%ɽ��   ����˴ؤ���Ρ���
%
%����   2001/03/21 Kuniko Egawa
%
% ------- �ɥ�����ȥ������� ---------

%\documentclass[12pt,a4j,dennou]{jreport}
\documentclass[12pt,a4j]{jreport}
\setlength{\parindent}{0pt}
  
% -------- �إå����եå������� --------

\Dauthor[���� ����]{}           % �Ρ��Ⱥ�����(�Ρ��Ȥα�����ɽ�������)

\textheight=23.5cm
\pagestyle{DAheadings}
%\pagestyle{myheadings}
% \newcommand{\Entry}[1]{%
%  \section*{#1}
%  \markboth{#1}{#1}%
  
% ------------- ʸ������ --------------

\begin{document}
 
\clearpage

\pagenumbering{roman}
\setcounter{page}{1}

\Ztitle{����˴ؤ���Ρ���}   % �Ρ��ȥ����ȥ�(�Ρ��Ȥκ����ɽ�������)
\tableofcontents              % �ܼ���ɽ��

\clearpage
\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{1}

\chapter{���������Ȥʤ����}    % �� 

%\section{����˴ؤ����Ѹ졢��ǰ}  % ��
\section{��Ψ}
\Entry{��Ψ}
\subsection{���ݤȳ�Ψ}
\subsubsection{��ԤȻ���}
1�ĤΥ����������ꤲ��Ȥ����㤨�С�1���ܤ��Ф뤫�Фʤ��������뤤��
������ܤ��Ǥ뤫�������ܤ��Ф뤫���ʤɤ϶����˻��ۤ��졢����򤢤餫����
�Τ뤳�ȤϤǤ��ʤ�����������1���ܤ��Ф뤳�Ȥ��ϡ�������ܤ��Ǥ뤳�Ȥ�
���������ԤǤ��롣
������Τ褦�ˡ�Ʊ�����֤Τ�Ȥ˷����֤��Ԥ����Ȥ��Ǥ��ơ����η�̤�
�����˻��ۤ����¸���ѻ��򡢰��̤�{\bf ���}�Ȥ�����
�ޤ�����Ԥη�̤Ȥ��Ƶ����������{\bf ����}�Ȥ�����A��B��C�ʤɤ�
ʸ�����Ѥ���ɽ����
1�Ĥλ�Ԥˤ����ơ��������A�ε����뤳�Ȥ����Ԥ������򡢻���A��
������{\bf ��Ψ}�Ȥ�����

\vspace{5mm}
1�ĤΥ����������ꤲ���Ԥˤ����Ƥ�  \\
A~~1���ܤ��Ф롢~~~~B~~������ܤ��Ф롢~~~~C~~5���ܤ��Фʤ�  \\
�ʤɤλ��ݤ��ͤ����롣���Τ���������B�� \\
1���ܤ��Ф롢~~~~3���ܤ��Ф롢~~~~5���ܤ��Ф�  \\
�Ȥ���3�Ĥλ��ݤ�ʬ��Ǥ��뤬��������Ф��ƻ���A�ϡ��ɤ��ܤ��Ǥ뤫�Ȥ���
���Ȥ����ܤ���¤ꡢ����ʾ�٤������ݤ�ʬ�򤹤뤳�ȤϤǤ��ʤ���
���Τ褦�ˡ�����ʾ�٤���ʬ�򤷤ƹͤ����ʤ����ݤ򡢰��̤�{\bf ������
��}�Ȥ�����

\vspace{5mm}
1�ĤΥ����������ꤲ���Ԥˤ����ơ��Ф��ܤˤĤ��ƹͤ���ȡ�����������
�������Τ򼡤ν����ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣
\[  {\bf U}=\{1,2,3,4,5,6\}   \]
���ΤȤ�����Ǥ���������A��B��C�ϡ����줾��
\[ {\bf A}=\{1\},~~~~{\bf B}=\{1,3,5\},~~~~{\bf C}=\{1,2,3,4,6\}       \]
�Τ褦�ˡ�����{\bf U} ����ʬ�����ɽ����롣
�ޤ��������ݤϡ�����$\{1\}$��$\{2\}$ �ʤɤΤ褦�ˡ�1�Ĥ����Ǥ�������
�ʤ���ʬ�����ɽ����롣

\vspace{5mm}
���̤ˡ������Ԥˤ����ơ����������������Τν����{\bf ɸ�ܶ���}
\footnote{���3�ġ�����2�Ĥ����äƤ����ޤ��顢�̤�1�Ĥ��ļ��Ф�
��Ԥˤ����Ƥϡ�3�Ĥ���̤�$a_1,a_2,a_3$ ��ɽ����2�Ĥι��̤�$b_1,b_2$
��ɽ���Ȥ������λ�Ԥ�ɸ�ܶ��֤ϡ�����$\{a_1,a_2,a_3,b_1,b_2\}$ ��
ɽ����롣}�Ȥ�����
ɸ�ܶ��֤�{\bf U} �Ȥ���ȡ����λ�Ԥˤ�������ݤϡ�������⡢{\bf U} ��
��ʬ�����ɽ�����Ȥ��Ǥ��롣�ޤ������̤ˡ�ɸ�ܶ���{\bf U} ���Τ�ɽ�����
���ݤ�{\bf ������}�Ȥ�����������$\phi$ ��ɽ�������ݤ�{\bf ������}��
�����������ݤ�ɬ����������ݤǤ��ꡢ������Ϸ褷�Ƶ�����ʤ����ݤǤ��롣

\subsubsection{��Ψ�Ȥ��δ�������}
���̤ˡ���Ԥˤ����ơ������Ĥ��λ��ݤΤɤ줬�����뤳�Ȥ�Ʊ�����٤�
���ԤǤ���Ȥ��������λ��ݤ�{\bf Ʊ�ͤ˳Τ��餷��}�Ȥ�����


\section{��Ψ�ѿ�}
%\subsection{��Ψ�ѿ���ʬ�۴ؿ�����Ψ̩�ٴؿ�}

{\bf ɸ�ܶ���}�Ȥϡ��¸��ޤ��ϴѻ��Τ������ǽ�ʷ�̡��Ĥޤ�ɸ������
����Ǥ��롣
���ΤȤ�ɸ���������ʤ���ġ��η�̤ϼ�η��Ǵѻ�����롣
�㤨�Х����������ꤲ��ȡ���̤�6�Ĥ��̤Τɤ줫�Ǥ��롣
�¸���ѻ��η�̡�¨��ɸ�ܶ��֤�������ɸ�������б�����������
�¿��ͤ�{\bf ��Ψ�ѿ�}�Ȥ���������Ū���������С�$S$ ���Ψ�ؿ��������
�줿ɸ�ܶ��֤Ȥ���$X$ ��$S$ �ξ��������줿���ѿ��ؿ��Ȥ��롣���ΤȤ�
$X$ ��{\bf ��Ψ�ѿ�}�Ȥ�����������������餫�ʤ褦�ˡ���Ψ�ѿ���
ɸ����$s(s \in S)$ �δؿ��Ǥ��롣��ä�����$X(s)$ �Τ褦�˴ؿ������
ɽ�������٤���ΤǤ��뤬���������ñ��$X$ ������ɽ����롣������
ɸ�ܶ��֤�����졢���ξ����������ȡ���Ψ�ѿ��ϰ�����Ѱ����Ǥ�դ� 
�ͤ�Ȥ����̤��ѿ���Ʊ�ͤ˼�갷���롣��������Ψ�ѿ�$X$ ���Ѱ���Τ���
�ͤ�Ȥ뤳�Ȥ��Ф��Ƥϰ���γ�Ψ���б����뤫�顢��Ψ�ѿ������̤��ѿ���
��٤��Ѳ��������ꤵ��Ƥ��뤳�Ȥˤʤ롣\\
\vspace{5mm}
�ѿ�\footnote{�ѿ���������ɽ����ʸ��������Ĥ������ͻ����Ƥ���֡�
����ͤ�������Ȥߤʤ�����������ѿ��Ȥ������ޤ������ʳ��λ���ˤ�
��ĥ�����Ѥ��롣$\leftrightarrow$ ���}$X$ �ΤȤ�������
$x_1,x_2,\cdots,x_n$ �ڤ�$X$ ���������ͤ�Ȥ��Ψ
$p_1,p_2,\cdots,p_n$ ����ޤäƤ���Ȥ����ѿ�$X$ ��{\bf ��Ψ�ѿ�}�Ȥ����� 
$x_1,x_2,\cdots,x_n$ ��$p_1,p_2,\cdots,p_n$ ���б��ط����Ψ�ѿ�$X$ ��
{\bf ��Ψʬ��}�Ȥ����������ǡ�$p_1+p_2+\cdots+p_n=1.$


