\chapter{����}

\section{����δ��û���}
\subsection{����Ȥ�}
 ��ʬŪ�ʾ��󤫤顢���Τˤ��Τ��Ƥ��ʤ��콸�Ĥ˴ؤ���
2�ĤΤ����ɤ���ι�ư�����֤����Ȥ�������������1�Ĥα��ѤȤ���
����θ���Ȥ�����Τ����롣
�������(�ѥ�᡼��)���֤�$\Phi$ ��������ʬ�����$\phi$ �Ȥ���
̤�Τ������$\theta$ �Ȥ��롣����˴ؤ���{\bf ����Ū����}$H$ ��
���$\theta$ ��������֤��������ʬ����$\phi$ �˴ޤޤ�Ƥ��뤳�ȡ�
¨��$\theta \in \phi$ ��ɽ������롣

\begin{description}
 \item{{\bf ����˴ؤ������ 1}~~}
  ����Ū���� $H:~\theta \in \phi$ �ˤ����ơ�����$\Phi$ ��������Ĥ�
 ���Ǥ�������Ȥ����β����{\bf ñ�㲾��}���ޤ�$\Phi$ ����Ĥޤ���
 ����ʾ�����Ǥ���ĤȤ����β����{\bf ʣ�精��}�Ȥ�����
\end{description}

����ˤ����ơ��������$\Phi$ ����Ĥ���ʬ����$\phi_0,\phi_1$ ��ʬ�䤵��
�롣������ʬ������б������⸡��Ǥϡ�
̿��$\theta \in \phi_0$ ��{\bf ���겾��}��$\theta \in \phi_1$ ��
{\bf ��Ω����}�Ȥ��������Ԥ�$H_0$����Ԥ�$H_1$ �Ǽ�����
���̤�$H_0:\theta \in \phi_0$ �ϸ��������Ѥ��뤤��̵���̤��̣����̿���
��礬¿����
%$\theta$ ����ʬ����$\phi_0$ ��°����ȷ��ꤹ�뤳�Ȥ��̣����
%$a_1$ ��$\theta$ ��$\phi_1$ ��°�����Ƚ�Ǥ��뤳�Ȥ��̣���롣
�ʤ������겾��$H_0$ �����֤��Ȥ��겾���{\bf ����}����
�Ȥ�������Ω������뤳�Ȥ��겾���{\bf ����}����Ȥ�����
���⸡��Ǥϡ����겾��$H_0$ ����Ω����$H_1$ �Τ����줫���������ȷ���
���ʤ���Фʤ�ʤ����ʤ�����Ω��������ꤷ�ʤ����겾���¸�ߤ��ʤ���

\vspace{5mm}
���ơ�����κ��ݤ���ꤹ�뤿��ˤϡ��콸�Ĥ˴ؤ���������(�ǡ����δѻ�)��
�Ԥ�ʤ���Фʤ�ʤ������δѻ��ǡ����ϳ�Ψɸ�ܤ������롣�����콸��
$f(x;\theta)$ ������줿�礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�
$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �Ȥ�����ư(����κ���)��������ؿ���   \\
\begin{equation}
   a=d(X_1,X_2,\cdots,X_n)
\end{equation}
�Ȥ��롣
��ư$a=\{a: a=a_0,a_1\}$ ���б�����ɸ�ܶ���$S$ ��Ʊ�ͤ�
��Ĥ���ʬ����$S_0,S_1(=S-S_0)$ ��ʬ�䤵��롣ɸ����$s=(x_1,x_2,
\cdots,x_n)$ ������$S_0$ ��°����Ȥ���
\[ d(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_0    \]�Ȥ���
���겾��$H_0$ ����򤹤롣�ޤ�ɸ����$s$ ������$S_1$ ��°����Ȥ�
\[  d(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_1    \]�Ȥ���
����$H_0$ ����Ѥ��롣��ʬ����$S_0$ �����{\bf �����}��
$S_1$ �򤽤�{\bf ���Ѱ�}�Ȥ�����

\vspace{5mm}
��ư�η����ɸ�ܴѻ��͡����ʤ��ɸ�����ˤ�ä�ľ��
�Ԥ��ΤǤϤʤ�������ɸ���������������������$T$ �ˤ�뤳�Ȥ�¿����
�㤨����ʿ��$\mu$ �˴ؤ��븡���ɸ��ʿ����$\bar{X}$ �ˤ�ä�
�Ԥ��ʤɤǤ��롣���ΤȤ�����ؿ���
\begin{equation}
 a=d(T)~~~~T=T(X_1,X_2,\cdots,X_n)
\end{equation}
��Ϳ�����롣���ΤȤ���������$T$ ��{\bf ����������}�Ȥ�����
��ɸ����$s$ �Ϥ��줾���б�����$T$ ���ͤ�ͭ���뤫�顢ɸ�ܶ������
�����ȴ��Ѱ���б����Ƹ��������̤Ⲿ��$H_0$ ����򤹤��ΰ��
���Ѥ����ΰ�Ȥ�ʬ����롣�������ΰ���Ф��Ƥ�Ʊ�ͤ˺���衢
���Ѱ��̾�Τ��Ѥ����롣 

\subsection{��������դ��٤���}
�ʾ�ι�ư��̤�Τ�����˴ؤ����Դ����ʾ���˴�Ť��Ƥ���ΤǤ��뤫�顢
�����ι�ư�ˤϾ��»���δ�����ȼ�äƤ��롣���ξ��֡�¨�������
$\theta$ �ΤȤ�����ư$a$ ���뤳�Ȥˤ�ä�������»���ϡ�»���ؿ�
$l(a;\theta) \geq 0$ ��Ϳ�����롣������
\begin{eqnarray}
  H_0 �����ʤ��(¨��\theta \in \omega_0 �ʤ��)~~~l(a_0;\theta)&=&0 \nonumber \\
  H_1 �����ʤ��(¨��\theta \in \omega_1 �ʤ��)~~~l(a_1;\theta)&=&0 \label{71.3} 
\end{eqnarray}
�Ǥ��롣�����ΤȤ���ư$a_0,a_1$ �Ϥ�������������ä����Ȥˤʤ롣����
$d$ ��ȼ�������ϴ���(�ؿ�)������ˤ�꼡���������롣
\begin{equation}
  R(d;\theta)=l(a_0;\theta)P(s \in S_0 | \theta)
         +l(a_1;\theta)P(s \in S_1 | \theta)  \label{71.4}
\end{equation}
������$P(s \in S_0|\theta)$ �������$\theta$ �ΤȤ�ɸ����$s$ ��ɸ�ܶ���
�κ����$S_0$ ��°�����Ψ�Ǥ��롣���ΤȤ���ư$a_0$ (����$H_0$ �κ���)
������뤫�顢$P(s \in S_0|\theta)$ ��$a_0$ ��{\bf ��ư��Ψ}($H_0$ ��
�����Ψ)�Ȥ�����Ʊ�ͤˤ���$P(s \in S_1|\theta)$ ��$a_1$ �ι�ư��Ψ
($H_0$ �δ��ѳ�Ψ)�Ǥ��롣

\vspace{5mm}
�������$\theta$ ������$\phi_i$ ��°����Ȥ�����ư$a_j$ ��ȼ��»����
$l(a_j;\theta \in \phi_i)$ �Ǽ������Ȥˤ���С�$\theta$ ��$\phi_0$ 
��°����Ȥ��δ�����(\ref{71.4})���ˤ��
\[ R(d;\theta \in \phi_0)=l(a_0;\theta \in \phi_0)P(s \in S_0|\theta 
\in \phi_0)+l(a_1;\theta \in \phi_0)P(s \in S_1|\theta \in \phi_0) 
\]
�Ǥ��롣(\ref{71.3})�����$l(a_0;\theta \in \phi_0)=0$ �Ǥ��뤫��
\begin{equation}
  R(d;\theta \in \phi_0)=l(a_1;\theta \in \phi_0)
         P(s \in S_1|\theta \in \phi_0)  \label{71.5}
\end{equation}
�Ǥ��ꡢƱ�ͤˤ���
\begin{equation}
 R(d;\theta \in \phi_1)=l(a_0;\theta \in \phi_1)
         P(s \in S_0|\theta \in \phi_1)  \label{71.6}
\end{equation}
�Ǥ��롣(\ref{71.5})�����դ�$P(s \in S_1|\theta \in \phi_0)$ ��
���$\theta$ ������$\phi_0$ ��°�������äƹ�ư$a_0$ ����٤��Ǥ����
��ؤ�餺��ɸ����$s$ �����Ѱ�$S_1$ ��°���Ƥ������ᡢ���ä���ư����
��Ψ�Ǥ��äơ��Ĥޤ긡�겾��$H_0:\theta \in \phi_0$ ���������˴ؤ�餺
���������򤷤ʤ��Ǵ��Ѥ������򤪤�����Ψ�Ǥ��롣���θ�����겾���
��{\bf ����θ���}��Ȥ�����������Ф���(\ref{71.6})����$P(s \in
S_0|\theta \in \phi_1)$ ��$\theta$ ��$\phi_1$ ��°�������äƹ�ư
$a_1$ ����٤��˴ؤ�餺$a_0$ ������ꡢ¨������$H_0$ �����äƤ����
�˴ؤ�餺�������򤹤����򤪤�����Ψ�Ǥ��äơ����θ�����{\bf ����
��θ���}��Ȥ�����(\ref{71.5})����(\ref{71.6})���Ϥ��줾���������
��θ���򤪤����������礭���򼨤����Ȥˤʤ롣

