% 題名  天王星現象論
%
% 履歴  92/10/16  竹広真一
%       92/10/21  竹広真一
%       96/07/22  中野英之   地球流体電脳倶楽部資源「天王星現象論」へ
%

\documentclass[a4j,12pt,ascmac,twoside,dvipdfmx]{jarticle}
\usepackage{Dennou6}

     \Dtitle{天王星現象論: 天王星に関する基本的数字}
     \Dauthor{地球流体電脳倶楽部}
     \Ddate[96/07/22]{1996 年 7 月 22 日}
     \Dpath{/riron/genshou/uranus/suuji/}

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\begin{document}

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\maketitle
\tableofcontents      
%\clearpage
%\pagenumbering{arabic}

\begin{abstract}
  天王星を扱う上で基本的な数字をあげておく。
  参考のために対応する地球の値を並べておいた。
\end{abstract}

%==================================================================
\newpage

%\Dchapterhead
\section{天文学に関する数字}

  \underline{\large{惑星本体・衛星}}
  \vspace{5mm}
  
    \begin{tabular} {|l|c|c|c|} \hline
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 物理量} & 
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 天王星} & 
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 地球の値との比} & 
    \multicolumn{1}{|c|}{\gt 地球} \\ \hline
    \hline
      質量(10$^{24}$ kg)  
        & 86.2              & 14.54     & 5.973  \\ \hline
      赤道半径 $R_e$ (km) 
        &$2.556\times 10^4$ &  4.00     & 6378   \\ \hline
      極半径 $R_p$(km)    
        &$2.497\times 10^4$&   3.93     & 6357   \\ \hline
      扁平率$(R_e-R_p)/R_p$
        & 0.023             &  6.76     & 0.0034 \\ \hline
      密度(g cm$^{-3}$ )  
        & 1.27              &  0.230    & 5.52   \\ \hline
      赤道重力加速度(表面)(ms$^{-2}$)
        & 8.61              &  0.88     & 9.78   \\ \hline
      衛星の数            
        & 15                &  15       & 1      \\ \hline
    \multicolumn{3}{l}{(理科年表 1992 より)}
   \end{tabular}
   \vspace{5mm}

\newpage
 \underline{\large{軌道要素\footnotemark[1]・自転軸}}
 \vspace{5mm}
      
   \begin{tabular} {|l|c|c|} \hline
   \multicolumn{1}{|c}{\gt 物理量} & 
   \multicolumn{1}{|c}{\gt 天王星} & 
   \multicolumn{1}{|c|}{\gt 地球} \\ \hline \hline
   昇交点黄経 
      $\Omega(^{\circ}$)    & 74.001    & 354.865  \\ \hline
    軌道傾斜角 
      i($^{\circ}$)         & 0.773    &  0.001   \\ \hline
    軌道長半径 
      a(10$^8$ km)          & 28.750   &  1.496   \\ \hline
    離心率     
      e                     & 0.0463   &  0.0167  \\ \hline
    近日点黄経 
      $\varpi(^{\circ}$)    & 172.998  & 102.914  \\ \hline
    元期平均近点離角
      $M_{o}(^{\circ}$)     & 108.908  & 176.491 \\ \hline
    赤道傾斜角($^{\circ}$)\footnotemark[2]
                            &  97.9    &  23.44   \\ \hline
    \multicolumn{3}{l}{(理科年表 1992)}
    \end{tabular}
    \footnotetext[1]
      {元期:1992年7月1.0日.座標系:2000年1月1.5日の黄道座標系.
       くわしくは金星現象論 `金星に関する基本的数字' Appendixを
       参照せよ.}
    \footnotetext[2]
      {各惑星の黄道座標系による黄経,黄緯で表す.}


  \vspace{5mm}
  \underline{\large{天王星の軌道}}
  \vspace{5mm}
     
  \begin{center}
    % \Depsf[170mm]{fig-prohibited/suuji-1.ps}
    \includegraphics[width=1.0\textwidth]{figures/suuji-1.png}
  \end{center}
  \begin{description}
   \item 図 1. 天王星の軌道と地球, 太陽から見た天王星の向き. 
         ( Newton 別冊 '太陽系のすべて' より )
  \end{description}

       
  \vspace{5mm}
  \underline{\large{時間}}
  \vspace{5mm}

    \begin{tabular} {|l|c|c|c|} \hline
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 物理量} & 
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 天王星} & 
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 地球の値との比} & 
    \multicolumn{1}{|c|}{\gt 地球} \\ \hline
      公転周期  & 30689.53日 (84.022年) & 84.022 & 365.256日 \\ \hline
      自転周期\footnotemark[3]  
                & 15h34m33.6s (0.649日)&  0.650 & 0.9973日  \\ \hline
      自転角速度($\mbox{rad}\cdot\mbox{sec}^{-1}$) 
                & $1.121 \times 10^{-4}$  & 1.537 & $7.292 \times 10^{-5}$ \\ \hline
    \multicolumn{3}{l}{(理科年表 1992 より)}
    \end{tabular}
    \footnotetext[3]
      {Voyager 2 の観測によると $17.24 \pm 0.01$ 時間である
        (Warwick,{\em et.al}, 1986 ).}
    \vspace{5mm}