\subsection{��Ψ�ѿ�����Ψʬ��}
��Ψ�ѿ�$X$ �϶������˻��ۤ���Ƥ��������ʼ¿��ͤ�Ȥ��ѿ��Ȥ⤤���뤬��
����Ū�ˤ����̡����Τ褦���������Ƥ��롣\\
�ޤ���Ψ���֤�$(\Omega,\mathcal{U},P)$ �Ȥ�����$\Omega$ �ξ��������줿
�¿��ʹؿ� $X(\omega),(\omega \in \Omega)$ �����ξ�� \\
  Ǥ�դμ¿�$x$ ���Ф���$X(\omega) \leq x$ ��������$\omega$ �ν��礬
���$\sigma-$ ������ $\mathcal{U}$ ��°���롣���ʤ��\\
\[~~~~\{\omega; X(\omega) \leq x\} \in \mathcal{U}  \]
���������Ȥ�������$X(\omega)$ ��{\bf ��Ψ�ѿ�}�Ȥ������ä����̤��ѿ�
$x$ �ȶ��̤�����ʸ��$X$ ��Ȥ����Ȥ�¿����\\
����~~$\{\omega; X(\omega)\leq x\}$ ��$\mathcal{U}$ ��°���Ƥ��뤫�顢
������Ф����Ψ��Ϳ�����롣�����
\[ P(X\leq x)=P\{\omega; X(\omega) \leq x\} = F(x)   \]
�Ƚ񤭡�������Ψ�ѿ�$X$ ��{\bf ʬ�۴ؿ�}�Ȥ����� \\
\vspace{5mm}
��Ψ�ѿ�$X$ ���Ȥ��ͤ���ۤ���������Ϥ����Ψˡ§�ˤ�구�ꤵ��롣
���γ�Ψˡ§��{\bf ��Ψʬ��}�Ȥ������Ȥˤ��롣���γ�Ψʬ�ۤϾ��ʬ�۴ؿ�
��ɽ����Ƥ��뤳�Ȥˤʤ롣���ʤ��ʬ�۴ؿ�$F(x)$ ��Ϳ�����Ƥ���С�
��Ψ�ѿ� $X$ ���㤨�ж��$(a,b]$($a<x\leq b$ ��������$x$ �ν���) ���
�ɤ줫��$x$ ��Ȥ��Ψ����ʬ�۴ؿ��Ǽ��Τ褦��ɽ����롣
\[ P(a<X\leq b)=F(b)-F(a).   \]
ʬ�۴ؿ�$F(x)$ �ˤϼ������������롣  \\
$1^\circ$~~~~$F(x)$ ���󸺾��ؿ��Ǥ��롣\\
$2^\circ$~~~~$\lim_{x\to -\infty} F(x) = F(-\infty)= 0,~~~
                   \lim_{x\to \infty} F(x) = F(+\infty)= 1.$  \\  
$3^\circ$~~~~��Ϣ³�Ǥ��롣 \\
\vspace{5mm}
��Ψ�ѿ�$X$ �γ�Ψʬ�ۤϾ�Τ褦��ʬ�۴ؿ�$F(x)$ �ǰ��̤ˤ�ɽ����뤬��
���γ�Ψ�ѿ�$X$ �ΤȤ������ͤ�Υ��Ū(¿���Ȥ������̵�¸ĤΤȤ�)����
�����Ǥʤ����ˤ����̤���ɽ�����Ȥ�¿����\\
{\bf (a)~~~~Υ������Ψʬ��}  \\
 $P(X=x_i)=p_i,(i=1,2,\cdots),$ \\
������
\[ p_i\geq 0,\sum_{i=1}^{\infty} p_i = 1. \]
���ΤȤ� \\
 $P(a \leq X \leq b)=\sum_{\{i;(a \leq X \leq b)\}} p_i,$
     ($\sum$ ��$a \leq X \leq b$ ��������$i$ �ˤĤ��ƤΤߤ�$p_i$ ���¤�
        ɽ��). \\
{\bf (b)~~~~Ϣ³����Ψʬ��}  \\
Ǥ�դ�$a,b(a<b)$ ���Ф� \\
 \[P(a\leq X\leq b)=\int_a^b f(x)dx,
    (f(x)\geq 0,\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1)  \]
�Ǥ���$f(x)$ ��¸�ߤ���Ȥ������γ�Ψʬ�ۤ�{\bf Ϣ³����Ψʬ��}�Ȥ�����
�ޤ�����$f(x)$ ��{\bf ��Ψ̩�ٴؿ�}�Ȥ���\footnote{Ϣ³����Ψʬ�ۤ���
��Ψ�ѿ�$X$ �ˤĤ��Ƥϡ�$X$ ������1�Ĥ��ͤ�Ȥ��Ψ��0 �ȵ��ꤹ�롣
���ʤ��Ǥ�դμ¿����Ф�$P(X=a)=0.$���Τ��Ȥ���$P(a\leq X\leq b)$���ͤ�
����Ϥ����Ƥ��Ψ���ͤ��Ѥ��ʤ�}��  \\
\vspace{5mm}
{\bf ��Ψ̩�ٴؿ�}�Ȥ�

  ��Ψ�ѿ� $X$ �� {\bf Ϣ³�ѿ�}�ξ�硢��Ψ̩�ٴؿ��ϼ�����������ġ� \\

 (1) $f(x)\geq 0$ ~~~ʬ�۴ؿ� $F(x)$ ���󸺾��Ǥ��뤳�Ȥ������η�̡�\\
 (2) $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=1$ ~~~$F(\infty)=1$ ��Ʊ�͡�


%\subsection{�����١�������}

\subsection{��Ψ��ʿ�Ѥ����ʬ��}
  �����Ǥϳ�Ψ�ѿ�$X$ ��Ϣ³�ѿ��Ǥ�����ˤĤ��ƽ񤯤���Υ���ѿ���
  ����Ʊ�ͤǤ��롣 \\
  $X$ ����Ψ�ѿ���\footnote{$X$ ��Υ���ѿ��ξ���\begin{equation}
  E\left[(X-a)^k\right]=\sum_i (x_i-a)^k f(x_i) / \sum_i f(x_i).
  \label{risan-sekiritu}\end{equation}}��
  $f(x)$ ������̩�ٴؿ��ΤȤ���
  Ǥ�դμ¿���$a$ �����Ȥ���($k$ ����){\bf ��Ψ}�򼡤μ���������롣
  \[ E\left[(X-a)^k\right]=\int (x-a)^k f(x) dx/ \int f(x) dx  \]
 �����ǡ�$a=0$ �Ȥ��������������Ф���$X$ �� $k$ ����Ψ�����뤤��
 {\bf ������Ψ}�Ȥ���������򵭹�$\mu_k'$ �Ǽ������ޤ���$a=\mu$ �Ȥ����ȡ�
  ʿ�Ѥ��Ф�����Ψ $\mu_k$ ��������졢�����{\bf �濴��Ψ}�Ȥ����� 
\vspace{5mm}

  �켡�θ�����Ψ������ͤ⤷����{\bf ʿ����}�Ȥ��������ʤ����
   \begin{equation}
     \mu_1'=E\left[(X^1)\right]=\int_{-\infty}^{\infty} 
              x f(x)dx/\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx.  \label{eq:e(x)}
   \end{equation}

  $E(X)$ ��ȯ������Ȥ���
  �����ͤ�¸�ߤ��ʤ�\footnote{�Ȥ����餷�����⤷���ϡֹͤ��ʤ��פΤ���
  �פ���}���ʲ���ʿ����$\mu_1'$ �򵭹� $\mu$ �Ǽ������Ȥˤ��롣
  ʿ����$\mu$ ��ʬ�ۤ��濴(���ΤˤϽſ�)�򼨤���
\vspace{5mm}

  �󼡤��濴��Ψ��{\bf ʬ�ۤ�ʬ��}(���뤤��ñ��{\bf ʬ��})�Ȥ�����
 ����$\sigma^2$ �ޤ���$\sigma^2(X)$��$\sigma_X^2,$ ���뤤��
 $var(X)$ �Ǽ��������ʤ��\footnote{Υ���ѿ��ξ���
    $\sigma^2=\sum_i \left(x_i-\mu\right)^2 f(x_i)/\sum_i f(x_i)$}
  \begin{eqnarray}
     \sigma^2&=&\mu_2=E\left[(X-\mu)^2\right]   \nonumber \\
             &=&\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx
                   /\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx.  \label{eq:var(x)} 
 \end{eqnarray}
 ʬ��������ʿ������{\bf ɸ���к�}�Ȥ���������$\sigma$ �Ǽ��������ʤ��
 \[ +\sqrt{\sigma^2}=\sigma=+\sqrt{\mu_2}.\]

 ʬ��$\sigma^2=\mu_2$ ��ʬ�ۤ�{\bf �Ф�Ĥ�}���羮�򼨤���
 �������ѿ�$X$ ��Ʊ�����̤ǤФ�Ĥ���
 �羮�򼨤�����ˤ�ʬ����ʿ�����Ǥ���ɸ���к�$\sigma$ �������Ǥ��롣

\vspace{7mm}
 
 Ǥ�դ�$a$ �����Ȥ�������Ψ���󼡤��濴��Ψ�Ȥδ֤ˤϼ��δط�������
 Ω��\footnote{3���ܤ���4���ܤǡ�̩�ٴؿ����������$\int f(x)dx=1$�Ǥ��롣}��
 \begin{eqnarray}
 E\left[(X-a)^2\right]&=&E\left[\{(X-\mu)+(\mu-a)\}^2\right] \nonumber \\
                      &=&E\left[(X-\mu)^2+2(X-\mu)(\mu-a)
                                       +(\mu-a)^2 \right] \nonumber  \\
                      &=&\int\{(x-\mu)^2+2(x-\mu)(\mu-a)+(\mu-a)^2\}f(x) dx
                                 / \int f(x)dx   \nonumber \\
                      &=&\int(x-\mu)^2f(x) dx+2(\mu-a)\int (x-\mu)f(x)dx
                                            +(\mu-a)^2  \nonumber  \\
                      &=&E\left[(X-\mu)^2\right]+2(\mu-a)E(X-\mu)
                                         +(\mu-a)^2 \nonumber \\
                      &=&\mu_2+(\mu-a)^2  \label{eq:nijinosekiritu}
 \end{eqnarray}
   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(�ʤ���
   ��� ~~~~~$E(X-\mu)=0$ )
 \footnote{   \begin{eqnarray}
              E(X-\mu)&=&\int (x-\mu)f(x) dx/\int f(x) dx \nonumber \\
                      &=&(\int xf(x) dx-\mu \int f(x) dx)/ \int f(x)dx 
                               \nonumber  \\
                      &=&(\mu-\mu\cdot 1)/1=0 \nonumber
              \end{eqnarray}  }

