\chapter{����ο���}
���ξϤǤ�����ο���򰷤�������ο���Ͼ嵭�Τ褦������Ū���������
��ĤȤ������ʤŤ����뤬�������������ΤϷ����������󾧤����������顢
��¬���׳ؤν��פ�����ΰ�ĤȤ���Ÿ������Ƥ���Ĺ����ˤ���äƤ��롣

\vspace{5mm}
���˽Ҥ٤��褦�ˡ����������ΰ�����Ȥ��Ƥο�������ξ�硢��Ū�Ȥ���
��ư������ο����ͤ���ꤹ�뤳�ȤǤ��롣�ʲ��ܾϤǽҤ٤����������ϡ�
������{\bf �ѥ��ȥ�å�������}�ȸƤФ���ΤǤ��äơ�������
�桹���콸��ʬ�ۤ���Ĥޤ��ϴ��Ĥ�������ˤ�ä������������
����Ϳ�����Ƥ�����˸��ꤹ�롣����Ϥ�������ο����ͤ�¸����뤤��
�ѻ��η�̤˴�Ť��Ʒ��ꤹ�뤳�ȤǤ��롣

\vspace{5mm}
����Ū������ο�����ˡ�ˤ����������ˡ�ȶ�ֿ������ˡ�Ȥ����롣
{\bf ������}����ˡ�ϺǤ�褤�Ȼפ��뤿����Ĥο����ͤ��ä������
���ꤹ����ˡ�ǡ�{\bf ��ֿ���}����ˡ������ο������⤤��Ψ���äƴޤޤ�
�Ƥ���ȹͤ�����¿��ͤζ�֤ˤ�ä��������ꤹ����ˡ�Ǥ��롣
�ޤ��������������ˡ���������롣

\section{������}
�콸��ʬ�ۤ����������ɬ�������Ĥ˸¤��Ƥ��ʤ�������������ο����
Ʊ������İʾ������ο������Ū�Ȥ�����⤢�뤬���ʲ��Ǥϴ�ñ��ñ�������
���ˤĤ��ƹͤ��롣����ι�¤��ʣ������ξ��ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤǤ��롣

\begin{description}
\item{{\bf ����������}~~} ������η���ؿ���
   \[  \hat{\theta}=d(X_1,X_2,\cdots,X_n)       \]
   �Ȥ���Ȥ���$\hat{\theta}$ �����$\theta$ ��{\bf ������}�Ȥ�����
   $\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �μºݤδѻ��ͤ���׻����줿$\hat{\theta}$ ��
   �ͤ�$\theta$ ��{\bf ������}�Ȥ���\footnote{�����̡�$\hat{\theta}$ ��
   $\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �δؿ��������͡�$\hat{\theta}$ ��$\{X_1,X_2,
   \cdots,X_n\}$ ����׻����줿�����͡�}��
\end{description}

������$\hat{\theta}$ �Ͽ���Ȥ�����ư���̣����\footnote{��ư��ͤ���ɬ
�פϤ���Τ�������?}��Ʊ���ˡ������̤Ȥ�������ؿ����̣���롣
$\hat{\theta}=\theta$ �ʤ��»���ؿ���$l(\hat{\theta},\theta)=0$ �Ǥ��롣
�����������Ϥ��Τ褦��»���ؿ����θ���ơ�����$R$ �ξ���������ؿ���
¨�������̤���뤳�ȤǤ��롣

\vspace{5mm}
����ξ���»���ؿ��Ȥ��Ƥϼ��η��δؿ����Ȥ��뤳�Ȥ�¿��\footnote
{����Ū�ˤ�$k$ ��ˤĤ��ơ�����������̣�Ǥ�ʬ�������פʤȤ�����褷����
�Τ��Ѥ���٤�������»���ؿ��Ȥ��ƤϺǤ�褯�Ȥ��Ƥ���褦�Ǥ��롣}��
\begin{equation}
 l(\hat{\theta};\theta)=c(\theta)(\hat{\theta}-\theta)^2  \label{62.1}
\end{equation}
������$c(\theta)$ ��$\theta$ �Τ��٤Ƥ��ͤ��Ф������Ǥ���Ȥ��롣����
»���ؿ�������ο�����$\hat{\theta}$ �ȿ������$\theta$ �Ȥκ�����ˤʤ�
�ۤ�»������Ȥʤ뤳�Ȥ��̣���롣�ºݤˤϤ���$c(\theta)$ �������
�ä�$c(\theta)=1$ �Ȥ��ơ�¨��»���ؿ����ñ��
\begin{equation}
  l(\hat{\theta};\theta)=(\hat{\theta}-\theta)^2  \label{heihougosa}
\end{equation}
�η��ǻȤ���礬¿�����ʲ������{\bf ʿ������»���ؿ�}�ȸƤ֤��Ȥˤ��롣

\vspace{5mm}
������������콸��$f(x;\theta)$ ����δѻ�ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$
  ���Ф��ơ����δ����ؿ���Ǿ��ˤ���褦�ʷ���ؿ��򸫽Ф����ȤǤ��롣
\begin{eqnarray}
 R(d;\theta)&=&E[c(\theta)(\hat{\theta}-\theta)^2] \nonumber  \\
            &=&c(\theta)E[(\hat{\theta}-\theta)^2]. \nonumber
\end{eqnarray}
���޿����̤���Ĥη���ؿ�
\[  \hat{\theta}_1=d_1(X_i)~~~~~\hat{\theta}_2=d_2(X_i) \]
���椫�����ӽФ���ΤȤ��ơ�$\theta$ �ΰ�����ͤ��Ф���$R(d_1;\theta)$
��$R(d_2;\theta)$ �Ȥ���Ӥ��롣
\[   R(d_1;\theta)>R(d_2;\theta)       \]
�ʤ�����餫��$d_2=\hat{\theta}_2$ �����Ф�롣���ΤȤ���μ��ϼ��Τ褦��
�񤱤롣
\[   E[l(\hat{\theta}_1;\theta)]>E[l(\hat{\theta}_2;\theta)].    \]
���޾嵭��»���ؿ� (\ref{62.1})����Ѥ���С������������ϼ����̤�ˤʤ롣
\[  c(\theta)E[(\hat{\theta}_1-\theta)^2]
                  > c(\theta)E[(\hat{\theta}_2-\theta)^2].       \]
$c(\theta)>0$ �Ǥ��뤫��
\[ E[(\hat{\theta}_1-\theta)^2] > E[(\hat{\theta}_2-\theta)^2].    \]
��ä�»���ؿ�(\ref{62.1})�ξ�硢�������������Ω����Ȥ��ϡ�
$\hat{\theta}_1$ �δ�����$\hat{\theta}_2$ �Τ��������Ǥ��롣��ä�
�����κǾ��ʿ����̤��������ϡ�$E[(\hat{\theta}-\theta)^2]$ ¨��
{\bf ʿ��ʿ������}�κǾ��ʿ����̤��������˵��夹�롣��������ǰ�ʤ���
¿����$f(x;\theta)$ �ξ�硢���٤Ƥ�$\theta$ ���Ф���ʿ��ʿ������������
�˺Ǿ��ˤʤ�褦�ʿ����̤�¸�ߤ��ʤ����Ĥޤ�$\theta$ ���ͤˤ�ä�
$E[(\hat{\theta}-\theta)^2]$ ��Ǿ��ˤ���褦��$\hat{\theta}$ ���ۤʤ�
�Τ����̤Ǥ��롣��ä�ʿ��ʿ�������κǾ��Ͽ���������δ���Ū��ɸ��Ǥ�
���뤬������ɸ������ǿ����̤κ��ɤη�����ꤹ�뤳�ȤϺ���Ǥ��äơ�����
¾�˼�������������̤�����ɸ��Ȥ��ƹͤ����뤳�Ȥˤʤ�ΤǤ��롣

\subsection{�������̤ξ��}  
 �����̤ξ��Ȥ���{\bf ʿ��ʿ������}�κǾ�������Ū�Ǥ��뤳�ȤϾ嵭��
�̤�Ǥ��뤬��ʿ��ʿ���������Ǿ��Ȥʤ뤳�Ȱʳ��ǿ����̤Ȥ���˾�ޤ���
�����Ȥ��Ƥϡ������Ĥ��Τ�Τ��ͤ����롣�����Ǥ�{\bf ������}��{\bf ������}��
{\bf ��Ψ}�λ��ĤˤĤ����������뤬�������Ͽ����̤������Ȥ��ƺǤ�
���ס����뤤�ϺǤ�˾�ޤ����Ȥ������ϡ��ष������������˴ؤ���
����Ū�˺Ǥ⤷�Ф��м��夲���Ƥ�����ΤȤ����Τ��������Ǥ�������

 \subsubsection{������}
 ʿ��ʿ�������ϼ��Τ褦��ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣
\begin{eqnarray}
  E[(\hat{\theta}-\theta)^2]&=&
     E[\{\hat{\theta}-E(\hat{\theta})\}-\theta-E(\hat{\theta})]^2 \nonumber \\
   &=&E[\{\hat{\theta}-E(\hat{\theta})\}^2]
                 +[\theta-E(\hat{\theta})]^2   \nonumber  \\
   &=&var(\hat{\theta})+[\theta-E(\hat{\theta})]  \label{63.1}  
\end{eqnarray}
��ä�ʿ��ʿ����������Ĥ������ͤ��¤Ǥ��롣$\theta-E(\hat{\theta})$ ��
������$\theta$ ��{\bf �Ф�(�Х�����)}�Ȥ����������̤Ϥ���ʬ��������
���äơ�Ʊ�����Ф�⾮�Ǥ���ۤ��ɹ��Ǥ��롣���äƿ����̤��Ф꤬
$0$ �Ǥ��뤳�ȡ�¨�������̤�{\bf ����}�Ǥ��뤳�Ȥϡ����켫��˾�ޤ���
�����Ǥ��롣

\begin{description}
 \item{{\bf ���п����̤����}~~} �������$\Phi$ ��°���뤹�٤Ƥ����$\theta$ 
   ���Ф���
      \[ E(\hat{\theta})=\theta     \]
   ������Ω�ĤȤ���$\hat{\theta}$ ��$\theta$ ��{\bf ���п�����}�Ȥ�����
\end{description}

�����̤����ФǤ��뤳�Ȥ�˾�ޤ������ȤǤ��뤬������Ͽ����̤��Բķ�ξ��
�ǤϤʤ�����ʬ�Ф꤬���äƤ⡢¾��������ͥ��Ƥ���С������̤Ȥ���
ͥ�褹�뤳�Ȥ⽽ʬ�ͤ����롣�����̤�ʬ�ۤνſ�������˰��פ��뤳�Ȥȡ�
�����̤�ʬ�ۤ�������ն�˽��椷�Ƥ��뤳�ȤȤ�������ǡ����פʤΤϸ����
�������Ǥ��롣

\vspace{5mm}
�����̤�������Ф����Ф��ͭ����Ȥ��������Ф꤬����Ǥ���С������Ф��
�礭�����������̤�����������п����̤������롣�㤨��
$E(\hat{\theta})=k\theta$ �ʤ�С�$E(\hat{\theta}/k)=\theta$ �Ǥ��롣
\begin{description}
 \item{�� {\bf ʬ�������п�����}} \\
  ɸ��ʬ��$s^2=\sum (X-\bar{X})^2/n$ ����ʬ��$\sigma^2$ �����п����̤Ǥ�
  �ʤ���
  \[  E(s^2)=\frac{n-1}{n} \sigma^2   \]
  ������Ǥ��롣���������μ�����ľ�������餫�ʤ褦��
  \[  E(\frac{n}{n-1}s^2)=\sigma^2     \]
  �Ǥ��뤫�顢ʬ�������п����̤�ɸ��ʬ��$s^2$ �򼡤Τ褦�˽������뤳�Ȥ�
  ��äƴ�ñ�������롣
 \begin{equation} 
   \frac{n}{n-1}s^2=\frac{n}{n-1} \frac{\sum (X-\bar{X})^2}{n}
                   =\frac{\sum (X-\bar{X})^2}{n-1}  \label{63.2}
 \end{equation}
\end{description}
 
\subsubsection{������}
�褤�����̤�ɸ�ܤ��礭������Ȥʤ�ۤɴ������礭�����������ʤ�褦�ʤ��
�Ǥʤ���Фʤ�ʤ�������
\[  \hat{\theta_n}=d_n(X_1,X_2,\cdots,X_n)       \]
���礭��$n$ ��ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �˴�Ť������̤�ɽ����Τ�
���롣���ΤȤ����������Τ��٤Ƥ�$\theta$ ���Ф���
\[  \lim_{n \to \infty} R(d_n;\theta)=0    \] 
������Ω�ƤС�������$\hat{\theta}$ �����$\theta$ ��{\bf ���׿�����}��
����Ȥ�����»���ؿ���ʿ����������(\ref{heihougosa})���ꤹ��С�����
���׿����̤ϼ����̤��������롣

\begin{description}
\item{{\bf ���׿����̤����1}~~}
 �������$\Phi$ ��°���뤹�٤Ƥ����$\theta$ ���Ф���
 \begin{equation}
   \lim_{n \to \infty} E[(\hat{\theta}_n-\theta)^2]=0 \label{63.3}
 \end{equation}
�ʤ�С�$\hat{\theta}$ ��$\theta$ ��{\bf (ʿ�Ѹ���)���׿�����}�Ǥ��롣
\end{description}

(\ref{63.1})���Ǽ������褦�ˡ�
$E[(\hat{\theta}_n-\theta)^2]=var(\hat{\theta})
    +[\theta-E(\hat{\theta}_n)]^2$ �Ǥ��뤫�顢���������(\ref{63.3})
����
\[  \lim_{n \to \infty} [var(\hat{\theta}_n)
          +\{\theta-E(\hat{\theta}_n)\}^2]=0     \]
�Ȥʤꡢ���׿����̤Ǥ�$n$ ����Ȥʤ�Ȥ��������̤�ʬ�����Ф�ⶦ��$0$ ��
���դ����Ȥˤʤ롣���äƾ������Ϥޤ����Τ褦��ɽ�����뤳�Ȥ�Ǥ��롣

\begin{description}
 \item{{\bf ���׿����̤����2}~~} \label{teigi-6.8}
  $n \to \infty$ �ΤȤ�$E(\hat{\theta}) \to \theta$��$var(\hat{\theta}) \to
   0$ �ʤ��$\hat{\theta}$ �����$\theta$ �ΰ��׿����̤Ǥ��롣
\end{description}

\begin{description}
 \item{��~~  ɸ��ʿ����$\bar{X}$ ����ʿ��$\mu$ �ΰ��׿����̤Ǥ��롣}
 (\ref{kakuriruhyohon})���γ�Ψɸ�ܤˤĤ��Ƥ�����ηϤ��
 $E(\bar{X})=\mu$����ʬ����$\sigma^2$ �ΤȤ���ɸ��ʿ����$\bar{X}$ ��
ʬ����$var(\bar{X})=\sigma^2/n$ �Ǥ��롣$\sigma^2$ ��ͭ�¤ʤ�С�$n \to 
\theta$ �ΤȤ�$\sigma^2/n \to 0$ �Ȥʤ롣��ä�$\bar{X}$ ����ʿ��$\mu$
�ΰ��׿����̤Ǥ��롣
 \item{��~~  ��ʿ�Ѥ�����ʬ�ۤΤȤ���ɸ��ʬ��$S^2=\sum (X-\bar{X})^2/n$ ��
       ��ʬ��$\sigma^2$ �ΰ��׿����̤Ǥ��롣}
  p.\pageref{hyouhonsekirituteiri4}������4 �ˤ�ꡢ$E(s^2)=((n-1)/n)\sigma^2$
  �Ǥ��뤫�顢$n \to \infty$ �ΤȤ�$E(s^2) \to \sigma^2$ �Ǥ��롣�ޤ�
  �콸�Ĥ�����ʬ�ۤΤȤ���\pageref{teiri-5.11}���������$ns^2/\sigma^2$ 
  �ϼ�ͳ��$n-1$ �Υ������ʬ�ۤ򤹤롣�����ƥ�������ѿ���ʬ���ϼ�ͳ�٤�
  $2$�ܤǤ��롣��ä�
  \begin{eqnarray}
    var(ns^2/\sigma^2)&=&(n/\sigma^2)^2 var(s^2)=2(n-1)  \nonumber \\
    var(s^2)&=&2(\frac{n-1}{n^2})\sigma^4
  \end{eqnarray}
  �Ȥʤ롣���ä�$n \to \infty$ �ΤȤ�$var(s^2) \to 0$ �Ǥ��ꡣ¨��
  �콸�Ĥ�����ʬ�ۤΤȤ���ɸ��ʬ��$s^2$ ����ʬ��$\sigma^2$ �ΰ��׿�����
  �Ǥ��롣�ʤ�ʬ�������п�����$(n/(n-1))s^2$ ��Ʊ�ͤ˰��׿����̤Ǥ��뤳
  �Ȥ�Ʊ���褦�ˤ����ưפ˾�������롣  
\end{description}
  
