%2016/02/24
%2016/02/24

\chapter{その他}
\section{断熱温度勾配}

\subsection{乾燥断熱減率}
単位質量あたりの空気塊に$\Delta Q$ の熱が加えられた時, $\Delta W$ の仕事がされ, $\Delta u$ の内部エネルギー変化があったとすると, 熱力学第1法則から

\begin{eqnarray}
\Delta Q = \Delta W + \Delta u. 
\end{eqnarray}

なされた仕事 $\Delta W$ は圧力 $p$, 体積変化(比容の変化) $\Delta \alpha$ を用いて

\begin{eqnarray}
\Delta W = p \Delta \alpha. 
\end{eqnarray}

また理想気体を仮定すれば, 内部エネルギーの変化は温度のみの関数となるので, 定積比熱 $C_v$, 温度変化 $\Delta T$ を用いて

\begin{eqnarray}
\Delta u = C_v \Delta T. 
\end{eqnarray}

よって熱力学第一法則は

\begin{eqnarray}
\Delta Q = p \Delta \alpha + C_v \Delta T 
\end{eqnarray}
となる. 

ここで単位質量あたりの理想気体の状態方程式 ($p \alpha = R T, R は単位質量あたりの気体定数 (R = R^* /M \rm [J K^{-1} kg^{-1}$]) において, 圧力が $p + \Delta p$, 比容が $\alpha + \Delta \alpha$ のとき, 温度が $T + \Delta T$ となったとすれば
\begin{eqnarray}
(p + \Delta p)(\alpha + \Delta \alpha) = R(T + \Delta T). 
\end{eqnarray}
2次の微少量を無視すれば, 
\begin{eqnarray}
\frac{\Delta p}{p} + \frac{\Delta \alpha}{\alpha} = \frac{\Delta T}{T}.   
\end{eqnarray}

これを熱力学第一法則に代入すれば
\begin{eqnarray}
\Delta Q = C_p \Delta T - \alpha \Delta p 
\end{eqnarray}
となる. ただし, $C_p = C_v + R$ である. 

今, 断熱温度勾配を考えているので $\Delta Q = 0 $ とすれば, 

\begin{eqnarray}
C_p \Delta T = \alpha \Delta p. 
\end{eqnarray}

よって圧力に対する乾燥断熱減率は

\begin{eqnarray}
\frac{\Delta T}{\Delta p} &=& \frac{\alpha}{C_p} \\
&=& \frac{RT}{p C_p}
\end{eqnarray}

\subsection{湿潤断熱減率}

水蒸気を含む大気の湿潤断熱減率を導出する. 

ここでは, 混合比 $w$ を乾燥空気の密度 $\rho_d$に対する水蒸気密度 $\rho_v$(単位容積中に含まれる水蒸気質量) とする. 水蒸気の分圧を $e$, 湿った空気の圧力を $p$ とすれば, 乾燥空気の分圧は $p - e$ である. 水蒸気も理想気体の状態方程式に従うと仮定すれば, 

\begin{eqnarray}
e = R_v \rho_v T. 
\end{eqnarray}
ここで $R_v = R^{*} /M_{H_2O}$. 同様に乾燥空気の状態方程式は

\begin{eqnarray}
p - e = R_d \rho_d T
\end{eqnarray}
であるから, 混合比 $w$ は
\begin{eqnarray}
w = \frac{e}{p -e} \frac{R_d}{R_v} = \epsilon \frac{e}{p-e}. 
\end{eqnarray}
ここで $\epsilon = R_d/R_v$ である. さらに水蒸気が飽和している場合には, 水蒸気の分圧 $e$ は飽和蒸気圧 $e_s$ で置き換わる. このとき混合比も $w_s$ と書くことにする. すなわち
\begin{eqnarray}
w_s = \epsilon \frac{e_s}{p-e_s}. 
\end{eqnarray}


今, 乾燥空気1kg の質量をもち, 水蒸気で飽和した空気塊を断熱的に変化させたとする. 空気塊の乾燥空気分圧を $p_d (= p - e_s)$ としたとき, 分圧, 温度はそれぞれ $p_d, T$ から $p_d + \Delta p_d, T + \Delta T$ に変化し, 飽和混合比も $w_s から w_s + \Delta w_s$ に変化したとする. この $-\Delta w_s$ 分の水蒸気が凝結 (あるいは昇華) し, $-L \Delta w_s$ の熱が放出される ($L$ は単位質量あたりの潜熱). 

\begin{eqnarray}
w_s + \Delta w_s = \epsilon \frac{e_s \left( 1 + \frac{\Delta e_s}{e_s} \right)}{p_d \left( 1 + \frac{\Delta p_d}{p_d}\right)} \simeq w_s \left( 1 + \frac{\Delta e_s}{e_s} \right) \left( 1 - \frac{\Delta p_d}{p_d}\right)
\end{eqnarray}
であるから, 近似的に

\begin{eqnarray}
\Delta w_s =  w_s \left( \frac{\Delta e_s}{e_s} - \frac{\Delta p_d}{p_d}\right). 
\end{eqnarray}

ここで, $e_s$ は温度のみの関数であるから, 以下のように書ける. 

\begin{eqnarray}
\Delta w_s =  w_s \left( \frac{1}{e_s} \frac{\Delta e_s}{\Delta T} \Delta T - \frac{\Delta p_d}{p_d}\right). 
\end{eqnarray}

凝結による潜熱は空気塊の温度上昇のみに寄与すると考えれば (水滴などは温めないと考えれば), 熱力学第一法則で $\Delta Q = - L \Delta w_s$ として, 

\begin{eqnarray}
-L w_s \left( \frac{1}{e_s} \frac{\Delta e_s}{\Delta T} \Delta T - \frac{\Delta p_d}{p_d}\right) = C_p \Delta T - \alpha \Delta p.  
\end{eqnarray}
これを整理すれば, 

\begin{eqnarray}
\frac{\Delta T}{\Delta p} = \frac{ \frac{\epsilon L e_s}{(p - e_s)^2} + \alpha} { C_p + \frac{\epsilon L p}{(p - e_s)^2} \frac{\Delta e_s}{\Delta T}}. 
\end{eqnarray}

ちなみに, Nakajima et al. (1992) 式(4) は, 上式で飽和水蒸気混合比は全圧に対して小さい ($p - e_s \sim p$) としたものに対応している. 

\section{潜熱}
潜熱 $L$ をクラウジウス=クラペイロンの式から導出する. 

今, 液層 (もしくは固層) と気層が層平衡で接している状態を考える. つまり系の圧力は飽和蒸気圧 $e_s$ となっている. 液層(もしくは固層), 気層の単位質量あたりの水蒸気の体積をそれぞれ, $v_l, v_g$ とすれば, クラウジウス=クラペイロンの式は以下のようになる. 

\begin{eqnarray}
\frac{d e_s}{d T} = \frac{L}{T(v_g - v_l)} \sim \frac{L}{T v_g}. 
\end{eqnarray}

理想気体を仮定すれば $v_g = R_v T/e_s$ なので, 

\begin{eqnarray}
L =  \frac{R_d T^2}{e_s} \frac{d e_s}{d T}.  
\end{eqnarray}


\section{H$_{2}$O の状態方程式}


\section{中心星のスペクトル}

\section{地表面のアルベド}