  $(\mu-a)^2\geq0$ �Ǥ��뤫�鼡�δط�������Ω�ġ�
 \[ E(X-a)^2\geq\mu_2   \]
 �Τ�����Ψ����ǺǤ⾮������Τ�ʬ���Ǥ��롣
\vspace{5mm}
 
�����ѿ�$X$ �ΰ켡�Ѵ�$Y=aX+b$($a$ ���������ѹ���$b$ �Ϻ�ɸ�������ѹ���
 ����)��ͤ��롣$E(Y)=aE(X)+b$ �Ǥ��뤫��\footnote{\begin{eqnarray}
                 \sigma^2(Y)&=&\int\{y-E(Y)\}^2f(x)dx
                                =\int\{ax+b-E(aX+b)\}^2f(x)dx \nonumber \\
                            &=&\int\{ax+b-aE(X)-b\}^2f(x)dx
                                =a^2\int\{x-E(X)\}^2f(x)dx
                                =a^2\sigma^2(X) \nonumber 
                \end{eqnarray} }��
 \begin{eqnarray}
     \sigma^2(Y)&=&E\left[Y-E(Y)\right]^2  \nonumber \\
                &=&E\left[(aX+b)-\{aE(X)+b\}\right]^2 \nonumber \\
                &=&E\left[a\{X-E(X)\}\right]^2=a^2E[X-E(X)]^2 \nonumber \\
                &=&a^2\sigma^2(X) \label{eq:hensuuhenkan} 
 \end{eqnarray}
�Τ��������ѹ���ʬ�����礭���˴ط����뤬����ɸ�θ������ѹ���ʬ����̵�ط�
�Ǥ���\footnote{�㤨��$y=100x$�ΤȤ�$\int f(y)dy=1$ ������Ω���ʤ���¨��
�Ѵ���ϳ�Ψ̩�ٴؿ��Ȥϸ����ʤ���$\int f'(y)/ dy/100$ ��ͤ��롣}��

\vspace{5mm}

ʬ��(�󼡤���Ψ)�ˤĤ����Τ���������ޤȤ�롣\\
$1^{\circ}$ ~~~~$c$ ������Ȥ����
    \begin{equation} 
        \sigma^2(c)=0.\footnote{\[ \sigma^2[g(x)]=\int_{-\infty}^{\infty} 
              \{g(x)-E[g(x)]\}^2 f(x) dx\]
�Ǥ��뤫�顢\\
   \[ \sigma^2(c)=\int_{-\infty}^{\infty} \{c-c\}^2 f(x) dx = 0.\]} 
    \end{equation} 
$2^{\circ}$ ~~~~
  \begin{equation}
      \sigma^2(X+c)=\sigma^2(X).\footnote{$X+c$��ʿ�Ѥ�$\mu+c$ �Ǥ��뤫�顢
      \[ \sigma^2(X+c)=\int_\infty^\infty \{(x+c)-(\mu+c)\}^2 f(x)dx 
         = \sigma^2(X). \]}
    \end{equation}   \\
$3^{\circ}$ ~~~~
   \begin{equation}
     \sigma^2(cX)=c^2\sigma^2(X). 
   \end{equation}  \\
$2^{\circ}$ ��$3^{\circ}$ ��\ref{eq:hensuuhenkan}��ľ�ܤη�̤Ǥ��롣\\
$4^{\circ}$ �󼡤θ�����Ψ���濴��Ψ�Ȥδ֤ˤϼ��δط�������Ω��
\footnote{Ʊ�ͤ˻������濴��Ψ�⼡�Τ褦�˸�����Ψ�ι�Ǽ������Ȥ��Ǥ��롣
\begin{equation}
 \mu_3=\mu_3'-3\mu\mu_2'+2\mu^3
\end{equation}
���̤˼���������Ω�ġ�
\begin{equation}
  \mu_k=\mu_k'-\pmatrix{ k \cr 1 \cr}\mu'_{k-1}\mu+\cdots+(-1)^i
        \pmatrix{ k \cr i \cr}\mu'_{k-i}\mu^i+\cdots+(-1)^{k-1}(k-1)\mu^k
\end{equation}
��������$\pmatrix{ k \cr i \cr}=~_kC_i
    =\frac{k\cdot(k-1)\cdot\cdots\cdot(k-i+1)}{i !}.$
�����δط�����Ȥä��濴��Ψ������Ψ����׻����뤳�Ȥ��Ǥ��롣
�դ˸�����Ψ���濴��Ψ����׻����뼰���뤳�Ȥ�Ǥ��롣}
\footnote{(\ref{eq:nijinosekiritu})����$a=0$ �Ȥ����ȡ�
   $\mu_2'=\mu_2+\mu^2=\sigma^2+\mu^2.$}��\\
   \begin{equation}
     \sigma^2(X)=\sigma_X^2=\mu_2=\mu_2'-\mu^2 
   \end{equation}  \\

�ʾ�Ǥ��濴��Ψ�����ʤ��ʿ���ͤ��Ф�����Ψ$E(X-\mu)^k$ �䡢Ǥ�դθ���
$a$ ���Ф�����Ψ$E(X-a)^k$ ��ͤ�������äȰ���Ū�ˤϡ�
$X$ ��Ǥ�դδؿ�$g(X)$ �ˤĤ��Ƥ���Ψ�򼡤Τ褦������Ǥ��롣
��Ψ�ѿ�$X$ ��Ǥ�դδؿ���$g(X)$ �Ȥ���Ȥ���$g(X)$ ��$k$ ������Ψ��
\footnote{Υ���ؿ��ξ���$\sum_i [\{g(x_i)\}^k] f(x_i).$}
\begin{equation}
 E[\{g(X)\}^k]=\int_{-\infty}^{\infty} [g(x)]^k f(x) dx ~~~~~~(Ϣ³�ؿ�). 
\end{equation}

�ʤ����ͤޤǤˡ�3�����濴��Ψ$\mu_3$ ��ʬ�ۤΤ椬�ߤ��羮�򼨤���4����
 �濴��Ψ$\mu_4$ ��Ʊ�������������羮�򼨤����Ȥ�ä��Ƥ�����

\subsection{��Ψ��ؿ�}
 ��Ψ�ѿ�����Ψ�����פ���������Ӽºݤǽ��פ������äƤ��롣�����
 �褦����Ψ�ϳ�Ψ�ѿ���ʬ�ۤμ�����������뤳�Ȥ��Ǥ������̤ξ��
 ���٤Ƥ���Ψ��Ϳ������Ф���ǳ�Ψʬ�ۤη������ꤹ��
 \footnote{����ιͤ����Ȼ��Ƥ���Τ����������ºݤ˥���դ������뤫��
 �褯ʬ����ʤ���}�����äƤ��٤Ƥ�
 ��Ψ�����Ū����ɽ����褦�ʴؿ��򸫽Ф����Ȥ��Ǥ�������ѹ��Թ�Ǥ��롣
 ���ΰ�Ĥ�{\bf ��Ψ��ؿ�}�Ǥ��롣��Ψʬ�ۤη��ˤ�äƤϡ���Ψ�������
 �˴�Ť�����Ψ��׻�����Ȥ��ˡ����̤ι��פ򤷤ʤ���Фʤ�ʤ����䡢
 �׻������ݤʾ�礬���뤬����Ψ��ؿ���Ȥ�����Ψ��������ˡ�Ǥ����Ƥ�
 ��ñ�˷׻����뤳�Ȥ��Ǥ��롣

 $X$ ���Ψ�ѿ���$t$ ����ѿ��Ȥ���Ȥ�����������������ؿ�
$M_x(t)$ ��$X$ ��{\bf ��Ψ��ؿ�}�Ȥ�����
 \[ M_x(t)=E(e^{tX}). \]
 $X$ ��Υ���ѿ��ʤ��
 \begin{equation}
    M_X(t)=\sum_x e^{tx}f(x),
 \end{equation}
 $X$ ��Ϣ³�ѿ��ʤ��
 \begin{equation}
    M_X(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx. \label{bokansu}
 \end{equation}
\vspace{2mm}

 �ؿ��ؿ�$e^{tX}$ ��٥������Ÿ��\footnote{����Ū�ʥ٥����Ÿ����
\[ f(x)=f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots
       + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots\].���θ�����$x$ ���б�����Τ�
 $tX$ �Ǥ��롣}
 ����ȡ���Ψ��ؿ��򼡤Τ褦�ʵ���η��Ǽ������Ȥ��Ǥ��롣
 \begin{eqnarray}
  M_X(t)=E(e^{tX})&=&E(1+tX+\frac{1}{2!}t^2X^2+\cdots+
                          \frac{1}{k!}t^kX^k+\cdots) \nonumber  \\
                  &=&1+tE(X)+\frac{t^2}{2!}E(X^2)+\cdots+
                          \frac{t^k}{k!}E(X^k)+\cdots \nonumber  \\
                  &=&1+\mu_1't+\mu_2'\frac{t^2}{2!}+\cdots+
                          \mu_k'\frac{t^k}{k!}+\cdots \label{bokansuu-kyusu}   
 \end{eqnarray}
 �Τ���Ψ��ؿ��򤳤Τ褦�˥٥�����η���Ÿ�����뤳�Ȥ��Ǥ���С�����Ÿ
 ������$t^k/k!$ �ι�η�����$k$ ���θ�����Ψ$\mu_k'$ ��Ϳ���롣���줬
 $M_X(t)$ ����Ψ��ؿ�(��Ψ�����߽Ф��ؿ�)�ȸƤ���ͳ�Ǥ��롣  \\
\vspace{5mm}

