%表題  SPMODEL レファレンスマニュアル
%      チェビシェフ関数展開を利用したガラーキン法
%
%履歴  2006/01/06 作成  竹広真一
%      2006/01/14 非圧縮流体用定式化を別ファイルに分割
%      2011/01/23 非圧縮流体用定式化両端粘着条件バグ fix
%
\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{Dennou6}

\Dtitle[チェビシェフ・ガラーキン法]
       {チェビシェフ関数展開を利用した\\ガラーキン法}
\Dauthor{竹広真一}
\Ddate{平成 23 年 1 月 23 日}

\Dparskip

\begin{document}

\maketitle

この文書は, チェビシェフ関数展開ルーチンを利用した
ガラーキン法による数値計算の定式化を説明する. 

\section{チェビシェフ関数の性質}

  チェビシェフ関数系 $T_k(x)$ は区間 $[-1,1]$ で定義される関数からなり, 
  次の性質ような性質をもつ. 
  %
  \begin{itemize}
    \item 定義
      \begin{equation}
        x=\cos \theta; \quad T_k(x) = T_k(\cos\theta) = \cos k\theta.
      \end{equation}

    \item 微分の表現
        \footnote{
          \begin{eqnarray*}
            \DD{T_k}{x} 
            &=& \DD{T_k(\cos \theta)}{\theta}\DD{\theta}{x} = 
            = \frac{(\cos k \theta)'}{(cos\theta)'}
            = \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta},\\
            \DD[2]{T_k}{x} 
            &=&
              \DD{}{\theta}\left(\DD{T_k}{x}\right)\DD{\theta}{x}
            = \DD{}{\theta}\left(\frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}\right)
                     \frac{1}{(cos\theta)'}
            = \frac{k^2\cos k\theta\sin\theta - k\sin k\theta \cos\theta}
                   {-\sin^3\theta}.
          \end{eqnarray*}
        }
      \begin{equation}
        x=\cos\theta, \quad
        \DD{T_k}{x} = \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}, \quad
        \DD[2]{T_k}{x} 
          = \frac{-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta}
                 {\sin^3\theta}.
      \end{equation}

    \item 端点での値
        \footnote{
          \begin{eqnarray*}
           \left.\DD{T_k}{x}\right|_{x=1} 
             &=& \lim_{\theta\rightarrow 0} \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}
              = \lim_{\theta\rightarrow 0} 
                  k^2\frac{\sin k\theta}{n\theta}\frac{\theta}{\sin\theta}
              = k^2, \\
           \left.\DD{T_k}{x}\right|_{x=-1} 
             &=&\lim_{\theta\rightarrow \pi} \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}
              = \lim_{\varphi\rightarrow 0} 
                 \frac{k\sin k(\pi-\varphi)}{\sin(\pi-\varphi)}
              = \lim_{\varphi\rightarrow 0} 
                 \frac{-k\cos k\pi\sin\varphi}{\sin\varphi}\\
             &=& (-1)^{k+1}\lim_{\varphi\rightarrow 0} 
                 \frac{k\sin\varphi}{\sin\varphi}
              =  (-1)^{k+1}k^2, \\
           \left.\DD[2]{T_k}{x}\right|_{x=1} 
             &=& \lim_{\theta\rightarrow 0} 
                  \frac{-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta}
                       {\sin^3\theta}
              = \lim_{\theta\rightarrow 0} 
                 \frac{(-k^2\cos k\theta\sin\theta 
                         + k\sin k\theta \cos\theta)'}
                       {(\sin^3\theta)'}\\
             &=& \lim_{\theta\rightarrow 0} 
                 \frac{k^3\sin k\theta\sin\theta -k^2 \cos k\theta\cos\theta 
                       + k^2\cos k\theta \cos\theta -k\sin k\theta \sin\theta}
                       {3\sin^2\theta\cos\theta}\\
             &=& \lim_{\theta\rightarrow 0} 
                   k(k^2-1)\frac{\sin k\theta}{3\sin\theta\cos\theta}
              = \lim_{\theta\rightarrow 0} 
                   \frac{k^2(k^2-1)}{3}
                    \frac{\sin k\theta}{k\theta}
                    \frac{\theta}{\sin\theta}
                    \frac{1}{\cos\theta}
              = \frac{n^2(n^2-1)}{3}.\\
            \left.\DD[2]{T_k}{x}\right|_{x=-1} 
              &=& \lim_{\theta\rightarrow \pi}
                   \frac{-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta}
                        {\sin^3\theta}
               = \lim_{\theta\rightarrow \pi} 
                    k(k^2-1)\frac{\sin k\theta}{3\sin\theta\cos\theta}\\
              &=& \lim_{\varphi\rightarrow 0} 
                    \frac{k(k^2-1)}{3}
                    \frac{\sin k(\pi-\varphi)}
                         {\sin(\pi-\varphi)\cos(\pi-\varphi)}
               = \lim_{\varphi\rightarrow 0} 
                    \frac{k(k^2-1)}{3}
                    \frac{-\cos k\pi\sin k\varphi}
                         {-\sin\varphi\cos\varphi}\\
              &=& \lim_{\varphi\rightarrow 0} 
                    (-1)^k\frac{k(k^2-1)}{3}
                    \frac{\sin k\varphi}{\sin\varphi\cos\varphi}
               = (-1)^k\frac{k(k^2-1)}{3}
          \end{eqnarray*}
          }
      \begin{eqnarray}
        & & T_k(1) = 1, \quad T_k(-1) = (-1)^k, \\
        & & \left.\DD{T_k}{x}\right|_{x=1} = k^2, \quad 
            \left.\DD{T_k}{x}\right|_{x=-1} = (-1)^{k+1}k^2, \\
        & & \left.\DD[2]{T_k}{x}\right|_{x=1} = \frac{k^2(k^2-1)}{3}, \quad 
         \left.\DD[2]{T_k}{x}\right|_{x=-1}= (-1)^k\frac{k^2(k^2-1)}{3}.
      \end{eqnarray}

    \item 微分方程式
        \footnote{
          \begin{eqnarray*}
            \DD[2]{T_k}{x} 
             &=& \frac{-k^2\cos k\theta\sin\theta + k\sin k\theta \cos\theta}
                   {\sin^3\theta}.
              = -k^2\frac{\cos k\theta}{\sin^2\theta}
               + k\frac{\sin k\theta \cos\theta}{\sin^3\theta}.
              = -k^2\frac{T_k(x)}{1-x^2}
               + \frac{k\sin k\theta}{\sin\theta} 
                   \frac{\cos\theta}{\sin^2\theta}\\
             &=& -k^2\frac{T_k(x)}{1-x^2}
               + \DD{T_k}{x}
                   \frac{x}{1-x^2}
             \rightarrow (1-x^2)\DD[2]{T_k}{x}-x\DD{T_k}{x} +k^2T_k(x).
          \end{eqnarray*}
          }
      \begin{equation}
        (1-x^2)\DD[2]{T_k}{x} - x\DD{T_k}{x} + k^2 T_k = 0.
      \end{equation}

    \item 漸化式
      \footnote{
        三角関数の和を積に直す公式より
        \begin{displaymath}
          \cos(k+1)\theta + \cos(k-1)\theta = 2 \cos k\theta \cos\theta 
          \rightarrow T_{k+1}(x) + T_{k-1}(x) = 2x T_k(x).
        \end{displaymath}
        }
      \begin{equation}
        T_{k+1}(x) = 2xT_k(x) - T_{k-1}(x).
      \end{equation}

    \item 昇降漸化式
        \footnote{
          \begin{eqnarray*}
            T_{k+1}(x) 
              &=& \cos (k+1)\theta
               = \cos k\theta \cos\theta - \sin k\theta \sin\theta
               = x T_k(x) 
                  - \frac{1}{k}\frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}\sin^2\theta
               = x T_k(x) - \frac{1-x^2}{k}\DD{T_k}{x}, \\
            T_{k-1}(x) 
              &=& \cos (k-1)\theta
               = \cos k\theta \cos\theta + \sin k\theta \sin\theta
               = x T_k(x) 
                  + \frac{1}{k}\frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}\sin^2\theta
               = x T_k(x) + \frac{1-x^2}{k}\DD{T_k}{x}.
           \end{eqnarray*}
           }
      \begin{equation}
            T_{k\pm 1}(x) = x T_k(x) \mp \frac{1-x^2}{k}\DD{T_k}{x}
      \end{equation}

    \item 直交関係
        \footnote{
            \begin{displaymath}
              \int_{-1}^{1} T_k(x)T_l(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} 
                = \int_{pi}^{0} \cos k\theta \cos l\theta 
                   \frac{-\sin\theta \ d\theta}{\sin\theta}
                = \int_{0}^{\pi} \cos k\theta \cos l\theta \ d\theta.
            \end{displaymath}
          $k \neq l$ のとき
             \begin{eqnarray*}
               \int_{0}^{\pi} \cos k\theta \cos l\theta \ d\theta
               &=& \int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}
                    [ \cos(k+l)\theta + \cos(k-l)\theta]\ d\theta\\
               &=& \frac{1}{2}\left[
                     \frac{1}{k+l}\sin(n+m)\theta 
                     + \frac{1}{k-l}\sin(n-m)\theta \right]_0^\pi
                = 0.
            \end{eqnarray*}
          $k = l \neq 0$ のとき
             \begin{displaymath}
               \int_{0}^{\pi} \cos k\theta \cos l\theta \ d\theta
                =  \int_{0}^{\pi} \cos^2 k\theta \ d\theta
                =  \int_{0}^{\pi}\frac{1}{2}
                    [ 1 + \cos 2 k \theta ]\ d\theta
                = \frac{1}{2}\left[
                     \theta +
                     \frac{1}{2k}\sin 2k\theta \right]_0^\pi
                = \frac{\pi}{2}.
            \end{displaymath}
          $k = l = 0$ のとき
             \begin{displaymath}
               \int_{0}^{\pi} \cos k\theta \cos l\theta \ d\theta
                =  \int_{0}^{\pi} \ d\theta
                = \left[\theta \right]_0^\pi
                = \pi.
            \end{displaymath}
          }
      \begin{equation}
        \int_{-1}^{1} T_k(x)T_l(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} 
        = \alpha_k \delta_{kl},
      \end{equation}
      %
      ここで
      \begin{equation}
        \alpha_k=\left\{
        \begin{array}{ll}
          \pi    & k  = 0   \\
          \pi/2  & k \neq 0
        \end{array}
        \right..
      \end{equation}
      である. 