\vspace{5mm}
(\ref{71.4})����(\ref{71.5})(\ref{71.6})���Ȥ����餫�ʤ褦�ˡ�
(\ref{71.4})�������»���ؿ�$l(a_0;\theta),l(a_1;\theta)$ �Τ����줫
��Ĥ�$0$ �Ǥ��뤫�顢(\ref{71.4})���ϼ��η���ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣
\begin{equation}
 R(d;\theta)=l(\theta)\epsilon(d;\theta)  \label{71.7} 
\end{equation}
������$l(\theta)$ ��»���ؿ���$\epsilon(d;\theta)$ �ϸ��ä���ư��Ȥ�
��Ψ(����γ�Ψ)�ǡ�(\ref{71.5})(\ref{71.6})�������餫�ʤ褦�˼����̤�
�����롣
\begin{eqnarray}
 \theta \in \phi_0 �ʤ��
     ~~~~l(\theta)&=&l(a_1;\theta) \nonumber \\
         \epsilon_I&=&P(s \in S_1|\theta \in \phi_0)  \nonumber \\
 \theta \in \phi_1 �ʤ��
     ~~~~l(\theta)&=&l(a_0;\theta)  \nonumber \\
         \epsilon_{II}&=&P(s \in S_0|\theta \in \phi_1) \nonumber
\end{eqnarray}
$\epsilon_I$ ������θ���γ�Ψ��$\epsilon_{II}$ �������θ���γ�Ψ
�Ǥ��롣�����������������$\Phi$ ��°���뤹�٤Ƥ��ͤ��Ф��Ƥ��δ���
�ؿ����Ǿ��ˤʤ�褦�ʸ���������¨������ؿ��򸫽Ф����ȤǤ��롣������
���̤ˤ��δ�����Ǿ��ˤ���褦�ʷ���ؿ�(��������)�����$\theta$ ���ͤ�
��äư��ͤǤϤʤ��������Ƹ��겾��ξ�����$\theta$ ��̤�ΤǤ��뤫�顢
Ϳ����줿����ξ��ˤ��Τ褦�ʾ�������������������ȯ�����뤳�Ȥ�
�ưפʻ����ǤϤʤ���

\vspace{5mm}
�⤦��ġ����⸡��κ��������ϡ������ؿ�������»���ؿ�$l$ �η���
���̤������Ǥ��뤫�����뤤�Ͼ��ʤ��Ȥ����Τ��Τ��Ƥ��ʤ��Ȥ�������
�Ǥ��롣�⤷»���ؿ��η���ʬ����ʤ��Ȥ����顢�����ؿ��򾮤������뤿���
(\ref{71.7}) ���Τ⤦��Ĥΰ��ҤǤ������γ�Ψ$\epsilon$ �򾮤�������
���ȡ����äƤ��Τ褦�ʾ�������������ؿ�����뤳�ȤϹ���Ū�Ǥ��롣
���������$\theta$ ��$\phi_0$ ��°���뤫�����Ǥ��뤫�顢����γ�Ψ��
����$\epsilon_I$ ��$\epsilon_{II}$ �Τ����줫��ͤ���٤����������Ǥ��롣
�����Ƥ�����ġ�¨������θ���γ�Ψ�������θ���γ�Ψ�Ȥϡ�������
�����������¾�����礭���ʤ�Ȥ�����ȿŪ����������äƤ��뤫�顢��Ĥ�
$\epsilon$ ��Ʊ���˾��������뤳�Ȥ��Բ�ǽ�Ǥ��롣����������Ū�ʲ���
���������Ǥϡ����Ū�����ʳ�Ψ$\alpha$ (�㤨��0.01,0.05,0.10��) ����
���θ���γ�Ψ$\epsilon_I$ �ε��Ƹ��٤Ȥ�����ᡢ���Τ褦�ʾ�¨��
\begin{equation}
 \epsilon_I=P(s \in S_1|\theta \in \phi_0) \leq \alpha  \label{71.8}
\end{equation}
������������������¨�����Ѱ�$S_1$ �ν����ͤ������Τ褦�ʽ�������
�����θ���γ�Ψ��¨��
\begin{equation}
 \epsilon_{II}=P(s \in S_0|\theta \in \phi_1)  \label{71.9}
\end{equation}
��Ǿ��ˤ���褦�ʸ������������뤤�Ϥ���;���ݤγ�Ψ
\begin{equation}
  1-\epsilon_{II}=P(s \in S_1|\theta \in \phi_1) \label{71.10}
\end{equation}
�����ˤ���褦�ʸ�����������롣

\begin{description}
 \item{{\bf ����˴ؤ������ 2}~~}
 ����줿����γ�Ψ$\alpha$ ���Ф��Ƹ������������ξ��
\begin{eqnarray}
 \phi_0 ��°���뤹�٤Ƥ�\theta ���Ф��� &\epsilon_I \leq \alpha& \nonumber \\
 \phi_1 ��°���뤹�٤Ƥ�\theta ���Ф��� &1-\epsilon_{II}& ������ \nonumber 
\end{eqnarray}
���������Ȥ������θ���������{\bf ����}���뤤��{\bf �Ƕ���}�Ǥ���Ȥ�����
\end{description}

\vspace{5mm}
���θ��������Ǥ�»���ؿ�$l(\theta)$ ������Ū�ˤϹ�θ����Ƥ��ʤ�����
���¤Ͼ�Ｐ(\ref{71.8}) ��$\alpha$ ���ͤη���ΤȤ��ˤ��줬�ͤ����Ƥ�
�롣�⤷����θ���򤷤��Ȥ���»��$l(a_1;\theta \in \phi_0)$ ������
��θ���򤷤��Ȥ���»��$l(a_0;\theta \in \phi_1)$ ����٤����˽���
�Ǥ���С����������δ����򾮤������뤿��ˤ��Τ褦�ʸ���򤪤�����Ψ��
����$\alpha$ ��ʤ�٤��������ͤ����Ƥ����ͤФʤ�ʤ����Τˤ��θ�����
��������θ��꤬�����θ������٤��ä˽��פǤ���Ȥ����ͤ����˴�Ť�
�Ƥ���Ȥ����롣�ʤ��ʤ�Ф��ξ�������θ���򤹤��Ψ����ƤǤ���
�Ǿ����٤��ޤ��Ƥ������Ȥ����ξ�������Ǥ��롣 

\begin{description}
\item{{\bf ����˴ؤ������ 3}~~}
���(\ref{71.8} )����$\alpha$ ��¨������θ���γ�Ψ�ε��Ƥ������٤�
{\bf ����ο�ࡢͭ�տ��}���뤤��{\bf ���Ѱ���礭��}�Ȥ����� 
\end{description}

\subsection{�����ϴؿ�} \label{kenshutsu} 
 �ʲ�������Ū����θ���������¨������Τ���η���ؿ��ε�����ˤĤ���
�������롣�����Ǥϸ��겾�⡢��Ω���⤬�Ȥ��ñ�㲾��ξ��ˤĤ���
�ͤ��롣���ξ�硢����˴ؤ������ 2 �ΰ�̣�ǤκǶ��ϸ���������
���뤳�Ȥ��ưפǤ��롣���ޡ����겾���$H_0:\theta=\theta_0$��
��Ω�����$H_1:\theta=\theta_1(\neq \theta_0)$ �Ȥ��롣
$\theta_0$��$\theta_1$ �Ϥ����������ͤǤ��롣�ޤ�����θ���γ�Ψ��
$\epsilon_{I}$�������θ���γ�Ψ��$\epsilon_{II}$ �Ȥ��롣
���ξ�硢$\epsilon_{II}$ ���礭����$\theta_1$ ������Ѥ�äƤ��뤫�顢
$\epsilon_{II}$ ��$\theta_1$ �δؿ��Ǥ��롣���̤ˤ��븡��ˤĤ���
\begin{equation}
 \pi(\theta_1)=1-\epsilon_{II}(\theta_1)
\end{equation}
�򡢤��θ����{\bf ������}�Ȥ������ޤ�$\pi(\theta_1)$ ��$\theta_1$ �δ�
���Ȥߤ�{\bf �����ϴؿ�}�Ȥ�����

%�����ǡ���ñ�Τ���˸��겾��$H_0$ �����ξ���ɸ��
%$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �γ�Ψ̩��($X_i$ ��Ϣ³�ѿ��ξ���ͤ���)��
%\begin{equation} 
%  L_0(x)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta_0),
%\end{equation}
%��Ω����$H_1$ �����ξ���ɸ�ܤγ�Ψ̩�٤�
%\begin{equation} 
%  L_1(x)=f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta_1)
%\end{equation}
%�Ǽ������ȤȤ��롣����ο���$\epsilon_{I}=\alpha$ �����ơ�����
%ͭ�տ����Ф��븡��δ��Ѱ��$A$ �Ǽ����Ȥ���
%\begin{equation}
%  \alpha=\int \cdots \int_A f(x_1,x_2,\cdots,x_n;\theta_0)
%       dx_1 \cdots dx_n \equiv \int_A L_0(x) dx 
%\end{equation}
%�Ǥ��롣������Ф��Ƹ���θ����Ϥ�
\vspace{5mm} 
���̤ˤ褤����Ȥϲ���$H_0:\theta=\theta_0$��$H_1:\theta=\theta_1$ ��
�Ф���$\alpha$ ��������������$\pi(\theta_1)$ �����Ƥ�$\theta_1$ �ˤĤ���
�ʤ�٤��礭���褦�ʸ���򤤤������ꤵ�줿$\alpha$ ��ͭ���븡�������Τ�
�������Ƥ�$\theta_1$ �ˤĤ���¾�Τ�Τ��⸡���Ϥ��礭����Τ�����ʤ�
�С������{\bf ���ͺǶ��Ϥʸ���}�ȸƤФ�롣�ޤ�$\theta=\theta_0$ ��
������$\pi(\theta_1)$ ���Ǿ��ˤʤ븡���{\bf ���Фʸ���}�Ȥ�����

\vspace{5mm} 
�����ǡ��Ƕ��ϸ���˴�Ϣ����ͭ̾��{\bf �ͥ��ޥ�-�ԥ����������}��󤲤�
������
\begin{description}
 \item{{\bf �ͥ��ޥ�-�ԥ����������}~~}  \label{neyman}
����$H_0:\theta=\theta_0$����Ω����
$H_1:\theta=\theta_1$ ��Ϳ����줿�Ȥ���$H_0$ ���ꤹ��Ƕ��Ϥʴ��Ѱ�ϡ�
������
\begin{equation}
  \frac{\prod_{i=1}^n f(x_i|\theta_1)}{\prod_{i=1}^n f(x_i|\theta_0)}
   \geq c
\end{equation}
���������� $x_1,x_2,\cdots,x_n$ �ν����Ϳ������(�����Ͼ�ά)\footnote{
���������ΰ�̣���Ȥ������褯ʬ����ʤ���ʬ�ۤη����Ѥ���Τ�������?}��
\end{description}

\vspace{5mm} 
���겾�⤬ʣ�精��η���Ϳ�����Ƥ���Ȥ������ͤ˺Ƕ��Ϥʸ���������
���Ф����ȤϺ���Ǥ��뤫�顢���ξ��ˤ����$\theta$ �����Ƥ��ΰ��
�Ф��ƺǶ��Ϥʸ������������Ȥ����ͤ����򤢤����ơ��̤�ɸ���
�����Ϥ����Ū�礭��������������뤳�Ȥ��פ��ʤ���Фʤ�ʤ���
���˽Ҥ٤������渡��Ϥ��ΰ�Ĥ���ˡ�Ǥ��롣

\subsection{�����渡��}  \label{yuidohi-kentei}
�ʲ��������渡�����ˡ�ϡ�ɬ�������ˤ褤����������Ϳ����Ȥ������Ǥ�
�ʤ�����¿���ξ�硢�ä���ɸ�ܤξ��Ϥ褤��̤�Ƴ����ˡ�Ǥ��롣
�����콸��ʬ�ۤ��ñ�Τ���˰�����ؿ���̩�ٴؿ�$f(x;\theta)$ �����
�����ΤȤ������겾���$H_0:\theta \in \phi_0$�Ȥ��롣������$\phi$
 ���������$\Phi$ ������������ʬ����Ȥ��롣��Ω�����$H_1:\theta
 \in \phi_1$��������$\phi_1=\Phi-\phi_0$ �Ǥ��롣ɸ�ܤ�
�礭����$n$ �Ȥ�����Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �ˤ�ä�$H_1$ ��
�Ф���$H_0$ �θ����ͤ���\footnote{���������������򤹤�Τ�������?}��

\vspace{5mm}
�ޤ���Ψɸ�ܤ����ٴؿ���$L=\prod_{i=1}^n f(X_i;\theta)$ ��Ϳ�����롣
�������$\theta$ �δؿ��Ȥ��Ƥ����ٴؿ�$L$ ���������$\Phi$ ���Τ�
��ǤȤꤦ������ͤ�
\begin{equation}
 L(\hat{\Phi})=\prod f(X_i;\hat{\theta})
\end{equation}
�����롣���ΤȤ�$\hat{\theta}$ �����餫�����$\theta$ �κ�������ͤ�
���롣������Ф��Ʋ���$H_0:\theta \in \phi_0$ �����ΤȤ���¨����ʬ����
$\phi$ ���ϰ�������ٴؿ�$L$ ���Ȥꤦ������ͤ�
\begin{equation}
 L(\hat{\phi})=\prod f(X_i;\hat{\theta}')
\end{equation}
�����롣���ΤȤ�$\phi$ ��$\Phi$ ����ʬ����Ǥ��äơ���ʬ����Ǥ�
����������Τˤ��������������ϰϤ����¤���Ƥ��뤫�顢���ٴؿ�$L$ ��
��Ȥʤ뵡������¤���롣���äƤ���{\bf ������}��
\begin{equation}
 \lambda=\frac{L(\hat{\phi})}{L(\hat{\Phi})}
\end{equation}
�������������餫��$\lambda \leq 1$ �Ǥ��롣����������$\lambda$ ��
ɸ�ܴѻ��ͤΤߤδؿ��Ǥ��ä������ޤޤʤ����������̤Ǥ��롣

\vspace{5mm}
�������ٴؿ�$L$ �ϳ�Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �γ�Ψ̩�٤Ǥ��롣
���ä�  \\
$\lambda=L(\hat{\phi})/L(\hat{\Phi})$ ��$1$ �˶ᤤ�ۤɡ�
%���$\theta$ �˸��겾��$H_0:\theta \in \phi_0$ ���ϰϳ����ͤ�Ϳ���Ƥ⡢
%ɸ����$\{x_i\}$ �γ�Ψ̩�٤����ä���;�ϤϾ��ʤ��������������
����$H_0:\theta \in \phi_0$ �ο����������
����Ȥ����롣�դ�$\lambda$ ��$0$ �˶ᤤ�ۤɲ���$H_0:\theta \in \phi_0$ 
�ο�������˳���������ä�������$\lambda$ �ϲ���$H_0$ �θ���Τ����
���������̤Ȥ������Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣

\vspace{5mm}
���޲���$H_0$ �����Ǥ��äơ����ΤȤ���������$\lambda$ �γ�Ψ̩��
$g(\lambda | H_0)$ ���Τ��Ƥ���Ȥ��롣$g(\lambda | H_0)$ ��
�콸��ʬ��$f(x;\theta)$ ��Ϳ�����Ƥ���Ф��줫��Ƴ�����Ȥ��Ǥ���
���Ǥ��롣�⤷$g(\lambda | H_0)$ ��̤�Τ������ޤޤʤ��ʤ�С�
Ϳ����줿ͭ�տ��$\alpha$ ���Ф��Ƽ���������$c$ ���ͤ�׻�����
���Ȥ��Ǥ��롣
\begin{equation}
 \alpha=\int_0^c g(\lambda|H_0) d\lambda
\end{equation}
���ΤȤ�����$H_0:\theta \in \phi_0$ �δ��Ѱ��$0 < \lambda < c$ ��
Ϳ�����롣

\subsubsection{�����渡��˴ؤ������� 1}\footnote{�����Ϥ��ʤ�����̣�ˤ�
���Ƥ���������򻲾ȤΤ��ȡ�} 
�����ͭ�տ���$\alpha$ �Ȥ���Ȥ���������$\lambda$ �ˤ�벾��$H_0$ 
�δ��Ѱ��$0 < \lambda < c$ �������롣������$c$ �ϼ����������롣
\[ \alpha=\int_0^c g(\lambda|H_0) d\lambda  \]
������$g(\lambda|H_0)$ �ϲ���$H_0$ ����Ȥ���������$\lambda$ �γ�Ψ̩��
�Ǥ��롣

\vspace{5mm}
���������˴�Ť����⸡�����ˡ����̤�{\bf �����渡��}�Ȥ�����
���Ȥ���������$\lambda$ ��ʬ�ۤ��⤽�δؿ�$u(\lambda)$ ��ʬ�ۤ�����
�׻����䤹����礬���롣���ΤȤ��ϼ��������ˤ�ä�$U=u(\lambda)$ ��
���������̤Ȥ��ƻ��Ѥ��뤳�Ȥ��Ǥ��롣