 ��Ψ��ؿ�������Ψ��׻����뤿��ˤϼ�����ˡ���Ѥ��뤳�Ȥ�Ǥ��롣
 ��Ψ��ؿ���$t$ �ˤĤ���$k$ ����ʬ�����
  \begin{eqnarray}
    \frac{d^k}{dt^k}M_X(t)&=&E\left[
                                     \frac{d^k}{dt^k}e^{tX}\right] \nonumber \\
                          &=&E(X^ke^{tX})   \nonumber
  \end{eqnarray}
 �Ȥʤ�\footnote{$\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)=\int(\frac{d^k}{dt^k}e^{tx})
 f(x)dx.$�����( )��ˤĤ��Ƥ�ʿ�ѡ�¨��
 $E\left[\frac{d^k}{dt^k}e^{tx}\right]$�Ǥ��롣�ޤ�$e^{tX}$ ��
 $t$ �ˤĤ���$k$ ����ʬ�����$X^ke^{tX}$�Ȥʤ롣}��$t=0$ �Ȥ�����
   \begin{equation}
      M_X^{(k)}(0)=E(X^k)=\mu_k'
   \end{equation}
 �Ȥʤ롣�Τ���ؿ���$k$ ����ʬ����$t=0$ �Ȥ������Ȥˤ��$k$ ���θ�����
 Ψ��������(���η�̤�\ref{bokansuu-kyusu}����ऴ�Ȥ���ʬ����$t=0$ ��
 �����Ƥ�������\footnote{$t$ �ˤĤ���$k$ ����ʬ�����Ȥ���$k-n$ ���ܤ�
 ���$\frac{1}{(k-n)!}t^{k-n}\cdot\mu_{k-n}'$.$k$ ���ܤ�����Ǥ��������
 ʬ�ˤʤ뤿��$0$��$k$ ���ܤ���Ǥ�$t=0$ �����줿�Ȥ���$0$�Ȥʤꡢ
 ���$\mu_k'$�����Ĥ�ʤ���})�� \\
 $X$ ���Ψ�ѿ���$g(X)$ �򤽤δؿ��Ȥ���Ȥ���$g(X)$ ����Ψ��ؿ���
 ���μ���������롣
  \begin{equation}
    M_{g(X)}(t)=E(e^{tg(X)})  \label{g(x)-bokansuu}
  \end{equation}
 $X$ ����Ψ��ؿ�$M_X(t)$ ��٥������Ÿ������(\ref{bokansuu-kyusu})���ǡ�
 $e^{tx}$ ��$e^{tg(X)}$ ���֤�������ȼ��μ��������롣
\[ E(e^{tg(X)})=1+tE\left[g(X)\right]+\frac{t^2}{2!}E\left[g(X)\right]^2
                 +\cdots+\frac{t^k}{k!}E\left[g(X)\right]^k+\cdots  \]
\vspace{2mm}

��Ψ��ؿ��ˤĤ��Ƥ������򼨤��� \\
$1^{\circ}$ ~~~~$X$ ���Ψ�ѿ���$g(X)$ ��Ǥ�դδؿ���
                            $c$ ��Ǥ�դ�����Ȥ����

  \begin{equation}
    M_{cg(X)}(t)=M_{g(X)}(ct).  \label{bokansuu-cg(x)}
  \end{equation}