    \item 低次の関数形
      \begin{equation}
        T_0(x) = 1, \ T_1(x) = x, 
        \ T_2(x) = 2x^2-1, 
        \ T_3(x) = 4x^3-3x, 
        \ T_4(x) = 8x^4-8x^2 + 1, \ldots
      \end{equation}

  \end{itemize}


\section{チェビシェフ関数展開}

  区間 $[x_{min},x_{max}]$ でとある時間発展方程式と境界条件の下での解を
  ガラーキン法で数値計算したい. 
  区間 $[x_{min},x_{max}]$ で定義された関数 $f^*(x^*)$ は
  次の線形写像で区間 $[-1,1]$ での関数 $f(x)$ へと写される. 
  %
  \begin{equation}
     x^* = \frac{x_{max}+x_{min}}{2} + \frac{x_{max}-x_{min}}{2} \times x.
  \end{equation}
  %
  したがって, 区間 $[-1,1]$ で $f(x)$ をチェビシェフ関数で構成された
  境界条件を満たす関数系 $\phi_n(x)$ を用いて
  %
  \begin{equation}
    \Deqlab{ガラーキン展開}
    f(x) = \sum_{n=K_s}^{N}a_n\phi_n(x)
  \end{equation}
  %
  と表せればよい. 
  $\phi_n(x)$ はガラーキン法の基底関数系であり, 
  チェビシェフ関数の線形結合で表されるとする. 
  $K_s$ は基底関数のもっとも低い次数, $K$ が最高次の切断次数を表す. 
  %
  \begin{equation}
    \Deqlab{ガラーキン基底チェビシェフ展開}
    \phi_n(x) = \sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x)
  \end{equation}
  %
  $\phi_n(x)$ は $n$ 次の多項式であることに注意されたい. 
  $(A_{ln})$ は $(K+1) \times(K-K_s)$ の行列である. 

  一方で, $f(x)$ が $K$ 次までのチェビシェフ関数系 $T_k(x)$ で
  展開されているとする. すなわち
  %
  \begin{equation}
    \Deqlab{チェビシェフ展開}
    f(x) = \sum_{k=0}^{K}{}'' c_k T_k(x)
         \equiv \Dinv{2}c_0 T_0(x) 
                 +  \sum_{k=1}^{K-1}c_k T_k(x)
                 + \Dinv{2}c_K T_K(x)
         = \sum_{n=0}^{K}\beta_k c_k T_k(x)
  \end{equation}
  %
  ただし
  % 
  \begin{equation}
    \beta_k = \left\{
    \begin{array}{ccc}
      1/2  & \quad & (k=0,K) \\
      1    & \quad & (k \neq 0,K)
    \end{array}
    \right.
  \end{equation}
  %
  である. 

  \subsection{チェビシェフ係数からガラーキン係数の計算}

    いま $c_k$ を計算できているとして, ガラーキン法による展開係数 $a_n$ を
    求めることを考える. 
    \Deqref{ガラーキン展開}と\Deqref{ガラーキン基底チェビシェフ展開}から
    %
    \begin{displaymath}
      f(x) = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\phi_n(x)
           = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x).
    \end{displaymath}
    %
    これと\Deqref{チェビシェフ展開}が等しいので
    %
    \begin{equation}
      \Deqlab{17}
      \sum_{k=0}^{K}\beta_k c_k T_k(x)
       = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x).
    \end{equation}
    %
    両辺に $\Ddsty \phi_m(x)=\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x)$ ($m=k_s,\ldots,K$) を
    かけて $\Ddsty \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を作用させ, 
    チェビシェフ関数の直交関係を用いる. 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & &
      \sum_{k=0}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x)\beta_k c_k T_k(x)
       = \sum_{n=K_s}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x) 
        a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x), \\
      & &
      \sum_{k=0}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}\beta_k c_k 
           \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_l'(x)T_k(x)
       = \sum_{n=K_s}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}
        a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} 
        \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} T_l'(x) T_l(x), \\
      & &
      \sum_{k=0}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}\beta_k c_k 
           \alpha_k\delta_{l'k}
       = \sum_{n=K_s}^{K}\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}
        a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} 
        \alpha_l \delta_{l'l}, \\
      & &
      \sum_{k=0}^{K} \alpha_k \beta_k c_k A_{km}
       = \sum_{n=K_s}^{K} a_n \sum_{l=0}^{K}\alpha_l A_{lm} A_{ln},
    \end{eqnarray*}
    %
    ここで $\Ddsty B_{mn} \equiv\sum_{l=0}^{K}\alpha_l A_{lm} A_{ln} $ 
    と書き直すと行列の積の形にかけて
    %
    \begin{displaymath}
      \sum_{k=0}^{K} \alpha_k \beta_k c_k A_{km}
       = \sum_{n=K_s}^{K} B_{mn}a_n \quad (m=k_s,\ldots,K)
    \end{displaymath}
    %
    すなわち, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & &
      \left(\alpha_0 \beta_0 c_0,\ \cdots,\ \alpha_k \beta_k c_k, 
            \ \cdots,\ \alpha_K \beta_K c_K \right)
      \cdot
      \left(
        \begin{array}{ccccc}
          A_{0k_s} &\cdots& A_{0m} &\cdots& A_{Kk_s} \\
           \cdots  &      &  \cdots  &      & \cdots   \\
          A_{kk_s} &\cdots& A_{km} &\cdots& A_{kk_s} \\
           \cdots  &      &  \cdots  &      & \cdots   \\
          A_{Kk_s} &\cdots& A_{Km} &\cdots& A_{KK} 
        \end{array}
      \right)\\
     & & = 
      \left(
        \begin{array}{ccccc}
          B_{k_sk_s}&\cdots& B_{k_sm} &\cdots& B_{Kk_s} \\
           \cdots   &      &  \cdots  &      & \cdots   \\
          B_{kk_s}  &\cdots& B_{km} &\cdots& B_{kk_s} \\
           \cdots   &      &  \cdots  &      & \cdots   \\
          B_{Kk_s}  &\cdots& B_{Km} &\cdots& B_{KK} 
        \end{array}
      \right)
      \cdot
      \left(
        \begin{array}{c}
          a_{k_s} \\
          \cdots  \\
          a_{m}   \\
          \cdots  \\
          a_{K} 
        \end{array}
      \right)
    \end{eqnarray*}
    %
    この連立方程式を解くことにより $c_k$ から $a_n$ を求めることができる. 

  \subsection{ガラーキン係数からチェビシェフ係数の計算}

    逆にガラーキン法による展開係数 $a_k$ から $c_k$ を求めるための式は, 
    \Deqref{17}の両辺に $\Ddsty \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x) 
    \quad (m=0,\ldots,K)$ を作用させて直交関係を用いると良い. 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & &
      \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x) 
          \sum_{k=0}^{K}\beta_k c_k T_k(x)
       = \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x) 
          \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x), \\
      & &
      \sum_{k=0}^{K}\beta_k c_k
         \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x)T_k(x)
       = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}
           \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_m(x) T_l(x), \\
      & &
      \sum_{k=0}^{K}\beta_k c_k \alpha_m\delta_{mk}
       = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln} \alpha_m \delta_{ml},\\
      & &
      \alpha_m \beta_m c_m = \sum_{n=K_s}^{K} a_n A_{mn}\alpha_m,\\
      & &
      c_m = \frac{1}{\beta_m}\sum_{n=K_s}^{K} A_{mn}a_n, 
      \quad (m=0,\ldots,K).
    \end{eqnarray*}
    %
    行列の形で書き直すと
    %
    \begin{equation}
      \left(
      \begin{array}{c}
        c_0    \\ 
        \ldots \\
        c_m    \\
        \ldots \\
        c_K    
      \end{array}
      \right)
      =
      \left(
      \begin{array}{ccccc}
        A_{0,K_s}/\beta_0 & \ldots & A_{0,k}/\beta_0 &\ldots & A_{0,K}/\beta_0 \\
         \ldots &   \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
        A_{m,K_s}/\beta_m & \ldots & A_{m,k}/\beta_m &\ldots & A_{m,K}/\beta_m \\
         \ldots &   \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
        A_{K,K_s}/\beta_K & \ldots & A_{K,k}/\beta_K & \ldots & A_{K,K}/\beta_K
      \end{array}
      \right)
      \left(
      \begin{array}{c}
        a_{K_s} \\ 
        \ldots  \\
        a_k     \\
        \ldots  \\
        a_K    
      \end{array}
      \right)
    \end{equation}
  % 
%   あるいは行列を書き直して
%   %
%   \begin{equation}
%     c_n = \tilde{A}_{nk} a_k, \quad (n=0,\ldots,K, \ k=K_s,\ldots K)
%   \end{equation}
%   %
%   ただし
%   %
%   \begin{equation}
%      \tilde{A}_{nk} = 
%      \left\{
%        \begin{array}{cc}
%          2 A_{nk} &  (n=0,K)\\
%           A_{nk}  &  (n\neq 0,K)
%        \end{array}
%      \right.
%   \end{equation}