\subsubsection{�����渡��˴ؤ������� 2}
$U=u(\lambda)$ ��������$\lambda$ ��ñĴ�ؿ��ΤȤ���������$U$ �˴�Ť�
���⸡���$\lambda$ �ˤ�벾�⸡���Ʊ�ͤǤ��롣���ΤȤ�$0 < \lambda <
c$ ���б�������Ѱ��$u(0) < U < u(c)$ ��Ϳ�����롣������$U$ ��
$\lambda$ ��ñĴ�����ؿ��ΤȤ���$u(c) < U < u(0)$ ��Ϳ������(�����Ͼ�
ά)��
 
\vspace{5mm}
�ʾ�Ǥϴ�ñ�Τ�����콸��ʬ�ۤ�������ĤȲ��ꤷ�������콸��ʬ�ۤ�
��İʾ�������ͭ����Ȥ��⡢�����渡�����ˡ������Ʊ��Ǥ��롣����
�Ȥ����ٴؿ���$L=\prod_{i=1}^n f(X_i;\theta_1,\theta_2,\cdots)$ ��
Ϳ����졢���겾���$H_0:(\theta_1,\theta_2,\cdots) \in \phi_0$ �Ǥ��롣

\begin{description}
 \item{�� 1} \label{yuidokentei-rei1}
�����콸�Ĥ�ʬ��$\sigma^2=1$ ��Ϳ�����Ƥ���Ȥ���
$H_0:\mu=\mu_0$��$H_1:\mu \neq \mu_0$ �θ��������������渡�����ˡ��
��äƵ��衣 \\
$\sigma^2=1$ �Ǥ��뤫�����ٴؿ���
\[  L(\mu)=(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n e^{-\frac{1}{2} \sum (X-\mu)^2}     \]
�Ǥ��롣$\mu$ �κ�������̤�$\hat{\mu}=\bar{X}$ �Ǥ��뤫���������
$\Phi$ �Ǥ�$L$ �κ����ͤ�
\[  L(\hat{\Phi})=L(\hat{\mu})
     =(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n e^{-\frac{1}{2} \sum (X-\bar{X})^2}  \] 
�Ǥ���\footnote{$L(\hat{\Phi})$ ��ɬ��$\phi_0$ �����ˤ���Τ�������?}��
���˲���$H_0$ �Τ�ȤǤ�$\mu=\mu_0$ �ϰ���Ǥ��ä�¾�˿��ꤹ�٤�
����Ϥ��ξ��¸�ߤ��ʤ����顢���ٴؿ�$L$ ���ͤϤ���$\mu=\mu_0$ ����������
\[  L(\hat{\phi})=L(\mu_0)
     =(\frac{1}{\sqrt{2\pi}})^n e^{-\frac{1}{2} \sum (X-\mu_0)^2}         \]
�ʳ��ˤϤʤ�����ä��������
\begin{eqnarray}
  \lambda=\frac{L(\hat{\phi})}{L(\hat{\Phi})}
        &=&\exp\left[-\frac{1}{2}
              \{\sum (X-\mu_0)^2- \sum (X-\bar{X})^2 \} \right] \nonumber \\
        &=&\exp\left[-\frac{n}{2} (\bar{X}-\mu_0)^2 \right] \nonumber
\end{eqnarray}
�Ȥʤ롣������$n$��$\mu_0$ ��Ϳ�����Ƥ��ꡢ$\bar{X}$ ��ʬ�ۤ������Ǥ��뤫�顢
��μ�����$g(\lambda|H_0)$ ����뤳�Ȥ��ưפǤϤʤ������������ξ��
$\lambda$ ���п���ͤ����������������ä����ưפǤ��롣¨���弰����
\[  \log \lambda=-n(\bar{X}-\mu_0)^2/2        \]
�����롣$\mu=\mu_0$ �ΤȤ�$\bar{X}$ ��ʿ����$\mu_0$��ʬ��$1/n$ ������
ʬ���ѿ��Ǥ��뤫��
\[  -2 \log \lambda=n(\bar{X}-\mu_0)^2        \]
�ϼ�ͳ��$1$ �Υ�������ѿ��Ǥ��롣����
\[  Y=-2 \log \lambda    \]
�Ȥ����С�$Y$ ��$\lambda$ ��ñĴ�����ؿ��ǡ�$\lambda=0$ �ΤȤ�$Y=\infty$
�Ǥ��뤫�顢ͭ�տ���$\alpha$ �Ȥ����
\[  \alpha=\int_0^c g(\lambda|H_0) d\lambda
          =\int_{-2 \log c}^\infty h(y) dy            \]
������$h(y)$ �ϼ�ͳ��$1$ �Υ������ʬ�ۤ�̩�ٴؿ��Ǥ��롣$\alpha=0.05$
 �Ȥ���Х������ʬ�ۤο���ɽ���
\[ -2 \log c=3.84    \]
�����뤫�鸡��δ��Ѱ��
\[ n(\bar{X}-\mu_0)^2>3.84     \]
���뤤��
\[  \bar{X}<\mu_0-\frac{1.96}{\sqrt{n}},
               ~~~~\bar{X}>\mu_0+\frac{1.96}{\sqrt{n}}    \]
��Ϳ�����롣���Τ褦�˴��Ѱ褬����������$\bar{X}$ ��ʬ�ۤ�ξ¦��
�Ǥ��뤫�顢���θ���������ξ¦����Ǥ��롣

 \item{�� 2}  \label{yuidokentei-rei2} �� 1 �Ǥ���ʬ��$\sigma^2=1$ ��
Ϳ�����Ƥ�������Ʊ����
 �����콸�Ĥ���ʬ����̤�Τξ��ˤĤ���$H_0:\mu=\mu_0$��$H_1:\mu \neq \mu_0$ 
 �θ�����������衣 \\
$\mu$��$\sigma^2$ �κ�������̤�
\[  \hat{\mu}=\bar{X}~~~~~\hat{\sigma}^2=\sum (X-\bar{X})^2/n  \]
��Ϳ������\footnote{p.\pageref{seiki-saiyui} ���������ʬ�ۤ����
$\mu$,$\sigma^2$ �ο���פ򻲾ȤΤ��ȡ�}����ä�
\[  L(\hat{\Phi})=L(\hat{\mu},\hat{\sigma}^2)
     =\left[\frac{1}{(2\pi /n) \sum (X-\bar{X})^2}
            \right]^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{n}{2}}   \]
�Ǥ��롣���˲���$H_0:\mu=\mu_0$ �Τ�Ȥ����ٴؿ������ˤ��뤿��ξ���
���롣$\mu$ �ϲ������᤿�Τǡ��⤦��Ĥ�̤�Τ����$\sigma^2$ ��$L$ 
�����ˤ���褦�˷��ꤹ��Ф褤��$\sigma^2$ �Ⲿ��ˤ�äƵ��ꤵ�졢
\[ \hat{\sigma}_0^2=\sum (X-\mu_0)^2/n   \]
�Ǥ��롣��ä�
\[ L(\hat{\phi})=L(\mu_0,\hat{\sigma}_0^2)
   =\left[\frac{1}{(2\pi/n) \sum (X-\mu_0)^2}
       \right]^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{n}{2}}    \]
�Ǥ��롣���ä��������
\[ \lambda=\left[ \frac{\sum (X-\bar{X})^2}{\sum (X-\mu_0)^2}
            \right]^{\frac{n}{2}} \]
�Ȥʤ롣��������Ϥ���$\lambda$ ��ʬ�ۤ���뤳�ȤǤ��롣$X,\bar{X}$
 ��ʬ�ۤϤȤ�������Ǥ��뤫�餳�Τ��Ȥϲ�ǽ�Ǥ��뤬��������ۤɴ�ñ�Ǥ�
�ʤ����ޤ�$\lambda$ ��ʬ���
\[ \sum (X-\mu_0)^2=\sum (X-\bar{X})^2 +n(\bar{X}-\mu_0)^2    \]
�Ȥ����뤫�顢$\lambda$ �ϼ��Τ褦�ʷ��Ǽ������Ȥ��Ǥ��롣
\[   \lambda=\left[\frac{1}{1+n(\bar{X}-\mu_0)^2} \cdot
              \frac{1}{\sum (X-\bar{X})^2} \right]^{\frac{n}{2}}
 \] 
�Ȥ�����$\mu=\mu_0$ �ΤȤ���
\[  t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s/ \sqrt{n-1}}
     =\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sqrt{\sum (X-\bar{X})^2/n(n-1)}}       \]
�ϼ�ͳ��$n-1$ ��$t$ ʬ���ѿ��Ǥ��뤫��
\[    \lambda=\left[\frac{1}{1+t^2/(n-1)}\right]    \]
�Ȥʤ롣$\lambda$ ��ʬ�ۤ�$t$ ʬ�ۤ򤳤μ��ˤ�ä��ѿ��Ѵ����Ƶ��뤳��
���Ǥ��롣���������ξ�硢�ºݤ�ʬ��$g(\lambda)$ �η���׻�����ɬ�פ�
�ʤ���$\lambda$ ��$t^2$ ��ñĴ�����ؿ��ˤʤäƤ��뤫�顢$\lambda$ ��
���Ѱ���б�����$t^2$ �δ��Ѱ����ᡢ$t$ ���������̤Ȥ��ƻ��Ѥ����
����ϲ�褵��롣$\lambda=1$ �ΤȤ���$t^2=0$ �ǡ�$\lambda$ ��$0$ ��
��Ť��˽��ä�$t^2$ ����Ȥʤ뤫�顢$\lambda$ �δ��Ѱ�$0 < \lambda < c$ 
���б�����$t^2$ �δ��Ѱ�η���$t^2 > A$ �Ȥʤ롣��ä�Ǥ�դ�ͭ�տ��
$\alpha$ ���Ф���$t$ �δ��Ѱ�θ³���$\pm t_{\frac{\alpha}{2}}$ �Ȥ����
\footnote{$t_\alpha$ �� $t_n(\alpha),t_{n-1}(\frac{\alpha}{2})$ �ʤɤȽ�
���⤢�롣���ΤȤ���$t_n,t_{n-1}$ �ϼ�ͳ�٤�$n$ �⤷����$n-1$ ��$t$ ʬ�ۤǤ�
	    �뤳�Ȥ򼨤��Ƥ��롣}������
$\mu=\mu_0$ �δ��Ѱ��$t=0$ ��ξ¦��
\[   t<-t_{\frac{\alpha}{2}} ~~~~~t>t_{\frac{\alpha}{2}}       \] 
��Ϳ����졢$t_{\frac{\alpha}{2}}$ ���ͤ�
\[  \int_{t_{\frac{\alpha}{2}}}^\infty f(t;n-1) dt=\frac{\alpha}{2}     \]
����׻�����롣������$f(t;n-1)$ �ϼ�ͳ��$n-1$ ��$t$ ʬ�ۤ򼨤���
���äƸ��������Ϥ��ξ�硢���Τ褦�ˤޤȤ�뤳�Ȥ��Ǥ��롣
\[ ������ t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s/ \sqrt{n-1}} 
  (������ s^2=\frac{\sum (X-\bar{X})^2}{n}) ��׻�����-t_{\frac{\alpha}{2}}<t<t_{\frac{\alpha}{2}}  �ʤ��   \]
  ����$\mu=\mu_0$ ����򡢤���¾�ξ��ϲ������Ѥ��롣
\end{description}

