\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{Dennou6}
\Dtitle{�太��ӱ����ΰ�Ǥ�\\���ڥ��ȥ�ˡ�ˤ���꼰��}
\Dauthor{�ݹ�����}
\Ddate{2007 ǯ 12 �� 28 ��}

\begin{document}

\maketitle

�����ǤϤȤ�������������ȶ�������太��ӱߤˤ����Ʋ򤯤����
���ڥ��ȥ�ˡ���꼰����Ԥ�. ư��������Ÿ�����Ѥ�������ӥ����մؿ���
�����ˤĤ��Ƥ���ʸ��֥����ӥ����մؿ��Ѵ�ˡ�פ򻲾Ȥ��줿��. 

\section{ư��������Υ����}

  \subsection{���Ѵ������Ѵ�}

    ư�������ˤϸ������ð����򤫤魯�����, 
    ���եȤ��줿 2 ���ΰ������Υ����ӥ����մؿ�Ÿ�����Ѥ���. 
    %
    \begin{equation}
      f(r) = \sum_{k=0}^{N}\tilde{f}_k r^nT_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right),
      \quad 0\le r \le a.
    \end{equation}
    %
    ������ $r$ ��ư�º�ɸ, $a$ �ϵ太��ӱ��פ�Ⱦ�¤Ǥ���. 
    �Ť� $r^n$ �Ͽ�ʿ������Υ�������줿�ȿ���ʬ�����ޤ�ؿ��Ǥ���, 
    ������Ϣ³��ʬ��ǽ�Ǥ����狼��Ƴ�����. 
    %
    ���Ѵ���
    %
    \begin{equation}
      \tilde{f}_k
      = \frac{2}{\pi c_k}\int_{-1}^{1}\frac{f(x)}{r^n}T_k(x)w(x)dx, \quad
      x = 2(r/a)^2 -1
    \end{equation}
    %
    ������ $c_k$ �� $k=0$ �� 2, $k\ge 1$ �� 1 ��Ȥ뷸���Ǥ���. 
    ��������˳ʻ���������ʤ������ӥ�����--������--�����
    (Chebyshev-Gauss-Radau)�ʻ�����Υ��������. ���ʤ��
    %
    \begin{equation}
      x_j = \cos\frac{2\pi j}{2N+1}, \quad w_j = \left\{
        \begin{array}[]{ll}
          \frac{\pi}{2N+1} & (j=0)\\ \frac{2\pi}{2N+1} & (1\le j\le N)
        \end{array}
        \right.
    \end{equation}
    %
    $T_k(\cos\theta) = \cos(k\theta)$ �Ǥ��뤳�Ȥ��Ѥ����, ���Ѵ�����ʬ��
    %
    \begin{equation}
      \tilde{f}_k
      = \frac{2}{\pi c_k}\sum_{j=0}^{N}
          \frac{f(x_j)}{r_j^n}\cos\frac{2\pi kj}{2N+1} w_j, 
      \quad r_j = a\sqrt{\frac{1+x_j}{2}}
    \end{equation}
    %
    ���Ѵ���
    %
    \begin{equation}
      f(x_j) = r_j^n\sum_{k=0}^{K}
              \tilde{f}_k\cos\frac{2\pi jk}{2N+1}
    \end{equation}