%   この式は未知数 $a_k$ が $(K-K_s+1)$ 個であるのに対して
%   条件式が $K$ 個と多すぎるので, 
%   高波数成分を切断し低波数成分に制限した連立方程式を構成する. 
%   すなわち
%   %
%   \begin{equation}
%     \left(
%     \begin{array}{c}
%       c_0    \\ 
%       \ldots \\
%       c_n    \\
%       \ldots \\
%       c_{K-K_s+1}
%     \end{array}
%     \right)
%     =
%     \left(
%     \begin{array}{ccccc}
%        2A_{0,K_s} & \ldots & 2A_{0,k} & \ldots & 2A_{0,K} \\
%        \ldots &   \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
%        A_{n,K_s} & \ldots & A_{n,k} & \ldots & A_{n,K} \\
%        \ldots &   \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
%        A_{K-K_s+1,K_s} & \ldots & A_{K-K_s+1,k} & \ldots & A_{K-K_s+1,K} \\
%     \end{array}
%     \right)
%     \left(
%     \begin{array}{c}
%       a_{K_s} \\ 
%       \ldots  \\
%       a_k     \\
%       \ldots  \\
%       a_K    
%     \end{array}
%     \right)
%   \end{equation}
%   %
%   あるいは, 
%   \begin{equation}
%     c_n = \tilde{A}_{nk} a_k, \quad (n=0,\ldots,K-K_s+1, \ k=K_s,\ldots K).
%   \end{equation}

%   この連立方程式をしかるべき方法で解くことにより, 
%   チェビシェフ展開係数 $c_n$ からガラーキン展開係数 $a_k$ を
%   求めることができる. 

%   逆にガラーキン展開係数 $a_k$ から チェビシェフ展開係数 $c_n$ を
%   計算するには, 
%   %
%   \begin{eqnarray*}
%    c_0 &=& \sum_{k=K_s}^{K} 2 A_{0k} a_k,\\
%    c_n &=& \sum_{k=K_s}^{K}  A_{nk} a_k, \quad (n=1,\ldots,K-1), \\
%    c_K &=& \sum_{k=K_s}^{K} 2 A_{Kk} a_k.
%   \end{eqnarray*}
%   %
%   あるいは
%   %
%   \begin{eqnarray*}
%    c_n &=& \sum_{k=K_s}^{K}  \tilde{A}_{nk} a_k, \quad (n=0,\ldots,K). \\
%   \end{eqnarray*}
%   \footnote{
%     非線形項のエイリアシングエラーを避けるために, 
%     格子点数に対してあえて切断波数を少なく選んでいる場合には
%     変換行列の最後の $N$ 次の行の 2 倍の係数が不要となることに注意されたい. 
%     }


  \subsection{境界値問題の解法}

    与えられた関数 $g(x)$ に対して, とある境界条件の下で
    %
    \begin{equation}
       {\cal L}[f(x)] = g(x)
    \end{equation}
    %
    を満たす関数 $f(x)$ を求めるという境界値問題を解くことを考える. 
    ここで ${\cal L}$ は $f(x)$ に働く線形微分作用素であるとする. 
    
    このような問題をチェビシェフ・ガラーキン法で解くには, 
    $f(x)$ を境界条件を満たすガラーキン基底で表現し, 
    %
    \begin{displaymath}
      f(x) = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\phi_n(x)
           = \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}T_l(x),
    \end{displaymath}
    %
    とおく. 
    一方, 与えられた関数 $g(x)$ はチェビシェフ関数展開されており, 
    %
    \begin{equation}
      g(x) = \sum_{k=0}^{K}{}''b_k T_k(x)=\sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k T_k(x)
    \end{equation}
    %
    そうすると
    %
    \begin{equation}
      \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}{\cal L}[T_l(x)]
      = \sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k T_k(x),
    \end{equation}
    %
    の式で $b_k$ から $a_n$ を求める式を構成すれば良い. 
    ${\cal L}$ は線形作用素であるから
    %
    \begin{equation}
      {\cal L}[T_l(x)] = \sum_{p=0}^{K} L_{lp}T_p(x)
    \end{equation}
    %
    の形に書き直せる. さらに
    両辺に $\Ddsty \phi_m(x)=\sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x)$ ($m=k_s,\ldots,K$) を
    かけて $\Ddsty \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ を作用させ, 
    チェビシェフ関数の直交関係を用いると, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x)
      \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}
      \sum_{p=0}^{K} L_{lp}T_p(x)
      &=& \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}T_l'(x)
        \sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k T_k(x), 
    \\
      \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}
      \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}
      \sum_{p=0}^{K} L_{lp}
          \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_l'(x)T_p(x) & & \\
      = \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}
        \sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k 
        \int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}T_l'(x)T_k(x), & & 
    \\
      \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}
      \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K} A_{ln}
      \sum_{p=0}^{K} L_{lp}
          \alpha_p \delta_{l'p}
      &=& \sum_{l'=0}^{K} A_{l'm}
        \sum_{k=0}^{K} \beta_k b_k 
        \alpha_k\delta_{l'k}
    \\
      \sum_{n=K_s}^{K}a_n\sum_{l=0}^{K}\sum_{p=0}^{K}
          A_{ln}L_{lp}\alpha_p A_{pm}
      &=& \sum_{k=0}^{K} \alpha_k\beta_k b_k A_{km}
    \end{eqnarray*}
    %
    ここで
    $\Ddsty D_{nm} \equiv \sum_{l=0}^{K}\sum_{p=0}^{K} A_{ln}L_{lp}\alpha_p A_{pm}$
    とおけば行列の形で書き直して
    %
    \begin{equation}
      \sum_{n=K_s}^{K}D_{nm} a_n 
      =\sum_{k=0}^{K} \alpha_k\beta_k b_k A_{km},
      \quad (m=k_s,\ldots,K)
    \end{equation}
    %
    \begin{eqnarray}
      & &
      (a_{k_s},\ \ldots,\ a_n, \ \ldots,\ a_K)\cdot
      \left(
        \begin{array}{ccccc}
          D_{k_sk_s} & \cdots & D_{k_s m} & \cdots & D_{k_s K} \\
            \cdots   &        & \cdots    &      & \cdots \\
          D_{n k_s} & \cdots & D_{n m} & \cdots & D_{n K} \\
            \cdots   &        & \cdots    &      & \cdots \\
          D_{K k_s} & \cdots & D_{K m} & \cdots & D_{K K} 
        \end{array}
      \right)\nonumber\\
      &=&
      (\alpha_0\beta_0 b_0,\ \ldots, \ \alpha_k\beta_k b_k,
      \ \ldots, \ \alpha_K\beta_K b_K)\cdot
      \left(
        \begin{array}{ccccc}
          A_{0k_s} & \cdots & A_{0 m} & \cdots & A_{0 K} \\
            \cdots   &        & \cdots    &      & \cdots \\
          A_{k k_s} & \cdots & A_{k m} & \cdots & A_{k K} \\
            \cdots   &        & \cdots    &      & \cdots \\
          A_{K k_s} & \cdots & A_{K m} & \cdots & A_{K K} 
        \end{array}
      \right)\nonumber\\
    \end{eqnarray}
    %
    この連立方程式を解くことにより $b_k$ から $a_n$ を求めることができる. 

\section[ディリクレ・ノイマン境界条件]
        {ディリクレ・ノイマン境界条件に対する定式化}

 \subsection{ディリクレ・ノイマン境界条件に対するガラーキン基底の例 : その 1}

  $k$ 次の基底が
  %
  \begin{displaymath}
    \phi_k(x) = T_k(x) + C_{k-1} T_{k-1}(x) + C_{k-2} T_{k-2}(x)
  \end{displaymath}
  %
  の場合の各境界条件に対応するガラーキン基底を求める($k=2,\ldots,K$). 
  この場合, チェビシェフ係数とガラーキン係数の間の変換行列 $(A_{ln})$ は
  %
  \begin{equation}
     A_{k,k} = 1, \quad A_{k-1,k} = C_{k-1}, \quad A_{k-2,k} = C_{k-2},
  \end{equation}
  %
  と与えられることになる. 