\vspace{5mm}
������ǲ���$\mu=\mu_0$ �κ����ϼ�����������Ϳ�����Ƥ��롣
\[  -t_{\frac{\alpha}{2}} < \frac{\bar{X}-\mu_0}{s/ \sqrt{n-1}} < t_{\frac{\alpha}{2}}   \]
�����������ϼ��η��Ǽ������Ȥ��Ǥ��롣
\[ \bar{X}-t_{\frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n-1}} 
     < \mu_0 < \bar{X}+t_{\frac{\alpha}{2}} \frac{s}{\sqrt{n-1}}    \]
���μ��Ͽ��그��$\gamma=1-\alpha$ ���Ф�����ʿ��$\mu$ 
�ο���³��Ǥ��롣
�Τ������渡��ˤ�벾��$H_0$ �θ���Ϸ�ɼ�����ˡ��Ʊ�ͤǤ��롣¨�� 
��ʿ�Ѥο��그��$\gamma=1-\alpha$ �ο����֤�׻������⤷����
$\mu=\mu_0$ �����ζ����ˤ���в������򤷡������ˤʤ���в����
���Ѥ��롣

\vspace{5mm}
¿���ξ�硢����˴ؤ��벾��κ����Ϥ��Τ褦�ˤ�������ο����֤�
����ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣���̤˲���$\theta=\theta_0$ ���Ф���ͭ�տ��
$\alpha$ �θ���(�����)�ϡ����$\theta$ ���Ф��뿮�그��$1-\alpha$
 �ο����֤�Ϳ�����롣

\vspace{5mm}
�ʾ��2��Ǥ�$\lambda$ �δؿ����޲�Ȥ���$\lambda$ ��ʬ�ۤ�������Τ�
ʬ�ۤ��ưפ˸��Ф��줿�������Τ褦�ʤ��Ȥ���ǽ�Ǥʤ��Ȥ������̤ˤ�
$\lambda$ ��ʬ�ۤ�ʣ���ǡ����ä�$\lambda$ �����̤Ȥ���Ȥ��δ��Ѱ�
$\lambda > c$ �η׻���ɬ�������ưפǤϤʤ������Τ褦�ʾ�硢����������
�ä�ͭ�ѤǤ��롣
\subsubsection{�����渡��ˤĤ��Ƥ����� 3}
�ˤ�ư���Ū�ʾ��Τ�Ȥ�������$-2 \log \lambda$ ��ʬ�ۤϡ����겾��
$H_0$ �����Ǥ���С�ɸ�ܤ��礭��$n$ ����Ǥ���Ȥ����������ʬ�ۤ�
������졢���μ�ͳ�٤ϲ���$H_0$ �˴ޤޤ��̤�Τ�����ο�����������

\vspace{5mm}
��2 �Ǥ�$-2 \log \lambda=n(\bar{X}-\mu_0)^2$ �Ϥޤ�������ͳ��$1$ ��
��������ѿ��Ǥ��뤫�顢�������$-2 \log \lambda$ �����Τ˥������
�ѿ���Ϳ�����Ƥ������̤���Ǥ��롣������ξ���Ʊ�ͤ�$Y=-2 \log
\lambda$ ��$\lambda$ �θ����ؿ��Ǥ��뤫�顢$Y$ �δ��Ѱ�ϥ������
ʬ�ۤα�¦�������롣���ä���ɸ�ܤξ���ͭ�տ��$\alpha$ ������
�渡���Ԥ�����ˤ�$Y=-2 \log \lambda$ �δ��Ѱ�$Y>A$ �򥫥����ʬ�ۤ�
��¦��$\alpha=P(Y>A)$ �Ȥʤ�褦������Ф褤��
 
\begin{description}
\item{��3} \label{yuidokentei-rei3} ʿ���ͤκ��θ��� \\
��Ĥ������콸��$X,Y$ ��ʬ����̤�ΤǤ��뤬Ʊ��Ǥ��뤳�Ȥ�
�Τ��Ƥ��롣���� $H_0:\mu_x-\mu_y=0$��$H_1:\mu_x-\mu_y \neq 0$
�θ�����������衣 

