƺǤ������ʾ���ͽ�ۤ��ơ����ΤȤ��δ�����Ǿ���
�Ȥɤ�褦�Ȥ����ͤ����Ǥ��äơ��ö�Ū�ǤϤ��뤬�������ιͤ����Ǥ��롣

\vspace{5mm}
����ؿ����������Ϥ���¾�ˤ���̤��ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣����ˤ�ä�
Ŭ���ʸ��������֤��Ȥ����ڤǤ��롣
                                                        



























