  \subsubsection{両端境界で値が 0 の場合(両端ディリクレ条件)}

    境界条件 $\phi_k(1) = \phi_k(-1) = 0$ より,
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1}  + C_{k-2} =0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^k + (-1)^{k-1} C_{k-1} + (-1)^{k-2} C_{k-2} =0.
    \end{eqnarray*}
    %
    これを解くと
    \begin{equation}
      C_{k-1}=0, \quad C_{k-2} = -1.
    \end{equation}
    %
    したがって
    \begin{equation}
      \phi_k(x) = T_k(x) - T_{k-2}(x).
    \end{equation}


  \subsubsection{両端境界で微分が 0 の場合(両端ノイマン条件)}

    区間両端での微分が 0 となる境界条件
    %
    \begin{equation}
      \DD{f}{x} = 0 \quad \mbox{at} \quad x=-1,1
    \end{equation}
    %
    の場合は  
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi'_k(1) = k^2 + (k-1)^2 C_{k-1} + (k-2)^2C_{k-2} =0, \\
      & & \phi'_k(-1) = (-1)^k k^2 
          + (-1)^{k-1} (k-1)^2 C_{k-1} + (-1)^{k-2}(k-2)^2 C_{k-2} =0.
    \end{eqnarray*}
    %
    ただしこの場合, $k=2$ では境界条件を満たすことができないので
    $k=3,\ldots,K$ である. 
    $k=2$ の基底は特別に扱い, $\phi_2(x)= T_0(x)$ とおく必要がある. 

    これを解くと, 
    \begin{equation}
      C_{k-1} = 0, \quad C_{k-2}=-\left(\frac{k}{k-2}\right)^2,
    \end{equation}
    %
    したがって
    \begin{equation}
      \phi_2(x) = T_0(x), \quad
      \phi_k(x) = T_k(x) - \left(\frac{k}{k-2}\right)^2T_{k-2}(x).
    \end{equation}
    %
    変換行列は
    \begin{eqnarray}
      & & A_{0,2} = 1, \nonumber\\
      & & A_{k,k} = 1, \quad
          A_{k-2,k} = - \left(\frac{k}{k-2}\right)^2 \quad
          (k=3,\ldots,K)
    \end{eqnarray}


  \subsubsection{片側端境界で値が 0, 他方で微分値が 0 の場合
                (片側ディリクレ, 片側ノイマン条件)}

    区間両端での条件が, 片側の値が 0, もう一方で微分値が 0 となる境界条件
    %
    \begin{equation}
      f(1) = 0, \quad  \left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} = 0,
    \end{equation}
    %
    の場合を考える. この境界条件から
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 +  C_{k-1} + C_{k-2} =0, \\
      & & \phi'_k(-1) = (-1)^k k^2 
          + (-1)^{k-1} (k-1)^2 C_{k-1} + (-1)^{k-2}(k-1)^2 C_{k-2} =0.
    \end{eqnarray*}
    %
    これを解くと, 
    \begin{equation}
      C_{k-1} = \frac{k^2-(k-2)^2}{(k-1)^2+(k-2)^2}, \quad
      C_{k-2} = -\frac{k^2+(k-1)^2}{(k-1)^2+(k-2)^2}, 
    \end{equation}

  \subsubsection{片側端境界で微分値が 0, 他方で値が 0 の場合
                (片側ノイマン, 片側ディリクレ条件)}

    区間両端での条件が, 片側の微分値が 0, もう一方で値が 0 となる境界条件
    \begin{equation}
      \left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} = 0, \quad , f(-1) = 0, 
    \end{equation}
    %
    の場合を考える. この境界条件から
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi'_k(1) = k^2 + (k-1)^2 C_{k-1} + (k-2)^2C_{k-2} =0, \\
      & & \phi'_k(-1) = (-1)^k  + (-1)^{k-1} C_{k-1} + (-1)^{k-2} C_{k-2} =0.
    \end{eqnarray*}
    %
    これを解くと, 
    \begin{equation}
      C_{k-1} = -\frac{k^2-(k-2)^2}{(k-1)^2+(k-2)^2}, \quad
      C_{k-2} = -\frac{k^2+(k-1)^2}{(k-1)^2+(k-2)^2}, 
    \end{equation}

  \subsection{一般的な混合境界条件}

    区間両端での条件が, ディリクレ・ノイマン型の混合した一般的な場合
    を考える. すなわち
    \footnote{
      区間 $[x_{min},x_{max}]$ での関数 $f^*(x^*)$ に対する
      境界条件が
      % 
      \begin{displaymath}
        \alpha^*_{1,x_{max}}\left.\DD{f^*}{x^*}\right|_{x^*=x_{max}}
           + \alpha^*_{0,x_{max}}f^*(x_{max}) = 0, \quad
         \alpha^*_{1,x_{min}}\left.\DD{f^*}{x^*}\right|_{x^*=x_{min}}
           + \alpha^*_{0,x_{min}}f^*(x_{min}) = 0,
      \end{displaymath}
      % 
      と与えられた場合の, 
      区間 $[-1,1]$ へ写された関数に対する境界条件を表すには
      微分関係
      %
      \begin{displaymath}
        \DD{f^*}{x^*} = \DD{x}{x^*}\DD{f}{x} 
         = \frac{2}{x_{max}-x_{min}}\DD{f}{x}
         \equiv\frac{1}{D_{fac}}\DD{f}{x}
      \end{displaymath}
      % 
      を気をつけなければならない. 
      ここで $D_{fac}\equiv (x_{max}-x_{min})/2$ である. 
      したがって, 対応する境界条件は
      %
      \begin{displaymath}
        \frac{\alpha^*_{1,x_{max}}}{D_{fac}}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=1}
           + \alpha^*_{0,x_{max}}f(1) = 0, \quad
        \frac{\alpha^*_{1,x_{min}}}{D_{fac}}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1}
           + \alpha^*_{0,x_{min}}f(-1) = 0,
      \end{displaymath}
      %
      となる. 
    }
    %
    \begin{eqnarray}
      & & \alpha_{1,1}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=1}+ \alpha_{0,1}f(1) = 0,\\
      & & \alpha_{1,-1}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1}+ \alpha_{0,-1}f(-1) =0, 
    \end{eqnarray}
    %
    ここで $\alpha_{i,j}$ は定数係数であり, $\alpha_{1,1}$と$\alpha_{0,1}$, 
    $\alpha_{1,-1}$と$\alpha_{0,-1}$
    および $\alpha_{0,1}$と$\alpha_{0,-1}$ は同時に 0 とはならないと
    仮定する. 
    この境界条件から
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \alpha_{1,1}\phi'(1)+ \alpha_{0,1}\phi(1) \\
      & &  =  \alpha_{1,1}(k^2 +(k-1)^2C_{k-1}+(k-2)^2C_{k-2})
            + \alpha_{0,1}(1 + C_{k-1}+ C_{k-2} ) =  0,\\
      & & \alpha_{1,-1}\phi'(-1)+ \alpha_{0,-1}\phi(-1) \\
      & &  = \alpha_{1,-1}[(-1)^{k+1}k^2 
                        + (-1)^k (k-1)^2 C_{k-1}+(-1)^{k-1}(k-2)^2C_{k-2}]\\
      & &  + \alpha_{0,-1}[(-1)^k + (-1)^{k-1} C_{k-1}+ (-1)^{k-2} C_{k-2} ]
        =  0,
    \end{eqnarray*}
    %
    行列の形式でかけば
    %
    \begin{displaymath}
      \left(
        \begin{array}{cc}
          a & b\\
          c & d 
        \end{array}
      \right)
      \left(
        \begin{array}{c}
          C_{k-1}\\C_{k-2}
        \end{array}
      \right)
      =
      \left(
        \begin{array}{c}
          e\\f
        \end{array}
      \right),
    \end{displaymath}
    %
    ただし
    %
    \begin{eqnarray*}
      a &=& \alpha_{1,1}(k-1)^2 + \alpha_{0,1} \\
      b &=& \alpha_{1,1}(k-2)^2 + \alpha_{0,1} \\
      c &=&  \alpha_{1,-1}(k-1)^2 - \alpha_{0,-1} \\
      d &=& -\alpha_{1,-1}(k-2)^2 + \alpha_{0,-1} \\
      e &=& -( \alpha_{1,1}k^2 + \alpha_{0,1}) \\
      f &=& -(-\alpha_{1,-1}k^2 + \alpha_{0,-1}).
    \end{eqnarray*}
    %
    これを解くと
    \begin{displaymath}
      \left(
        \begin{array}{c}
          C_{k-1}\\C_{k-2}
        \end{array}
      \right)
      =
      \frac{1}{ad-bc}
      \left(
        \begin{array}{cc}
          -d & -b\\
          -c & a 
        \end{array}
      \right)
      \left(
        \begin{array}{c}
          e\\f
        \end{array}
      \right)
      =
      \frac{1}{ad-bc}
      \left(
        \begin{array}{c}
          de-bf\\-ce+af
        \end{array}
      \right).
    \end{displaymath}

    係数行列の行列式が 0 となってしまう特別な場合として, 
    $k=2$ の係数行列式が 0 となる場合を考えよう. 
    このときには基底の一つが
    %
    \begin{displaymath}
      \phi_2(x) = C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x)
    \end{displaymath}
    %
    という形となることを意味している. 
    $C_1, C_0$ は片側の境界条件から定めることができて, 
    例えば $x=1$ での境界条件から
    %
    \begin{displaymath}
      \alpha_{1,1} C_1 + \alpha_{0,1}(C_1+ C_0) = 0, \quad
      (\alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1})C_1 + \alpha_{0,1}C_0 = 0,
    \end{displaymath}
    %
    すなわち
    \begin{equation}
      C_1 = -\alpha_{0,1}\quad C_0 = \alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1},
    \end{equation}
    %
    と定められる. したがって
    \begin{displaymath}
      \phi_2(x) = -\alpha_{0,1}T_1(x) + (\alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1})C_0 T_0(x).
    \end{displaymath}

    結局, この場合は変換行列の 0 行目だけ修正して
    \begin{eqnarray}
      & & A_{1,2} = -\alpha_{0,1}, \quad A_{0,2} = \alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1}\\
      & & A_{k,k} = 1, \quad A_{k-1,k} = C_{k-1}, \quad A_{k-2,k} = C_{k-2},
      \quad (k \ge 3).
    \end{eqnarray}
    % 
    と与えられることになる. 