  \underline{\large{太陽定数,アルベド}}
  \vspace{5mm}

    \begin{tabular} {|l|c|c|c|} \hline
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 物理量} & 
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 天王星} & 
    \multicolumn{1}{|c}{\gt 地球の値との比} & 
    \multicolumn{1}{|c|}{\gt 地球} \\ \hline
      太陽定数(W m $^{-2}$ )       
        & 3.70  & 0.0027  & 1370 \\ \hline
      Albedo(Bond)\footnotemark[4] 
        & 0.84  & 2.8   & 0.30 \\ \hline
    \multicolumn{3}{l}{(理科年表 1992 より)}
    \end{tabular}
    \footnotetext[4]{最近の文献では, 天王星のアルベドは約 0.3 程度であ
                    る. `天王星の放射エネルギー収支'を参照のこと. }

\section{大気科学に関する数字}
 
  \underline{\large{組成}}
  \vspace{5mm}

  \begin{tabular}{||c|c|} \hline
    構成要素 & モル分率 \\ \hline
     $\mbox{H}_2 $          &                    \\
     He                     &   $0.152\pm0.033$    \\
     $\mbox{CH}_4$          &      \\
     $\mbox{NH}_3$          &      \\
     $\mbox{C}_2\mbox{H}_2$ &      \\\hline
  \end{tabular}

  ( He の組成については Conrath {\em et.al}, 1987 より)

%============================================================================
\newpage
\section{練習問題}

地球, 天王星大気について次の量を計算せよ. 
地球のモデル大気は $\mbox{N}_2 \ 80 \%, \ \mbox{O}_2 \ 20 \% $, 
天王星のモデル大気については $ \mbox{H}_2 \ 85 \%, \ \ \mbox{He}\ 15 \% $ 
で考えてみよ. 

\begin{enumerate}
  \item 有効放射温度 $T_e$
  \item 平均分子量 $M$ 
  \item ( 単位質量あたりの) 定積比熱 $c_v$, 定圧比熱 $c_p$, 
        比熱比 $\gamma$
  \item 音速 $c_s$
  \item 圧力スケールハイト $H_p$
  \item 断熱温度勾配 ${\displaystyle \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} }$
\end{enumerate}
\vspace{10mm}

\subsection{解答}

\begin{center}
\begin{tabular}{||c||c|c||} \hline
  物理量                &  天王星     & 地球      \\ \hline
  有効放射温度 $T_e$ (K) & 55.8   & 255.0     \\ 
  平均分子量   $M$      &  2.3    & 28.8      \\ 
  定積比熱 (単位質量) $c_v$ 
  ($\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}$)
                        &  8490.7 & 721.4     \\
  定圧比熱 (単位質量) $c_p$
  ($\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}$)
                        & 12104   & 1009.9    \\
  比熱比 $\gamma$       & 1.43    & 1.4       \\
  音速 $c_s$ ($\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1}$) 
                        & 536.9   & 321.0     \\ 
  圧力スケールハイト $H_p$ (Km) 
                        & 23.4    & 7.51      \\
  断熱温度勾配 ($\mbox{K}\cdot\mbox{Km}^{-1}$)  
                        & 0.71    & 9.70      \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\section{練習問題解答例}

\begin{enumerate}
  \item 有効放射温度 $T_e$\\
        太陽定数を $S$, アルベドを $A$ , 
        ステファン-ボルツマン定数を $\sigma$ とすると, 
        有効放射温度を定める式は
        
        \begin{displaymath}
          \frac{1}{4}(1-A)S = \sigma T_e^4
        \end{displaymath}
        
        である. 地球大気の場合には
        \begin{displaymath}
            \frac{1}{4}(1-0.3) \times 1370 
          = 6.67 \times 10^{-8} T_{e Earth}^4
        \end{displaymath}
        
        よって
        \begin{displaymath}
          T_{e Earth} = 255.0 \ \ (\mbox{K})
        \end{displaymath}
        
        天王星大気の場合には
        \begin{displaymath}
            \frac{1}{4}(1-0.3) \times 3.70
          = 6.67 \times 10^{-8} T_{e Uranus}^4
        \end{displaymath}

        よって
        \begin{displaymath}
          T_{e Uranus} = 55.8 \ \ (\mbox{K})
        \end{displaymath}
  

  \item 平均分子量 $M$

        \begin{eqnarray*}
          & & M_E = 0.8 \times 28 + 0.2 \times 32 = 28.8, \\
          & & M_U = 0.85 \times 2 + 0.15 \times 4 = 2.3 \\
        \end{eqnarray*}

  \item ( 単位質量あたりの) 定積比熱 $c_v$, 定圧比熱 $c_p$, 
        比熱比 $\gamma$

        地球では 2 原子分子であるから
        \begin{eqnarray*}
          & & c_v = \frac{5}{2} R_{earth}
                  = \frac{5}{2} \times \frac{8.31}{28.8 \times 10^{-3}}
                  = 721.4 \ \ 
                    (\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}),\\
          & & c_p = \frac{7}{2} R_{earth}  
                  = \frac{7}{2} \times \frac{8.31}{28.8 \times 10^{-3}}
                  = 1009.9 \ \ 
                    (\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}),\\
          & & \gamma = \frac{7}{5} = 1.4
        \end{eqnarray*}
        