  \subsubsection{��ʬ}

    $f(x_j) = \sum_{k=0}^{K} \tilde{f}_k T_k(x_j)$ ���Ф���
    ���� $x$ ��ʬ��
    %
    \begin{displaymath}
      f'(x_j) = \sum_{k=0}^{K}d_k T_k(x_j)
    \end{displaymath}
    %
    ��ɽ�������ӥ������Ѵ����� $\{d_k\}$ ��
    ��ȤΥ����ӥ������Ѵ����� $\{c_k\}$ ���鼡�Τ褦�˷׻������
    \footnote{
      �ºݤ� $f'(x)$ ����ʬ���Ƥߤ��, �����ӥ����մؿ�����ʬ�θ�������
      \begin{eqnarray*}
        \int f'(x)dx &=& \sum_{k=0}^{K} d_k \int T_k(x) dx\\
              &=& C + d_0 T_1(x)
                + \frac{1}{4}d_1 T_2(x)
                +\sum_{k=2}^{K} d_k
                  \frac{1}{2}\left\{\frac{1}{n+1}T_{k+1}(x)
                                    -\frac{1}{n-1}T_{k-1}(x)\right\}\\
              &=& C + d_0 T_1(x)
                + \frac{1}{4}d_1 T_2(x)
                +\frac{1}{2}\sum_{k=3}^{K+1} d_{k-1}
                  \frac{1}{k}T_{k}(x)
                -\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{K-1} d_{k+1} 
                       \frac{1}{k}T_{k}(x)\\
              &=& C + d_0 T_1(x)
                + \frac{1}{4}d_1 T_2(x)
                + \sum_{n=3}^{K-1}\frac{1}{2k}(d_{k-1}-d_{k+1})T_{k}(x)\\
              &&+ \frac{1}{2K}d_{K-1}T_K(x) + \frac{1}{2(K+1)}d_{K}T_{K+1}(x)
                - \frac{1}{2}d_2T_1(x) - \frac{1}{4}d_3T_2(x)\\
              &=& C
                + \frac{1}{2}(2d_0 - d_2)T_1(x)
                + \frac{1}{4}(d_1 - d_3)T_2(x)
                + \sum_{n=3}^{K-1} \frac{1}{2n}(d_{n-1}-d_{n+1})T_{n}(x)\\
              &&+ \frac{1}{2K}d_{K-1}T_K(x) + \frac{1}{2(K+1)}d_{K}T_{K+1}(x)\\
              &=& C + \frac{1}{2}(2d_0 - d_2)T_1(x)
                + \sum_{n=2}^{K-1} \frac{1}{2n}(d_{n-1}-d_{n+1})T_{n}(x)\\
              &&+ \frac{1}{2K}d_{K-1}T_K(x) + \frac{1}{2(K+1)}d_{K}T_{K+1}(x)
      \end{eqnarray*}
      %
      ������ C ����ʬ����Ǥ���. 
      ����� $f(x)dx = \sum_{k=0}^{K} c_kT_k(x)$ ����Ӥ���, 
      %
      \begin{displaymath}
        C = c_0 \quad
        c_1 = \frac{1}{2}(2d_0 - d_2) \quad
        c_n = \frac{1}{2n}(d_{n-1}-d_{n+1}) \quad (n=2,2,\ldots K-1), \quad
        c_K = \frac{1}{2K}d_{K-1}, \quad d_K = 0.
      \end{displaymath}
    }.
    %
    \begin{equation}
      d_{n-1} = d_{n+1} + 2 n c_n \quad(n=K-1,k-2,\ldots,2), \quad
      d_0 = (d_2 + 2 c_1)/2
    \end{equation}
    %
    ����� $d_K=0, d_{K-1}= 2Kc_K$ ����Ƶ�Ū�˷׻�������ɤ�. 

    �����, 
    %
    \begin{displaymath}
      f(r) = \sum_{k=0}^{N}\tilde{f}_k r^n T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
    \end{displaymath}
    %
    ���Ф��Ƥ� $r$ �˴ؤ�����ʬ��
    %
    \begin{eqnarray*}
      f'(r) &=& 
          \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k \frac{4r^{n+1}}{a^2}
                                  T_k'\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
               + \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k nr^{n-1}
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
            &=& \frac{4r}{a^2}\sum_{k=0}^{K}r^n\tilde{f}_k 
                                  T_k'\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
               + \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_knr^{n-1} 
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
            &=& \frac{4r}{a^2}\sum_{k=0}^{K}r^n\tilde{g}_k 
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
               + \frac{n}{r}\sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k r^n
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right).
    \end{eqnarray*}
    %
    $g_k$ ��������������Ѥ��Ƥ��Υ����ӥ����շ�����
    �׻����뤳�Ȥ��Ǥ���. 