 ���׿����̤����2�ξ� $n \to \infty$ �ΤȤ�$E(\hat{\theta}) \to
 \theta$��$var(\hat{\theta}) \to 0$ ������Ω�ƤС����ξ�Ｐ������Ω��
 ���Ȥ����������(�����������Ͼ�ά)��������$\epsilon$ ��Ǥ�դ˾�����
 �����ͤȤ��롣
 \begin{equation}
  \lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n-\theta| \ge \epsilon)=0 \label{63.4}  
\end{equation}
 ���(\ref{63.4})���ϰ��׿����̤����1��ʿ�������ξ��(\ref{63.3})�����
 ���뤤�����(\ref{63.3})������Ω�Ĥ���ˤ�����Ψ��¸�ߤ�ɬ�פǤ���
 �������(\ref{63.4})�Ϥ����ɬ�פȤ��ʤ����顢Ŭ�Ѥ��ϰϤ����������ä�
 ������Ū�ʰ������ξ��Ȥ��ƻȤ��Ƥ��������ξ��ˤ��Ȱ��׿�����
 �ϼ����̤��������롣 

\begin{description}
  \item{{\bf ���׿����̤����3}~~}
  Ǥ�դ�������$\epsilon$ ���Ф���
  \[ \lim_{n \to \infty} P(|\hat{\theta}_n-\theta| \ge \epsilon)=0      \]
  ������Ω�ĤȤ���$\hat{\theta}_n$ ��$\theta$ �ΰ��׿����̤Ȥ�����
\end{description}

��ñ�ˤ����С�ɸ�ܤ��礭�����¤�ʤ���Ȥʤ�����ޤ��ޤ����Τ�����˶���
���褦�ʿ����̤����׿����̤Ǥ��롣
 \begin{description}
   \item{{\bf ����~~}  ɸ����Ψ���콸����Ψ�ΰ��׿����̤Ǥ��롣} (�����Ͼ�ά)
 \end{description}
  
\subsubsection{��Ψ(ͭ����)}
 \begin{description}
  \item{{\bf ��Ψ�����1}~~} ���$\theta$ ����Ĥο����̤�
  \[ \hat{\theta}_1=d_1(X_i),~~~~\hat{\theta}_2=d_2(X_i)
      ~~~~~~~~~~~~i=1,2,\cdots,n   \] 
  �Ȥ��ơ����δ����ؿ��򼡤��̤�Ȥ��롣
 \[  R(d_1;\theta) \le R(d_2;\theta)       \]
  ���ΤȤ�������$\hat{\theta}_1$ ��$\hat{\theta}_2$ ����{\bf ͭ��}��
  ����Ȥ�����
 \begin{equation}
   e(d_1,d_2)=e(\hat{\theta}_1,\hat{\theta_2})
            =\frac{R(d_2;\theta)}{R(d_1;\theta)}
 \end{equation}
 ��$\hat{\theta}_2$ ���Ф���$\hat{\theta}_1$(���뤤�Ϥ�����Τˤ�$d_2$ 
 ���Ф���$d_1$) ��{\bf ���и�Ψ}�Ȥ�����
 \item{{\bf ��Ψ�����2}~~}�����̤����Фǡ����Ĥ���ʬ����¾�����п����̤�ʬ��
 ���⾮�Ǥ���Ȥ������ο����̤�{\bf �������п�����}�����뤤��{\bf ��
 ͭ��������}�Ȥ�����
\end{description}

\subsection{���������ˡ}
������������������Τ褦������Ū���������Ȥ��Ƽ��夲��ʤ�С�
����˱�����Ŭ���ʷ���»���ؿ������ꤷ��Ŭ�������������㤨�Хߥ˥ޥ���
������٥����������˴�Ť��ƿ����������������ؿ������Ȥ��������
������������Τ��������ͤ����Ǥ��롣�������������δ��ܸ����Ȥ��Ƥϡ�
�ߥ˥ޥ��������ˤ�٥��������ˤ��κ�������꤬�Ĥ���Ƥ���(�㤨��
���ҤΤ褦��»���ؿ���ʿ�������������ꤹ��Ȥ��ϡ��ߥ˥ޥ���������
Ŭ�ѤǤ��ʤ�����»���ؿ��ˤʤ�餫���ѹ���ä��뤳�Ȥ�ɬ�פǤ���)��
�ʲ��ǤϷ�������Ū�����꤫��Υ��ơ������������Ū����ˡ�μ�ʤ�Τ�
����Ū���ܶ���ˡ���������뤳�Ȥˤ��롣���κݡ�����������������ϡ�
�����̤��ʾ�ǽҤ٤���ɸ���Ǥ�������褯��­���뤳�ȤǤ��롣
�ʲ��ǤϤ���������Ū����ˡ�Τ�����{\bf ��Ψˡ}��{\bf ��������ˡ}
�ˤĤ�����������\footnote{{\bf �Ǿ����ˡ}��ޤ���¿�Ѥ���Ƥ�������Ū��ˡ
�Ǥ��롣}��

\subsection{��Ψˡ}
���������ˡ�Τ������������κǤ���ˤθŤ���ˡ����Ψˡ�Ǥ��롣
��Ψˡ�Ǥϡ����β��꤬�ʤ���Ƥ��롣
\begin{enumerate}
 \item �콸��ʬ�ۤ�$k$ �Ĥ��������̩�ٴؿ�(Υ���ѿ��ΤȤ����ٿ��ؿ�) \\
$f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)$ �������Ƥ��롣
 \item �����콸�Ĥ���γ�Ψɸ�ܤϡ�̵�����Ф��줿��ΤȤ��롣
       ���äƳ�Ψɸ�ܤϡ��콸�Ĥ�������褯ɽ���Ƥ���ȹͤ��롣
\end{enumerate}
 