�����콸��$X$ �����ɸ�ܤ��礭����$m$ ������ɸ��ʿ���ͤ�
$\bar{X}$ ��$Y$ �����ɸ�ܤ��礭����$n$ ��ɸ��ʿ���ͤ�$\bar{Y}$ �Ȥ���
ξ�콸�Ĥ˶��̤���ʬ����$\sigma^2$ �Ȥ��롣�콸��$X$ �����ɸ�ܤ�
$\{X_1,X_2,\cdots,X_m\}$ ���콸��$Y$ �����ɸ�ܤ�
$\{Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\}$ �Ȥ���С����ΤȤ�ɸ�ܤ����ٴؿ���
\begin{equation}  L=\left(\frac{1}{2 \pi \sigma^2}\right)^{\frac{m+n}{2}} 
      e^{-\frac{1}{2\sigma^2}\left[\sum^m (X-\mu_x)^2+\sum^n 
        (Y-\mu_y)^2\right]}   \label{sa-yuido}
\end{equation}
�Ǥ��롣�����p.\pageref{eq-yuido-seiki} ��(\ref{eq-yuido-seiki})������
$x$ �ˤĤ��Ƥμ���$y$ �ˤĤ��Ƥμ��򤫤���碌�뤳�Ȥ������롣
����ʿ����$\mu_x��\mu_y$ �����ʬ��$\sigma^2$ �κ�������ͤˤĤ��Ƥ�
p.\pageref{eq-yuido-seiki} ����Τ褦��
������Ȥäơ�
\[  \frac{\partial}{\partial \mu_x} \log L=0,~~
    \frac{\partial}{\partial \mu_y} \log L=0,~~
    \frac{\partial}{\partial \sigma^2} \log L=0  \]
��򤯤��Ȥǰʲ��Τ褦�������롣
\[  \hat{\mu_x}=\bar{X},~~~~\hat{\mu_y}=\bar{Y}   \]
\[  \hat{\sigma}^2=\frac{1}{m+n} \left[\sum^m (X-\bar{X})^2
    +\sum^n (Y-\bar{Y})^2  \right]   \]
���ä�
\[  L(\hat{\Phi})=\left[ \frac{m+n}{2\pi \left[ \sum(X-\bar{X})^2
   + \sum(Y-\bar{Y})^2 \right]} \right]^{\frac{m+n}{2}} e^{-\frac{m+n}{2}}
\]
�Ǥ��롣���˲���$H_0:\mu_x=\mu_y=\mu$ �����ΤȤ���ʿ���͡�ʬ����
��������ͤ�(\ref{sa-yuido})���ˤ�����$\mu_x=\mu_y=\mu$ �Ȥ��� 
\[  \frac{\partial}{\partial \mu} \log L=0,~~
    \frac{\partial}{\partial \sigma^2} \log L=0  \]
��򤤤Ƽ��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{eqnarray}
 \hat{\mu}&=&\frac{1}{m+n}(\sum^m X + \sum^n Y)
             =\frac{m\bar{X}+n\bar{Y}}{m+n}  \nonumber  \\
 \hat{\sigma}^2&=&\frac{1}{m+n}\left[\sum^m (X-\hat{\mu})^2
       + \sum^n (Y-\hat{\mu})^2\right]  \nonumber  \\
               &=&\frac{1}{m+n}\left[\sum^m (X-\bar{X})^2
                  + \sum^n (Y-\bar{Y})^2 
       + \frac{mn}{m+n}(\bar{X}-\bar{Y})^2 \right] \nonumber  
\end{eqnarray}
�Ȥʤ롣���äơ�
\[  L(\hat{\phi})=\left[\frac{m+n}
   {2\pi \{\sum(X-\bar{X})^2+\sum(Y-\bar{Y})^2+\frac{mn}{m+n}
      (\bar{X}-\bar{Y})^2\}}\right]^{\frac{m+n}{2}} e^{-\frac{m+n}{2}}
\]
�Ǥ��롣��ä�������ϼ��η���Ϳ�����롣
\begin{equation}
  \lambda=\left[1+\frac{\frac{mn}{m+n}(\bar{X}-\bar{Y})^2}
      {\sum (X-\bar{X})^2 + \sum (Y-\bar{Y})^2}
       \right]^{-\frac{m+n}{2}}  \label{sa-1}
\end{equation}
���θ����$t$ ʬ�ۤ�Ȥä�ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣������ͳ�ϰʲ����̤�Ǥ��롣
�ޤ���ɸ��ʿ����
$\bar{X}��\bar{Y}$ �Ϥ��줾��ʿ����$\mu_x��\mu_y$��ʬ��$\sigma^2/m��
\sigma^2/n$ ������ʬ���ѿ���\footnote{p.\pageref{seiki-hyouhon-dis}��
������ʬ�ۤ��콸�ĤȤ���ɸ�ܽ��Ĥ������פΡ�����1�פ򻲾ȤΤ��ȡ�}��
�ߤ�����Ω�Ǥ��뤫�顢���κ�
$\bar{X}-\bar{Y}$ ��ʿ����$\mu_x-\mu_y$��ʬ��
$\sigma^2(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})$ ������ʬ�ۤ򤹤�\footnote{ʬ���ˤĤ�
�Ƥϡ�p.\pageref{nihensu-teiri3}�Ρ����ѿ�ʬ�ۤ�����3�פ򻲾ȤΤ��ȡ�}��
����$H_0$ �����ʤ��$\mu_x-\mu_y=0$ �Ǥ��뤫�顢$\bar{X}-\bar{Y}$ ��
�����ͤ�$0$ �Ǥ��롣����$\sum^m (X-\bar{X})^2/ \sigma^2$��
$\sum^n (Y-\bar{Y})^2/ \sigma^2$ �Ϥ��줾�켫ͳ��$m-1$��$n-1$ �Υ������
�ѿ��Ǥ��뤫��\footnote{p.\pageref{teiri-5.11}�Ρ��콸��ʬ�ۤ�����ʬ�ۤλ���
����ɸ��ʬ���ϥ������ʬ�ۤ򤹤뤳�ȡפ������򻲾ȤΤ��ȡ�
$\sum^m (X-\bar{X})^2/ \sigma^2$ ��������$ns^2/\sigma^2$ �ˤ����롣}�������¤�
��ͳ��$m+n-2$ �Υ�������ѿ��Ǥ��롣����˲���$H_0$ �����ΤȤ���
\[  Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sigma \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}  \]
��ʿ����$0$��ʬ��$1$ ������ʬ�ۤ򤹤뤫��\footnote{p.\pageref{hyoujunseikihensuu}��(\ref{hyoujunseikihensuu})���ǡ�$X$ ��$X-Y$��$\mu$ ��$\mu_x-\mu_y$��
$\sigma$ ��$\sigma \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}$ ���֤������ƹͤ���Ф褤��
}��
\begin{equation}
 t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sigma \sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}
   \left/ \sqrt{\frac{\sum (X-\bar{X})^2 + \sum (Y-\bar{Y})^2}
     {\sigma^2(m+n-2)}} \right.     \label{sa-2}
\end{equation}
�ϼ�ͳ��$m+n-2$ ��$t$ʬ���ѿ��Ǥ���\footnote{p.\pageref{t-shoumei}��
$t$ʬ�ۤˤĤ��ƤΡ������򻲾ȤΤ��ȡ�}��(\ref{sa-1})����(\ref{sa-2})���Ȥ���
\[  \lambda=\left[1+\frac{t^2}{m+n-2}\right]^{-\frac{m+n}{2}}  \]
�����롣��ä�$\lambda$ ������������$t$ ���Ѥ��Ʋ���θ����Ԥʤ�
���Ȥ��Ǥ��롣¨����Ω����$H_1:\mu_x \neq \mu_y$ ���Ф��ƴ��Ѱ��
\[ t<-t_{\frac{\alpha}{2}} ~~~~t>t_{\frac{\alpha}{2}}   \]
\[ \int_{t_{\frac{\alpha}{2}}}^\infty f(t ; m+n-2)dt=\frac{\alpha}{2}    \]
��Ϳ�����롣�ޤ��⤷��Ω���⤬�㤨��$H_1:\mu_x<\mu_y$ (��¦����)�ΤȤ���
\[ t<-t_\alpha  \]
\[ \int_{t_\alpha}^\infty f(t ; m+n-2) dt=\alpha \]
��Ϳ�����롣
\end{description}


%%% 2.2 ��ʿ�Ѥθ��� %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{��ʿ�Ѥθ���}
\subsection{�����콸�Ĥ���ʿ�Ѥθ���ΰ���Ū���}
�����콸��$N(\mu,\sigma^2)$ ����ʿ��$\mu$ ���ꤹ��Ȥ�����ʬ��
$\sigma^2$ �����Τ�̤�Τ���2�̤�˾��ʬ������뤬�����Ȥ��Ƥ�
���˼��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{enumerate}
 \item ����������$t$ ��׻����롣
 \item ͭ�տ��$\alpha$ ���Ф���$t$ �δ��Ѱ�θ³���$t_\alpha$ ����롣
 \item $t$ �� ���Ѱ�˴ޤޤ��ʤ�� ����$\mu=\mu_0$ �����
       �����Ǥʤ��Ȥ��ˤϲ������Ѥ��롣
\end{enumerate}
�����ǡ���Ω����$H_1$�μ�����ˤ�ꡢ���Ѱ�θ³���$t_\alpha$ ���Ѥ�äƤ��롣
¨����$H_1:\mu \neq \mu_0$({\bf ξ¦����})�ΤȤ��ˤϲ���$\mu=\mu_0$ �δ��Ѱ褬
$t=0$ ��ξ¦��
\[  t<-t_{\frac{\alpha}{2}}, ~~~~t>t_{\frac{\alpha}{2}}      \]
��Ϳ����졢$t_{\frac{\alpha}{2}}$ ���ͤ�
\[  \int_{t_{\frac{\alpha}{2}}}^\infty f(t;n-1)dt=\frac{\alpha}{2}         \]
����׻�����롣������$f(t;n-1)$ �ϼ�ͳ��$n-1$ ��$t$ʬ�ۤ򼨤���
������Ф�$H_1:\mu<\mu_0$ �⤷����$H_1:\mu>\mu_0$({\bf ��¦����})�ΤȤ�
�ˤϡ�����$\mu=\mu_0$ �δ��Ѱ褬$t=0$ ����¦��
\[  t<-t_\alpha �⤷���� t>t_\alpha      \]
�Ȥʤꡢ$t_\alpha$ ���ͤ�
\[  \int_{t_\alpha}^\infty f(t;n-1)dt=\alpha         \]
����׻�����롣

\subsection{��ʬ��$\sigma^2$ �����Τξ��} 
���ΤȤ��礭��$n$ ��ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �ˤ��
��ʿ��$\mu$ �θ���������$T(\bar{X})$ ��
\[  T(\bar{X})=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}   \]
�Ǥ��롣���ξ��θ��������̤�����ͤˤʤ���ͳ��
p.\pageref{yuidokentei-rei1}�������渡�����1�򻲾ȤΤ��ȡ�
$T(\bar{X})$ ��ʬ�ۤ�ɸ������ʬ��$N(0,1^2)$ �˽�����������
p.\pageref{seiki-hyouhon-dis}������1�򻲾ȤΤ��ȡ�

 \subsection{��ʬ��$\sigma^2$ ��̤�Τξ��}
���̡���ʬ��$\sigma^2$ ��ʬ����ʤ����Ȥ�¿�������ξ�硢��ʬ��
$\sigma^2$ ������ɸ��ʬ��$s^2$ ���Ѥ��Ƹ����Ԥ���
���ΤȤ��礭��$n$ ��ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �ˤ��
��ʿ��$\mu$ �θ���������$T(\bar{X},s^2)$ ��
\[  T(\bar{X},s^2)=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n-1}}},
    ~~������s^2=\frac{\sum(X-\bar{X})^2}{n}  \]
 �Ǥ��롣���ξ��θ��������̤�����ͤˤʤ���ͳ��
p.\pageref{yuidokentei-rei2}�������渡�����2�򻲾ȤΤ��ȡ�
$T(\bar{X},s^2)$ ��ʬ�ۤϼ�ͳ��$n-1$ ��$t$ʬ�ۤ˽�����
������\ref{t-hyouhon}��$t$ ʬ�ۤ���Ρ�ɸ��ʿ���ͤ�ʬ�ۡפ򻲾ȤΤ���
\footnote{�ƥ����Ȥˤ�äơ�ɸ��ʬ����$s^2=(\Sigma(X-\bar{X})^2)/n$ 
�Ȥ����Τ�$s^2=(\Sigma(X-\bar{X})^2)/(n-1)$ �Ȥ����ΤȤ����롣
ɸ�ܤο������ʤ����ϸ�Ԥ��������ޤ����褦�˻פ��롣
$s^2=(\Sigma(X-\bar{X})^2)/(n-1)$�Ȥ����Ȥ��ϡ����������̤�
$T(\bar{X},s^2)=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ �Ȥʤ롣}��

\subsection{������}
�����ΰ�ˤ������������ǡ����Τ����������ǯ���ʾ�Ǥ��뤳�Ȥ��ꤷ������
����Ū������ϰʲ����̤�Ǥ��롣������ն�Τ����ΰ�ˤ�����դ���������
ǯ����ư��ͤ��롣���Ѥ���ǡ�����1948ǯ����1999ǯ�ޤǤ�52ǯ�֡�
�ΰ�ʿ�Ѥ����������λ�����ǡ�������ȡ�1948��54��70��81��85��94ǯ��
�ä˶����褦�˸����롣������ǯ�����ʤ�ǯ����٤ư۾�Ǥ��뤳�Ȥ�
���ꤷ�������ʾ�θ���ϡ���ʬ����̤�Τξ�����ʿ�Ѥθ���פ�
�Ԥ��Ф褤���콸�Ĥϲ��ϴ���(52ǯ��)���������Ȥ�����\footnote{��������
������콸�ĤȤ���Τ�Ŭ������ʬ����ʤ���}���ξ�硢��ʿ��$\mu_0=26.95$ ��
���ϴ��֤�ʿ�Ѥ����������Ȥʤ롣ɸ�ܤϽ۴Ĥζ���ǯ($n=6$)���������Ǥ���Ȥ��롣
���ΤȤ�ɸ��ʿ�Ѥ�$\mu=29.14$ �ǡ�ɸ��ʬ����$s^2=0.3597$ �Ǥ��롣�ޤ���
�����$H_0:\mu=\mu_0$ �Ȥ��롣������Ф�����Ω�����$H_1:\mu<\mu_0$ ��
�ʤ�Τǡ���¦�����Ԥ��Ф褤��ͭ�տ���$0.05$ �Ȥ���Ȥ��� 
��ͳ��$5$ ��$t$ʬ�ۤˤ�������Ѱ�θ³��ͤϡ�
$t_5(0.025)=2.015$ �Ȥʤ롣�����Ǹ��������̤�׻������
$T(\bar{X},s^2)=8.151$ �Ȥʤ롣$T$ ���ͤϴ��Ѱ������Τǡ�
����$H_0$ �ϴ��Ѥ���롣�������ơ����ӽФ���6ǯ�֤��������ϡ����ʤ�ǯ����٤�
�۾��(ͭ�դ�)�������Ȥ�ʬ���ä���
%%%  2.5 ���θ���  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{2�Ĥ������콸�Ĥ���ʿ�Ѥκ��θ���}
2�Ĥ������콸�� $N(\mu_x,\sigma_x^2)$��$N(\mu_y,\sigma_y^2)$����ʿ�Ѥκ�
�����뤳�Ȥ򼨤����������Ѥ��롣���θ���ˤĤ��Ƥ�2�Ĥ���ʬ��
$\sigma_x^2$��$\sigma_y^2$ �����Τ�̤�Τ��ˤ�äơ�3�̤����ˡ���ͤ����롣

 \subsection{2�Ĥ���ʬ��$\sigma_x^2,\sigma_y^2$ �����Τξ��} \label{kichi}
���ΤȤ����礭��$m$ ��$n$ ����Ĥ�ɸ��  
$\{X_1,X_2,\cdots,X_m\}$��$\{Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\}$
 �ˤ����ʿ�Ѥκ�$\mu_x-\mu_y$ �θ���������$T(\bar{x_1},\bar{x_2})$ ��
\[ T(\bar{X},\bar{Y})=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}
    {\sqrt{\frac{\sigma_x^2}{m}+\frac{\sigma_y^2}{n}}}  \]
	    �ǡ�$T(\bar{X},\bar{Y})$ ��ʬ�ۤ�ɸ������ʬ��$N(0,1^2)$ 
	    �˽���\footnote{$T(\bar{X},\bar{Y})$ ���ͤ�
\[ T(\bar{X},\bar{Y})=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_x-\mu_y)}
    {\sqrt{\frac{\sigma_x^2}{m}+\frac{\sigma_y^2}{n}}}
\]
���⤷��ʤ���}��

������� \\
�����콸��$X$ �����ɸ�ܤ��礭����$m$ ������ɸ��ʿ���ͤ�
$\bar{X}$ ��$Y$ �����ɸ�ܤ��礭����$n$ ��ɸ��ʿ���ͤ�$\bar{Y}$ �Ȥ���
��ʬ���򤽤줾��$\sigma_x^2$��$\sigma_y^2$ �Ȥ��롣�콸��$X$ �����ɸ�ܤ�
$\{X_1,X_2,\cdots,X_m\}$ ���콸��$Y$ �����ɸ�ܤ�
$\{Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\}$ �Ȥ���С����ΤȤ�ɸ�ܤ����ٴؿ���
\begin{equation}
        L=\left(\frac{1}{2 \pi}\right)^{\frac{m+n}{2}}
       \left(\frac{1}{\sigma_x^2}\right)^{\frac{m}{2}}
       \left(\frac{1}{\sigma_y^2}\right)^{\frac{n}{2}}  
      e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\sum(X-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}
      +\frac{\sum(Y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)}  \label{sa-yuido2}  
\end{equation}

�Ǥ��롣�����p.\pageref{eq-yuido-seiki} ��(\ref{eq-yuido-seiki})������
$x$ �ˤĤ��Ƥμ���$y$ �ˤĤ��Ƥμ��򤫤���碌�뤳�Ȥ������롣
����ʿ����$\mu_x$��$\mu_y$ �����ʬ��$\sigma_1^2$��$\sigma_2^2$ ��
��������ͤ���롣�ޤ���p.\pageref{eq-yuido-seiki} ��
��Τ褦��$L$ �Υ�����Ȥ�ȡ�
\[  \log L=-\frac{m+n}{2}\log(2\pi)-\frac{m}{2}\log\sigma_x^2
            -\frac{n}{2}\log\sigma_y^2
            -\frac{1}{2}\left(\frac{\sum(X-\mu_x)^2}{\sigma_x^2}
                +\frac{\sum(Y-\mu_y)^2}{\sigma_y^2}\right)  \]
�Ȥʤ롣$\mu_x$��$\mu_y$��$\sigma_x^2$��$\sigma_y^2$�ˤĤ�����ʬ����ȡ�
\[  \hat{\mu_x}=\bar{X},~~\hat{\mu_y}=\bar{Y},~~
    \frac{\partial}{\partial \sigma^2} \log L=0  \]
��򤯤��Ȥǰʲ��Τ褦�������롣
\[  \hat{\mu_x}=\bar{X},~~~~\hat{\mu_y}=\bar{Y}   \]
\[  \hat{\sigma_x}^2=\frac{1}{m} \sum^m (X-\bar{X})^2,~~
    \hat{\sigma_y}^2=\frac{1}{n} \sum^n (Y-\bar{Y})^2    \]
���ä�
\[  L(\hat{\Phi})=\left(\frac{1}{2\pi}\right)^{\frac{m+n}{2}}
    \left(\frac{m}{\sum(X-\bar{X})^2}\right)^{\frac{m}{2}} 
     \left(\frac{n}{\sum(Y-\bar{Y})^2}\right)^{\frac{n}{2}}
     \cdot e^{-\frac{m+n}{2}}    \]
�Ǥ��롣���˲���$H_0:\mu_x=\mu_y=\mu$ �����ΤȤ���ʿ���͡�ʬ����
��������ͤ�(\ref{sa-yuido2})���ˤ�����$\mu_x=\mu_y=\mu$ �Ȥ��� 
\[  \frac{\partial}{\partial \mu} \log L=0,~~
    \frac{\partial}{\partial \sigma_x^2} \log L=0,~~
    \frac{\partial}{\partial \sigma_y^2} \log L=0    \]
��򤤤Ƽ��Τ褦�ˤʤ롣

\[ \hat{\mu}=\frac{m\bar{X}\sigma_y^2+n\bar{Y}\sigma_x^2}
           {m\sigma_y^2+n\sigma_x^2}.  \]
������$\hat{\sigma_x^2}$��$\hat{\sigma_y^2}$ �����ޤ�����줺���ޡ� 