������� (\ref{g(x)-bokansuu})����$g(X)=cg(X)$ �Ȥ��ơ�
 \[ M_{cg(X)}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tcg(X)} f(x)dx. \]
  ~~~~~~~(\ref{g(x)-bokansuu})����$t$ ��$ct$ ���֤�������ȡ�
\[  M_{cg(X)}(t)= M_{g(X)}(ct).\]~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)   \\
 (\ref{bokansuu-cg(x)})����$g(X)=X$ �ΤȤ���
  \begin{equation}
    M_{cX}(t)=M_X(ct)
  \end{equation}
 
 $2^{\circ}$ ~~~~$X$ ���Ψ�ѿ���$g(X)$ �򤽤δؿ���
                        $c$ ��Ǥ�դ�����Ȥ���� 

 \begin{equation}
   M_{g(X)+c}=e^{ct}M_{g(X)}(t).  \label{bokansuu-g(x)+c}
 \end{equation}
������� 
 \begin{eqnarray}
   M_{g(X)+c}(t)&=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{t(g(x)+c)} f(x)dx  \nonumber  \\
                &=&\int_{-\infty}^{\infty}e^{tg(x)} \cdot 
                      e^{ct} f(x)dx  \nonumber  \\
                &=&e^{ct} \cdot M_{g(X)}(t).  \nonumber
 \end{eqnarray}  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)   \\  
��(\ref{bokansuu-g(x)+c})�� $g(X)=X$ �ΤȤ�
  \begin{equation}
     M_{X+c}(t)=e^{ct}M_{X}(t)
  \end{equation}

 ��(\ref{bokansuu-g(x)+c})�� $g(X)=X,c=-\mu$ �ΤȤ�
  \begin{equation}
    M_{X-\mu}(t)=e^{-\mu t}M_X(t)
  \end{equation}

$M_{X-\mu}(t)$��{\bf �濴��Ψ��ؿ�}�ȸƤФ졢��Ψ�ѿ���ʿ���ͤ��Ф���
�к�����Ψ��ؿ��ȤʤäƤ��롣�����濴��Ψ��ؿ��ϸ�����Ψ��ؿ���
$e^{-\mu t}$ �򤫤�����Τ���������$M_{X-\mu}(t)$ ��
�٥������Ÿ�����뤫\footnote{(\ref{chushinbokansuu})����ޤȤ�˼�����
(\ref{bokansuu-kyusu})���򤽤ä���ޤͤ�ȡ��Ȥ�Ǥ�ʤ����Ȥˤʤ롣
\begin{eqnarray}
M_{X-\mu}(t)=E(e^{t(X-\mu)})
         &=&E\{1+t(X-\mu)+\frac{1}{2!}t^2(X-\mu)^2
                   +\cdots+\frac{1}{k!}t^k(X-\mu)^k+\cdots\}  \nonumber  \\
         &=&1+tE(X-\mu)+\frac{1}{2!}t^2E\{(X-\mu)^2\}        
\end{eqnarray} }��
�ޤ���$M_{X-\mu}(t)$ ��$k$ ����ʬ����$t=0$ ��
������$k$ �����濴��Ψ�������롣
 \begin{equation}
\frac{d^k}{dt^k}M_{X-\mu}(t)|_{t=0}= \mu_k.\footnote{\begin{equation}
  M_{X-\mu}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{t(x-\mu)} f(x)dx.\nonumber \\   
   \frac{d^k}{dt^k}M_{X-\mu}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}
                               e^{t(x-\mu)}(x-\mu)^k f(x)dx. \nonumber \\  
   \frac{d^k}{dt^k}M_{X-\mu}(t)|_{t=0}=
           \int_{-\infty}{\infty} (x-\mu)^k f(x)dx = \mu_k. \nonumber
    \end{equation}}   \label{chushinbokansuu}
\end{equation}


\section{ɸ��ʬ��}
\subsection{�콸�Ĥ�ɸ��}

����Ū��Ĵ���ˤϡ�����Ĵ���Τ褦�ˡ��оݤȤ��뽸�Ĥ��������ΤˤĤ���
���ʤ�Ĵ�٤�{\bf ����Ĵ��}�ȡ���������ʤ�ȴ����긡���Τ褦�ˡ�
���Ĥ������ʬ������ȴ���Ф���Ĵ�١����η�̤������Τξ������¬���褦
�Ȥ���{\bf ɸ��Ĵ��}�Ȥ����롣

\vspace{5mm}
ɸ��Ĵ���Ǥϡ�����Ĵ�٤���������Τν��ޤ��{\bf �콸��}��Ĵ����
������콸�Ĥ���ȴ�����줿���Ǥν����{\bf ɸ��}�Ȥ������콸�Ĥ���
ɸ�ܤ�ȴ���Ф����Ȥ�ɸ�ܤ�{\bf ���}�Ȥ������ޤ����콸�ġ�ɸ�ܤ�
���ǤθĿ��򡢤��줾���콸�ġ�ɸ�ܤ�{\bf �礭��}�Ȥ�����

\vspace{5mm}
ɸ�ܤ���Ф����硢ɸ�ܤ��콸�Ĥ�������̤ʤ�Τˤ�����餺�����Τ�
������褯ȿ�Ǥ���褦����ˡ��Ȥ�ʤ���Фʤ�ʤ�������ˤϡ�����
�����Τ褦�ʸ�ʿ����ˡ�ǡ��콸�ĤΤɤ����Ǥ�Ʊ����Ψ��ȴ���Ф����褦��
����Ȥ褤�����Τ褦����ˡ��{\bf ̵������ˡ}�Ȥ�����̵������ˡ��
ȴ���Ф��줿ɸ�ܤ�{\bf ̵���ɸ��}({\bf ��Ψɸ�ܡ�ɸ��})�Ȥ�����

\vspace{5mm}
���̤ˡ��콸�Ĥˤ���������$x$ ��ʬ�ۡ�ʿ���͡�ɸ���к��򤽤줾��
{\bf �콸��ʬ��}��{\bf ��ʿ��}��{\bf ��ɸ���к�}�Ȥ����������ϡ�
�礭��1��̵���ɸ�ܤ��Ψ�ѿ��Ȥߤʤ����Ȥ��γ�Ψʬ�ۡ������͡�
ɸ���к��Ȱ��פ���\footnote{���äƤ������Ƥ�����ä�ʬ����ʤ�}��

\vspace{5mm}
�콸�Ĥ����礭��$n$ ��ɸ�ܤ���Ф����硢����Ȥ��ᤷ�ʤ���1�Ĥ���
$n$ ����Ф���ˡ��{\bf �������}�Ȥ�����������Ф�����Ȥ��ᤵ�ʤ���
$n$ �ļ��Ф���ˡ��{\bf ���������}�Ȥ�����

\vspace{5mm}
����$x$ �˴ؤ����콸�Ĥ��顢�礭��$n$ ��̵���ɸ��$X_1,X_2,\cdots,X_n$
 \footnote{������$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �ϳ�Ψ�ѿ��ν���Ȥ��Ƥ�ɸ��
���̣�����ºݤ�ɸ�ܴѻ��η�̤Ȥ�������줿���ͤν��ޤ�
$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$�Ȥ϶��̤���Ƥ��롣}����Ф���Ȥ��������1�Ȥ�
�����Ȥߤʤ����Ȥ���ʿ����
\[  \bar{X}=\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots +Z_n) \]
��{\bf ɸ��ʿ��}�Ȥ�����Ʊ�ͤˡ�ɸ�ܤ�1�Ȥλ����Ȥߤʤ����Ȥ���ʬ����
ɸ���к��򡢤��줾��{\bf ɸ��ʬ��}��{\bf ɸ��ɸ���к�}�Ȥ����������ϡ�
ɸ����ФȤ�����Ԥˤ���ͤ���ޤ뤫���Ψ�ѿ��Ǥ��롣


\vspace{5mm}
ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �γ�Ψ�ޤ��ϳ�Ψ̩�٤�  \\
\begin{equation}
   f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)   \label{kakuriruhyohon}
\end{equation}
��Ϳ������Ȥ���$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ���ٿ��ؿ����뤤��̩�ٴؿ�
$f(x)$ ��ͭ�����콸��$X$ ������礭��$n$ �Ĥ�{\bf ��Ψɸ��}�Ȥ�����
���(\ref{kakuriruhyohon})������Ω�Ĥ���ˤ�$X_1,X_2,\cdots$ �ϸߤ���
��Ω�Ǥʤ���Фʤ�ʤ���

+++++++�ʲ���������+++++++ \\
{\bf ��Ψɸ��}
x��X�δط�($\omega$ �Ϥ���ʤ���)��\\
$X=\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$? 
 *$X_1$�Ͻ���ǤϤʤ��������ʤ��ʤ���$k$ �褹�뤫�顣\\
 *$X_1\neq f(x_1)$ �ǤϤʤ������ʤ��ʤ�$X_1=f(x_1)$���Ȥ���ȡ��콸�Ĥ�ʬ
 �۴ؿ�$f(x)$ ����ޤ�ʤ��ȡ�$X_1$ ����ޤ�ʤ��������顣\\
% �������ꤲ��ͤ���ȡ��콸�ĤϤ��顢����ơ�ɸ�ܽ��ĤϤ��顢����ơ�
%�콸�Ĥ�����ʬ�ۤ򤹤�ʤ顢�콸�Ĥ�̵�¡�


\subsection{ɸ��ʬ��}
 �콸��$f(x)$ ����ȴ�����줿�礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�$\{X_1,X_2,\cdots,
X_n\}$ �Ȥ���� \\
\begin{equation}
   f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)   
\end{equation}
�Ϥ��Τ褦��ɸ�ܤ��������Ψ���뤤��̩�ٴؿ��Ǥ��롣���Τ褦���ٿ�
�ؿ����뤤��̩�ٴؿ�������ʬ�ۤ�{\bf ɸ��ʬ��}�Ȥ���\footnote
{������$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ���礭��$n$ ��ɸ�ܤ����ν����������
��Ψ���뤤�ϳ�Ψ̩�٤Ǥ��롣���̤�ɸ�ܤϴѻ�ñ�̤ν���Ť���줿
����Ǥ��롣}��

\subsection{�����̡������̤�ʬ��}
$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ����Ψ�ѿ��򼨤��Ȥ������Τ��Τ��Τδѻ��ͤ�
��Ω�ѿ��Ȥ���ؿ�
\[ Y=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)   \]
��{\bf ������}�Ȥ����������̤����餫�˳�Ψ�ѿ��Ǥ��롣

\vspace{5mm}
�����̤�������ˤ��콸�ĤΥѥ�᡼����(���)�ϴޤޤ�Ƥ��ʤ����Τˤ����
�콸�Ĥ��μ��ʤ���ɸ�ܴѻ��ͤΤߤ���׻��Ǥ��롣�㤨��ɸ�ܤˤĤ���
�ѻ����줿ʿ���ͤ�ʬ��  \\
\begin{equation}
 \bar{X}=\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots+X_n)   \\
 s^2=\frac{1}{n}[(X_1-\bar{X})^2+(X_2-\bar{X})^2+\cdots+(X_n-\bar{X})^2] \\
\end{equation}
�Ϥ�����������̤Ǥ��롣 

\vspace{5mm}
��Ψɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �Ϥ����콸��ʬ�ۤˤ�ä���ޤ�����ɸ
��ʬ��$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ����ġ�������������
$Y=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ ������ؿ��Ǥ���С�$Y$ ��ʬ�ۤϤ����������
�Ѵ����Ȥ��ơ�Ϳ����줿ɸ��ʬ��$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ����Ƴ�����Ȥ�
�Ǥ��롣������$Y$ ��ʬ�ۤ�{\bf ɸ��ʬ��}�Ȥ������Ȥ⤢�롣 

\vspace{5mm}
�����̤η׻��ˤϤ��Ф���ɸ�ܥǡ�����������ɬ�פȤ��뤬�����ΤȤ�ɸ��
��¬�ͤ��礭���ν������ľ�����Ȥ����롣�礭���ν�����󤵤줿
ɸ�ܴ�¬�ͤ�
\[ X_{(1)},X_{(2)},\cdots,X_{(n)} \]
(������$X_{(1)}<X_{(2)}<\cdots<X_{(n)}$)�Ȥ���Ȥ������Τ褦��
�¤٤�줿�٥��ȥ롢���뤤�Ϥ��Υ٥��ȥ�˴�Ť���������줿�̤�
{\bf ���������}�Ȥ������㤨�Х᥸����(�����)�����(�ϰ�)
$R=X_{(n)}-X_{(1)}$ �ʤɤϽ�������̤Ǥ��롣������ɸ�������̤�
�Ф��Ƥ�Ʊ�ͤ�ɸ��ʬ�ۤ��ͤ����롣 

\vspace{5mm}
�����̤�ʬ��(ɸ��ʬ��)�����������ǽ��פ�������äƤ��롣��¬���פ�
���פ�����ΰ�Ĥϡ��콸��ʬ�ۤη�$f(x;\theta)$(������$x$ �ϳ�Ψ�ѿ���
$\theta$ ������򼨤�)��Ϳ�����Ƥ��뤬�����$\theta$ ���ͤ�
̤�ΤΤȤ��������콸�Ĥ������Ф줿ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ 
�˴�Ť���$\theta$ ���ͤ���ꤹ�뤳�Ȥ��Ǥ��롣
ɸ��$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ ���콸��ʬ��$f(x;\theta)$ �����
$\theta$ �˴ؤ�������ޤ�Ǥ���Ϥ��Ǥ��뤫�顢������
$Y=g(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ ��Ʊ�ͤ�$\theta$ �˴ؤ�������ޤ�Ǥ��ꡢ
���η���Ŭ�������٤����$\theta$ ���ͤ򤳤������̤ˤ�äƿ��ꤹ��
���Ȥ��Ǥ���Ǥ����������ΤȤ�������$Y$ ��ɸ��ʬ�ۤ����$\theta$ ��
�ɤΤ褦�ʴط��ˤ��뤫���Τ뤳�Ȥ��Ǥ���С�$Y$ ������̤Ȥ����Ѥ���
�Ȥ��ο�������Τ��ˤĤ������Τ�Ƚ�Ǥ򲼤����Ȥ��Ǥ��롣�Τˡ����
���������ϡ������̤Ȥ����Ѥ����������̤�ɸ��ʬ�ۤ�����˵��夹�롣

\vspace{5mm}
++++�ʲ���������++++++++ \\
{\bf ������}�Ȥϡ�����Ū����β����Ǵ�¬��(���ʤ��ɸ����)��
�ؿ��Ȥ���ɽ������̤򤤤���������Ū�ˤϡ�$1^\circ$ɸ�ܴ�¬�ͤ�
ʬ�ۤ���ħ�Ť���$2^\circ$ɸ�ܤ����������콸������ˤĤ��Ƥ�
��������󡢤�2�̤����롣

ɸ��Ū�����Ԥʤ��Ȥ��˴��äȤʤ복ǰ���콸�Ĥ�ɸ�ܤȤǤ��롣������
��Ψ���δ��äξ�˼��Τ褦�˷���������롣
$({\bf \Omega},\mathcal{U},P)$ ���Ψ���֡�$P$ ��$\mathcal{U}$ 
��γ�Ψ¬�٤Ȥ��롣��Ψ�ѿ�$X$ �ϡ�1������Ψʬ��
${\bf \Phi}(A)=P\{\omega|X(\omega)\in A\}$ (������$A$ ��Borel ����)
����ᡢ1������Ψ����$({\bf R},\mathcal{U}^1,{\bf \Phi})$��ͶƳ���롣
��������${\bf R}$ �ϼ¿������Ρ�$\mathcal{U}^1$ ��1����Borel ���������
�Ȥ��롣���ޡ�$X_1,\cdots.X_n$ ��Ʊ���1������Ψʬ��${\bf \Phi}$ ����
�ߤ�����Ω�ʳ�Ψ�ѿ��Ȥ��롣���ΤȤ���$n$ ������Ψ�ѿ�
$X=(X_1,\cdots,X_n)$ ���콸��$({\bf \Omega},\mathcal{U},P)$ �����
{\bf �礭��}$n$ ��{\bf ̵���ɸ��}({\bf ��Ψɸ�ܡ�ɸ��})(random sample)
�Ȥ��������̤�$X$ ������$n$ ������Ψʬ�ۤ�${\bf \Phi}_n$ �Ȥ���
$n$ ������Ψ����$({\bf R}^n,\mathcal{U}^n,{\bf \Phi}_n)$($\mathcal{U}^n$
 ��$n$ ����Borel ���������)��{\bf $n$ ����ɸ�ܶ���} �Ȥ��������ξ�硢
${\bf \Phi}_n$ ��$n$ �Ĥ�1������Ψʬ�� ${\bf \Phi}$ ��ľ��¬�٤Ǥ��롣
ɸ��$X$ �Ȥ������ˤϡ�$X$ �ϳ�Ψ�ѿ��Ǥ��뤬���ºݤ˴�¬�����ͤ�ͤ���
���⤢�롣��Ԥ򼨤��Ȥ��ˤ�{\bf ɸ����} �ȸƤӡ���ʸ��$x$ ��ɽ����
���ʤ����ɸ���ͤ�$x=X(\omega)(\omega \in {\bf \Omega})$ ��ɽ�����Ȥ��
���뤷���ޤ���ɸ�ܶ��֤���({\bf ɸ����})�Ȥߤʤ����Ȥ�Ǥ��롣

�콸�ĤϽ���${\bf \Omega}$ �ˤ�ä�ɽ������Ƥ��뤬������ϴ�¬�ͤ�
���߽Ф�ʪ��Ū��¤���б������Τȹͤ����롣����������Ū������
���٤�ɸ�ܤ��̤��ƹԤʤ���Τǡ��դĤ�${\bf \Omega}$ ���Ȥ�ľ�ܤ�
��갷���ʤ���ɸ��$X$ ������1������Ψʬ��${\bf \Phi}$ ���ޤ���
$n$ ������Ψʬ��${\bf \Phi}_n$ �ϡ��콸�Ĥˤ������Ψ¬�٤���ͶƳ�����
����Τǡ����줾��1���������$n$ ����ɸ�ܶ��֤ˤ�����{\bf �콸��ʬ��}
�Ȥ�����

������$Y$ �Ȥϡ�ɸ�ܶ���$({\bf R}^n,\mathcal{U}^n,{\bf \Phi}_n)$ ����
��¬����$({\bf R},\mathcal{U}^1)$ �ؤβ�¬�ؿ�$f$ �ˤ�ä�$Y=f(X)$ ��
ɽ������Ψ�ѿ��򤤤���ɸ��$X$ ��ɸ����$x$ ���б�����������$Y$ ��
�ͤ�$y=f(x)$ ��ɽ����롣(�Ȥꤢ�������ʲ���ά)


\subsection{ɸ����Ψ}
 
 ${X_1,X_2,\cdots,X_n}$ ���礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤȤ���Ȥ���$k$ ��
 ��{\bf ����ɸ����Ψ}�ϼ��μ����������롣 \\
 \begin{equation}
   m_k'=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i^k 
 \end{equation} 
ɸ��ʿ���͡�ɸ��ʬ���Ϥ�����Ψ����Ǥ��줾�켡�ΤȤ���˼�����롣
 \begin{equation}
    \bar{X}=m_1',   \\
    ~~~~~s^2=m_2'-m_1'^2.  \\
 \end{equation}
����ɸ����Ψ��Ʊ�ͤ�{\bf �濴ɸ����Ψ}�⼡�ΤȤ����������롣 \\
  \begin{equation}
     m_k=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1} (X_i-\bar{X})^k  
  \end{equation}
\vspace{2mm}
 
ɸ����Ψ��ɸ�ܴѻ��ͤ������뤫�������̤Ǥ��äơ��콸�Ĥ˴ؤ�������
�ޤࡣ�������˴ؤ��Ƽ��ν������Ͻ��פǤ��롣

$1^{\circ}$~~~~ ɸ�ܤθ�����Ψ�δ����ͤ��콸�Ĥθ�����Ψ���������� \\
������� ɸ����Ψ�������̤Ǥ��ꡢ��Ψ�ѿ��δؿ��Ǥ��뤫�顢Ʊ������Ψ��
���Ǥ��롣�������ä�
\begin{eqnarray}
 E(m_k')=E(\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i^k)
                         &=&\frac{1}{n}E(\sum X^k) \nonumber \\
                         &=&\frac{1}{n}\sum\left[E(X^k)\right] \nonumber  
\end{eqnarray}
�������Ψ�ΰ������(�콸�Ĥ���Ψ�����)�ˤ�ꡢ$E(X^k)=\mu_k'$
�Ǥ��뤫�顢
\begin{equation}
  E(m_k')=\frac{1}{n}\sum^n \mu_k'=\frac{1}{n}n\mu_k'=\mu_k'
\end{equation}
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)  \\
���������濴��Ψ$m_k$ �ˤĤ��Ƥ�ɬ�����⤳���Ʊ���ط�������Ω���ʤ���

ɸ��ʿ���ͤδ����ͤ��콸��ʿ���ͤ������������ʤ��
 \begin{equation}
   E(\bar{X})=\mu_1'=\mu
 \end{equation}
������ʬ���ˤĤ��ƤϤ��δط�������Ω���ʤ���

$2^{\circ}$~~~~ɸ��ʿ���ͤ���Ψ��ؿ����콸��ʬ�ۤ���Ψ��ؿ��Ǽ��ΤȤ���
������롣
 \begin{equation}
   M_{\bar{X}}(t)=\left[M_X(\frac{t}{n})\right]^n
 \end{equation}
������� $X_1,X_2,\cdots$ �ϸߤ�����Ω�Ǥ��뤫��
 \begin{eqnarray}
   M_{\bar{X}}(t)&=&E(e^{t\bar{X}})
                      =E\left[e^{t(X_1+X_2+\cdots+X_n)/n}\right] \nonumber \\
                 &=&E(e^{\frac{t}{n}X_1})E(e^{\frac{t}{n}X_2}) 
                       \cdots E(e^{\frac{t}{n}X_n})  \nonumber  \\
                 &=&\left[M_X(\frac{t}{n})\right]^n
 \end{eqnarray}
  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)

$3^{\circ}$~~~~�콸��ʬ��(��ʬ��)$\sigma^2$ ��ͭ���ͤΤȤ���ɸ��ʿ���ͤ�ʬ����
 \begin{equation}
  var(\bar{X})=\sigma_{\bar{X}}^2=\frac{\sigma^2}{n}
 \end{equation}
��Ϳ�����롣  \\
������� 
 \begin{eqnarray}
  var(\bar{X})&=&E\left[\bar{X}-E(X)\right]^2=E(\bar{X}-\mu)^2 \nonumber \\
              &=&E(\frac{1}{n}\sigma X_i-\mu)^2
                  =E\left[\frac{1}{n}\sum(X_i-\mu)\right]^2 \nonumber  \\
              &=&\frac{1}{n^2}E\left[\sum (X_i-\mu)\right]^2 \nonumber \\
              &=&\frac{1}{n^2}E\left[\sum_i (X_i-mu)^2
                   +\sum_{i\neq j}(X_i-\mu)(X_j-\mu)\right] \nonumber  \\
              &=&\frac{1}{n^2}\left[E\{\sum_i (X_i-\mu)^2\}
                   +E\{\sum_{i\neq j} (X_i-\mu)(X_j-\mu)\}\right]
                         \nonumber  
 \end{eqnarray}
�����
 \begin{eqnarray}
       E\left[\sum (X_i-\mu)^2\right]&=&\sum^n\left[E(X_i-\mu)^2\right]
                                   =n\sigma^2  \nonumber \\
      E\left[\sum_{i\neq j} (X_i-\mu)(X_j-\mu)\right]&=&
            \sum\left[E(X_i-\mu)(X_j-\mu)\right]=0  \nonumber 
 \end{eqnarray}
(���Τʤ��$X_i,X_j$ �ϸߤ�����Ω�Ǥ��롣) \\
�Τ�
 \begin{equation}
   var(\bar{X})=\frac{1}{n^2}n\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n} \nonumber
 \end{equation}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)\\                                       
$4^{\circ}$~~~~ɸ��ʬ��$s^2=\frac{\sum(X-\bar{X})^2}{n}$ �δ����ͤ�
           $\frac{n-1}{n}\sigma^2$ �Ǥ��롣 \\
������� 
 \begin{eqnarray}
  E(s^2)=E\left[\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar{X})^2\right]
         &=&E\left[\frac{1}{n}\sigma (X_i-\mu)^2
                   -(\bar{X}-\mu)^2\right] \nonumber  \\
         &=&\frac{1}{n}\sum^n\left[E(X_i-\mu)^2\right]
                   -E(\bar{X}-\mu)^2  \nonumber  \\
         &=&\frac{1}{n}n\sigma^2-\sigma_{\bar{X}}^2
                =\sigma^2-\frac{\sigma^2}{n}  \nonumber  \\
         &=&\frac{n-1}{n}\sigma^2
 \end{eqnarray}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)\\   
�Τ�ɸ��ʬ����ʿ�Ѥ���Ȱ��̤���ʿ�Ѥ��⾮������ʬ�����󼡤��濴
��Ψ�Ǥ��뤬�����Τ褦���濴��Ψ�ξ�硢ɸ����Ψ�δ����ͤ�ɬ������
�콸����Ψ���������ʤ�ʤ���
 
\section{����ʬ��}
\subsection{����ʬ��} 
  ��Ψ̩�ٴؿ��� 
    \[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
    ~~~~~~~~-\infty< x < +\infty \] 
    
 �Ȥʤ�ʬ�ۤ�{\bf ����ʬ��}�ȸƤ֡����ΤȤ�����ʬ�ۤ�ʿ���ͤ�$\mu$��
 ʬ����$\sigma^2$ �Ȥʤ롣
 ʿ���ͤ�$\mu$ �� ʬ����$\sigma^2$ ������ʬ�ۤ�
 N$\left( \mu , \sigma^2 \right)$ ��ɽ�����Ȥ����롣
 �äˡ�N$(0,1^2)$ �ξ���{\bf ɸ������ʬ��}�ȸƤ֡� 

 ����ʬ�ۤ����콸�ĤǤϡ�$\mu \pm \sigma$ ���ϰϤ�$68\%$��
 $\mu \pm 1.65\sigma$ ���ϰϤ�$90\%$��$\mu \pm 1.96\sigma$ ���ϰϤ�
 $95\%$ �ι������Ǥ��ޤޤ�Ƥ��롣

����� ����ʬ�ۤ�ʿ���ͤ�ʬ��(ɸ���к�)�� \\
 (1) $E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx=\mu$ �ξ���  \\
     ����ʬ�ۤγ�Ψ̩�ٴؿ��� \\
   \[ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
    ~~~~~~~~-\infty< x < +\infty \]
  �Ǥ��롣��Ψ�ѿ�$X$��ʿ�Ѥ�(\ref{eq:e(x)})����ɽ����뤫�顢
 \begin{eqnarray} 
  E(X)&=&\int_{-\infty}^{\infty} xf(x)dx \nonumber  \\ 
      &=&\int_{-\infty}^{\infty} x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~
                              e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx. 
 \end{eqnarray}

  ������$y=x-\mu$�Ȥ����ȡ�
   \begin{eqnarray} 
   E(X)&=&\int_{-\infty}^{\infty}~(y+\mu)
          \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~
                   e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy \nonumber \\
       &=&\int_{-\infty}^{\infty}~y
         \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy + 
               \int_{-\infty}^{\infty}~\mu
               \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2}
               {2\sigma^2}} dy. \label{eq:seikibunpu}
  \end{eqnarray} 
  ��������1��ϡ�$z=\frac{y}{\sqrt{2}\sigma}$ �Ȥ����ơ�  \\
  \begin{eqnarray} 
  (\ref{eq:seikibunpu})����1��&=&\int_{-\infty}^{\infty}~\sqrt{2}\sigma z 
            \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-z^2}~\sqrt{2}\sigma dz   
        =\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
               \int_{-\infty}^{\infty}~z e^{-z^2} dz  \nonumber \\
    &=&\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{0}~ 
   z e^{-z^2} dz + \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}~
   z e^{-z^2} dz.  \nonumber 
  \end{eqnarray}
 
  �����$z^2=a$�Ȥ�����$2zdz=da$�Ǥ��뤫�顢
  \begin{eqnarray}
 (\ref{eq:seikibunpu})����1��&=&\frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
                                      \int_{\infty}^{0}~\frac{1}{2}
                                    e^{-a} da + \frac{\sqrt{2}\sigma}
                                 {\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}~
                                   \frac{1}{2} e^{-a^2} da  \nonumber \\
                            &=&\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
                                 \left[-e^{-a}\right]_\infty^0 
                               + \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
                                 \left[-e^{-a}\right]_0^\infty  \nonumber \\  
                            &=&\frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}}
                               (-1+0+0+1) = 0. \nonumber
  \end{eqnarray}

  ��2��ˤĤ��Ƥϡ�������$\mu$�ϤȤꤢ�����̤ˤ���
   (\ref{eq:seikibunpu})������2��=$\mu \cdot A$�Ȥ�����������
  \[A = \int_{-\infty}^{\infty}~
  \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~e^{-\frac{y^2}{2\sigma^2}} dy.\]
  $z=y/\sigma$���ѿ��Ѵ������
  \[A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}~
  e^{-\frac{1}{2}z^2} dz  \]
  �Ȥʤ롣��ʬ�ѿ��������Ǥ�դǤ��뤫�顢
  \[A^2 = A \cdot A = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}~
  e^{-\frac{1}{2}z^2} dz \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
  \int_{-\infty}^{\infty}~e^{-\frac{1}{2}a^2} da  \]
  \[= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}~\int_{-\infty}^{\infty}~
   e^{-\frac{1}{2}(z^2+a^2)} dzda   \]
  $z=r \sin \theta ,a=r \cos \theta$ �Ƕ˺�ɸ���Ѵ�����С�
   \begin{eqnarray}
   A^2&=& \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}~\int_{0}^{\infty}~
                e^{-\frac{1}{2}r^2}~rdrd\theta  \nonumber \\
      &=&\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}~d\theta~\int_{0}^{\infty}~
           re^{-\frac{1}{2}r^2}~dr  \nonumber  \\
      &=&\frac{1}{2\pi}\left[\theta \right]_0^{2\pi} \cdot 
           \left[-e^{-\frac{1}{2}r^2}\right]_0^\infty \nonumber \nonumber  \\
      &=&\frac{1}{2\pi}2\pi(-0+1)=1  \nonumber  
  \end{eqnarray}
   ������$A^{2}$�ˤĤ��Ʒ׻������Τǡ�$A$������ͤ��롣
   $\sigma>0$�ΤȤ����餫��$A>0$�Ǥ��뤫�顢$A=1$�Ǥ��롣
   �ʾ��ޤȤ��С�\\
   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$E(X) = 0 + \mu \cdot 1 = \mu$ 
   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)
\clearpage
 (2) $var(X)=\int_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x) dx=\sigma^2$�ξ���  \\
  
  ����ʬ�ۤ򤹤��Ψ�ѿ�$X$��ʬ����(\ref{eq:var(x)})����ɽ����뤫�顢
 \[ var(X)
%=\int_{-\infty}^{\infty}~(x-\mu)^2 f(x)dx 
   = \int_{-\infty}^{\infty}~(x-\mu)^2 
       \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx \]

 ������$y=\frac{x-\mu}{\sigma}$�Ȥ����ȡ�
\[var(X)=\int_{-\infty}^{\infty}~\sigma^2 y^2 
    \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{1}{2}y^2}\cdot \sigma dy 
  =\int_{-\infty}^{\infty}~\sigma^2 
    \frac{1}{\sqrt{2\pi}}~ e^{-\frac{1}{2}y^2} y^2 dy.\]
 ��ʬ����ؿ��϶��ؿ��ʤΤǡ�
\[var(X)=2 \int_{0}^{\infty}~\sigma^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}} 
    ~ e^{-\frac{1}{2}y^2}y^2 dy.\]  
 �����ǡ�����ʬ�θ���
\[\int_{0}^{\infty}~e^{-ax^2} x^{2n} dx =
\frac{(2n-1)(2n-3)\cdots3\cdot1}{2^{n+1}}\sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}} \]
 ���Ѥ��ơ�$a=1/2~,~n=1$�λ���ͤ���ȡ�  
\[var(X)=2\cdot\frac{\sigma^2}{\sqrt{2\pi}}\cdot\frac{1}{2}\sqrt{2\pi}
        =\sigma^2.  \]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~(���������)

\subsection{����ʬ�ۤ��콸�ĤȤ���ɸ�ܽ��Ĥ�����}
 ʿ���� $\mu$ ��ʬ�� $\sigma^2$ ������ʬ�ۤ򤷤Ƥ����콸�Ĥ����礭�� $n$ ��
 ����ץ��������ȴ����ä���硢ɸ�ܽ��Ĥ������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ롣\\
 (1) ɸ�ܽ��Ĥϡ�ʿ���� $\bar{x}=\mu$ ��ʬ������Ȥ��콸�Ĥ�
     $\frac{1}{n}$ �ܡ��Ĥޤ� $\frac{\sigma^2}{n}$ ��
     ����ʬ�ۤ򤹤롣\\
{\bf ����} �콸�Ĥ�ʿ����$\mu$ ��ʬ��$\sigma^2$ ������ʬ�ۤ򤹤�Ȥ���
�礭��$n$ �γ�Ψɸ�ܤ�$\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}$ �Ȥ���С�
ɸ��ʿ���� $\bar{X}$ ��ʿ����$\mu$ ��ʬ��$\sigma^2/n$ ������ʬ�ۤ��롣\\
������� $X_i$ ������ʬ���ѿ��Ǥ��뤫�顢������Ψ��ؿ��� \\
 \begin{equation}
   M_X(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2 t^2}  \nonumber  \\
 \end{equation}
�Ǥ��롣ɸ��ʿ���ͤ� \\
\[  \bar{X}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} X_i
         =\frac{X_1}{n}+\frac{X_2}{n}+\cdots +\frac{X_n}{n}  \]
�Ǥ��뤫�顢�ޤ�$X/n$ ����Ψ��ؿ�������
\[ M_{X/n}(t)=M_X(\frac{t}{n})=e^{\mu\frac{t}{n}
                        +\frac{1}{2}\frac{\sigma^2 t^2}{n^2}}  \]
�Ȥʤ롣$X_i$ �ϸߤ�����Ω�Ǥ��뤫��
 \begin{eqnarray}
  M_X(t)&=&M_{\sum X/n}(t)=\left[M_X(\frac{t}{n})\right]^n  \nonumber \\
        &=&e^{\mu t+\frac{1}{2}(\frac{\sigma^2}{n})t^2}  \nonumber \\
 \end{eqnarray}
�Ȥʤ롣�����ʿ����$\mu$ ��ʬ�� $\sigma^2/n$ ������ʬ�ۤ���Ψ��ؿ��Ǥ�
�롣(���������)

 (2) �ϰ� R\footnote{�ϰ�R��ɸ���ͤκ����ͤȺǾ��ͤȤκ������ʤ��
   \[ R=x_n-x_1.\]} �ϡ�ʿ���ͤ���Ȥ��콸�Ĥ�ɸ���к�������ܡ��Ĥޤ�
     $d_{2\sigma}$ �ǡ�ɸ���к�����Ȥ��콸�Ĥ�ɸ���к�������ܡ�
     �Ĥޤ� $d_{3\sigma}$ ������ʬ�ۤ򤹤롣��� $d_2$ �� $d_3$ ��
     ����ץ���礭�� $n$ �ˤ�äƷ�ޤä��ͤ�Ȥ�(����ɽ�ˤΤäƤ���)��
     (�����Ͼ�ά) \\
 (3) �к�ʿ���� S ��ʿ���ͤϡ���Ȥ��콸�Ĥ�ʬ��$\sigma^2$ �� $(n-1)$��
          �Ȥʤ롣(�����Ͼ�ά)  \\
       
  
 �ޤ����Τ��Ȥ�����Ω�ġ�      
  $(\bar{x}-\mu) / (\sigma/\sqrt{n} )$ �� N$(0,1^2)$ ��
   ����ʬ�ۤ˽���������ϼ�ͳ��??��t ʬ�ۤˤʤ롣   \\
[����1.2.3.4]  
      

\section{�������ʬ��}
\subsection{����޴ؿ��Ȥ�������}
  ����޴ؿ��ϼ��μ����������롣������$n$ ��Ǥ�դ����μ¿��Ǥ��롣
\[ \Gamma (n)=\int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n-1}dx.\]
  ���˥���޴ؿ��Τ����Ĥ��������ˤĤ��ƽҤ٤롣 \\
 $1^{\circ}$~~~~$\Gamma (n)=(n-1)\Gamma(n-1)$\\
������� $\Gamma (n)$����ʬ��ʬˡ�ˤ�ä���ʬ�����
\begin{eqnarray}
  \int_{0}^{\infty} e^{-x} x^{n-1}dx&=&\left[-e^{-x}x^{n-1}\right]_{0}^{\infty}
                                        +(n-1)\int_{0}^{\infty} 
                                         e^{-x} x^{n-2}dx  \\
                                    &=&(n-1)\int_{0}^{\infty} e^{-x} 
                                          x^{n-2}dx.\\
\end{eqnarray}

����޴ؿ�������Ѥ����
\[ \Gamma (n)=(n-1)\Gamma (n-1).\]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������) \\
 $2^{\circ}$~~~~$n>0$ �������ΤȤ�$\Gamma (n)=(n-1)!$  \\
������� (1)�򷫤��֤����֤��������
\[ \Gamma (n)=(n-1)(n-2)\cdots 2 \cdot 1 \cdot \Gamma (1) \]
�Ȥʤ롣������
\[ \Gamma (1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x} dx 
        = \left[-e^{-x}\right]_{0}^{\infty}=1  \]
�Ǥ��뤫��
\[ \Gamma (n)=(n-1)!.\]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~($n=1$�ΤȤ���$0!=1$������Ω��)
   (���������) \\
 $3^{\circ}$~~~~$\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$  \\
������� $x=y^{2}$ �Ȥ�����
\[ \Gamma (n)=\int_{0}^{\infty}e^{-x} x^{n-1} dx 
        =2 \int_{0}^{\infty}y^{2n-1} e^{-y^2} dy.\]
�Τˡ�
\[ \Gamma (\frac{1}{2})=2 \int_{0}^{\infty}e^{-y^2} dy,\]
\[ \left[\Gamma (\frac{1}{2})\right]^2 
   = 4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-(y^2+z^2)} dydz.\]
�˺�ɸ�Ѵ�����$(0<r<\infty,0<\theta<\frac{\pi}{2})$
\begin{eqnarray}
  \left[\Gamma (\frac{1}{2})\right]^2
  &=&4\int_{0}^{\frac{1}{2}\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r drd\theta \\
  &=&4\left[\theta\right]_{0}^{\frac{1}{2}\pi} 
     \cdot \left[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\right]_{0}^{\infty} \\
  &=&4 \cdot \frac{1}{2}\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi. \\
\end{eqnarray}

�Τ� 
\[\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}.  \]
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������) \\
 $4^{\circ}$~~~~$n$�Τ����Ĥ����ͤ��Ф���$\Gamma (n)$��׻�����ȼ��ΤȤ���Ǥ���
\footnote{$n=0$�ΤȤ�$\Gamma (n)=\infty$�Ǥ��뤬�����ξ������񤷤�}��
\begin{center}
 \begin{tabular}{lccccccr} \hline
           $n$    & $\frac{1}{2}$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5  \\
   $\Gamma (n)$   & $\sqrt{\pi}$  & 1 & 1 & 2 & 6 & 24  \\ \hline
 \end{tabular}
\end{center}

\subsection{�������ʬ��}
  ��ͳ�٤�$n$��{\bf �������ʬ��}�γ�Ψ̩�ٴؿ��� \\
    \[f(x)= \left\{
              \begin{array}{@{\,}ll}
                 \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma(\frac{n}{2})} 
                  x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}}  & \mbox{($x > 0$)}  \\
                             0  & \mbox{($x \leq 0$)}
              \end{array}
            \right.    \]
   ��ɽ����롣�������ʬ�ۤ�ʿ�Ѥ� $n$ ��ʬ���� $2n$ �Ȥʤ롣\\
[���� �������ʬ�ۤ�ʿ�Ѥ�ʬ��]
%\subsection{�����ʬ��} 
%  {\bf �����ʬ��}�γ�Ψ̩�ٴؿ��� \\
\section{t ʬ��}
  ��ͳ�٤�$n$��{\bf t ʬ��}�γ�Ψ̩�ٴؿ��� \\
    \[f(x)=\frac{\Gamma (\frac{n+1}{2})}
      {\sqrt{n\pi} \Gamma (\frac{n}{2})(1+\frac{x^2}{n})^{\frac{n+1}{2}}}
      ~~~~~~~~x > 0 \]
  ��ɽ����롣t ʬ�ۤ�ʿ�Ѥ�$0$��ʬ���� $n/(n-2)$ (������$n��2$
  \footnote{$n=1$ �ΤȤ��ϥ�������ʬ�ۤȤʤꡢʿ���ͤ�ʬ����¸�ߤ��ʤ���})
  �Ǥ��롣\\
  [���� t ʬ�ۤ�ʿ�Ѥ�ʬ��] \\

t ʬ�ۤ�$t=0$ ���Ф����оΤǤ��뤫�顢���������Ψ�Ϥ��٤�$0$ �Ǥ��롣
��ä�ʿ���ͤ�$0$ �Ǥ��롣�ʲ���ʬ���ˤĤ��ƾ������롣\\
t ʬ�ۤ�$t=0$ �ˤĤ����оΤǤ��뤫�顢
\[  var(t)=2\int_0^\infty t^2f(t)dt
    =\frac{2\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
      \int_0^\infty t^2(1+\frac{t^2}{n})^{-\frac{n+1}{2}}dt  \]
$u=\frac{t^2}{n+t^2}$ �Ȥ����С�
$dt=\frac{n^{\frac{1}{2}}u^{-\frac{1}{2}}}
 {2(1-u)^{\frac{3}{2}}}du$ �Ǥ��뤫�顢 \\
\begin{eqnarray}
 var(t)&=&\frac{2\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{1}{2})}
    \int_0^1\frac{nu}{(1-u)^{\frac{1-n}{2}}}
   \frac{n^{\frac{1}{2}}u^{-\frac{1}{2}}}{2(1-u)^{\frac{3}{2}}}du \nonumber \\
       &=&\frac{n\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
           \int_0^1 u^{\frac{1}{2}}(1-u)^{\frac{n-2}{2}-1}du  \nonumber  \\
       &=&\frac{n\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
           B(\frac{3}{2},\frac{n-2}{2})   \nonumber  \\
       &=&\frac{n\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{n}{2})}
           \frac{\Gamma(\frac{3}{2})\Gamma(\frac{n-2}{2})}
               {\Gamma(\frac{n+1}{2})}
          =\frac{\frac{1}{2}n\sqrt{\pi}}{\frac{n-2}{2}\sqrt{\pi}}
          =\frac{n}{n-2} \nonumber \\
\end{eqnarray}
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(���������)\\ 


��ʬ�� $\sigma$ ��ʬ���餺��ɸ��ʬ�� $s$ ������ʬ���äƤ�����ˤϡ�
     \[  \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]
     ���ɤΤ褦��ʬ�ۤ˽�����
     Ĵ�٤Ƥ����� $\mu$ �ζ�ֿ��꤬�Ǥ��롣$s$ �� $\sigma$ ���
     �����������ФäƤ���Τǡ�
     $\sigma^2=(n/n-1)s^2$ ��Ȥäƽ�������ȡ�\\
     \[ \frac{\bar{x}-\mu}{\sqrt{\frac{n}{n-1}} \frac{s}{\sqrt{n}}} 
      = \frac{\bar{x}-\mu}{\frac{s}{\sqrt{n-1}}} \]

      �Ȥʤ롣����ʬ�ۤ�����ʬ�ۤ� $\sigma$ �Τ����� $s$ ���Ѥ��ơ�
      ʿ���ͤ�0��ɸ���к���1��Ĵ�ᤷ����ΤȤ�����롣

\chapter{����}
\section{����ιͤ���}
\section{��ʿ�Ѥθ���}
\section{���θ���}

����ʸ��  \\
         �����׿��������       ���� ͥ�� ��          ����ɾ���� 1968ǯ
         �����ײ��ϤΤϤʤ���   ��¼ ���� ��          ����޽�   1989ǯ
         �ؤ����狼�����ײ��ϡ� ��¼ ���� ��          ����޽�   1993ǯ
         �ش��ȿ��ؼ�ŵ ��3�ǡ� ���ܿ��ز� ��         ���Ƚ�Ź   1993ǯ
         �����׿��������       �ܴ� ������ ��        ���̽���   1970ǯ
         �ع⹻���ز�ˡ��ŵ��   ����ʸ�ԡ������� ��   ��ʸ��     1993ǯ


\end{document}







