�������ꤷ�����$\theta_1,\theta_2,\cdots$ �ο����̤���뤳�Ȥ�
�ͤ��롣��Ψ�ϰ��̤ˤ���������δؿ��Ȥ��Ƽ������Ȥ��Ǥ��롣¨����
\[  \mu_i'=\mu_i'(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)       \]
�Ǥ��롣���ޤ����콸�Ĥ����礭��$n$ �γ�Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$
��Ȥꡢ���κǽ��$k$ ���ޤǤ�ɸ����Ψ��$m_1',m_2',\cdots,m_k'$ �Ȥ����
\[ m_i'=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^k       \]
�Ǥ��롣��Ψˡ�Ǥϼ���$k$�Ĥ�������
\begin{equation}
 m_i'=\mu_i'(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)
                  ~~~~~i=1,2,\cdots,k   \label{65.1} 
\end{equation}
��$\theta_i$ �ˤĤ��Ʋ򤤤�������������ο�����$\hat{\theta}_i$ ��
���롣�콸����Ψ��ľ����ʬ�ۤ�����Ǥ���Ȥ��ϡ�ɸ����Ψ��ľ�ܤˤ���
�����̤Ȥʤ롣�㤨��ʿ���ͤ�ʬ�ۤ�����Ǥ���Ȥ���ɸ�ܤΰ켡��Ψ��
�����ʿ�Ѥο����̤Ǥ��롣
\begin{description}
 \item{��1} ��Ψˡ�ˤ�ä�����ʬ�ۤ������ʿ���ͤ�ʬ���ο����̤���衣\\
  ʿ���ͤ�ʬ����ʬ�ۤ�̵�ط��˸�����Ψ�ˤ�äƼ����̤�ɽ���Ǥ��롣
  \begin{eqnarray}
    \mu&=&\mu_1'  \nonumber  \\
   \sigma^2&=&\mu_2'-\mu_1'^2  \nonumber
  \end{eqnarray}
  ���äƺǽ���󼡤θ�����Ψ�����$\mu,~\sigma^2$ ��ɽ�������
  \begin{eqnarray}
    \mu_1'&=&\mu  \nonumber  \\
    \mu_2'&=&\sigma^2+\mu^2  \nonumber
  \end{eqnarray}
  �Ȥʤ롣������$m_1'=\mu_1'$,~$m_2'=\mu_2'$ �Ȥ�����
  \begin{eqnarray}
    m_1'&=&\mu  \nonumber   \\
    m_2'&=&\sigma^2+\mu^2  \nonumber
  \end{eqnarray}
  �����󼰤�$\mu$,~$\sigma^2$ �ˤĤ��Ʋ򤤤ƿ�����
  \begin{eqnarray}
    \hat{\mu}&=&m_1'=\frac{1}{n} \sum X  \nonumber \\
    \hat{\sigma}^2&=&m_2'-m_1'^2=\frac{1}{n} \sum (X^2)
                     -\left[\frac{1}{n} \sum (X) \right]^2 \nonumber \\
                  &=&\frac{1}{n} \sum (X-\bar{X})^2  \nonumber
  \end{eqnarray}
  �����롣������ʿ���ͤ�ʬ���ο���ˤĤ��Ƥΰʾ�η�̤ϡ�����ʬ�۰ʳ�
  �Ǥ�ʿ���ͤ�ʬ���������Ƥ�ʬ�ۤˤĤ�������Ω�Ĥ��Ȥ����餫�Ǥ��롣
 \item{��2} �����ʬ��$f(x)=\lambda^n e^{-\lambda x} x^{n-1}/ \Gamma(n)$
    �����$n$,~$\lambda$ �ο����̤���衣  \\
  �����ʬ�ۤǤ�$\mu_1'=n/ \lambda$,$\mu_2'=(n(n+1))/ \lambda^2$ �Ǥ��롣 
  ��ä�
  \begin{eqnarray}
    m_1'&=&\frac{n}{\lambda}  \nonumber  \\
    m_2'&=&\frac{n(n+1)}{\lambda^2} \nonumber
  \end{eqnarray}
�Ȥ����������󼰤�$n$,~$\lambda$ �ˤĤ��Ʋ򤤤Ƽ��η�̤����롣
   \begin{eqnarray}  	    
    \hat{n}&=&\frac{(m_1')^2}{m_2'-(m_1')^2}  \nonumber  \\
    \hat{\lambda}&=&\frac{m_1'}{m_2'-(m_1')^2} \nonumber
   \end{eqnarray}
\end{description}
�ʾ����������餫�ʤ褦�ˡ���Ψˡ������������ο����̤�ɸ����Ψ$m_i'$
  �δؿ��η���Ϳ�����롣ɸ����Ψ���콸����Ψ�ΰ��׿�����\footnote{
����
\[  \hat{\theta}_n=d_n(X_1,X_2,\cdots,X_n)        \]
���礭��$n$ ��ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �˴�Ť������̤򼨤���ΤȤ�
�롣���ΤȤ����������Τ��٤Ƥ�$\theta$ ���Ф��ƴ����ؿ�$R$ ��
\[  \lim_{n \to \infty} R(d_n;\theta)
      =E[c(\theta)(\hat{\theta}-\theta)^2]
      =c(\theta)E[(\hat{\theta}-\theta)^2]=0   \]
�Ȥʤ�ʤ�С�������$\hat{\theta}$ �����$\theta$ ��{\bf ���׿�����}�Ǥ�
  ��Ȥ�����}�Ǥ��뤬\footnote{����1 ~ɸ����Ψ���콸����Ψ�ΰ��׿����̤�
  ���롣  \\
������� ɸ�ܴѻ��ͤ�$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �Ȥ���$Y_i=X_i^k$ �Ȥ��롣
�콸��ʬ�ۤ���Ψ��ͭ�����ΤȲ��ꤹ��С�$X$ ��ʬ�����Ĥ���$Y$ ��ޤ�
ʬ�����ġ����ΤȤ������ˡ§�ˤ�ꡢ$n \to \infty$ �ΤȤ���Ǥ�դ�
������������$\epsilon$ ���Ф���
\[  P(|\bar{Y}_n-E(Y)|> \epsilon) \to 0.         \]
���ä�$n \to \infty$ �ΤȤ�$\bar{Y}_n \to E(Y)$ �Ǥ��롣�Ȥ�����
$\bar{Y}_n=\frac{1}{n} \sum (X^k)=m_k'$��$E(Y)=E(X^k)=\mu_k$ �Ǥ��뤫�顢
$n \to \infty$ �ΤȤ�
\[  m_k'=\mu_k       \]
�Ǥ��롣(���������) \\
{\bf �����ˡ§} $X$ ��ʿ����$\mu$��ʬ��$\sigma^2$ ���콸�Ĥ�����礭��
$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�ɸ��ʿ���ͤȤ���С�$n \to \infty$ �ΤȤ���Ǥ�դ�����
��$\epsilon$ ���Ф���
\[    P(|\bar{X}-\mu| \geq \epsilon) \to 0  \] 
���뤤��
\[ P(|\bar{X}-\mu| < \epsilon) \to 1    \]
�Ǥ��롣�����������$n \to \infty$ �ΤȤ�$X$ ����ʿ��$\mu$ �˳�ΨŪ��
��«���롣}��
���Τ褦��ɸ����Ψ�δؿ���ޤ��̾�ξ���ǽ�ʾ��Τ�Ȥǰ��׿����̤�
���뤳�Ȥ���������롣��Ψˡ�ˤ����������̤�ɬ������ͭ��
�����̤ǤϤʤ����������켡����Ȥ��ƹ��˸�Ψ�ι⤤�����̤�����ȯ��
�Ȥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣

\subsection{��������ˡ}
����ο�����ˡ�Ȥ��ƺǤ⹭�����Ѥ���Ƥ���Τ�����������ˡ�Ǥ��롣
��Ψˡ��Ʊ�ͤˡ���������ˡ�ˤ����Ƥ�ʲ������ꤵ��롣
\begin{enumerate}
 \item �콸��ʬ�ۤ�$k$ �Ĥ��������̩�ٴؿ�(Υ���ѿ��ΤȤ����ٿ��ؿ�) \\
      $f(x;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)$ �������Ƥ��롣
 \item �����콸�Ĥ���γ�Ψɸ�ܤϡ�̵�����Ф��줿��ΤȤ��롣
       ���äƳ�Ψɸ�ܤϡ��콸�Ĥ�������褯ɽ���Ƥ���ȹͤ��롣
\end{enumerate}
�����Ǥϴ�ñ�Τ�����콸��ʬ�ۤ���ؿ���̩�ٴؿ�(�ޤ����ٿ��ؿ�)
$f(x;\theta)$ �������Ƥ����ΤȤ����ؿ��η�$f$ �ϴ��ΤǤ��뤬��
���$\theta$ ��̤�Τǡ����ο�����ˡ��ͤ����ΤȤ��롣�礭��$n$ ��
��Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ��$n$ �Ĥΰ��Ȥο���
$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ �����Ƥ����Ф���Ψ̩��(Υ���ѿ��ΤȤ��ϳ�Ψ)��
\begin{eqnarray}
  L(\theta)&=&f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta) \nonumber \\
           &=&f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)\cdots f(x_n;\theta) \label{65.2}
\end{eqnarray}
��Ϳ�����롣���γ�Ψ̩�٤�ɸ�ܴѻ���$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ �ˤ�
��¸���Ƥ��뤬��Ʊ�����콸�Ĥ��ꤹ�����$\theta$ �ˤ��¸���Ƥ��롣
ɸ�ܴѻ���$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ ��Ϳ����줿��ΤȤ��Ƥߤ�Ȥ���
���δؿ������$\theta$ �δؿ��Ȥʤꡢ���ΤȤ�$L(\theta)$ ���Ψɸ��
$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ��{\bf ���ٴؿ�}�Ȥ���\footnote{��Ψ̩�ٴؿ���
���ٴؿ��Ȥϡ����ξ�Ǥ�ξ��Ʊ����Τˤߤ��뤬((\ref{65.2})��)��
�ѿ��ͤȸ����ͤȤδط������礦�ɵդˤʤäƤ��롣}��{\bf ��������ˡ}��
���$\theta$ ���Ѳ����Ф������ٴؿ�$L(\theta)$ ���ͤ����ˤ���褦��
������$\hat{\theta}$ (���Τ褦�������̤�¸�ߤ���ʤ��) �����$\theta$
 �ο����̤Ȥ��Ʒ��ꤹ����ˡ�Ǥ��롣¨����������ˡ�Ǥϡ��ºݤ˴ѻ����줿
��̤Ȥ��Ƥ�ɸ�ܤ���Ω��Ǥ�褯��������褦�����$\theta$ ����
$\hat{\theta}$ �򸫽Ф��ơ������$\theta$ �ο����̤�����ΤǤ��롣
�����������ɸ�ܴѻ���$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ �����Ϳ����줿��Τ�
���ơ�$\theta$ ���ǽ���ϰϤ��Ѳ������ƹͤ����ºݤ˴ѻ����줿�褦�ʷ��
(ɸ��)���������Ψ̩��$L(\theta)$ ������Ȥʤ�褦��$\theta$ ����
$\hat{\theta}$ ����롣�����ƴѻ����줿ɸ�ܤμ¸���Ǥ�褯��������
$\hat{\theta}$ ����ޤ�С����줬$\theta$ �ο��ͤǤ���Ȥ��˺����ȹͤ���
����ư��Ȥ�ΤǤ��롣���ι�ư�ϰ����»���ؿ��˴�Ť���»����Ǿ���
����褦����ˡ�Ƿ��ꤵ��롣