 \subsection{ディリクレ・ノイマン境界条件に対するガラーキン基底の例 : その 2}
  
  \subsubsection{両端境界で値が 0 の場合(両端ディリクレ条件)}

    $T_k(1) = \cos 0 = 1$, $T_k(-1) = \cos k\pi = (-1)^k$ 
    である. 特に $T_0(1)=T_0(-1)=1, T_1(1)=1, T_1(-1)=-1$ 
    であるから, 
    両端で値が 0 となるようなガラーキン基底は
    %
    \begin{eqnarray*}
      \phi_2(x) = T_2(x) - T_0(x), &\quad& \phi_3(x) = T_3(x) - T_1(x), \\
        \ldots  & &  \ldots \\ 
      \phi_{2k}(x) = T_{2k}(x) - T_0(x), &\quad& 
            \phi_{2k+1}(x) = T_{2k+1}(x) - T_1(x), \\
        \ldots  & & \ldots \\
      \phi_{K-1}(x) = T_{K-1}(x) - T_1(x), &\quad& 
            \phi_{K}(x) = T_{K}(x) - T_0(x). 
    \end{eqnarray*}
    %
    暗黙のうちに $K$ が偶数であることを用いている. 
    変換行列 $(\tilde{A}_{nk})$ は
    \begin{equation}
      (\tilde{A}_{nk}) = 
      \left(
      \begin{array}{ccccccccccc}
        -1 &  0 & \ldots & -1 &  0 & \ldots & 0  & -1 \\
         0 & -1 & \ldots &  0 & -1 & \ldots & -1 & 0  \\
         1 &  0 & \ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  1 & \ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & \ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & \ldots &  1 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & \ldots &  0 &  1 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & \ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & \ldots &  0 &  0 & \ldots & 1  & 0  \\
         0 &  0 & \ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 1
      \end{array}
      \right)
    \end{equation}
    %
    解析的に書けば
    %
    \begin{eqnarray}
      \tilde{A}_{0,k} = -[1+(-1)^k]/2  &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{1,k} = -[1-(-1)^k]/2  &\quad & ( k=2,3,\ldots,K-1 )\\
      \tilde{A}_{k,k} =  1  &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )
    \end{eqnarray}

  \subsubsection{両端境界で微分が 0 の場合(両端ノイマン条件)}

    区間両端での微分が 0 となる境界条件
    %
    \begin{equation}
      \DD{f}{x} = 0 \quad \mbox{at} \quad x=-1,1
    \end{equation}
    %
    の場合を考える. 

    チェビシェフ関数の微分は
    %
    \begin{equation}
      \DD{T_k(x)}{x} = \DD{T_k(\cos\theta)}{\theta}
        = \frac{(\cos n\theta)'}{(\cos\theta)'}
        = \frac{n\sin n\theta}{\sin\theta}
    \end{equation}
    %
    $x=1$ での微分値は $\theta \rightarrow 0$ の極限をとって
    %
    \begin{equation}
      \DD{T_k(x)}{x}|_{x=1} 
         = \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{k\sin k\theta}{\sin\theta}
         = \lim_{\theta\rightarrow 0}
             k^2\frac{\sin n\theta}{k\theta}\frac{\theta}{\sin\theta}
         = k^2.
    \end{equation}
    %
    $x=-1$ での微分値は $\varphi=\pi-\theta $ と変換して
    %
    \begin{eqnarray}
      \DD{T_k(x)}{x}|_{x=-1} 
         &=& \lim_{\varphi\rightarrow 0}
               \frac{k\sin k(\pi-\varphi)}{\sin(\pi-\varphi)}
         = \lim_{\varphi\rightarrow 0}
               \frac{-k\cos k\pi\sin k\varphi}{\sin\varphi}\nonumber\\
         &=& \lim_{\varphi\rightarrow 0}
               (-1)^{k+1}k^2 \frac{\sin k\varphi}{n\varphi}
               \frac{\varphi}{\sin\varphi}
         = (-1)^{k+1}k^2.
    \end{eqnarray}
    %
    したがって, 境界条件を満たすガラーキン基底を
    \begin{eqnarray*}
      \phi_2(x) &=& T_0(x), \\
      \phi_3(x) &=& T_3(x)- 3^2 T_1(x) \\
      \phi_4(x) &=& T_4(x)- (4/2)^2 T_2(x) \\
               &\ldots& \\
      \phi_{2k-1}(x) &=& T_{2k-1}(x)- (2k-1)^2 T_1(x) \\
      \phi_{2k}(x) &=& T_{2k}(x)- k^2 T_2(x) 
    \end{eqnarray*}
    %
    これにあわせて変換行列は
    \begin{equation}
      (\tilde{A}_{nk}) = 
      \left(
      \begin{array}{cccccccccccc}
         0 &  0 & 1&  \ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
        -3^2 &0 &-5^2&\ldots & -(2k-1)^2 &  0 & \ldots & (K-1)^2  & 0 \\
         0 & -4^2&0& \ldots &  0 & -k^2 & \ldots & 0              & (K/2)^2  \\
         1 &  0 & 0 &\ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  1 & 0 &\ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & 1 &\ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & 0 &\ldots &  1 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & 0 &\ldots &  0 &  1 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & 0 &\ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 0  \\
         0 &  0 & 0 &\ldots &  0 &  0 & \ldots & 1  & 0  \\
         0 &  0 & 0 &\ldots &  0 &  0 & \ldots & 0  & 1
      \end{array}
      \right)
    \end{equation}

    解析的に書けば
    \begin{eqnarray}
      A_{0,2} = 1, \\
      A_{1,k} = -[1-(-1)^k] k^2/2  &\quad & ( k=3,4,\ldots,K-1 )\\
      A_{2,k} = -[1+(-1)^k] k^2/8  &\quad & ( k=3,4,\ldots,K )\\
      A_{k,k} =  1  &\quad & ( k=3,4,\ldots,K )
    \end{eqnarray}

  \subsubsection{片側端境界で値が 0, 他方で微分値が 0 の場合
                (片側ディリクレ, 片側ノイマン条件)}

    区間両端での条件が, 片側の値が 0, もう一方で微分値が 0 となる境界条件
    %
    \begin{equation}
      f(1) = 0, \quad  \left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} = 0,
    \end{equation}
    %
    の場合を考える. $k$ 次の基底を
    %
    \begin{displaymath}
      \phi_k(x) = T_k(x) + C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x)
    \end{displaymath}
    %
    と仮定する. 境界条件から
    \begin{displaymath}
      \phi'_k(-1) = (-1)^{k+1}\cdot k^2 + C_1 =0, \quad
      \phi_k(1) = 1 + C_1 + C_0 =0, 
    \end{displaymath}
    %
    これを解くと
    %
    \begin{displaymath}
      C_1 = (-1)^k\cdot k^2, \quad C_0 = (-1)^{k+1}\cdot k^2 - 1
    \end{displaymath}
    %
    よって基底関数は
    \begin{equation}
      \phi_n(x) = T_k(x) + (-1)^k\cdot k^2 T_1(x) 
                + [(-1)^{n+1}\cdot n^2 - 1] T_0(x).
    \end{equation}
    %
    対応して変換行列は
    %
    \begin{eqnarray}
      \tilde{A}_{0,k} = [(-1)^{k+1}\cdot k^2 - 1]  
                            &\quad & ( n=2,3,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{1,k} = (-1)^k\cdot k^2  
                            &\quad & ( n=2,3,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{k,k} =  1  &\quad & ( n=2,3,\ldots,K )
    \end{eqnarray}

  \subsubsection{片側端境界で微分値が 0, 他方で値が 0 の場合
                (片側ノイマン, 片側ディリクレ条件)}

    \begin{equation}
      \left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} = 0, \quad , f(-1) = 0, 
    \end{equation}
    %
    の場合を考える. 先と同様に $n$ 次の基底を
    %
    \begin{displaymath}
      \phi_k(x) = T_k(x) + C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x)
    \end{displaymath}
    %
    と仮定する. 境界条件から
    %
    \begin{displaymath}
      \phi_k(-1) = (-1)^{n} - C_1 + C_0 =0, \quad
      \phi'_k(1) = k^2 + C_1 =0, 
    \end{displaymath}
    %
    これを解くと
    %
    \begin{displaymath}
      C_1 = - k^2, \quad C_0 = - k^2 + (-1)^{k+1}
    \end{displaymath}
    %
    よって基底関数は
    \begin{equation}
      \phi_k(x) = T_k(x) - n^2 T_1(x) 
                + [- k^2 + (-1)^{k+1}] T_0(x).
    \end{equation}
    %
    対応して変換行列は
    %
    \begin{eqnarray}
      \tilde{A}_{0,k} =   [- k^2 + (-1)^{k+1}]
                            &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{1,k} = - k^2
                            &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{k,k}   =  1  &\quad & ( k=2,\ldots,K )
    \end{eqnarray}

