%2015/04/01
%2015/04/01

\chapter{光学的厚さの計算}

ある大気層の光学的厚さ$\tau$の定式化を記述する。

計算しようとする大気層に対して、与えられている物理量は大気層の上端、下端の圧力$p^{\prime}$, 温度$T^{\prime}$, 体積混合比$x^{\prime}$である。

\begin{itemize}
 \item $p^{\prime}_{t}$: 上端の圧力
 \item $p^{\prime}_{b}$: 下端の圧力
 \item $T^{\prime}_{t}$: 上端の温度
 \item $T^{\prime}_{b}$: 下端の温度
 \item $x^{\prime}_{m, t}: 大気層上端の分子mの体積混合比$
 \item $x^{\prime}_{m, b}: 大気層下端の分子mの体積混合比$
\end{itemize}

また、計算しようとしている光学的厚さ$\tau$は大気層に対して与えられる値である。ここでは、大気層の上端下端で与えられる物理量にはプライム($\prime$)をつけ、大気層を代表する物理量にはプライムをつけない。

\begin{itemize}
 \item $\tau_{m}: 大気分子mの光学的厚さ$
 \item $\tau: 大気の光学的厚さ$
\end{itemize}

さらに必要な物理量を以下のように定義する。

\begin{itemize}
 \item $p$: 大気層を代表する圧力
 \item $T$: 大気層を代表する温度
 \item $x_{m}: 分子mの、大気層を代表する体積混合比$
 \item $k^{\prime}_{m, t}$: 分子mの、上端の吸収係数
 \item $k^{\prime}_{m, b}$: 分子mの、下端の吸収係数
 \item $k_{m}: 分子mの、大気層を代表する吸収係数$
 \item $u_{m}: 大気層中の分子mの分子の数$
 \item $g: 重力加速度$
 \item $N_{a}: アヴォガドロ数$
 \item $M_{ave}: 平均分子量$
\end{itemize}


\begin{verbatim}

 大気層上端 --------------- p'_t, T'_t, x'_m,t, k'_m,t


             -  -  -  -  -  p, T, x_m, k_m, u_m, tau_m, tau


 大気層下端 --------------- p'_b, T'_b, x'_m,b, k'_m,b

\end{verbatim} %\vspace{-2ex}



1. 大気層の上端、下端の吸収係数の計算


大気層中に含まれる分子$m$による、波数$\nu$の吸収係数$k^{\prime}_{m, j}(\nu)$は、圧力$p^{\prime}_{j}$、温度$T^{\prime}_{j}$、大気層に含まれる分子の体積混合比$x^{\prime}_{m, j}$を使って計算することができる($j: t \ $or$ \ b, m: 1, 2, ・・・n(n$は今考えている大気層中の大気分子の種類の数))。

\begin{eqnarray}
k^{\prime}_{m, j}(\nu) = k^{\prime}_{m, j}(\nu, p^{\prime}_{j}, T^{\prime}_{j}, x^{\prime}_{m, j})
\end{eqnarray} 

※体積混合比はself-broadening, foreign-broadeningの大きさを決める。今考えている分子$m$と同じ分子がどれだけあるか、違う分子がどれだけあるかが分かればよいので、吸収係数$k^{\prime}_{m,j}の引数は、分子mの分圧x^{\prime}_{m,j}のみでよい$。

2. 大気層を代表する吸収係数の計算

分子$m$の大気層を代表する吸収係数$k_{m}$は、大気上端下端の吸収係数$k^{\prime}_{m, j}$に分子の数の重みをつけて平均することで求める。大気上端下端における分子$mの数密度n^{\prime}_{m, j}$は

\begin{eqnarray}
n^{\prime}_{m, j} = \frac{p^{\prime}_{j}}{RT^{\prime}_{j}} x^{\prime}_{m,j}
\end{eqnarray}
となり($R$は気体定数)、分子$m$の大気層を代表する吸収係数$k_{m}(\nu)$は以下のようにかける。

\begin{eqnarray}
k_{m}(\nu) = \frac{n^{\prime}_{m,b} \times k^{\prime}_{m,b}(\nu) +n^{\prime}_{m,t} \times k^{\prime}_{m, t}(\nu)}{n^{\prime}_{m,b} +  n^{\prime}_{m,t}}
\end{eqnarray}