        天王星大気は 1原子分子と 2 原子分子の混合気体であるから
        \begin{eqnarray*}
          & & c_v =   \frac{5}{2} R \times 0.85
                    + \frac{3}{2} R \times 0.15
                  = 2.35 R
                  = 2.35 \times \frac{8.31}{2.3 \times 10^{-3}}
                  = 8490.7 \ \ 
                    (\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}),\\
          & & c_p = c_v + R
                  = 3.35 R
                  = 3.35 \times \frac{8.31}{2.3 \times 10^{-3}}
                  = 12104 \ \ 
                    (\mbox{J}\cdot\mbox{Kg}^{-1}\cdot\mbox{K}^{-1}),\\
          & & \gamma = \frac{3.35}{2.35} = 1.43
        \end{eqnarray*}

  \item 音速 $c_s$
        
        温度として先に計算した有効温度を用いることにすると, 
        地球大気では

        \begin{displaymath}
          c_{s E} = \sqrt{\gamma R_{earth} T}  
               = \sqrt{1.4 \times \frac{8.31}{28.8 \times 10^{-3}} 
                            \times 255.0} 
               = 321.0 \ \ (\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1})
        \end{displaymath}
        
        天王星大気では
        \begin{displaymath}
          c_{s U} = \sqrt{\gamma R T}  
               = \sqrt{1.43 \times \frac{8.31}{2.3 \times 10^{-3}} 
                            \times 55.8} 
               = 536.9 \ \ (\mbox{m}\cdot\mbox{s}^{-1})
        \end{displaymath}

  \item 圧力スケールハイト $H_p$
  
        温度を先に求めた有効放射温度を用いると, 
        地球大気の場合には
        \begin{displaymath}
          H_{p E} = \frac{R_{earth}T}{g} 
               = \frac{8.31}{28.8\times 10^{-3}} \times 255.0 
                   \times \frac{1}{9.8}
               = 7507.1 \ \ (\mbox{m})
               = 7.51 \ \ (\mbox{Km})
        \end{displaymath}
        
        天王星大気の場合には
        \begin{displaymath}
          H_{p U} = \frac{RT}{g} 
               = \frac{8.31}{2.3\times 10^{-3}} \times 55.8 
                   \times \frac{1}{9.8 \times 0.88}
               = 2.34 \times 10^4 \ \ (\mbox{m})
               = 23.4 \ \ (\mbox{Km})
        \end{displaymath}
        
  \item 断熱温度勾配 ${\displaystyle \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} }$
  
        理想気体の場合, 断熱温度勾配は
         ${\displaystyle 
            \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} = - \frac{g}{c_p}}$ 
        であるから, 
        地球大気の場合には
        \begin{displaymath}
            \left| \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} \right|
          = \frac{9.8}{1009.9} 
          = 0.00970 \ \ (\mbox{K}\cdot\mbox{m}^{-1})
          = 9.70 \ \ (\mbox{K}\cdot\mbox{Km}^{-1})
        \end{displaymath}
        
        天王星大気の場合には
        \begin{displaymath}
            \left|\left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} \right|
          = \frac{9.8 \times 0.88}{12104} 
          = 0.000712 \ \ (\mbox{K}\cdot\mbox{m}^{-1})
          = 0.71 \ \ (\mbox{K}\cdot\mbox{Km}^{-1})
        \end{displaymath}
\end{enumerate}

%========================================================================
\newpage

\section{参考文献}

  \begin{description}
    \item Conrath,B.J., Gautier,D., Hanel,R., Lindal,G.F., Martin,A.,
            1987 : 
          The Helium abundance of Uranus from Voyager mesurements.
          {\em J. Geophys. Res.}, {\bf 92}, 15003-15010

    \item Warwick,J.W., Evans,D.R., Romig,J.H., Sawyer,C.B.,
          Desch,M.,D., Kaiser,M.L., Alexander,J.K., Carr,T.D.,
          Staelin,D.H., Gulkis,S., Poynter,R.L., Aubier,M.,
          Boischot,A., Keblanc,Y., Lecacheux,A., Pederson,B.M.,
          Zarka,P., 1986 : 
        Voyager 2 radio observations of Uranus.
        {\em Science}, {\bf 233}, 102-106

    \item 国立天文台, 1992 : 理科年表, 丸善, 1040pp.

    \item 竹内均(編), 1990 :  太陽系のすべて, Newton 別冊, 教育社, 234pp.
  \end{description}

\vspace{2em}

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{\Large \bf 謝辞}
\vspace{1em}

本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行なわれていた,
流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっている.
原作版は竹広真一による「天王星現象論」 (92/10/16) であり,
林祥介によって地球流体電脳倶楽部版「天王星現象論」
として書き直された.
構成とデバッグに協力してくれたセミナー参加者のすべてにも
感謝しなければならない.

\end{document}
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