%���������ξ�硢»���ؿ��Ϲ�ư��$a=\theta$
% �Ǥ���Ȥ�$l(a,\theta)=0$ �Ȥʤ뤳�Ȥ�˾�ޤ������Ȥ����餫�Ǥ��롣
%���Τ��Ȥ�$\hat{\theta}$ ��$\theta$ �ο��ͤǤ���Ȥ���$\hat{\theta}$ ��
%$\theta$ �ο����ͤȷ��ꤹ���ư����Ŭ�Ǥ��뤳�Ȥ��̣���롣»���ؿ���
%ʿ��������$c(\theta)(\hat{\theta}-\theta)^2$ �Ϥ��Τ褦����������äƤ�
%�롣

\vspace{5mm}
�ѻ�ɸ��$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ �κ��ɤ�������ɸ�ܤ��Τ�Τ����Ƥ�
��¸���뤫�顢»����Ǿ��ˤ���$\hat{\theta}$ �Ϥޤ�����ɸ�ܴѻ���
$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ �˰�¸���롣���äƤ���ϴѻ�ɸ�ܤδؿ�
(���ä�������)�Ǥ��ꡢɸ�ܴѻ��β�ǽ�ʼ�η�̤˰���ι�ư(�����ͤ�
����)���б��������Ĥη���ؿ��Ǥ��롣

\begin{description}
\item{{\bf ��������ˡ�ˤĤ��Ƥ����}~~}
$L(\theta)$ ���콸��$f(x;\theta)$ �γ�Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$
 �����ٴؿ��ΤȤ���$L(\theta)$ �����ˤ���$\theta$ ����$\hat{\theta}$
 �����$\theta$ ��{\bf ���������}�Ȥ�����
\end{description}

��Ψɸ�ܤξ�硢���ٴؿ�(\ref{65.2})����ɸ�ܴѻ��ͤΤ��Τ��Τ��Ф���
��Ψ̩�ٴؿ����ѤǤ��롣���äƤ��κ����ͤ����Ȥ������Τޤޤη���
��갷�����⡢���Τ褦���п��η��Ǽ�갷�ä��������Ф��д�ñ�Ǥ��롣
\begin{eqnarray}
  \log L(\theta)&=&\log \left[\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)\right] \nonumber \\
                &=&\sum_{i=1}^n \log f(x_i;\theta)
\end{eqnarray}
�п��ؿ���ñĴ���äǤ��뤫�顢$L(\theta)$ �Ȥ����п�$\log L(\theta)$ ��
��$\theta$ ��Ʊ�ͤǺ����ͤ�Ȥ롣��ä�$L(\theta)$ ����ʬ��ǽ�ΤȤ���
����������({\bf ����������}�Ȥ���)
\begin{equation}
  \frac{d}{d\theta} \log L(\theta)=0
\end{equation}
������
\[ \frac{d^2}{d\theta^2} \log L(\theta)<0   \]
��򤤤�������$\theta=\hat{\theta}$ ����������̤Ǥ��롣

\vspace{5mm}
�콸��ʬ�ۤ���İʾ�������ͭ��������餬Ʊ���˿�����оݤȤʤ�Ȥ�
\footnote{�������İʾ夢�äƤ⡢���Τ����ΰ�Ĥ�������оݤǡ�¾�����
�����ƴ��ΤȤ��Ƽ�갷����Ȥ��ϡ����Ҥΰ�����ξ�����ˡ�ǽ������뤳��
���Ǥ��롣}�����ٴؿ���
\[  L(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)
     =\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)    \]
�Ǥ��äơ����$\theta$ �κ��������
$\hat{\theta_1},\hat{\theta_2},\cdots,\hat{\theta_k}$ �ϼ���ϢΩ������
��򤯤��Ȥˤ�äƷ��ꤵ��롣
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial}{\partial\theta_1} 
     \log L(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)=&0& \nonumber  \\
                     \vdots~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&\vdots&  \nonumber \\
  \frac{\partial}{\partial\theta_k}     
      \log L(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k)=&0&
\end{eqnarray}

\begin{description}  \label{seiki-saiyui}
 \item{��} ����ʬ�ۤ����$\mu$,$\sigma^2$ �ο���(Ϣ³ʬ�ۡ����������)  \\
   ʬ�ۤ�̩�ٴؿ���
\[  f(x; \mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
                 e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}            \]
�Ǥ��뤫�顢���ٴؿ��ϼ��η��Ǽ�����롣
\[ L(\mu,\sigma^2)=\frac{1}{\sigma^n(2\pi)^{n/2}}
                 e^{-\frac{1}{2\sigma^2} \sum(X-\mu)^2},  \]

\begin{equation}
  \log L(\mu,\sigma^2)=-\frac{n}{2}\log (2\pi\sigma^2)
              -\frac{1}{2\sigma^2}\sum(X-\mu)^2.   \label{eq-yuido-seiki}  
\end{equation}
��ä�$\mu$,$\sigma^2$ �κ����ͤϼ�����Ĥ���������򤤤Ƶ����롣
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial}{\partial \mu}\log L&=&
              \frac{1}{\sigma^2}\sum(X-\mu)=0,  \nonumber  \\
 \frac{\partial}{\partial \sigma^2}\log L&=& 
        -\frac{n}{2\sigma^2}+\frac{1}{2\sigma^4}\sum(X-\mu)^2=0. \nonumber    
\end{eqnarray}
��켰���
\[  \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum X=\bar{X}.       \]
��������󼰤���������
\[  \hat{\sigma^2}=\frac{1}{n}\sum (X-\bar{X})^2=s^2            \]
�������롣���η�̤����餫�ʤ褦��ʬ���κ�������̤����п����̤ǤϤʤ���
�ʤ��ʾ�η׻��β��������餫�ʤ褦�ˡ�ʿ����$\mu$ �ο����ͤ�ʬ��
$\sigma^2$ ���μ��ʤ�����ޤ뤬��$\sigma^2$ �ο����ͤ�$\hat{\mu}$ ��
�ͤ���ޤä���Ǥʤ������ޤ�ʤ���
\end{description}



\section{��ֿ���}
���������ˡ�ǤϺǤ�褤�Ȼפ�������ͤ���ļ����������ǡ��������Τ�
�ˤĤ��Ƥ�ɽ���ϴޤޤ�Ƥ��ʤ��������ͤη׻��δ��äˤʤäƤ���ɸ�ܤ��礭
����ʬ����С��������ٿ����ͤο����٤ˤĤ���Ƚ�Ǥ��뤳�Ȥ�Ǥ��뤬������
��Ƚ�Ǥ򤹤뤿��ˤϸ�����������來�ޤ��Ƥ���ɬ�פ����롣���äư���Ū��
���äƿ����ͤ򼨤���硢���ο����٤˴ؤ���ľ�ܲ��餫��ɽ����˾�ޤ�뤳��
�ˤʤ롣

\vspace{5mm}
��Ĥ���ˡ�Ͽ����ͤ�ɸ���к������٤�ɽ���Ȥ���(���ΤȤ������{\bf ɸ��
����}�Ȥ���)�����ͤ��յ����뤳�ȤǤ��롣���ο����ͤ�ɸ������ϡ�����Ū��
�����$\theta$ �ȿ�����$\hat{\theta}$ �κ������δ����ͤ�ʿ�����Ȥ���
�׻�����롣������»���ؿ���ʿ������������ͤ���Ȥ�������Ͽ����ͤο���
�٤κǤ�Ŭ�ڤʼ������Ǥ��롣����������ɸ������η׻������̾�̤�Τ����
$\theta$ �˰�¸���Ƥ��뤿��׻���ǽ�Ǥ��롣���ä�¿���ξ����ɸ�ܤ���
���ơ�����̤�Τ����������ˤ���ɸ�ܤ���ο����ͤ��Ѥ��Ʒ׻������ʤ���
�Ĥ��������ͤ�ɸ������ȾΤ��Ƥ��롣ɸ������������٤μ��٤Ȥ��ƻ���
�����Τϡ���������ͤ�¿����(���ʤ��Ȥ���Ū��)����ʬ�ۤ򤹤뤳�ȡ�
�����Ƥ��ΤȤ�ɸ���к���ʬ�ۤΤФ�Ĥ����ϰϤ�Ǥ�����˼������뤳�Ȥ�
��Ť��Ƥ���ȹͤ����롣