    $r$ �˴ؤ��� 2 ����ʬ�Ϥ���� $r$ ����ʬ����
    \begin{eqnarray*}
      f''(r) &=& 
                \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k \frac{16r^{n+2}}{a^4}
                                  T_k''\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
               + \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k \frac{4(n+1)r^n}{a^2}
                                  T_k'\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
             &&+ \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k \frac{4nr^{n}}{a^2}
                                  T_k'\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
               + \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k n(n-1)r^{n-2}
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
             &=& \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k \frac{16r^{n+2}}{a^4}
                                  T_k''\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
               + \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k \frac{4(2n+1)r^n}{a^2}
                                  T_k'\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
             & &+ \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k n(n-1)r^{n-2}
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
             &=& \frac{16r^2}{a^4}\sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k r^n
                                  T_k''\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
               + \frac{4(2n+1)}{a^2}\sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k r^n
                                  T_k'\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
             & &+ \frac{n(n-1)}{r^2}\sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k r^n
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
             &=& \frac{16r^2}{a^4}\sum_{k=0}^{K}\tilde{h}_k r^n
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
               + \frac{4(2n+1)}{a^2}\sum_{k=0}^{K}\tilde{g}_k r^n
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)\\
             & &+ \frac{n(n-1)}{r^2}\sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k r^n
                                  T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
    \end{eqnarray*}
    $h_k$ ������������� 2 ���Ѥ��Ƥ��Υ����ӥ����շ�����
    �׻����뤳�Ȥ��Ǥ���. 


  \subsubsection{�ΰ�����ʬ}

    $f(r)$ ���ΰ���ʬ $\Ddsty \int_{0}^a f(r) dr$ ��Υ���ʻ��������
    %
    \begin{displaymath}
      f(r_j), \quad
      r_j= a\sqrt{\frac{1+\cos x_j}{2}}, 
      \quad x_j=\frac{2j\pi}{2N+1} \quad j=0,\ldots,N
    \end{displaymath}
    %
    �������¤Ȥ���ɽ������. ���Τ���˴ؿ� f(r) ��Ťߤλؿ� $n=0$ ��
    �Ѵ�����. 
    %
    \begin{eqnarray*}
      & &\int_{0}^a f(r) dr
       = \int_{0}^a \sum_{k=0}^{K} f_k T_k\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)dr
    \end{eqnarray*}
    %
    $\cos\theta=2(r/a)^2 -1 $ ���ѿ��Ѵ�����.
    $\Ddsty r=a\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}},
      -\sin \theta d\theta= 4r/a^2 dr$ �Ǥ��뤫��
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \int_{0}^a f(r) dr 
       = \int_{\pi}^{0} \sum_{k=0}^{K}
              \tilde{f}_k T_k(\cos\theta)
                 (-\sin\theta)\frac{a}{4}\sqrt{\frac{2}{1+\cos\theta}}d\theta\\
      &=& \frac{a}{4} \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k 
            \int_{0}^{\pi}\cos(k\theta)2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)
           d\theta 
       = \frac{a}{4} \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k 
            \int_{0}^{\pi}\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)\theta
                          -\sin\left(k+\frac{1}{2}\right)\theta
           d\theta\\
      &=& \frac{a}{4} \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k 
            \left[-\frac{\cos\left(k+\frac{1}{2}\right)\theta}
                        {k+\frac{1}{2}}
                  +\frac{\cos\left(k-\frac{1}{2}\right)\theta}
                        {k-\frac{1}{2}}
            \right]_0^\pi
      = \frac{a}{4} \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k 
            \left[\frac{1}{k+\frac{1}{2}}
                  -\frac{1}{k-\frac{1}{2}}
            \right]\\
      &=& \frac{a}{4} \sum_{k=0}^{K}\tilde{f}_k 
                  \frac{1}{\frac{1}{4}-k^2}
    \end{eqnarray*}
    %
    ����˺��� 
    \begin{displaymath}
       \tilde{f}_k = \frac{2}{\pi c_k}\sum_{j=0}^{N}
                       f(x_j)\cos\frac{2\pi kj}{2N+1} w_j, 
    \end{displaymath}
    %
    �����������¤ΤȤ�����դˤ����
    %
    \begin{eqnarray*}
      & & \int_0^a f(r) dr
       = \frac{a}{4}\sum_{k=0}^{K}\frac{1}{\frac{1}{4}-k^2}\tilde{f}_k 
       = \frac{a}{4}\sum_{k=0}^{K}
              \frac{1}{\frac{1}{4}-k^2}
               \frac{2}{\pi c_k}\sum_{j=0}^{N}
                       f(x_j)\cos\left(\frac{2\pi kj}{2N+1}\right)w_j\\
      &=& \frac{a}{2\pi}\sum_{j=0}^{N}f(x_j) w_j
            \sum_{k=0}^{K}\frac{1}{c_k}\cos\left(\frac{2\pi kj}{2N+1}\right)w_j
              \frac{1}{\frac{1}{4}-k^2}\\
      &=& \sum_{j=0}^{N} f(x_j) w_j \frac{a}{2\pi}
           \sum_{k=0}^{N}\frac{1}{c_k}
              \frac{1}{\frac{1}{4}-k^2}
                \cos\frac{2\pi kj}{2N+1}
    \end{eqnarray*}
    %
    �������ä�
    %
    \begin{displaymath}
      \int_{-1}^1 f(x) dx = \sum_{j=0}^{N}v_j f(x_j), \quad
      v_j \equiv \frac{2}{a\pi}w_j 
               \sum_{k=0}^{K}\frac{1}{c_k}
                       \frac{1}{\frac{1}{4}-k^2}
                       \cos\frac{2\pi kj}{2N+1}
    \end{displaymath}
    


