\underline{天王星現象論: 天王星に関する基本的数字目次 1}

天王星現象論: 天王星に関する基本的数字

地球流体電脳倶楽部

1996 年 7 月 22 日

目次

1 天文学に関する数字 2 2 大気科学に関する数字 4 3 練習問題 5

3.1 解答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 練習問題解答例 6 5 参考文献 8

Abstract

天王星を扱う上で基本的な数字をあげておく。参考のために対応する地球の値を並べておいた。

\underline{2  天王星現象論: 天王星に関する基本的数字  1 天文学に関する数字}

1 天文学に関する数字

\underline{惑星本体・衛星}

物理量天王星地球の値との比地球
質量 (10^{24} kg)  86.2  14.54  5.973
赤道半径 R_{e} (km)  2.556 × 10^{4}  4.00  6378
極半径 R_{p}(km)  2.497 × 10^{4}  3.93  6357
扁平率 (R_{e} − R_{p})/R_{p}  0.023  6.76  0.0034
密度 (g cm^{−3} )  1.27  0.230  5.52
赤道重力加速度 (表面)(ms^{−2})  8.61  0.88  9.78
衛星の数  15  15  1

(理科年表 1992 より)

\underline{天王星現象論: 天王星に関する基本的数字  1 天文学に関する数字  3}

\underline{軌道要素^{1} ・自転軸}

物理量天王星地球
昇交点黄経Ω(^{∘})  74.001 354.865
軌道傾斜角 i(^{∘})  0.773 0.001
軌道長半径 a(10^{8} km)  28.750 1.496
離心率 e  0.0463 0.0167
近日点黄経ϖ(^{∘})  172.998 102.914
元期平均近点離角 M_{o}(^{∘}) 108.908 176.491
赤道傾斜角 (^{∘})^{2} 97.9 23.44

(理科年表 1992)

\underline{天王星の軌道}

図 1. 天王星の軌道と地球, 太陽から見た天王星の向き. ( Newton 別冊 ’ 太陽系のすべて’ より )

\underline{時間}

1元期:1992 年 7 月 1.0 日. 座標系:2000 年 1 月 1.5 日の黄道座標系. くわしくは金星現象論 ‘金星に関する基本的数字’ Appendix を参照せよ.

2各惑星の黄道座標系による黄経, 黄緯で表す.

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\underline{4  天王星現象論: 天王星に関する基本的数字  2 大気科学に関する数字}
物理量天王星地球の値との比地球
公転周期  30689.53 日 (84.022 年)  84.022  365.256 日
自転周期^{3}  15h34m33.6s (0.649 日)  0.650  0.9973 日
自転角速度 (rad · sec^{−1})  1.121 × 10^{−4}  1.537  7.292 × 10^{−5}

(理科年表 1992 より)

\underline{太陽定数, アルベド}

物理量天王星地球の値との比地球
太陽定数 (W m ^{−2} ) 3.70  0.0027  1370
Albedo(Bond)^{4}  0.84  2.8  0.30

(理科年表 1992 より)

2 大気科学に関する数字

\underline{組成}

構成要素モル分率
H^{2}
He  0.152 ± 0.033
CH^{4}
NH^{3}
C^{2}H^{2}

( He の組成については Conrath et.al, 1987 より)

3Voyager 2 の観測によると 17.24 ± 0.01 時間である (Warwick,et.al, 1986 ).

4最近の文献では, 天王星のアルベドは約 0.3 程度である. ‘天王星の放射エネルギー収支’ を参照のこと.

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\underline{天王星現象論: 天王星に関する基本的数字  3 練習問題  5}

3 練習問題

地球, 天王星大気について次の量を計算せよ. 地球のモデル大気は N_{2} 80%, O_{2} 20%, 天王星のモデル大気については H_{2} 85%, He 15% で考えてみよ.

1. 有効放射温度 T_{e}

2. 平均分子量 M

3. ( 単位質量あたりの) 定積比熱 c_{v}, 定圧比熱 c_{p}, 比熱比 γ

4. 音速 c_{s}

5. 圧力スケールハイト H_{p}

6. 断熱温度勾配 (\frac{dT}{dz} )_{ad}

3.1 解答

物理量天王星地球
有効放射温度 T_{e} (K)  55.8 255.0
平均分子量 M 2.3 28.8
定積比熱 (単位質量) c_{v} (J · Kg^{−1} · K^{−1}) 8490.7 721.4
定圧比熱 (単位質量) c_{p} (J · Kg^{−1} · K^{−1}) 12104 1009.9
比熱比 γ 1.43 1.4
音速 c_{s} (m · s^{−1})  536.9 321.0
圧力スケールハイト H_{p} (Km)  23.4  7.51
断熱温度勾配 (K · Km^{−1})  0.71  9.70