\begin{description}
 \item{��~~~ʿ���ͤο���ο�����} \\
 ɸ��ʿ����$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum(X)$ ����ʿ��$\mu$ �κ�������̤�
 ���롣�콸�Ĥ�ʬ��$\sigma^2$ ������ʬ�ۤΤȤ���$\bar{X}$ ��ʿ����$\mu$��
 ʬ��$\sigma^2/n$ ������ʬ�ۤ򤹤롣�콸��ʬ�ۤ������Ǥʤ��Ƥ⡢��ɸ�ܤ�
 ���$\bar{X}$ �϶��Ū��Ʊ�ͤ�����ʬ�ۤ򤹤롣���ä���ʬ��$\sigma^2$ ��
 ���Τʤ��$\sigma/ \sqrt{n}$ �������$\bar{X}$ ��ɸ������Ȥ��ƻȤ�����
 ���Ǥ��롣$\sigma^2$ ��̤�ΤǤ�$n$ ����Ǥ����ɸ��ʬ��$s^2$ ��$\sigma^2$
   �ζ���ͤȤ��ƻȤä�$\bar{X}$ ��ɸ���к����׻�����롣������ˤ��Ƥ�
 ɸ��ʿ����$\bar{X}$ ����ʿ��$\mu$ ���濴�ˤ���(���ʤ��Ȥ���Ū��)����
 ʬ�ۤ򤹤뤫�顢$\bar{X} \pm$ [ɸ�������$2$�ܤޤ���$3$��] �ζ�֤�
 ��ʿ��$\mu$ ��ޤ��Ψ�Ϥ��ʤ��礭���ȹͤ��Ƥ褤��
\end{description}
    
���Τ褦��ɸ������Ͽ����ͤΤФ�Ĥ����ϰϤ򼨤��Ȥ�����̣�ǿ����٤�
ɽ���Ȥ��ƻ��Ѥ���Ƥ���ΤǤ��äơ����褽��ˤ�äƼ������Ȱտޤ����
���뤳�Ȥϡ���������δ֤˴ޤޤ�뤳�Ȥ��ۤȤ�ɳμ¤Ǥ���ȹͤ�����
���ͤ��ϰϤǤ��롣�����Ƥ��Τ��Ȥ�ľ���˼��˽Ҥ٤�{\bf ��ֿ���}�ιͤ���
�˷�ӤĤ���

\vspace{5mm}
��ֿ���ιͤ����ϡ��㤨����ʿ��$\mu$ �ο����ͤ򼡤Τ褦�ʷ��Ǽ�����
\[  P(\bar{X}-a< \mu < \bar{X}+b)=\gamma ~~~~a>0, b>0       \]
���ΤȤ����$(\bar{X}-a< \mu < \bar{X+b})$ ����ʿ��$\mu$ ��{\bf ������}��
$\bar{X}-a, \bar{X}+b$ �򤽤줾��{\bf ����³�}��$\gamma$ �򤽤�
{\bf ���그��}�Ȥ��������ˤ��ζ�ֿ������ˡ�����Ū������ο���˴ؤ���
�������롣

\subsubsection{�����֤ΰ�̣}

%\begin{center}
% \begin{figure}[htbp]
%   \hspace{4cm}
%   \includegraphics[height=8cm,clip,angle=-90]{fig.6.4.just.cv.ps}
%    \caption{�����֤ˤĤ���}
%   \label{shinraikukan}
%  \end{figure}
%\end{center}

\begin{figure}
     \begin{center}
       \resizebox{80mm}{!}{\includegraphics{fig.shinrai.eps}}
       \caption{�����֤ˤĤ���}
       \label{shinraikukan}
     \end{center}
   \end{figure}

%\vspace{-1cm}
����ʬ�ۤ�Ϳ����줿�콸��$f(x;\theta)$ ������礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�
${X_1,X_2,\cdots,X_n}$ �Ȥ�������ɸ�ܤ���׻�����������̤�$T=t(X_1,X_2,
\cdots,X_n)$ �Ȥ��롣�콸��ʬ��$f(x;\theta)$ ��ʬ���äƤ��뤫�顢
$\theta$ ��Ϳ����줿�Ȥ���������$T$ ��ʬ��$g(t;\theta)$ ��ޤ���ޤ롣
���ΤȤ�����������Ǥ�դ�$\theta$ ���Ф���������$T$ ������ζ��
$(t_1,t_2)$ ����˴ޤޤ���Ψ$\gamma$ ��׻����뤳�Ȥ��Ǥ����դ˰����
��Ψ$\gamma$ ���Ф��ƾ��
\begin{equation}
  P(t_1<T<t_2)=\gamma   \label{66.1}
\end{equation}
��������$t_1,t_2$ ��׻����뤳�Ȥ��ǽ�Ǥ��롣

\vspace{5mm}
����γ�Ψ$\gamma$ ���Ф��ƾ��(\ref{66.1})�����������$(t_1,t_2)$ ��
������ϴ��̤��ͤ����롣��ֿ���ιͤ������餤���ȴֳ�$t_2-t_1$ ��
�Ǥ⾮������Τ�˾�ޤ�����$T$ ��ʬ�ۤ��оΤΤȤ��ϡ�$t_1,t_2$ ��$T$ ��
�����ͤ��Ф����оΤˤȤ�Ȥ�$t_2-t_1$ ���Ǿ��Ȥʤ뤳�Ȥ����餫�Ǥ��롣
 
\vspace{5mm}
�������$\theta$ ������Ǥ�դ���$\theta'$ �ΤȤ������(\ref{66.1})������
��������$T$ ����$t_1,t_2$ ��
\[ P(T<t_1)=P(t>t_2)=\frac{1}{2}(1-\gamma)   \]
�Ȥʤ�褦����ᡢ������$\theta$���ļ���$t$ ��ȤäƤ�������$t_1,t_2$ ��
$\theta'$ �ξ�ο�����ˤȤ롣$\theta'$ �ϲ�����᤿�̤Ǥ��뤫�顢���
����������Ƥ�$\theta$ ���Ф��ƾ嵭�ξ���������$t_1,t_2$ ��ͤ���Ȥ���
���餫�ˤ���Ͽ�\ref{shinraikukan}
��$C_1,C_2$ �Ǽ����褦�����ܤζ�������Ǥ�������
������($C_1,C_2$ ���������ñĴ��$\theta$ ���Ѱ���Ǹ���ʤ��Ȥ����)
$\theta$ ���ɤΤ褦���ͤ�Ȥ�ˤ��Ƥ�������$T$ ���������ܤζ����ǤϤ���
�����$(t_1,t_2)$ ����˴ޤޤ���Ψ��$\gamma$ �Ǥ��뤳�Ȥ����餫�Ǥ�
�롣������Ū�ˤ�����������$T=t$ �ι⤵�˰����줿��ʿ������ʬ$t_1t_2$ ��
�����Ψ��$\gamma$ �Ǥ��롣

\vspace{5mm}
���ƴѻ�ɸ��$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$ �˴�Ť���������$T$ ����$t_0$ ��
����줿�Ȥ��롣$t_0$ ���̤��ʿ�������������$C_1,C_2$ �Ȥθ�����
���줾��$\theta_1,\theta_2$ �Ȥ��롣��ʬ$\theta_1\theta_2$ ����ʬ
$t_1t_2$ �ȸ���С����餫�����$\theta=\theta'$ ��
���$(\theta_1,\theta_2)$ �˴ޤޤ�롣
�桹�����$\theta$ �ο��ͤ�
�Τ�ʤ�������ʬ$\theta_1\theta_2$ ����ʬ$t_1t_2$ �ȸ����Ψ��$\gamma$
�Ǥ��뤳�Ȥ��ΤäƤ��롣
��������$\theta$ ����$\theta'$ ���Ѱ���Τɤ��ˤ��äƤ⿿�Ǥ��롣
%��ä����$\theta$ ���ͤ�����˴ؤ�餺��
%$\theta$ �����Τ褦�ˤ�������줿���$(\theta_1,\theta_2)$ �����
%�ޤޤ���Ψ��$\gamma$ ��Ϳ�����뤳�Ȥ����餫�Ǥ��롣
��äơ�$\theta_1,\theta_2$ �Ͽ��그��$\gamma$ ���Ф������$\theta$ ��
����³���Ϳ����
\footnote{�ʾ�Ǥ��콸��ʬ�ۤ�Ϣ³Ū�Ȳ��ꤷ��������������Υ���ѿ��ξ��
��ʾ�˽स��Ʊ���褦�˹ͤ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣���ΤȤ�����³������������
ʬ�۶����ξ���Ʊ�ͤγ��ʾ������ˤʤ롣�ʲ��Ǥϰ�³��Ϣ³�ѿ��ξ���
�Ĥ���������ʤ�롣}��

\vspace{5mm}
���˶�ֿ������ˡ�����Ū�˹ͤ��Ƥߤ롣
��\ref{shinraikukan}�����餫�ʤ褦�ˡ�
%$t_1,t_2$ �����$\theta$ �δؿ��Ǥ��뤫��
%\[  t_1=C_1(\theta)~~~~~t_2=C_2(\theta)         \]
%�Ȥ������Ȥ��Ǥ��롣�դ�$\theta_1,\theta_2$ ��$t$ �δؿ��Ǥ��ä�
%\[  \theta_1=C_1^{-1}(t)~~~~~\theta_2=C_2^{-1}(t)        \]
%�Ȥ����롣�Τ�
$t=C_1(\theta),C_2(\theta)$ �εմؿ�$\theta=C_1^{-1}(t),C_2^{-1}(t)$ ��
���뤳�Ȥ��Ǥ���С�������$T$ �δѻ��ͤ���$\theta$ �ο���³���׻�
���뤳�Ȥ��Ǥ��롣
�������������ȼ��Τ褦�ˤʤ롣
������$T$ ��ʬ��$g(t;\theta)$ ���Τ��Ƥ���Ȥ���Ϳ����줿���그��
$\gamma$ ���Ф��Ƽ��ξ��
\begin{equation}
 P[t_1(\theta)<T<t_2(\theta)]=\gamma   \label{66.2}   
\end{equation}
�����������$t_1(\theta),t_2(\theta)$ ����ޤ롣������$t_1(\theta),t_2
(\theta)$ ��̤�Τ����$\theta$ �˰�¸�����ͤǤ��롣������$T$ �����
�Ҥ٤�褦�ʾ����������Ȥ���������$t_1(\theta)<T<t_2(\theta)$ ��
$\theta$ �ˤĤ��Ʋ򤤤Ƽ��η��������������뤳�Ȥ��Ǥ��롣
\begin{equation}
 \theta_2(t)<\theta<\theta_1(t)  \label{66.3}
\end{equation}
(\ref{66.2})��������Ω�ĤȤ���������������Ʊ������Ψ$\gamma$ ������Ω��
���Ȥ����餫�Ǥ��롣
%$\theta_1(t),\theta_2(t)$ �����$\theta$ �ο���³���Ϳ���롣
������$T=t$ ��ɸ�ܴѻ��ͤ˴�Ť��Ʒ׻���$\theta_1(t),
\theta_2(t)$ ����������С�����³����ͤ��׻�����롣���θ³��ͤ�
������$T$ �˰�¸���Ƥ��ꡢ���äƳ�Ψ�ѿ��Ǥ��롣�����Ƥ��Τ褦�ʷ׻���
��ä���ޤ���$(\theta_1,\theta_2)$ �����$\theta$ ��ޤ��Ψ������
����$\gamma$ �Ǥ��롣����������ȡ����그���Ϥ��Τ褦����ˡ�ˤ�ä�
�׻�����뿮���֤����������$\theta$ ��ޤळ�Ȥ����������Ψ�Ǥ��롣
%���äƷ׻����줿�����֤����$\theta$ ��ޤޤʤ����������󤢤�����
%�櫓�Ǥ��롣

\vspace{5mm}
%��\ref{shinraikukan}��$\theta$ ��̤�ΤǤϤ��뤬���ΰ��֤ϴ���
%��ޤäƤ�������ǡ�
%�Ĥ���ʬ�Ϥ��Τ���$n$ �Ĥδѻ��ͤ˴�Ť���ɸ����˷׻����줿�����֤�
%����Ȥ��롣���그����$95$\%�Ǥ���Ȥ�����̣�ϡ����Τ褦�˷׻������
%������(��ʬ)��$95$\%�����$\theta$ �����ȸ���(���������$\theta$ ��
%���ͤ�ޤ�)���Ȥ��̣���롣���ä���ʬ��$\theta$ �����˸���ʤ�(���꤬
%�Ϥ����)����$5$\%�Ϥ���櫓�Ǥ��롣$95$\%�Ȥ��������ϳ�Ψ�ѿ��Ǥ��뿮��
%���$(\theta_1,\theta_2)$ �˴ؤ����Ψ�Ǥ��äơ����$\theta$ �˴ؤ���
%��Ψ�ǤϤʤ������ˤ���������ʤ�С�ɸ�ܤ����Ф졢������$(\theta_1,
%\theta_2)$ ������Ū�˻��ꤵ���������顢�桹�η��ꤷ�褦�Ȥ��Ƥ������
%������ο���$\theta$ ��ޤ��Ψ��$95$\%�Ǥ��ä��ΤǤ��äơ�$95$\%�Ȥ���
%�����Ϥ���Ф��Τ褦�ʿ�����ˡ���Τ�Ϳ����줿�����٤ˤۤ��ʤ�ʤ���  
 
\subsection{�����콸�Ĥ�ʿ���ͤζ�ֿ���}
�콸�Ĥ�ʿ����$\mu$��ʬ��$\sigma^2$ �������ѿ��Ȥ���ʬ��$\sigma^2$ ��
Ϳ�����Ƥ���Ȥ��ơ�̤�Τ�ʿ����$\mu$ �ο����ͤ��롣�礭��$n$ ��
��Ψɸ�ܤ����ɸ��ʿ���ͤ�$\bar{X}$ �Ȥ���Ȥ�
\[  Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/ \sqrt{n}}         \]
��ɸ������ʬ�ۤ򤹤뤳�Ȥϴ��ΤǤ��롣���޿��그����$\gamma=0.95$ ��
�����
\[  P(-1.96<Z<1.96)=0.95      \]
�Ǥ���\footnote{������ $\pm 1.96$ �Ͽ��그�� $\gamma=0.95$ �ΤȤ���
ɸ������ʬ�ۤο���³��Ǥ��롣�����ͤϷ׻����ɽ�ˤ�äƵ��뤳�Ȥ��Ǥ�
�롣}����������������$Z$ ��弰���֤��������
\[  -1.96<\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/ \sqrt{n}}<1.96   \]
�Ȥʤ롣���������������$\mu$ �ˤĤ��Ʋ򤤤Ƽ��������������롣
\begin{equation}
 \bar{X}-1.96 \sigma / \sqrt{n} < \mu 
       < \bar{X}+1.96 \sigma/ \sqrt{n}    \label{66.4}
\end{equation}
���μ��Ͽ��그��$95$\%���Ф�����ʿ��$\mu$ �ο���³���Ϳ���롣

\vspace{5mm}
�����콸�Ĥ�ʿ����$\mu$��ʬ��$\sigma^2$ ��̤�Τ������ѿ��Ȥ���
̤�Τ�ʿ����$\mu$ �ο����ͤ��롣�����Ǥ���ʬ��$\sigma^2$ ����Τ�
���������ºݤξ��$\sigma^2$ ����ʿ��$\mu$ ��Ʊ�ͤˤ������̤�ΤǤ��롣
���ΤȤ���ο���³������$\sigma$ ��ޤ�Ǥ��뤫��׻���ǽ�Ǥ��롣
$n$ ����ʤ��ɸ��ɸ���к�$s$ ��$\sigma$ �ζ���ͤȤ������ѤǤ��뤬��
$n$ �����Ǥ���Ȥ��ϸ������礭���ʤ롣���������Τ褦�ʾ�硢�桹��������
\[ t=\frac{\bar{X}-\mu}{s/ \sqrt{n-1}}     \]
����ͳ��$n-1$ ��$t$ ʬ���ѿ��Ǥ��뤳�Ȥ��ΤäƤ��롣���äƼ��ξ��
\[ P(t_1<t<t_2)=0.95       \]
����­����$t_1,t_2$ ��׻����뤳�Ȥϲ�ǽ�Ǥ��롣���ΤȤ���������������
���Τ褦�ʷ��ˤʤ롣
\[ -t_{0.95}< \frac{\bar{X}-\mu}{s/ \sqrt{n-1}} <+t_{0.95}.         \]
������$t_{0.95}$ ��$t$ ʬ��ɽ���鿮�그��$\gamma=0.95$����ͳ��$n-1$ ��
�Ф�������������Ǥ��롣������������$\mu$ �ˤĤ��Ʋ򤤤���ʿ��$\mu$
  �ο���³��������̤�׻�����롣
\begin{equation}
 \bar{X}-t_{0.95} \frac{s}{\sqrt{n-1}}< \mu <
     \bar{X}+t_{0.95} \frac{s}{\sqrt{n-1}}.  \label{66.5}
\end{equation}