\section{��ξ��}

  \subsection{����Ĵ��ȡ��Ÿ��}

    �������� $C^{\infty}$ ���Ϣ³�ؿ� 
    \begin{equation}
    f(\lambda,\varphi,r), \quad 0 \le \lambda \le 2\pi, 
                        -\pi/2\le \varphi \le\pi/2, 0 \le r \le a,
    \end{equation}
    %
    ��ͤ���. $\lambda,\varphi,r$ �Ϥ��줾�����, ����, ư�¤Ǥ���. 

    ��ʿ�����ˤϵ���Ĵ��ȡ��
    %
    \begin{equation}
      Y_n^m(\lambda,\varphi) = P_n^m(\sin\varphi)e^{im\lambda}
    \end{equation}
    %
    ��Ÿ�����ư���. ���ʤ��
    %
    \begin{equation}
      f(\lambda,\varphi,r) 
      = \sum_{n=0}^{N}\sum_{m=-n}^n \hat{f}_{nm}(r)Y_n^m(\lambda,\varphi).
    \end{equation}
    %
    ���ΤȤ�, $f_{nm}(r)$ ��, $f$ �� $C^{\infty}$ ���Ϣ³������ 
    $r^n$ ���ʾ�μ��Ǥ��뤳�Ȥ��������. 
    \footnote{
      ���ɸ(���ٷ���ư�º�ɸ)��ľ��ľ����ɸ��ɽ�魯��
      %
      \begin{equation}
        x=r\cos\varphi\cos\lambda, \quad
        y=r\cos\varphi\sin\lambda, \quad
        z=r\sin\varphi
      \end{equation}
      %
      �Ǥ���. 
      ����Ĵ��ȡ�� $Y_n^m(\lambda,\varphi)$ �� $r^n$ �򤫤�����Τ�
      $x,y,z$ �� $n$ ����Ʊ�����Ȥ��ƽ�ɽ����(����, 1954, ������ 1959). 
      �ʤ��ʤ��
      �른���ɥ���ȡ����
      %
      \begin{displaymath}
        P_n^m(\sin\varphi) 
        = \cos^m\varphi\sum_{k=0}^{\ge\frac{n-m}{2}} c_k \sin^{n-m-2k}\varphi
      \end{displaymath}
      %
      ��ɽ�蘆���. ���γƹ�� $r^n e^{i m\lambda}$ 
      �򤫤���� $x+iy=e^{i\lambda}\cos\varphi$ �Ǥ��뤫��
      %
      \begin{eqnarray*}
         r^n e^{i m\lambda} \sin^m\varphi\cos^{n-m-2k}\varphi 
          = (x+iy)^m z^{n-m-2k}(x^2 + y^2 + z^2)^k.
      \end{eqnarray*}
      %
      �������ä�, 
      $f(\lambda,\varphi,r)$ �����Ĵ��ȡ��Ÿ������ $n$ ���μ�
      $\hat{f}_{nm}(r)Y_n^m(\lambda,\varphi)$ ���Ф���
      $\hat{f}_{nm}$ ��������˵�� $r^n$ �ο���򤹤��, 
      ����� $x,y,z$ �� $n$ ��¿�༰�Ȥʤ긶�����ð�����⤿��
      $C^{\infty}$ ��Ǥ��뤳�Ȥˤʤ�. 

