%2015/06/30
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\chapter{相関 k 分布法による吸収断面積, 散乱断面積の計算}
\section{はじめに}
GCM での放射計算のための相関 k 分布法による吸収断面積, 散乱断面積の計算について述べる. 

\section{吸収物質が1種類の場合}

\subsection{吸収断面積の計算}

大気層中の吸収物質が1種類の分子種の場合を考える. 

今, line-by-line 法により, 波数 $\nu$ での吸収断面積 $\sigma( \nu)$ は既知とする. k 分布法のバンド幅 ($\nu_{\rm min}$ - $\nu_{\rm max}$) を決め, そのバンド内で吸収断面積を単調増加関数である分布関数 $\sigma_g(g) で表す. ただし, g は積算確率である. $ このときバンドの平均透過率 $\bar{\mathcal{T}}$ は

\begin{eqnarray}
\bar{\mathcal{T}} &=& \frac{1}{\nu_{\rm min} - \nu_{\rm max}} \int^{\nu_{\rm max}}_{\nu_{\rm min}} \exp[-\sigma(\nu)u]d\nu \\
&=& \int^1_0 \exp[\sigma_g(g)u]dg
\end{eqnarray}
ここで, $u$ は大気層中の吸収物質のカラム量である. ここで吸収断面積を積算確率に対して離散化すれば, 近似的に

\begin{eqnarray}
\bar{\mathcal{T}}  \simeq \sum^1_0 \exp[\sigma_{gi}u] \Delta g_i
\end{eqnarray}
と表すことができる. ここで $\sigma_{gi} は \Delta g_i $での吸収断面積である. $\sigma_{gi}$ は透過率が変化しないという条件: 
\begin{eqnarray}
\int^{ \sum^{i}_1 \Delta g_i}_{ \sum^{i-1}_1 \Delta g_i} \exp[\sigma_g(g)u]dg = \exp[\sigma_{gi}u] \Delta g_i
\end{eqnarray}
が成り立っているとすれば, 
\begin{eqnarray} 
\label{eq:ksigma}
\sigma_{gi} = -\frac{1}{u} \log \left[ \frac{1}{\Delta g_i}\int^{ \sum^{i}_1 \Delta g_i}_{ \sum^{i-1}_1 \Delta g_i} \exp[\sigma_g(g)u]dg \right]
\end{eqnarray}
となる. 

この $\sigma_{gi} を適当な圧力p, 温度T, 体積混合比x の範囲でバンドごとに計算し, \sigma_{gi} (p, T, x)$のテーブルを作成する. 

ここで $\sigma_{gi}$ の計算には, $u, \Delta g_i$ を与える必要がある. これらは, 計算しようとしている大気を想定して与える. 今, 想定している大気の典型的なプロファイルを用意し, 圧力レベルが $p_j$ で与えられたとする. $(p_a, T_a, x_a)$ での吸収断面積を計算しようとする場合, $p_j < p_a < p_{j-1}$ となる圧力レベルから $\Delta p_j = p_{j-1} - p_j$ を求めれば, このときのカラム量 $u_a$ は
\begin{eqnarray}
u_a = x_a \frac{\Delta p_j}{g} \frac{N_a}{\bar{M}}
\end{eqnarray}
となる. ここで, $gは重力加速度, N_a はアヴォガドロ数, \bar{M} は平均分子量である. $

積算確率の離散化は, まず参照圧力, 温度, 体積混合比を決め, そのときの吸収断面積をもとに行う. 今, この吸収断面積をバンド内で吸収断面積が単調増加関数である分布関数 $\sigma_g(g) $で並べ替え, 吸収断面積を対数等間隔に $N$ 等分する. このとき離散化された積算確率は

\begin{eqnarray}
\sigma_g \left(\sum^l_{i=1} \Delta g_i \right) = \exp \left[ \log \left(\frac{\sigma_g(1)}{\sigma_g(0)} \right) \frac{l}{N} + \log(\sigma_g(0)) \right]. 
\end{eqnarray}

さらに, 今積算確率を $L (L \leq N)$ 領域に離散化しようとするとき, $\Delta g_i$ の組み合わせで得ることができる $ L の場合の数は, {}_{N-1} C_{L-1}$ である. これらすべての積算確率の組み合わせに対し, 吸収断面積を計算し, テーブルの作成を行う. 尚, 相関 k 分布法を仮定しているので, 参照圧力, 温度, 体積混合比以外の吸収断面積も離散かされた積算確率は参照条件の場合と同じである. 
このようにして得られた $ {}_{N-1} C_{L-1}$ 通りの吸収係数セットに対し, 今想定している大気の典型的なプロファイルのもとで line-by-line 放射計算を行った場合の加熱率との比較を各バンドごとに行い, line-by-line 計算との誤差が最も小さいものをバンドごとに選び出す. 

\begin{eqnarray}
errHR_{c,b} = \sum^{\rm jmax}_{j=1} W_j |\frac{HR_{c,b,j} - HR_{line, j}}{HR_{line, j}}|
\end{eqnarray}
ここで, $errHR_{c,b} はバンド b, 積算確率が c の場合の加熱率の誤差, HR_{c,b,j} は k 分布モデルによる加熱率, HR_{line, b, j} は$line-by-line モデルによる加熱率, $W_j$ は重み関数である. バンドごとに $errHR_{c,b} が最も小さくなる積算確率の組み合わせ c を選ぶ. $

\subsection{散乱断面積の計算}
分子による散乱を想定し, 可視光領域より長波長領域を考えれば, バンド内($\nu_{\rm min}$ ～ $\nu_{\rm max}$) での散乱断面積は単調な関数であると考えられる. 散乱断面積の波数空間での増減は吸収断面積のそれとは無関係であり, またバンド内での散乱断面積の大小の差は, 吸収断面積のそれに比べて小さいと仮定し, バンド内で吸収断面積は1つの値$\sigma_s$で代表させる. 式($\ref{eq:ksigma}$) を参考にすれば, このときの散乱断面積$\sigma_s$ は以下のようになる. 
\begin{eqnarray} 
\sigma_{s} = -\frac{1}{u} \log \left[ \int^{1}_{0} \exp[\sigma_g(g)u]dg \right]
\end{eqnarray}
波数空間での散乱断面積は line-by-line 計算により得られ, 散乱体の大気層中のコラム量$u$は, 吸収断面積の計算の場合と同様に与えれば, 上式よりバンドごとの散乱断面積を得ることができる. 