\underline{6  天王星現象論: 天王星に関する基本的数字  4 練習問題解答例}

4 練習問題解答例

1. 有効放射温度 T_{e} 太陽定数を S, アルベドを A , ステファン-ボルツマン定数を σ とすると, 有効放射温度を定める式は

\frac{1}{4}(1 − A)S = σT_{e}^{4}

である. 地球大気の場合には

\frac{1}{4}(1 − 0.3) × 1370 = 6.67 × 10^{−8}T_{eEarth}^{4}

よって

T_{eEarth} = 255.0 (K)

天王星大気の場合には

\frac{1}{4}(1 − 0.3) × 3.70 = 6.67 × 10^{−8}T_{eUranus}^{4}

よって

T_{eUranus} = 55.8 (K)

2. 平均分子量 M

M_{E} = 0.8 × 28 + 0.2 × 32 = 28.8,
M_{U} = 0.85 × 2 + 0.15 × 4 = 2.3

3. ( 単位質量あたりの) 定積比熱 c_{v}, 定圧比熱 c_{p}, 比熱比 γ 地球では 2 原子分子であるから

c_{v} = \frac{5}{2}R_{earth} = \frac{5}{2} × \frac{8.31}{28.8 × 10^{−3}} = 721.4 (J · Kg^{−1} · K^{−1}),

c_{p} = \frac{7}{2}R_{earth} = \frac{7}{2} × \frac{8.31}{28.8 × 10^{−3}} = 1009.9 (J · Kg^{−1} · K^{−1}),

γ = \frac{7}{5} = 1.4

天王星大気は 1 原子分子と 2 原子分子の混合気体であるから

c_{v} = \frac{5}{2}R × 0.85 + \frac{3}{2}R × 0.15 = 2.35R = 2.35 × \frac{8.31}{2.3 × 10^{−3}} = 8490.7 (J · Kg^{−1} · K^{−1}),

c_{p} = c_{v} + R = 3.35R = 3.35 × \frac{8.31}{2.3 × 10^{−3}} = 12104 (J · Kg^{−1} · K^{−1}),

γ = \frac{3.35}{2.35} = 1.43

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\underline{天王星現象論: 天王星に関する基本的数字  4 練習問題解答例  7}

4. 音速 c_{s} 温度として先に計算した有効温度を用いることにすると, 地球大気では

c_{sE} = \sqrt{γR_{earth}T} = \sqrt{1.4 × \frac{8.31}{28.8 × 10^{−3}} × 255.0} = 321.0 (m · s^{−1})

天王星大気では

c_{sU} = \sqrt{γRT} = \sqrt{1.43 × \frac{8.31}{2.3 × 10^{−3}} × 55.8} = 536.9 (m · s^{−1})

5. 圧力スケールハイト H_{p} 温度を先に求めた有効放射温度を用いると, 地球大気の場合には

H_{pE} = \frac{R_{earth}T}{g} = \frac{8.31}{28.8 × 10^{−3}} × 255.0 × \frac{1}{9.8} = 7507.1 (m) = 7.51 (Km)

天王星大気の場合には

H_{pU} = \frac{RT}{g} = \frac{8.31}{2.3 × 10^{−3}} × 55.8 × \frac{1}{9.8 × 0.88} = 2.34 × 10^{4} (m) = 23.4 (Km)

6. 断熱温度勾配 (\frac{dT}{dz} )_{ad}

理想気体の場合, 断熱温度勾配は(\frac{dT}{dz} )_{ad} = −\frac{g}{c_{p}} であるから, 地球大気の場合には

|(\frac{dT}{dz} )_{ad}| = \frac{9.8}{1009.9} = 0.00970 (K · m^{−1}) = 9.70 (K · Km^{−1})

天王星大気の場合には

|(\frac{dT}{dz} )_{ad}| = \frac{9.8 × 0.88}{12104} = 0.000712 (K · m^{−1}) = 0.71 (K · Km^{−1})

\underline{8  天王星現象論: 天王星に関する基本的数字  5 参考文献}

5 参考文献

Conrath,B.J., Gautier,D., Hanel,R., Lindal,G.F., Martin,A., 1987 : The Helium abundance of Uranus from Voyager mesurements. J. Geophys. Res., 92, 15003-15010

Warwick,J.W., Evans,D.R., Romig,J.H., Sawyer,C.B., Desch,M.,D., Kaiser,M.L., Alexander,J.K., Carr,T.D., Staelin,D.H., Gulkis,S., Poynter,R.L., Aubier,M., Boischot,A., Keblanc,Y., Lecacheux,A., Pederson,B.M., Zarka,P., 1986 : Voyager 2 radio observations of Uranus. Science, 233, 102-106

国立天文台, 1992 : 理科年表, 丸善, 1040pp.

竹内均 (編), 1990 : 太陽系のすべて, Newton 別冊, 教育社, 234pp.

謝辞

本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行なわれていた, 流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっている. 原作版は竹広真一による「天王星現象論」 (92/10/16) であり, 林祥介によって地球流体電脳倶楽部版「天王星現象論」として書き直された. 構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてにも感謝しなければならない.