      �դ�,$\hat{f}_{nm}$ �����䤫�� $r^l, l<n$ �ȿ����񤦤ʤ��, 
      $x,y,z$ ��Ʊ������ $r^{n-l}$ �ǳ�ä���Τˤʤ�Τ��ð�����
      ���Ĥ��Ȥˤʤ�. 
    }
    ư�������ˤ�, �����Ǥε���Ĵ��ȡ��Ÿ����ʬ�ζ������������θ����
    %
    \begin{equation}
      \hat{f}_{nm}(r)
      = \sum_{l=0}^{L}\tilde{f}_{nml}r^{[1-(-1)^l]/2}
             T_l\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
    \end{equation}
    %
    ��Ÿ�����뤳�Ȥˤ���(Boyd, 2001)
    \footnote{
      �����Ǥο����񤤤���Ÿ����
      %
      \begin{displaymath}
        \hat{f}_{nm}(r)
        = \sum_{l=0}^{L}\tilde{f}_{nml}r^l T_l\left(2\frac{r^2}{a^2}-1\right)
      \end{displaymath}
      %
      �Ȥ������Ȥ�������, ����Ū�˽�ʬ�����٤������ʤ��ä��Τ�
      ���Τ褦��Ÿ���λ������ѹ�����. 
    }.


\section{�ߤξ��}

  \subsection{�ա��ꥨŸ��}

    �������� $C^{\infty}$ ���Ϣ³�ؿ� 
    \begin{equation}
       f(r,\phi) \quad 0\le r \le a, 0 \le \phi \le 2\pi, 
    \end{equation}
    %
    ��ͤ���. $r,\phi$ �Ϥ��줾��ư�¤����̳ѤǤ���. 
    
    ��ʿ�����ˤϥա��ꥨŸ�����ư���. ���ʤ��
    %
    \begin{equation}
      g(r,\phi) 
      = g^-(r) + 2 \mbox{\rm Re}\left\{
                   \sum_{m=1}^\infty \hat{g}_{m}(r)e^{im\phi}\right\}
    \end{equation}
    %
    ���ΤȤ�, $g_{m}(r)$ ��, $g$ �� $C^{\infty}$ ���Ϣ³������ 
    $r^m$ ���ʾ�μ��Ǥ��뤳�Ȥ��������(�в�, 2003). 
    \footnote{
      2 �����˺�ɸ��ľ��ľ����ɸ��ɽ�魯��
      %
      \begin{equation}
        x=r\cos\varphi, \quad y=r\sin\varphi. 
      \end{equation}
      %
      $g(x,y)$ ��������˵�� $C^\infty$ �Ǥ���ˤ�
      $x,y$ �ǥƥ��顼Ÿ����ǽ�Ǥʤ���Фʤ�ʤ�. 
      ���ΤȤ� $z=x+iy=re^{i\phi}, z^*=x-iy=re^{-i\phi}$
      �Ǥ�Ÿ���Ǥ��ͤФʤ�ʤ�. 
      �������� $m$ ���Ф��� $m=k-l$ �ʤ� $k,l$ �����֤�
      %
      \begin{displaymath}
        z^k (z^*)^l = r^k e^{ik\phi} r^l e^{il\phi}
                    = r^{k+l} e^{i(k-l)\phi}
                    = r^{m+2l} e^{im\phi}
      \end{displaymath}
      %
      �������ä� $e^{im\phi}$ �η��� $\hat{g}^m(r)$ �ϸ�����˵��
      $r^m$ �ǿ������ʤ���Фʤ�ʤ�. 
    }


\begin{Dreference}
  \item ���� ����, 1954: 
    �����ʳؼԤΤ���ο��س���, ���� 722pp. 

  \item ���� �˰�, ������ ���͵�, �쾾 ��, 1959:
    ���ظ��� III -- �ü�ؿ� --, ���� 310pp. 

  \item �в�����, 2003:
    �����ΰ���������������Ф��륹�ڥ��ȥ�ˡ I. ����. 
    �ʤ���, 22, 345--358.

  \item Boyd, J. P., 2001:
    Chebyshev and Fourier spectral methods (2nd Edition).
    Dover, 668pp.     

\end{Dreference}
 

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