  \subsection{一般的な混合境界条件}

    区間両端での条件が, ディリクレ・ノイマン型の混合した一般的な場合
    を考える. すなわち
    \footnote{
      区間 $[x_{min},x_{max}]$ での関数 $f^*(x^*)$ に対する
      境界条件が
      % 
      \begin{displaymath}
        \alpha^*_{1,x_{max}}\left.\DD{f^*}{x^*}\right|_{x^*=x_{max}}
           + \alpha^*_{0,x_{max}}f^*(x_{max}) = 0, \quad
         \alpha^*_{1,x_{min}}\left.\DD{f^*}{x^*}\right|_{x^*=x_{min}}
           + \alpha^*_{0,x_{min}}f^*(x_{min}) = 0,
      \end{displaymath}
      % 
      と与えられた場合の, 
      区間 $[-1,1]$ へ写された関数に対する境界条件を表すには
      微分関係
      %
      \begin{displaymath}
        \DD{f^*}{x^*} = \DD{x}{x^*}\DD{f}{x} 
         = \frac{2}{x_{max}-x_{min}}\DD{f}{x}
         \equiv\frac{1}{D_{fac}}\DD{f}{x}
      \end{displaymath}
      % 
      を気をつけなければならない. 
      ここで $D_{fac}\equiv (x_{max}-x_{min})/2$ である. 
      したがって, 対応する境界条件は
      %
      \begin{displaymath}
        \frac{\alpha^*_{1,x_{max}}}{D_{fac}}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=1}
           + \alpha^*_{0,x_{max}}f(1) = 0, \quad
        \frac{\alpha^*_{1,x_{min}}}{D_{fac}}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1}
           + \alpha^*_{0,x_{min}}f(-1) = 0,
      \end{displaymath}
      %
      となる. 
    }
    %
    \begin{eqnarray}
      & & \alpha_{1,1}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=1}+ \alpha_{0,1}f(1) = 0,\\
      & & \alpha_{1,-1}\left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1}+ \alpha_{0,-1}f(-1) =0, 
    \end{eqnarray}
    %
    ここで $\alpha_{i,j}$ は定数係数である. 
    この境界条件を満たす $n$ 次の基底を
    %
    \begin{displaymath}
      \phi_k(x) = T_k(x) + C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x)
    \end{displaymath}
    %
    と仮定する. 境界条件から
    %
    \begin{eqnarray*}
      & \alpha_{1,1}(k^2 + C_1) + \alpha_{0,1}(1+C_1+ C_0) = 0, \\
      & \alpha_{1,-1}[(-1)^{k+1}k^2 + C_1] 
         + \alpha_{0,-1}[(-1)^k - C_1 + C_0] = 0,
    \end{eqnarray*}
    %
    これを整理すると
    \begin{displaymath}
      \left(
      \begin{array}[]{cc}
        \alpha_{1,1}+\alpha_{0,1} & \alpha_{0,1} \\
        \alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1}& \alpha_{0,-1} 
      \end{array}
      \right)
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        C_1 \\ C_0
      \end{array}
      \right)
      = 
      -\left(
      \begin{array}[]{c}
        \alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}\\
        \alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k
      \end{array}
      \right),
    \end{displaymath}
    %
    よって, 左辺係数行列の行列式が 0 でない, すなわち
    \begin{equation}
      (\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1})\alpha_{0,-1}
                 -(\alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1})\alpha_{0,1}
     =\alpha_{1,-1}\alpha_{0,1}-\alpha_{1,1}\alpha_{0,-1}
        -2\alpha_{0,-1}\alpha_{0,1}
     \neq 0
    \end{equation}
    %
    の場合には $C_1, C_0$ を定めることができて, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      &&\left(
      \begin{array}[]{c}
        C_1 \\ C_0
      \end{array}
      \right)
      =
      -\frac{1}{(\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1})\alpha_{0,-1}
                 -(\alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1})\alpha_{0,1}}
      \left(
      \begin{array}[]{cc}
        \alpha_{0,-1}     & -\alpha_{0,1} \\
        -\alpha_{1,-1}+\alpha_{0,-1}& \alpha_{1,1}+\alpha_{0,1}
      \end{array}
      \right)\\
      &&\qquad\times
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        \alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}\\
        \alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k
      \end{array}
      \right)\\
      &&=
      \frac{1}{
        \alpha_{1,-1}\alpha_{0,1}-\alpha_{1,1}\alpha_{0,-1}
        -2\alpha_{0,-1}\alpha_{0,1}
      }\\
      &&\times
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        \alpha_{0,-1}[\alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}]
         -\alpha_{0,1}
          [\alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k]\\
        (-\alpha_{1,-1}+\alpha_{0,-1})(\alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1})
         + (\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1})
          [\alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k]
      \end{array}
      \right)
    \end{eqnarray*}

    対応する変換行列は
    %
    \begin{eqnarray}
      \tilde{A}_{0,k} =  C_0(k)
                            &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{1,k} =  C_1(k)
                            &\quad & ( k=2,3,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{k,k}   =  1  &\quad & (n=2,3,\ldots,K )
    \end{eqnarray}

    係数行列式が 0 となる場合には基底の取り方を変えなければならない. 
    係数行列式が 0 となる時には基底の一つが
    %
    \begin{displaymath}
      \phi_2(x) = C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x)
    \end{displaymath}
    %
    という形となることを意味している. 
    $C_1, C_0$ は片側の境界条件から定めることができて, 
    例えば $x=1$ での境界条件から
    %
    \begin{displaymath}
      \alpha_{1,1} C_1 + \alpha_{0,1}(C_1+ C_0) = 0, \quad
      (\alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1})C_1 + \alpha_{0,1}C_0 = 0,
    \end{displaymath}
    %
    すなわち
    \begin{equation}
      C_1 = -\alpha_{0,1}\quad C_0 = \alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1},
    \end{equation}
    %
    と定められる. したがって
    \begin{displaymath}
      \phi_2(x) = -\alpha_{0,1}T_1(x) + (\alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1})C_0 T_0(x).
    \end{displaymath}

    $n>2$ での境界条件を満たす $n$ 次の基底は
    %
    \begin{displaymath}
      \phi_k(x) = T_k(x) + C_2 T_2(x) + C_1 T_0(x)
    \end{displaymath}
    %
    と仮定する. 境界条件から
    %
    \begin{eqnarray*}
      & \alpha_{1,1}(k^2 + 4C_2 + C_1) + \alpha_{0,1}(1+C_2+ C_1) = 0, \\
      & \alpha_{1,-1}[(-1)^{k+1}k^2 - 4C_2+ C_1] 
         + \alpha_{0,-1}[(-1)^k + C_2 - C_1] = 0,
    \end{eqnarray*}
    %
    これを整理すると
    \begin{displaymath}
      \left(
      \begin{array}[]{cc}
        4\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1}  & \alpha_{1,1}+\alpha_{0,1} \\
       -4\alpha_{1,-1}+\alpha_{0,-1}& \alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1}
      \end{array}
      \right)
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        C_2 \\ C_1
      \end{array}
      \right)
      = 
      -\left(
      \begin{array}[]{c}
        \alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}\\
        \alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k
      \end{array}
      \right),
    \end{displaymath}
    %
    \begin{eqnarray*}
      &&\left(
      \begin{array}[]{c}
        C_2 \\ C_1
      \end{array}
      \right)
      =-\frac{1}{ad-bc}
      \left(
      \begin{array}[]{cc}
        d & -b \\
        -c & a
      \end{array}
      \right)\\
      &&\qquad\times
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        e \\ f
      \end{array}
      \right)\\
      &&=-\frac{1}{ad-bc}
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        de - bf \\ -ce + af
      \end{array}
      \right)
    \end{eqnarray*}
    %
    ただし
    \begin{eqnarray*}
      a &=& 4\alpha_{1,1}+\alpha_{0,1}   \\
      b &=& \alpha_{1,1}+\alpha_{0,1}    \\
      c &=& -4\alpha_{1,-1}+\alpha_{0,-1}\\
      d &=& \alpha_{1,-1}-\alpha_{0,-1}  \\
      e &=& \alpha_{1,1}\cdot k^2 + \alpha_{0,1}\\
      f &=& \alpha_{1,-1}\cdot (-1)^{k+1}k^2 + \alpha_{0,-1}\cdot (-1)^k
    \end{eqnarray*}
    %
    対応する変換行列は
    %
    \begin{eqnarray}
      \tilde{A}_{0,2} =  \alpha_{1,1}+ \alpha_{0,1}\\
      \tilde{A}_{1,2} =  -\alpha_{0,1}\\
      \tilde{A}_{1,k} =  C_1(k)
                            &\quad & ( k=3,4,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{2,k} =  C_2(k)
                            &\quad & ( k=3,4,\ldots,K )\\
      \tilde{A}_{k,k}   =  1  &\quad & (n=3,4,\ldots,K )
    \end{eqnarray}

    特別な場合に先の結果と一致することを確認しておこう. 