\subsection{�����콸�Ĥ�ʬ���ζ�ֿ���}
�����Ǥϡ��콸�Ĥ�ʬ��$\sigma^2$ �������ѿ��Ȥ���̤�Τ�ʬ��$\sigma^2$ 
�ο����ͤ��롣
\ref{sub-chi}��Υ������ʬ�ۤ˴ؤ���������פǤߤ��褦�ˡ�ʬ��
$\sigma^2$ �������콸�Ĥ�����礭��$n$ ��ɸ�ܤ���׻����줿ɸ��ʬ����
$s^2$ �Ȥ���С�$ns^2/ \sigma^2$ �ϼ�ͳ��$n-1$ �Υ������ʬ�ۤ򤹤롣
��äƿ��그����$\gamma$ �Ȥ��ơ����
\[  P\left(\chi_a^2 < \frac{ns^2}{\sigma^2} < \chi_b^2 \right)=\gamma     \]  
����������$\chi_a^2,\chi_b^2$ �����뤳�Ȥ��Ǥ��롣��̤������������
���$\sigma^2$ �ˤĤ��Ʋ򤱤С�$\sigma^2$ �ο���³���
\begin{equation}
 \frac{ns^2}{\chi_b^2} < \sigma^2 < \frac{ns^2}{\chi_a^2}
\end{equation}
�η���Ϳ�����롣������$\chi_a^2,\chi_b^2$ ���ͤη�����ˤ�äƿ�����
����
\[  \frac{ns^2}{\chi_a^2}-\frac{ns^2}{\chi_b^2}    \]
�ϰ��ͤǤϤʤ������������Ǿ��Ǥ��뤿��ˤ�$1/ \chi_a^2-1/ \chi_b^2$ ��
�Ǿ��Ǥʤ���Фʤ�ʤ������衢�������ʬ�ۤ����оΤǤ��뤬��
$n \to \infty$ �ΤȤ�����ʬ�ۤȤʤ�Τǡ���ñ�Τ�����оΤȹͤ���
�ʲ��Τ褦�ˤ���Ȥ褤��
$n$ ���ˤ�ƾ������ͤǤʤ����
\[ P\left(\frac{ns^2}{\sigma^2}< \chi_a^2 \right)
    =P\left(\frac{ns^2}{\sigma^2} > \chi_b^2 \right)
    =\frac{1}{2}(1-\gamma)    \]
�Ȥʤ�褦��$\chi_a^2,\chi_b^2$ �����롣����Ǻ�Ŭ��˶ᤤ
�����֤��ưפ������롣

\vspace{5mm}
�ʲ��Ϻ٤����äǤ��롣
��ֿ���ξ嵭����ˡ���ɤΤ褦������ο�����Ф��Ƥ��˲�ǽ�Ǥ���Ȥ�
�¤�ʤ����㤨�������ǡ���ʬ��$\sigma^2$ ����Ϳ�ξ�硢��ʿ��$\mu$ ��
����³���׻����뤿��˲桹��������$Z=(\bar{X}-\mu)/(\sigma/ \sqrt{n})$
 �����Ѥ�����������$\sigma$ �ϴ��ΤǤ��뤫�顢̤�Τ�����Ͽ�����оݤǤ�
��$\mu$ �����Ǥ��롣�����⤳��������$Z$ �����$\mu$ �˴ط��ʤ�ʿ����$0$��
ʬ��$1$ ��ɸ������ʬ�ۤ򤹤롣�ʤ����������̤�����$\bar{X}$ �Ͻ�­����
��\footnote{{\bf ��­�����̤����}~~������$T$ �����$\theta$ �˴ؤ���
ɸ��${X_1,X_2,\cdots,X_n}$�Τ�ľ���Τ��٤Ƥ�ޤ�Ȥ������������̤�
{\bf ��­������}�Ȥ����� \\ 
������
$T$ �����$\theta$ ���Ф��ƽ�­�Ǥ��뤫�ݤ��ϼ���ɸ���Ƚ�ꤹ�뤳�Ȥ���
���롣\\
{\bf ��­�����̤˴ؤ�������} ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �γ�Ψ̩�٤�
$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ �Ȥ���Ȥ�������̩�ٴؿ������η�
\begin{equation}
  f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta)=g(t;\theta)h(x_1,x_2,\cdots,x_n)
\end{equation}
�˰���ʬ�򤹤뤳�Ȥ��Ǥ���С�������$T=t(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ��
���$\theta$ ���Ф��ƽ�­�Ǥ��롣}�Ǥ�
�롣���Τ褦�˶�ֿ��꤬
�嵭����ˡ�ǲ���Ū�˲�ǽ�Ǥ��뤿��ˤϡ����Τ褦����������������̤�
���Ф����Ȥ�ɬ�פǤ��롣
\begin{description}
 \item{(1)~���줬��­�����̤��̤���ɸ�ܴѻ��ͤȴط����Ƥ��뤳�ȡ�}
 \item{(2)~������оݤǤ�������ʳ���(̤�Τ�)�����ޤޤʤ����ȡ�}
 \item{(3)~������ͤ˴ط��ʤ������ʬ�ۤ�ͭ���뤳�ȡ�}
\end{description}
�����̤����λ����������Ƥ���Ȥ������������̤�{\bf ���ʤ���}�Ȥ�����
����ζ�ֿ����$\sigma^2$ ��̤�Τξ��˻��Ѥ���������$t=(\bar{X}-\mu)
/(s/ \sqrt{n-1})$ �⼫ͳ��$n-1$ ��$t$ ʬ���ѿ��Ǥ��뤫���ν�����
�������Ƥ��롣���Τ褦�ʤ��ʤ��̤�¸�ߤ���Ȥ���������(\ref{66.2})����
������(\ref{66.3})�ؤ�ž��������Ū�˲�ǽ�Ǥ��롣

\vspace{5mm}
���Τ褦�ʾ������������ʤ��̤������ʤ��Ȥ��ϡ������֤η����
�̤���ˡ�ˤ�äƹԤ�ʤ���Фʤ�ʤ�������(\ref{66.2})�ξ�Ｐ
\[  P[t_1(\theta) < T < t_2(\theta)]=\gamma    \]
�򼡤η������롣
\begin{equation}
 P[T<t_1(\theta)]=P[T>t_2(\theta)]=\frac{1}{2}(1-\gamma). \label{66.7}
\end{equation}
���$\theta$ ���㤨��$\theta'$ �Ȥ����ͤ�Ȥ�Ȥ������ξ��ϼ��Τ��Ȥ�
��̣���롣
\begin{eqnarray}
  \int_{-\infty}^{t_1(\theta')} g(t;\theta')dt
          &=&\frac{1}{2}(1-\gamma)  \nonumber  \\
  \int_{t_2(\theta')}^\infty g(t;\theta')dt
          &=&\frac{1}{2}(1-\gamma)  \label{66.8} 
\end{eqnarray}
���μ���$\theta'$ ��$\theta$ ���Ѱ���ˤ���¤������ƤϤޤ롣�Ȥ�����
��\ref{shinraikukan}�����餫�ʤ褦�ˡ�
\begin{eqnarray}
    \theta&=&\theta_1 �ΤȤ� ~~~~t_1(\theta_1)=t_0  \nonumber \\
    \theta&=&\theta_2 �ΤȤ� ~~~~t_2(\theta_2)=t_0  \nonumber
\end{eqnarray}
�Ǥ��롣������(\ref{66.7})����᤿�褦��
\[  P[T<t_1(\theta_1)]=P[T>t_2(\theta_2)]=\frac{1}{2}(1-\gamma)     \]
�Ǥ��뤫�顢���μ�������Ω�Ĥ��Ȥ����餫�Ǥ��롣
\begin{eqnarray}
  \int_{-\infty}^{t_0} g(t;\theta_1)dt&=&\frac{1}{2}(1-\gamma) \nonumber \\
  \int_{t_0}^\infty g(t;\theta_2)dt&=&\frac{1}{2}(1-\gamma) \label{66.9}
\end{eqnarray}
���μ���$\theta_1,\theta_2$ �ˤĤ��Ʋ򤯤��Ȥ��Ǥ���С����그��$\gamma$ 
  ���Ф��뿮���� \\
$(\theta_1 > \theta > \theta_2)$ �����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

\vspace{5mm}
�ʾ�Ǥ�Ϣ³�ѿ��ξ��ˤĤ��ƽҤ٤�����Υ���ѿ��ξ��ˤĤ��Ƥ�Ʊ�ͤ�
������ˡ����ǽ�Ǥ��äơ�Υ���ѿ��ξ��ˤ��äˤ�����ˡ��ͭ�ѤǤ��롣

                                                        



























