3. 大気層中の分子の数の計算

大気層中の分子$m$の分子の数は、単位面積当たりのカラム量として下記のようにかける。


\begin{eqnarray}
u_{m} = \frac{p^{\prime}_{b} -  p^{\prime}_{t}}{g} \frac{N_{a}}{M_{ave}} x_{m}
\end{eqnarray}

ここで、
\begin{eqnarray}
x_{m} = \frac{n^{\prime}_{m, b} +  n^{\prime}_{m, t}}{\Sigma_{m} (n^{\prime}_{m, b} +  n^{\prime}_{m, t})} .
\end{eqnarray}

また大気層の平均分子量は$M_{ave}$は、以下のように与えている。

分子$mの同位体i$の分子量と存在比をそれぞれ$M_{m,i}、x_{m, i}$とすれば、分子$mの平均分子量M_{m}$は

\begin{eqnarray}
M_{m} = \Sigma_{i} (x_{m,i} \times M_{m,i}) 
\end{eqnarray}
となり、大気層の平均分子量$M_{ave}$は、

\begin{eqnarray}
M_{ave} = \frac{\Sigma_{m} (n_{m,b}^{\prime} \times M_{m} + n_{m,t}^{\prime} \times M_{m})}{\Sigma_{m} (n^{\prime}_{m, b} +  n^{\prime}_{m, t})}
\end{eqnarray}
となる。

4. 光学的厚さの計算

分子$m$の光学的厚さ$\tau_{m}(\nu)$は吸収係数と分子の数を掛け合わせて計算することができる。よって、分子$m$の光学的厚さ$\tau_{m}(\nu)$は

\begin{eqnarray}
\tau_{m}(\nu) = u_{m} \times k_{m}(\nu)
\end{eqnarray}

また、全ての分子の寄与を合わせた光学的厚さ$\tau(\nu)$は

\begin{eqnarray}
\tau(\nu) = \Sigma_{m = 1, n} (\tau_{m}(\nu))
\end{eqnarray} 

これを大気の上端、下端の量を使って書き下せば、

\begin{eqnarray}
\tau(\nu) = \frac{p^{\prime}_{b} -  p^{\prime}_{t}}{g} N_{a} \frac{\Sigma_{j}(p^{\prime}_{j}/T^{\prime}_{j} \Sigma_{m}(x^{\prime}_{m,j} k^{\prime}_{m,j}(\nu)))}{\Sigma_{j}(p^{\prime}_{j}/T^{\prime}_{j} \Sigma_{m}(x^{\prime}_{m,j} M_{m}))}
\end{eqnarray} 

となる。


※補足: 大気の上端下端で混合分子の吸収係数を考えて、光学的厚さを計算する場合の定式化

層の上端下端における混合分子の吸収係数$k^{\prime}_{j}(\nu)$は

\begin{eqnarray}
k^{\prime}_{j}(\nu) = \Sigma_{m}(x^{\prime}_{m,j} \times k^{\prime}_{m,j}(\nu) )
\end{eqnarray}
となる。

大気を代表する混合分子の吸収係数$k(\nu)$は

\begin{eqnarray}
k(\nu) = \frac{n^{\prime}_{b}k^{\prime}_{b}(\nu) + n^{\prime}_{t}k^{\prime}_{t}(\nu)}{n^{\prime}_{b} + n^{\prime}_{t}}
\end{eqnarray}
となる。

よって光学的厚さ$\tau(\nu)$は

\begin{eqnarray}
\tau(\nu) &=& u \times k(\nu) \nonumber \\
&=& \frac{p^{\prime}_{b} -  p^{\prime}_{t}}{g} \frac{N_{a}}{M_{ave}} \frac{n^{\prime}_{b}k^{\prime}_{b}(\nu) + n^{\prime}_{t}k^{\prime}_{t}(\nu)}{n^{\prime}_{b} + n^{\prime}_{t}} \nonumber \\
&=& \frac{p^{\prime}_{b} -  p^{\prime}_{t}}{g} N_{a} \frac{\Sigma_{j}(p^{\prime}_{j}/T^{\prime}_{j} \Sigma_{m}(x^{\prime}_{m,j} k^{\prime}_{m,j}(\nu)))}{\Sigma_{j}(p^{\prime}_{j}/T^{\prime}_{j} \Sigma_{m}(x^{\prime}_{m,j} M_{m}))} .
\end{eqnarray}