    $\alpha_{1,1}=\alpha_{1,-1}=0$,
    $\alpha_{0,1}=\alpha_{0,-1}=1$ の場合は両端ディリクレ条件に
    一致する. このとき上の係数 $C_1,C_0$ は
    %
    \begin{displaymath}
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        C_1 \\ C_0
      \end{array}
      \right)
      =-\frac{1}{2}
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        1 -(-1)^k\\
        1 + (-1)^k
      \end{array}
      \right)
    \end{displaymath}

    $\alpha_{1,1}=\alpha_{0,-1}=0$,
    $\alpha_{0,1}=\alpha_{1,-1}=1$ の場合は片側ディリクレ, 
    片側ノイマン条件に一致する. 
    このとき上の係数 $C_1,C_0$ は
    %
    \begin{displaymath}
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        C_1 \\ C_0
      \end{array}
      \right)
      =
      \left(
      \begin{array}[]{c}
         -(-1)^{k+1}\cdot k^2 \\
        -1 + (-1)^{k+1}\cdot k^2 
      \end{array}
      \right)
      =
      \left(
      \begin{array}[]{c}
         (-1)^k \cdot k^2 \\
         (-1)^{k+1} \cdot k^2 -1 
      \end{array}
      \right)
    \end{displaymath}

    $\alpha_{0,1}=\alpha_{1,-1}=0$,
    $\alpha_{1,1}=\alpha_{0,-1}=1$ の場合は
    もう一つの片側ディリクレ, 片側ノイマン条件に一致する. 
    このとき上の係数 $C_1,C_0$ は
    %
    \begin{displaymath}
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        C_1 \\ C_0
      \end{array}
      \right)
      =
      -
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        k^2 \\
        k^2 + (-1)^k
      \end{array}
      \right)
    \end{displaymath}

    $\alpha_{1,1}=\alpha_{1,-1}=1$,
    $\alpha_{0,1}=\alpha_{0,-1}=0$ の場合は両端ノイマン条件に
    一致する. このとき上の係数 $C_2,C_1$ は 
    $ a = 4, b = 1, c = -4, d = 1, e = k^2 , f = (-1)^{k+1}k^2 $
    より
    \begin{eqnarray*}
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        C_2 \\ C_1
      \end{array}
      \right)
      =-\frac{1}{8}
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        k^2 - (-1)^{k+1}k^2 \\  4 k^2 + 4 (-1)^{k+1}k^2 
      \end{array}
      \right)
      =
      \left(
      \begin{array}[]{c}
        -[1 + (-1)^k]k^2/8 \\ -[1- (-1)^k]k^2/2 
      \end{array}
      \right)
    \end{eqnarray*}
    %
    また最低次の基底は
    %
    \begin{displaymath}
      \phi_2(x) = T_0(x)
    \end{displaymath}
    %
    である. 


\section[非圧縮流体のための定式化]
        {非圧縮流体の流線関数・ポテンシャルのための定式化}

 \subsection{非圧縮流体の流線関数・ポテンシャルのための
             ガラーキン基底の例 : その 1}

  $n$ 次の基底が
  %
  \begin{displaymath}
    \phi_k(x) = T_k(x) + C_{k-1} T_{k-1}(x) 
              +C_{k-2} T_{k-2}(x) + C_{k-3} T_{k-3}(x) + C_{k-4} T_{k-4}(x)
  \end{displaymath}
  %
  の場合の各境界条件に対応するガラーキン基底を求める. 
  この場合, チェビシェフ係数とガラーキン係数の間の変換行列 $(A_{ln})$ は
  %
  \begin{eqnarray}
    & & A_{k,k} = 1, \nonumber\\
    & & A_{k-1,k} = C_{k-1,k}, \quad A_{k-2,k} = C_{k-2}, \\
    & & A_{k-3,k} = C_{k-3,k}, \quad A_{k-4,k} = C_{k-4}, \nonumber
  \end{eqnarray}
  %
  と与えられることになる. 

  \subsubsection{両境界で粘着条件の場合}

    両境界で粘着条件の場合を考える. 
    この場合区間両端での条件は, 値と微分値がともに 0 となる境界条件となる. 
    すなわち, 
    %
    \begin{equation}
      f(1) = f(-1) = 0, \quad
      \left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} = \left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} = 0.
    \end{equation}
    %
    境界条件を適用すると, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} + C_{k-3} + C_{k-4}  = 0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^{k}(
                1 - C_{k-1} + C_{k-2} - C_{k-3} + C_{k-4} ) = 0, \\
      & & \phi'_k(1) = T'_k + T'_{k-1}C_{k-1} +  T'_{k-2}C_{k-2} +  
                       T'_{k-3}C_{k-3} +  T'_{k-4}C_{k-4}  = 0, \\
      & & \phi'_k(-1) = (-1)^{k}(
                T'_k - T'_{k-1}C_{k-1} +  T'_{k-2}C_{k-2} 
                     - T'_{k-3}C_{k-3} +  T'_{k-4}C_{k-4}  ) = 0.
    \end{eqnarray*}
    %
    ここで $\Ddsty T'_k = \left.\DP{T_k}{x}\right|_{x=1}=k^2$ である. 
    これを解くと
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & C_{k-1}=C_{k-3}=0, \\
      & & C_{k-2}=-\frac{T'_{k}-T'_{k-4}}{T'_{k-2}-T'_{k-4}} 
                 = -\frac{2(k-2)}{k-3},
         \\
      & & C_{k-4}=\frac{T'_{k}-T'_{k-2}}{T'_{k-2}-T'_{k-4}} 
         = \frac{k-1}{k-3}.
    \end{eqnarray*}
    %

  \subsubsection{両境界で自由すべり条件の場合}

    両境界で自由すべり条件の場合を考える. 
    この場合区間両端での条件は, 
    値と 2 階微分値がともに 0 となる境界条件となる. 
    すなわち, 
    %
    \begin{equation}
      f(1) = f(-1) = 0, \quad
      \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=-1} = \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=1} = 0.
    \end{equation}
    %
    境界条件を適用すると, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} + C_{k-3} + C_{k-4}  = 0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^{k}(
                1 - C_{k-1} + C_{k-2} - C_{k-3} + C_{k-4} ) = 0, \\
      & & \phi''_k(1) = T''_k + T''_{k-1}C_{k-1} +  T''_{k-2}C_{k-2} +  
                       T''_{k-3}C_{k-3} +  T''_{k-4}C_{k-4}  = 0, \\
      & & \phi''_k(-1) = (-1)^{k}(
                T''_k - T''_{k-1}C_{k-1} +  T''_{k-2}C_{k-2} 
                     - T''_{k-3}C_{k-3} +  T''_{k-4}C_{k-4}  ) = 0.
    \end{eqnarray*}
    %
    ここで 
    $\Ddsty T''_k = \left.\DP[2]{T_k}{x}\right|_{x=1}=\frac{k^2(k^2-1)}{3}$ 
    である. これを解くと
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & C_{k-1}=C_{k-3}=0, \\
      & & C_{k-2}=-\frac{T''_{k}-T''_{k-4}}{T''_{k-2}-T''_{k-4}}, \\
      & & C_{k-4}=\frac{T''_{k}-T''_{k-2}}{T''_{k-2}-T''_{k-4}} 
    \end{eqnarray*}
    %

  \subsubsection{片側自由すべり条件, 他方粘着条件の場合}

    片側自由すべり条件, 他方粘着条件の場合を考える. 
    この場合, 片側境界にて値と 2 階微分値, 
    もう一方では値と 1  階微分値が 0 となる境界条件となる. すなわち, 
    %
    \begin{equation}
      f(1) = f(-1) = 0, \quad
      \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=1} = \left.\DD[1]{f}{x}\right|_{x=-1} = 0.
    \end{equation}
    %
    境界条件を適用すると, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} + C_{k-3} + C_{k-4}  = 0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^{k}(
                1 - C_{k-1} + C_{k-2} - C_{k-3} + C_{k-4} ) = 0, \\
      & & \phi''_k(1) = T''_k + T''_{k-1}C_{k-1} +  T''_{k-2}C_{k-2} +  
                       T''_{k-3}C_{k-3} +  T''_{k-4}C_{k-4}  = 0, \\
      & & \phi'_k(-1) = (-1)^{k}(
                T'_k - T'_{k-1}C_{k-1} +  T'_{k-2}C_{k-2} 
                     - T'_{k-3}C_{k-3} +  T'_{k-4}C_{k-4}  ) = 0,
    \end{eqnarray*}
    %
    である. これを解くと
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & C_{k-1}= - C_{k-3}, \\
      & & C_{k-2}= - C_{k-4}-1, \\
      & & C_{k-3}=\frac{1}{\Delta}
           (T'_{k-2}-T'_{k-4})(T''_{k}-T''_{k-2})
           -(T''_{k-2}-T''_{k-4})(T'_{k}-T'_{k-2}), \\
      & & C_{k-4}=\frac{1}{\Delta}
           (T'_{k-1}-T'_{k-3})(T''_{k}-T''_{k-2})
           +(T''_{k-1}-T''_{k-3})(T'_{k}-T'_{k-2}),
    \end{eqnarray*}
    %
    ここで
    %
    \begin{displaymath}
      \Delta=(T''_{k-1}-T''_{k-3})(T'_{k-2}-T'_{k-4})
            +(T'_{k-1}-T'_{k-3})(T''_{k-2}-T''_{k-4})
    \end{displaymath}
    %
    である. 