 \subsection{2�Ĥ���ʬ��$\sigma_x^2,\sigma_y^2$ ��̤�Τ�����
       $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ �Ȳ���Ǥ�����}
���ΤȤ����礭��$m$ ��$n$ ����Ĥ�ɸ��  \\
$\{X_1,X_2,\cdots,X_m\},\{Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\}$
�ˤ����ʿ�Ѥκ�$\mu_1-\mu_2$ �θ���������
\[ T(\bar{X},\bar{Y})
   =\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})
     \cdot \frac{\sum(X-\bar{X})^2+\sum(Y-\bar{Y})^2}{m+n-2}}}
 \]
�ǡ�$T(\bar{X},\bar{Y})$ ��ʬ�ۤϼ�ͳ��$m+n-2$ ��
$t$ʬ�ۤ˽�����  

���������̤��嵭�Τ褦�ˤʤ뤳�Ȥ�p.\pageref{yuidokentei-rei3}��
�����渡�����3�򻲾ȤΤ��ȡ�


\subsubsection{������}
���θ��꤬���ƤϤޤ�Τϡ��㤨�С��������ʤ��ʼ���ͥ�������������
ȴ��ɸ�ܤθ������Ӥˤ�ä�Ƚ�ꤹ���硢���뤤��
���������νŤ�����10ǯ���Ȥ��Ѳ����Ƥ��뤫Ƚ�ꤹ����ʤɤǤ��롣

%\newcommand{\APPROX}{\mathrel{\mathpalette\ap@align{\smash.}}}
%\newcommand{\ap@align}[2]{\lower.2ex\vbox{\baselineskip\z@skip\lineskip\z@
%   \def\finsm@sh{\ht\z@.2ex \dp\z@.2ex \box\z@}%
%   \ialign{$\m@th#1\hfil##\hfil$\crcr#2\crcr=\crcr#2\crcr}}}

 \begin{description}
   \item{��~~���������νŤ��Ѳ�}
     1978ǯ��1988ǯ�ο��������νŤΥǡ������ʲ���ɽ�Τ褦��Ϳ����줿��
     10ǯ�֤ǿ��������νŤ��Ѳ������뤫���ꤷ��������Ĥ��콸�Ĥ�
     ʿ�Ѥ�$\mu_x$��$\mu_y$ �Ȥ��롣�����$H_0:\mu_x=\mu_y$
     �Ȥ��롣��Ω����ϡ����������νŤ�ǯ���������Ƥ��Ƥ���Ȥ���
     �����ꡢ$\mu_x > \mu_y$ �Ȥ��롣
 \begin{center}
  \begin{tabular}{|l|cccccccccr|}   \hline
   \multicolumn{11}{|c|}{\textbf{���������ν�(g)}}  \\ \hline
    \multicolumn{1}{|l|}{1978ǯ} & 3840 & 3540 & 3920 & 2920 & 3820 & 3910 
             & 3300 & 2770 & 3000 & 3900  \\ \hline
    \multicolumn{1}{|l|}{1988ǯ} & 3470 & 2550 & 2920 & 2530 & 3280 & 2840 
             & 2520 & 3350 & 3610 & 3430  \\ \hline
  \end{tabular}
 \end{center}
    �ǡ�����ꡢɸ��ʿ�Ѥ�$\bar{X}=3492$ g��$\bar{Y}=3050$ g�Ǥ��롣
  ���ΤȤ����������̤�

 \begin{eqnarray}
   T(\bar{X},\bar{Y})
   &=&\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{(\frac{1}{m}+\frac{1}{n})
     \cdot \frac{\sum(X-\bar{X})^2+\sum(Y-\bar{Y})^2}{m+n-2}}} \nonumber \\
   &=&\frac{3492-3050}{\sqrt{(\frac{1}{10}+\frac{1}{10})
     \cdot
  \frac{1882760+1639600}{10+10-2}}}=\frac{442}{\sqrt{\frac{3522360}{5\times 18}}}=\frac{442}{197.8} \approx 2.235 \nonumber 
 \end{eqnarray}
�Ȥʤ롣�����ǡ���ͳ��$18$��$t$ʬ�ۤˤ�����ͭ�տ��$0.05$�δ��Ѱ��
$t_{18}(0.05)=1.734$ �ʾ�Ǥ��롣����������$T(\bar{X},\bar{Y})$ �ϴ��Ѱ��
�ޤޤ��Τǡ�ͭ�տ��$0.05$�ǲ���ϴ��Ѥ���롣���äơ�10ǯ�֤ǿ�������
�νŤϸ������Ƥ���ȹͤ��Ƥ褵�����Ǥ��롣
       
 \end{description}

%\vspace{5mm}
�䤬�����ǤϤ���˹Ԥä��ΤϤ�����θ��ꡣ�ޤ�����Ĥν��Ĥ�
�ֽ۴Ĥζ���ǯ(6ǯʬ)�פȡ��ֲ��ϴ�������(52ǯʬ)�פȤ���\footnote{���
��Ȥ�����ֽ۴Ĥζ���ǯ�פȡֽ۴Ĥζ���ǯ�������(52-6)ǯ�פȤ��٤�����
����ʤ���}������2�Ĥ�
���Ĥ�ʿ��$x_1,x_2$�ˤˤĤ��Ƥβ���$x_1=x_2$ �����Ѥ����С������ʥ��
ͭ�դȸ�����������ȹͤ�����
������$\sigma_x^2=\sigma_y^2$ �ϥ���դ�������餫������Ω���ʤ��Τǡ�
��Ŭ�ڤǤ���Ȥ������Ȥˤʤꡢ����ʬ����̤�Τξ�����ʿ�Ѥθ���פ�
���ľ���������Υ�������θ�����Ѥ��������ʤ��Τ����Τ�ʤ���
�����Ȥ��ơ��ɤθ����ɤΤ褦���Ѥ���Ф褤�Τ����ޤ��褯ʬ����ʤ���

\subsection{��ʬ��$\sigma_x^2,\sigma_y^2$ ������̤�Τξ��}
���ΤȤ����礭��$m$ ��$n$ ����Ĥ�ɸ��  \\
$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\},\{Y_1,Y_2,\cdots,Y_n\}$
�ˤ����ʿ�Ѥκ�$\mu_1-\mu_2$ �θ���������
$T(\bar{X},\bar{Y},s_1^2,s_2^2)$ �ϡ�
\[  T(\bar{X},\bar{Y},s_x^2,s_y^2)=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}
    {\sqrt{\frac{s_1^2}{m}+\frac{s_2^2}{n}}}   \]
������
\[  s_1^2=\frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{m-1},~~
    s_2^2=\frac{\sum(Y_i-\bar{Y})^2}{n-1}      \]
�ǡ�$T(\bar{X},\bar{Y},s_1^2,s_2^2)$ ��ʬ�ۤϼ�ͳ��$k$ ��$t$ ʬ�ۤ�
���������μ�ͳ��$k$ ��
\[ k=\frac{(\frac{s_1^2}{m}+\frac{s_2^2}{n})^2}
  {\frac{s_1^4}{m^2(m-1)}+\frac{s_2^4}{n^2(n-1)}}  \]
�Ƕ�����롣$k$ �������ͤǤʤ��Ȥ��ϡ����κǤ�ᤤ�����ͤ�$k$ 
������\footnote{�����Ͼ�ά��}��
����򥦥�����θ���Ȥ�����

%%%  2.6 ̵��ؤθ���  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{̵��ؤθ���}
�礭��$n$ ��ɸ�ܤ���ط�����$r$ �ΤȤ���̵��ظ���θ���������$T(r,0)$��
\[   T(r,0)=\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}       \]
�ǡ�����ʬ�ۤϼ�ͳ��$n-2$ ��$t$ ʬ�ۤ˽�����\footnote{�����Ͼ�ά��}
���ΤȤ����⤪�����Ω����ϼ��Τ褦�ˤʤ롣
\begin{eqnarray} 
        H_0&��&̵��ؤǤ���,  \nonumber  \\
        H_1&��&��ؤ�����.  \nonumber
\end{eqnarray}
���ΤȤ�$T(r,0) \in R$ �ʤ��\footnote{$R$ �ϴ��Ѱ�Ǥ��롣}��
ͭ�տ��$\alpha$ �ǲ���$H_0$ ����Ѥ��롣
���դ��٤��ϡ����θ����ξ¦����Ǥ��뤳�ȤǤ��롣
$\pm t_{n-2}(\frac{\alpha}{2})$ ���ͤ򳰤��ȴ��Ѱ�ˤʤ롣






























