  \subsubsection{片側粘着条件, 他方自由すべり条件の場合}

    片側粘着条件, 他方自由すべり条件の場合を考える. 
    この場合, 片側境界にて値と 1 階微分値, 
    もう一方では値と 2 階微分値が 0 となる境界条件となる. すなわち, 
    %
    \begin{equation}
      f(1) = f(-1) = 0, \quad
      \left.\DD[]{f}{x}\right|_{x=1} = \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=-1} = 0.
    \end{equation}
    %
    境界条件を適用すると, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_{k-1} + C_{k-2} + C_{k-3} + C_{k-4}  = 0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^{k}(
                1 - C_{k-1} + C_{k-2} - C_{k-3} + C_{k-4} ) = 0, \\
      & & \phi'_k(1) = T'_k + T'_{k-1}C_{k-1} +  T'_{k-2}C_{k-2} +  
                       T'_{k-3}C_{k-3} +  T'_{k-4}C_{k-4}  = 0, \\
      & & \phi''_k(-1) = (-1)^{k}(
                T''_k - T''_{k-1}C_{k-1} +  T''_{k-2}C_{k-2} 
                     - T''_{k-3}C_{k-3} +  T''_{k-4}C_{k-4}  ) = 0,
    \end{eqnarray*}
    %
    である. これを解くと
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & C_{k-1}= - C_{k-3},\\
      & & C_{k-2}= - C_{k-4}-1,\\
      & & C_{k-3}=\frac{1}{\Delta}
           (T''_{k-2}-T''_{k-4})(T'_{k}-T'_{k-2})
           -(T'_{k-2}-T'_{k-4})(T''_{k}-T''_{k-2}), \\
      & & C_{k-4}=\frac{1}{\Delta}
           (T''_{k-1}-T''_{k-3})(T'_{k}-T'_{k-2})
           +(T'_{k-1}-T'_{k-3})(T''_{k}-T''_{k-2}),
    \end{eqnarray*}
    %
    ここで
    %
    \begin{displaymath}
      \Delta=(T'_{k-1}-T'_{k-3})(T''_{k-2}-T''_{k-4})
            +(T''_{k-1}-T''_{k-3})(T'_{k-2}-T'_{k-4})
    \end{displaymath}
    %
    である. 


  \subsection{非圧縮流体の流線関数・ポテンシャルのための
              ガラーキン基底の例 : その 2}

  $n$ 次の基底が
  %
  \begin{displaymath}
    \phi_k(x) = T_k(x) + C_3 T_3(x) + C_2 T_2(x) + C_1 T_1(x) + C_0 T_0(x)
  \end{displaymath}
  %
  の場合の各境界条件に対応するガラーキン基底を求める. 
  この場合, チェビシェフ係数とガラーキン係数の間の変換行列 $(A_{ln})$ は
  %
  \begin{eqnarray}
    & & A_{k,k} = 1, \nonumber\\
    & & A_{3,k} = C_3, \quad A_{2,k} = C_2, \\
    & & A_{1,k} = C_1, \quad A_{0,k} = C_0, \nonumber
  \end{eqnarray}
  %
  と与えられることになる. 

  \subsubsection{両境界で粘着条件の場合}

    両境界で粘着条件の場合を考える. 
    この場合区間両端での条件は, 値と微分値がともに 0 となる境界条件となる. 
    すなわち, 
    %
    \begin{equation}
      f(1) = f(-1) = 0, \quad
      \left.\DD{f}{x}\right|_{x=-1} = \left.\DD{f}{x}\right|_{x=1} = 0.
    \end{equation}
    %
    境界条件を適用すると, 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_3 + C_2 + C_1 + C_0  = 0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^{k} -C_3 + C_2 - C_1 + C_0  = 0, \\
      & & \phi'_k(1) = k^2 + 9 C_3 + 4 C_2 + C_1 = 0, \\
      & & \phi'_k(-1) = (-1)^{k+1} k^2 + 9 C_3 - 4 C_2 + C_1 = 0. 
    \end{eqnarray*}
    %
    これを解くと
    %
    \begin{eqnarray}
      & & C_3 = \frac{1}{16}[1-(-1)^k](1-k^2), \
          C_2 = -\frac{1}{8}[(-1)^k+1]k^2,  \\
      & & C_1 = -\frac{1}{16}[1-(-1)^k](9-k^2),\
          C_0 = \frac{1}{8}[(-1)^{k}+1](k^2-4).
    \end{eqnarray}

  \subsubsection{両境界で自由すべり条件}

    両境界で自由すべり条件の場合を考える. 
    この場合区間両端での条件は, 値と 2 階微分値がともに 0 となる境界条件
    となる. すなわち, 
    %
    \begin{equation}
      f(1) = f(-1) = 0, \quad
      \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=-1} = \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=1} = 0.
    \end{equation}
    %
    境界条件から
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_3 + C_2 + C_1 + C_0  = 0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^{n} -C_3 + C_2 - C_1 + C_0  = 0, \\
      & & \phi''_k(1) = \frac{k^2(k^2-1)}{3} + 24 C_3 + 4 C_2  = 0, \\
      & & \phi''_k(-1) = (-1)^k\frac{k^2(k^2-1)}{3} - 24 C_3 + 4 C_2 = 0. 
    \end{eqnarray*}
    %
    これを解くと
    %
    \begin{eqnarray}
      & & C_3 = -\frac{1}{144}[1-(-1)^k]k^2(k^2-1), \\
      & & C_2 = -\frac{1}{24}[(-1)^k+1]k^2(k^2-1), \\
      & & C_1 = \frac{1}{144}[1-(-1)^k][k^2(k^2-1)-72],\\
      & & C_0 = \frac{1}{24}[(-1)^k+1][k^2(k^2-1)-12].
    \end{eqnarray}

  \subsubsection{片側自由すべり条件, 他方粘着条件の場合}

    片側自由すべり条件, 他方粘着条件の場合を考える. 
    この場合, 片側境界にて値と 2 階微分値, 
    もう一方では値と 1 階微分値が 0 となる境界条件となる. すなわち, 
    %
    \begin{equation}
      f(1) = f(-1) = 0, \quad
      \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=1} = \left.\DD[]{f}{x}\right|_{x=-1} = 0.
    \end{equation}
    %
    境界条件から
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_3 + C_2 + C_1 + C_0  = 0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^{n} -C_3 + C_2 - C_1 + C_0  = 0, \\
      & & \phi''_k(1) = \frac{k^2(k^2-1)}{3} + 24 C_3 + 4 C_2  = 0, \\
      & & \phi'_k(-1) = (-1)^{k+1}k^2 + 9 C_3 -4 C_2 + C_1 = 0. 
    \end{eqnarray*}
    %
    これを解くと
    %
    \begin{eqnarray}
      & & C_3 = -\frac{1}{32}\left[\frac{1}{3}k^2(k^2-1)+(-1)^{k+1}k^2 
                                   - \frac{1-(-1)^k}{2}\right], \\
      & & C_2 = -\frac{1}{48}k^2(k^2-1)+\frac{3}{16}(-1)^{k+1}k^2
                -\frac{3}{32}[1-(-1)^k],\\
      & & C_1 =  \frac{1}{96}k^2(k^2-1)+\frac{1}{32}(-1)^{k+1} k^2
                -\frac{33}{64}[1-(-1)^k],\\
      & & C_0 = \frac{1}{48}k^2(k^2-1)  -\frac{3}{16}(-1)^{k+1} k^2
                +\frac{3}{32}[1-(-1)^k] - \frac{1}{2}[1+(-1)^k].
    \end{eqnarray}

  \subsubsection{片側粘着条件条件, 他方自由すべりの場合}

    片側粘着条件, 他方自由すべり条件の場合を考える. 
    この場合, 片側境界にて値と 1 階微分値, 
    もう一方では値と 2 階微分値が 0 となる境界条件となる. すなわち, 
    %
    \begin{equation}
      f(1) = f(-1) = 0, \quad
      \left.\DD[]{f}{x}\right|_{x=1} = \left.\DD[2]{f}{x}\right|_{x=-1} = 0.
    \end{equation}
    %
    境界条件から
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \phi_k(1) = 1 + C_3 + C_2 + C_1 + C_0  = 0, \\
      & & \phi_k(-1) = (-1)^{n} -C_3 + C_2 - C_1 + C_0  = 0, \\
      & & \phi'_k(1) =  k^2 + 9 C_3 + 4 C_2  = 0, \\
      & & \phi''_k(-1) = (-1)^{k}\frac{k^2(k^2-1)}{3} - 24 C_3 + 4 C_2 + C_1 = 0. 
    \end{eqnarray*}
    %
    これを解くと
    %
    \begin{eqnarray}
      & & C_3 =  \frac{1}{32}\left[\frac{(-1)^k}{3}k^2(k^2-1)-k^2 
                                   + \frac{1-(-1)^k}{2}\right], \\
      & & C_2 = -\frac{(-1)^k}{48}k^2(k^2-1)-\frac{3}{16}k^2
                +\frac{3}{32}[1-(-1)^k],\\
      & & C_1 = - \frac{(-1)^k}{96}k^2(k^2-1)+\frac{1}{32} k^2
                -\frac{33}{64}[1-(-1)^k],\\
      & & C_0 = \frac{(-1)^k}{48}k^2(k^2-1) +\frac{3}{16}k^2
                -\frac{3}{32}[1-(-1)^k] - \frac{1}{2}[1+(-1)^k].
    \end{eqnarray}


\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
